Открытый урок по алгебре 7 класс на тему Формулы сокращенного умножения

В царстве формул

сокращенного умножения

Обобщающий урок в 7а классе по теме «Формулы сокращенного умножения»

2011

ТЕМА: «В царстве формул сокращенного умножения».

ЦЕЛЬ УРОКА: 1.Повторить ФС У;

2.Выработать умения пользоваться формулами сокращенного умножения для преобразования алгебраических выражений, для разложения многочлена на множители и для упрощений вычислений;

3.Развитие элементов творческой деятельности учащихся и умение контролировать свои действия.

4. Найти приём возведения в третью, четвёртую и более высокие степени суммы двух, трёх, четырёх и более чисел.

ОБОРУДОВАНИЕ: карточки с формулами, раздаточные тесты,.

ТИП УРОКА: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

1. ПЛАН УРОКА: 1. Организационный момент.

2. Устная работа.

3. Математический диктант.

4. Игра “Смотри, не ошибись!»

5. Тестовая работа

6. Творческое задание

7. Практическая работа

8. Домашнее задание

9. Итог урока.

ХОД УРОКА:

Учитель: - Здравствуйте ребята, присаживайтесь!

Поэт Сеф в шутливой форме писал:

“Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает,
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает”.

А мы сегодня не будем скучать сами и не дадим гостям. Согласны?

Мы назовем наш сегодняшний урок «В царстве формул сокращенного умножения». Ваша задача показать все, что вы знаете и умеете на уроке.

На протяжении многих уроков мы с вами изучали эти формулы и пришли к выводу, что с помощью формул сокращенного умножения можно совершать ряд алгебраических преобразований и делать их нужно очень осмотрительно. На сегодняшнем занятии мы еще раз увидим, какая удивительная сила заключается в формулах сокращенного умножения и как они работают при преобразовании выражений.

Давайте мы вместе с вами восхитимся глубокими знаниями, вытащим из тайников памяти все то ценное, что учили на предыдущих уроках. А сейчас запишите в тетрадях дату и тему урока.

II. Устная работа:

Для начала вспомним:

1. Какие формулы сокращенного умножения Вы знаете?

( квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, разность кубов, сумма кубов)

Итак, мы вспомнили формулы. Можно отправляться в путь.

2. «Собери формулы …»

Перед вами карточки с правой или левой частью . вам необходимо собрать их и восстановить формулы сокращенного умножения.

3. «Закончите формулировку» . повторим определения

4. Найдите ошибки

(в - у)² = в - 2ву + у²

(7 + с)² = 49 - 14с + с²

(р - 10)² = р² - 20р + 10

(2а + 1)² = 4а² + 2а + 1

Учитель:

- Теорию мы повторили, а сейчас практически проверим себя.

III. Математический диктант.

Сейчас мы напишем математический диктант.

Запишите:

1. квадрат а;

2. удвоенное число b;

3. сумму х и у:

4. сумму квадрата х и куба у;

5. удвоенное произведение а и b;

6. утроенное произведение с и d;

7. квадрат суммы а и b;

8. квадрат разности х и у;

9. произведение b и квадрата а;

10. произведение куба а и удвоенного b;

Учитель:

-Сейчас обменяйтесь работой с соседом по парте и осуществите взаимопроверку по готовому решению, записанному на экране, и поставьте оценку.

Все правильно «5»

1 ошибка «4»

2 ошибки «3»

В остальных случаях «2»

( Обучающиеся оценивают работы своих соседей по парте. Правильные ответы высвечиваются на экране)

IV Игра “Смотри, не ошибись!»

- Задание на экране. Вписать вместо точек букву или число. Чтобы выполнялось равенство.

1. …² – b² = (a - …) (a +…)

2. (a +…)² =… + 2…b + b²

3. (m -…)² = m² - 20m + …

4. (5a + …)² =… + … + 81

5. (x² - 1) = (1+ …) (… - 1)

6. 47 ² – 37² = (47 - …) (… + 37)

7. (… - 3)(… +3) = x² - …

8. (… + b)² = a² + 2a… + …

V. Тестовая работа.

Некоторые ученики получают карточки и работают по карточкам.

С помощью тестов проверьте свои знания и умения применять эти формулы. Тесты составлены по образцу материала для сдачи экзаменов в 9 классе в новой форме (ЕГЭ), то есть задания с выбором ответа, на соответствие, а в последнем задании надо написать только ответ.

VI. Творческое задание

Цель: отработка понимания математической речи на слух.

На экране записаны формулы, у каждой формулы свой номер. Учитель называет левую или правую часть какой-либо формулы. А ученики в тетрадях записывают номер этой формулы. В конце получается число. Это число затем проверяется.

1) Квадрат суммы двух выражений.(5)

 2) Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности.(1)

 3) Разность квадратов двух выражений.(3)

 4) Разность кубов двух выражений.(4)

5. Квадрат первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. (2)

 6) Произведение разности двух выражений и их суммы. (3)

Ответ: 513423.

[pic]

VII.Практическая работа

- Еще Евклид знал прием возведения в квадрат суммы двух слагаемых. Мы умеем возводить сумму двух слагаемых в куб. Существует ли прием возведения в 4-ю, 5-ю и более высокие степени суммы двух слагаемых?

Сейчас выясним, как можно возвести в более высокую степень сумму двух слагаемых.

Проект I группы.

Цель проекта: научиться возводить в квадрат сумму трёх, четырёх, и т.д. слагаемых.

Возводить в квадрат сумму трёх, четырёх, и более слагаемых .

(а+в+с+d)² =((a+ b)+(c+ d))²=(a+ b)² + 2(a+ b)(c+ d)+(c+ d)² =

=a²+ 2ab+ b²+ 2ac+ 2ad+ 2bc+ 2bd+ c²+ 2cd+ d²=

=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

- А удобно ли каждый раз выполнять умножение многочленов?

– Конечно, всегда удобнее пользоваться готовой формулой. Давайте проанализируем результаты умножения многочлена на многочлен, установим закономерности и попробуем вывести формулу квадрата суммы трех или четырех чисел.

ВЫВОД: квадрат суммы трёх, четырёх и более чисел равен сумме квадратов каждого из этих чисел плюс удвоенные произведения каждого из этих чисел на числа, следующие за ним или плюс всевозможные удвоенные произведения

(а+в+с+d)² =a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

Мы считаем, что знание этой формулы пригодится нам при дальнейшем изучении алгебры в старших классах.

Вычислите: (3х+4у+5z)²= 9x² +16y² +25z² +24xy +30xz + 40yz

Проект II группы.

Цель проекта: научиться возводить двучлен в любую натуральную степень.

уроков алгебры)

2) Возведём двучлен (а + в ) в четвёртую и пятую степени алгебраическим способом.

А) (а+b)⁴ =(a+ b)²(a+ b)²= (a²+ 2ab+ b²)(a²+ 2ab+ b²)=

=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

В) (а + в)⁵ =(a+ b)³(a+ b)²=

[pic]

Способ второй:

3) Понаблюдаем за степенями:

(а+b)⁴ =((a+ b)²)²=( a²+ 2ab+ b²)²= а⁴+4а²b²+b⁴+4a³b+2a²b²+4ab³ =

= а⁴ +4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

• Степень каждого одночлена равна показателю степени, в которую мы возводили двучлен.

• Степень первого множителя в каждой строке уменьшается от наибольшей до нулевой, степень второго множителя наоборот увеличивается от нулевой до наибольшей.

4) Теперь нам известны степени одночленов для любой натуральной степени, но коэффициенты остаются неизвестными. Понаблюдаем за коэффициентами одночленов. Для этого возведём двучлен в нулевую и первую степени:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

5) Мы замечаем, что первый и последний одночлен всегда имеет коэффициент 1.

Мы записали коэффициенты в виде треугольника, при этом коэффициенты первого и последнего одночленов образуют боковые стороны треугольника:

[pic]

Составляет таблицу из их коэффициентов, замечая закон образования коэффициентов. По краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. По этому правилу легко выписывать одну за другой новые строки этого треугольника. Именно в такой форме он приведен в «Трактате об арифметическом треугольнике» французского математика Б. Паскаля, опубликованном в 1665 г. уже после смерти автора.

Треугольник, составленный по описанному правилу, называют треугольником Паскаля, по имени хорошо известного вам из учебника физики французского философа, писателя, физика и математика Блеза Паскаля (1623-1662), современника Декарта и Ферма. История возникновения треугольника Паскаля уходит глубоко корнями в прошлое. Треугольник Паскаля напечатан впервые в 1527 году в книге П. Апиана за 100 лет до рождения Паскаля.

Треугольник был частично известен в Индии ещё во 2 веке до н.э. В 13-14 веках в трудах Китайского математика Чжу Ши - цзе и арабского математика ал - Каши (ум. в 1530 г.). Однако Паскаль первым обосновал его и поэтому треугольник назван в его честь.

Треугольник Паскаля обладает массой интереснейших свойств, главное из которых мы уже заметили: не выполняя самого умножения с его помощью просто, быстро и точно можно возводить в любую степень двучлен (а + в). Правда коэффициенты разложения мы находим рекуррентно, т.е. для того чтобы узнать коэффициенты разложения бинома седьмой степени, надо знать их для шестой, а чтобы знать для шестой - сначала найти их для пятой и так далее до самого начала. . Теперь мы с лёгкостью можем вычислить шестую степень двучлена ( а + в) :

VIII. Подведение итогов урока

Учитель:

Где применяются формулы сокращенного умножения?

• При упрощении выражений.

• При разложении выражений на множители.

• При решении уравнений.

• При доказательстве тождеств.

• Применяются в некоторых математических фокусах.

Предлагается кому-нибудь задумать не очень большое число и возвести его в квадрат. К результату попросите прибавить удвоенное задуманное число и ещё единицу. Выяснив окончательный результат, вы сможете назвать задуманное число. Как найти задуманное число?

(формула а² + 2 а + 1 = (а +1)² )

Все ваши работы будут проверены и оценены мною к следующему уроку; мы повторили формулы сокращенного умножения, закрепили их в практической деятельности; я думаю, что навык работы с многочленами останется у вас на долго, причем он пригодиться в старших классов, как на уроках математики, так и физики, и поможет вам при упрощений вычислений

IX. Домашняя работа:

1. Повторите формулы сокращенного умножения

2. Постройте треугольник Паскаля

3. Возведите в степень (а + b)⁵

4. Возводите в квадрат сумму пяти слагаемых (а +b+с +d +e)²; (в+5+с)²?

5. Решите по учебнику № 1048; 1044(а,б)

6. Подготовиться к контрольной работе

Приложение 1 

Формулы сокращенного умножения

[1]       ( a + b )²  =  a²  + 2ab + b² ,

  [2]       ( a – b )²  =  a² – 2ab + b² ,

   [3]       ( a + b ) ( a – b ) = a²  –  b²,

   [4]       ( a + b )³  =  a³  + 3a² b + 3ab²  + b³ ,

[5]       ( a – b )³  =  a ³  – 3a² b + 3ab²  – b³ ,

  [6]       ( a + b )( a²  – ab + b² ) =  a³ + b³ ,

   [7]       ( a – b )( a ²  + ab + b² ) =  a³ – b³ .

Математический диктант.

Запишите:

1. квадрат а;

2.удвоенное число b;

3.сумму х и у:

4.сумму квадрата х и куба у;

5.удвоенное произведение а и b;

6.утроенное произведение с и d;

7.квадрат суммы а и b;

8..квадрат разности х и у;

9.произведение b и квадрата а;

10. произведение куба а и удвоенного b;

Игра “Смотри, не ошибись!»

Вписать вместо точек букву или число.

1. …² – b² = (a - …) (a +…)

2. (a +…)² =… + 2…b + b²

3. (m -…)² = m² - 20m + …

4. (5a + …)² =… + … + 81

5. (x² - 1) = (1+ …) (… - 1)

6. 47 ² – 37² = (47 - …) (… + 37)

7. (… - 3)(… +3) = x² - …

8. (… + b)² = a² + 2a… + …

Творческое задание

1) Квадрат суммы двух выражений.

2) Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности.

3) Разность квадратов двух выражений.

4) Разность кубов двух выражений.

5) Квадрат первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

6) Произведение разности двух выражений и их суммы

Проект I группы.

Цель проекта: научиться возводить в квадрат сумму трёх, четырёх, и т.д. слагаемых.

Возводить в квадрат сумму трёх, четырёх, и более слагаемых .

(а+в+с+d )² =((a+ b)+(c+ d))²=(a+ b)² + 2(a+ b)(c+ d)+(c+ d)² = =a²+ 2ab+ b²+ 2ac+ 2ad+ 2bc+ 2bd+ c²+ 2cd+ d²=

=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

ВЫВОД: квадрат суммы трёх, четырёх и более чисел равен сумме квадратов каждого из этих чисел плюс удвоенные произведения каждого из этих чисел на числа, следующие за ним.

Домашнее задание

1. Повторите формулы сокращенного умножения

2.Постройте треугольник Паскаля

3.Возведите в степень (а + b)⁵

4.Возводите в квадрат сумму пяти слагаемых (а +b+с +d +e)² и (в+5+с)²

5. Решите по учебнику № 1048; 1044(а,б)

6.Подготовиться к контрольной работе

9