Урок № 53
Тема: «Градусная мера дуги окружности. Теорема о вписанном угле».
Цель:
Способствовать применению учащимися полученных знаний при решении задач;
Ввести понятие вписанный угол;
Доказать теорему об измерении вписанных углов и следствие из нее
Подготовка к ГИА;
Развивать память, внимание и логическое мышление у обучающихся;
Вырабатывать трудолюбие, целеустремленность, умение работать в парах.
План урока.
Организационные моменты.
Сообщение темы и целей урока.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Проверка выполнения домашнего задания. (Разбор нерешенных заданий)
Проверка знания теоретического материала: Привести доказательства признака касательной к окружности.Заслушать одного ученика.
Решение задач.
1. Две окружности разных радиусов внешне касаются. Докажите, что отрезок их общей касательной, заключенный между точками касания, есть среднее пропорциональное между диаметрами этих окружностей.
ДОО1С, [pic] С = 90° ОО1 = R + r
CО = R – r
[pic]
[pic] = (r + R)2 – (R – r)2 =
= r2 + 2rR + R2 – R2 + 2rR – r2.
[pic]
[pic] .
2. Через концы диаметра АВ окружности проведены две касательные к ней. Третья касательная пересекает первые две в точках С и D. Докажите, что квадрат радиуса этой окружности равен произведению отрезков СА и ВD.
Решение 1) Очевидно, что СОD – прямоугольный.
2) ОK2 = СK · KD, но АС = СK, ВD = KD, поэтому ОK2 = АС · ВD.
-
-
Объяснение нового материала.
1. Ввести понятие о вписанном угле. На закрепление этого понятия рассмотреть задание:
1) какие углы являются вписанными на рисунках?
[pic] [pic] [pic]
2) На какую дугу опирается вписанный угол?
2. Разобрать только первый случай возможного расположения центра окружности относительно сторон угла.
3. Обсудить доказательство двух других случаев и оставить на самостоятельное рассмотрение.
4. Обсудить идею, на которой основано доказательство двух следствий из теоремы, и предложить обучающимся самостоятельно провести его.
Закрепление изученного материала.
Выполнить №№ 653 (устно), 654 (устно), 655, 656, 658, 659 (устно), 661.
№ 656.Решение
По теореме о величине вписанного угла [pic] ВАС = [pic] [pic] ВС. Рассмотрим два возможных случая расположения точки С на окружности: 1) точка С [pic] [pic] АВ;
2) точка С [pic] [pic] АВ.
В первом случае обозначим точку С через С1, во втором через С2.
1) [pic] ВС1 = 360° – [pic] АС – [pic] АВ = 360° – 43° – 115° = 202°, [pic] ВАС1 =
= [pic] ∙ 202 = 101°,
2) [pic] ВС2 = [pic] АВ – [pic] АС2 = 115° – 43° = 72°, [pic] ВАС2 = [pic] ∙ 72 = 36°.
Ответ: 101°, 36°.
№ 658.Решение
1) [pic] ВОD = [pic] ВD, [pic] АОD = 180°. [pic] АОВ = [pic] АОD – [pic] ВОD =
= 180° – 110°20′.
[pic] АОВ = 69°40′.
2) [pic] АОВ – прямоугольный,
[pic] ОВА = 90°.
[pic] АОВ + [pic] ВАО = 90°.
Тогда [pic] ВАD = [pic] ВАО = 90° – [pic] АОВ = 90° – 69°40′.
[pic] ВАD = 20°20′.
3) [pic] ВОD – равнобедренный с основанием ВD, так как ВО = ОD, тогда [pic] ОВD = [pic] ОDВ как углы при основании.
4) [pic] ОDВ = [pic] = 34°50′.
5) [pic] АDВ = [pic] ОDВ = 34°50′.
№ 661.Решение
1) По теореме о величине вписанного угла [pic] АСD = [pic] [pic] AD. [pic] ВАС = [pic] [pic] BC.
2) [pic] АОС:
[pic] АОС + [pic] ОАС + [pic] АСО = 180°
[pic] ОАС = 180° – [pic] ВАС.
3) [pic] АОD = [pic] АОС = 180° – [pic] ОАС – [pic] АСО = 180° – (180° –
– [pic] ВАС) – [pic] АСD = [pic] ВАС – [pic] АСD = [pic] ( [pic] BC – [pic] AD) = [pic] (140° –
– 52°) = 44°.
Итоги урока.
[pic] АСВ = [pic] α [pic] АDВ = [pic] β
[pic] [pic] 1 = [pic] 2 = [pic] 3 = [pic] 4 [pic] АВ – диаметр,
[pic] АСВ – прямой.
Домашнее задание: вопросы 11, 12, 13, с. 187; №№ 657, 660, 663; повторить I признак подобия треугольников.
4
