МКУ «Закаменское районное управление образования»
МБОУ «Холтосонская СОШ»
Районная научно-практическая конференция
«Первые шаги»
Номинация: математика
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИГРУШКИ:ФЛЕКСАГОНЫ
Автор: Москвитин Слава, 5 класс
МБОУ «Холтосонская СОШ», 5класс
Домашний адрес: РБ, Закаменский район,
село Холтосон, ул. Клубная, дом
Контактный телефон: 8-924-352-8322
Руководитель: Харакшинова Ирина Вячеславовна
Год выполнения: 2016
2016 г. [pic] [pic]
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………… 3
Основная часть
Занимательная геометрия……………………………………………….… 4
Треугольник – основа многогранника…………………………………… 4
Можно ли изгибать многогранник? ……………………………………… 5
Флексагон – изгибаемый многогранник…………………….……………. 6
Применение флексагонов ……………. …………………………………..10
Заключение……………………………………………………………………….13
Введение.
Геометрию многие считают неинтересным и скучным предметом, состоящим исключительно из фигур и формул, но это не так. Фигуры и формулы – это, конечно, основа геометрии, но скучным этот предмет назвать никак нельзя. Человек с самого раннего детства сталкивается с этой интересной наукой: когда собирает кубики, когда играет в мяч, даже когда просто рисует круглое солнышко и квадратный дом с треугольной крышей. Геометрия окружает нас повсюду, и без нее не обходится ни одна наука.
Есть занимательная геометрия, в которой обычные задачи превращаются в нечто увлекательное и необычное. Французский математик Блез Паскаль писал: «Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным». Один из увлекательных моментов геометрии будет рассмотрен в нашей работе.
Цель исследовательской работы: показать, что в основе таких геометрических игрушек, как флексагоны лежит геометрия.
Задачи: составление анкеты, выявляющей интерес учащихся к занимательной геометрии; изучение и анализ информации о флексагонах ; нахождение практического применения флексагонам.
Методы исследования: изучение специальной литературы; изготовление и практическое применение флексагонов; анкетирование и анализ анкет; фотографирование процесса.
Гипотеза: флексагоны – это не геометрия, а обычное оригами.
Объектом исследования является математика.
Предмет исследования – геометрия гнущихся многогранников.
Занимательная геометрия.
В своей работе я рассмотрел один из моментов занимательной геометрии – флексагоны. Узнал интересные сведения о треугольнике – основе многоугольника, изучил вопрос об изгибаемости многогранника, о том, как собираются флексагоны и где их можно применить помимо уроков математики.
Прежде чем изучить вопрос о геометрических игрушках, я провел анкетирование, в котором приняли участие учащиеся 5 и 6 классов. Ответы на вопросы анкеты «Занимательная математика» показали, что школьникам нужна занимательная математика и им интересно узнать о геометрических игрушках. (Приложение 1)
Таким образом, данная тема нужна и интересна школьникам, а значит, может быть интересной и другим.
Треугольник- основа многоугольника
Простейшая плоская фигура в геометрии и простейший из многоугольников – это треугольник: три стороны и три вершины. Математики его называют двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший. Из-за своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков используют свойства треугольника. Так возникла наука тригонометрия – наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.
Научным языком треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, и отрезков АВ, ВС и АС, их соединяющих. Точки А, В и С называются вершинами треугольника, отрезки АВ, ВС и АС называются сторонами треугольника. По виду треугольники подразделяются на остроугольные (все углы треугольника острые), прямоугольные (один угол треугольника равен 90°) и тупоугольные (один угол больше 90°). По соотношениям между сторонами треугольники подразделяются на: равносторонние или правильные (все стороны равны между собой, все углы равны 60°), равнобедренные (две стороны равны между собой), разносторонние (все стороны различны). Углы между сторонами треугольника называются углами треугольника и обозначаются: ∟ВАС, ∟АВС, ∟АСВ (Приложение 2).
Любой многоугольник можно разбить на треугольники. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.
Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более четырех тысяч лет. В частности, там упоминается способ нахождения площади равнобедренного треугольника. Через две тысячи лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня. Особенно глубоко свойствами треугольников занимались древнегреческие ученые Пифагор и Герон. Пифагор сформулировал и доказал теорему о сторонах прямоугольного треугольника, у Герона же впервые встречается знак ∆ вместо слова треугольник.
Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV – XVI веках. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника». Например, свойствами треугольников занимался в это время Леонард Эйлер. Даже император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой, в частности, треугольникам. В математике есть понятие «внешний треугольник Наполеона» - это теорема, приписанная ему.
В XV – ХIХ веках ученые математики изучили треугольник буквально со всех сторон, написали о нем массу работ.
Инженеры любят треугольник за его «жёсткость»: даже если стержни, образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в отличие от четырехугольников и многоугольников с большим количеством сторон, где такое соединение допускает изменение формы многоугольника.
Взгляните на металлические фермы мостов – составляющие их балки образуют треугольники. Устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит плоскость.
Можно ли изгибать многогранник?
Как уже было сказано выше, треугольник – это простейшая плоская фигура, следовательно, из соединенных треугольников можно составить любой многоугольник. Например, из двух одинаковых равнобедренных и прямоугольных треугольников можно составить квадрат; из двух одинаковых прямоугольных треугольников составляется прямоугольник; из двух равнобедренных треугольников составляется ромб; если взять два любых одинаковых треугольника, то получится параллелограмм (Приложение 3).
С равносторонними треугольниками, у которых равны не только стороны, но и углы (каждый 60°), можно проводить много интересных опытов. Например, два правильных треугольника образуют ромб; три – трапецию, у которой равны три стороны; четыре – параллелограмм, у которого каждая боковая сторона в два раза меньше оснований. Шесть правильных треугольников, имеющих общую вершину, образуют правильный шестиугольник (Приложение 4).
Из четырех правильных треугольников можно составить и объемное геометрическое тело – тетраэдр (тетра – «четыре», эдр – «грань» - пирамида, в основании которой лежит треугольник). Наш тетраэдр получится правильным, так все его грани будут равны между собой.
Как треугольник считается жёсткой геометрической фигурой, так и пирамида – жёсткое геометрическое тело, то есть его нельзя изменить, не сломав (Приложение 5). Еще в 1766 году математик Эйлер высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется». В 1813 году французский математик Огюстен Луи Коши доказал, что выпуклый многогранник с данным набором граней и условиями их склейки единственен, то есть выпуклый многогранник изгибаемым не бывает. Н. П. Долбилин в своей статье «Жесткость выпуклых многогранников» писал: «Каждый, кто клеил или просто держал в руках картонную модель многогранника, замечал его жесткость и, возможно, задумывался над этим» [link] Гарднер М. Математические головоломки и развлечения – М.: Мир, 1971. – С. 11
