Конспект
Амалдар таңбаларынан, жақшалардан және сандардан ғана құрастырылған жазу санды өрнекдеп аталады.
Мысалы, 17 · 4 = 68, 3 - 2 = 1, (17 - 2) : 5 = 3.
Құрамында әріптер бар өрнектер әріпті өрнектер деп аталады.
Мысалы, 47 - 6а, 12 + d, 5 + 3c.
Байқасаңыздар, сан мен әріп арасына көбейту белгісі қойылмаған. Бұл – санды өрнектер мен әріпті өрнектердің өзіндік айырмашылығы.
Әріпті өрнектердегі әріптің орнына оның мәнін қойғанда, санды өрнек шығады.
Әріпті өрнектің мәні оның құрамындағы әріптердің мәндеріне тәуелді болғандықтан,айнымалысы бар өрнек деп те аталады.
Санды өрнектер мен әріпті өрнектер жалпы түрде математикалық өрнектер деп аталады.
1.Арна бақшадан 132 гүл әкеліп, 7 гүлден 6 гүлшоғын, 9 гүлден 5 гүлшоғын жасады. Арнада қанша гүл қалды?
Шешуі: 132 – (7 · 6 + 9 · 5) = 132 – (42 + 45) = 132 – 87 = 45
2. Тиін мен түлкінің массасы b кг. Түлкі тиіннен a кг ауыр. Тиіннің массасы неше кг? Өрнек құрастырып, есепті шығарыңыз. Мұндағы: b = 18, а = 6.
Шешуі:Тиіннің массасы х кг, ал түлкінің массасы у кг болсын. Олай болса, есептің шарты бойынша x + y = b және y = x + a.
x + (x + a) = b
2x + a = b
2x = b - a
x = (b - a) /2 = (18 - 6) / 2 = 6
y = x + a = 6 + 6 = 12
Жауабы: 6; 12
3. 1 кг кәмпиттің бағасы а тг, 1 кг алманың бағасы b тг. 5 кг кәмпит, 7 кг алма алу үшін қанша ақша төлеу керек?
Шешуі:5 кг кәмпит = 5a
7 кг алма = 7b
s = 5a + 7b
Конспект
Қосудың ауыстырымдылық қасиеті
Қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан қосындының мәні өзгермейді.
Кез келген c және d сандары үшін:
c + d = d + c
Мысалы, 83 + 15 = 98 және 15 + 83 = 98, яғни 83 + 15 = 15 + 83 = 98
Екі санның қосындысына үшінші санды қосу үшін бірінші санға екінші сан мен үшінші санның қосындысын қосуға болады:
(b + c) + d = b + (d + c)
Мысалы, (9 + 16) + 17 = 9 + (16 + 17) = 42.
Көбейтудің ауыстырымдылық қасиеті
Көбейткіштердің орындарын ауыстырғаннан көбейтіндінің мәні өзгермейді.
a · b = b · a
Екі санның көбейтіндісін үшінші санға көбейту үшін бірінші санды екінші санның және үшінші санның көбейтіндісіне көбейтуге болады:
(a · b) · c = a · (b · c)
1.Төрт кітапта 836 бет бар. Мұндағы екі кітап 213 беттен тұрса, үшінші кітап 127 беттен тұрады. Төртінші кітапта қанша бет бар?
Шешуі: 836 – (2 · 213 + 127) = 836 – (426 + 127) = 836 – 553 = 283
2. Дастан бақшадан 10 алма, алмұрт және шабдалы әкелді. Алмұрттың саны алма санынан 7-ге артық болса, шабдалының саны алмадан 5-ке кем еді. Дастан бақшадан қанша жеміс әкелді?
Шешуі: 10 + (10 + 7) + (10 – 5) = 10 + 17 + 5 = 32
Конспект
Қосындыны санға көбейту үшін сол санға әрбір қосылғышты жеке-жеке көбейтіп, одан шыққан көбейтінділерді қосуға болады.
(a + b) · c = ac + bc
Айырманы санға көбейту үшін сол санға азайғышты да, азайтқышты да көбейтіп, бірінші көбейтіндіден екінші көбейтіндіні азайтуға болады.
(a – b) · c = ac – bc
Конспект сұрақтар
Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, есептеңіз: 114 • 25
Амалдарды орындаңыз: (4723 + 1062) : 89
Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңыз: 149y + 26y – 13y, мұндағы y = 7.
Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, жақшаны ашыңыз: 17 • (6y – 4x + 7z)
Тиімді тәсілмен есептеңіз: 626 • 16 + 243 • 19 + 374 • 16 +257 • 19
Өрнектің мәнін табыңыз: (x + 4y) + (5y + 6z) + (8x + 3z), мұндағы x + y + z =14
Мерекеге әрқайсысы 7 теңгеден тұратын 20 қызыл шар және 30 көк шар сатып алынды. Барлық шарға қанша ақша төленді?
Тиімді тәсілмен есептеңіз:
41 · 80 – 25 · 41 + 55 · 29
ABCD тік төртбұрышының ауданын табыңыз:
[pic]
Өрнекті ықшамдаңыз:
5(x + 3) + 2x
1.
Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, есептеңіз: 114 • 25
Шешуі: 114 • 25 = (120 – 6) • 25 = 120 • 25 – 6 • 25 = 3000 – 150 = 2850
2.Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, жақшаны ашыңыз: 17 • (6y – 4x + 7z)
Шешуі: 17 • (6y – 4x + 7z) = 17 • 6y – 17• 4x + 17 • 7z) = 102y – 68x + 119z
3.Мерекеге әрқайсысы 7 теңгеден тұратын 20 қызыл шар және 30 көк шар сатып алынды. Барлық шарға қанша ақша төленді?
Шешуі: (20+30) · 7 = 20 · 7 + 30 · 7 = 350
4.ABCD тік төртбұрышының ауданын табыңыз:
[pic] Шешуі:S = 3(4 + 7) = 3 · 4 + 7 · 3 = 33
Конспект
Құрамында әріппен белгіленген белгісіз саны бар теңдікті теңдеу деп атаймыз.
Мысалы, 5x + 7 = 22.
Ал теңдеуді шешу дегеніміз – оның барлық түбірлерін табу немесе оның бірде-бір түбірі болмайтынына көз жеткізу.
Ал теңдеудің түбірі деп әріптің теңдеуді тура санды теңдікке айналдыратын мәнін айтамыз.
Конспект сұрақтар
1.Есепті теңдеу құру арқылы шығарыңыз:
Қайроштың қояндарының саны тауықтарынан 4 есе кем. Ол қояндар мен тауықтарының аяқтарын санағанда 72 аяқ болды. Қайроштың неше қояны және тауығы бар?
Шешуі: 4х + 8х = 72, 12x = 72, x = 6, 6 • 4 = 24
2. Қайықтың ағыспен жүзгендегі жылдамдығы 10 км/сағ, ал ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдығы 6 км/сағ. Қайықтың меншікті жылдамдығын табыңыз.
Шешуі: қайық жылдамдығы х, ағыс жылдамдығы у болса, онда: кмсағ{x+y=10 x−y=6 → 2x=16, x=8км/сағ.
3.
Оқушы бір сан ойлады. Ол ойлаған санын 2 есе көбейткенде шыққан нәтижеге 19-ды қосқанда, қосынды 37-ге тең болды. Оқушы қандай сан ойлады?
Шешуі:
Оқушы ойлаған санды х деп белгілейміз. Шарт бойынша:
2x + 19 = 37
2x = 37 - 19
2x = 18
x = 9
4. Конспект
Формула дегеніміз – математикада ережелердің әріптері бар теңдіктермен жазылуы. Мұндай жағдайда ереже формуламен жазылған дейміз.
Тік төртбұрыштың периметрі оның ұзындығы мен енінің 2 еселенген қосындысына тең.
Тік төртбұрыштың периметрінің формуласы: P = 2a + 2b = 2(a + b).
Үшбұрыштың периметрі оның барлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең.
Үшбұрыштың периметрінің формуласы: P = a + b + c.
Тік төртбұрыштың ауданы оның ұзындығы мен енінің көбейтіндісіне тең.
Тік төртбұрыштың ауданының формуласы: S = a • b.
Тікбұрышты параллелепипедтің көлемі оның ұзындығын ені мен биіктігіне көбейткенде шыққан нәтижеге тең. Ал формуласы: V = abc.
Жолдың формуласы: S = vt, мұндағы S — жүрген жолдың ұзындығы, v — жылдамдық, t — уақыт.
Зат құнының формуласы: C = an, мұндағы C — заттың құны, a — заттың бағасы, n — заттың саны.
Квадрат периметрінің формуласы: P = 4a, a — қабырға ұзындығы.
Квадрат ауданының формуласы: S = a2.
Куб көлемінің формуласы: V = a3.
1.Кеменің меншікті жылдамдығы 10 м/c, ал өзен ағысының жылдамдығы 2 м/с. Кеменің ағысқа қарсы жылдамдығын табыңыз.
Шешуі: v = 10 – 2 = 8 м/c
2. 7 кг женттің құны 2450 теңге болса, женттің бағасы неше теңге?
Шешуі: C = an, a = C : n, a = 2450 : 7 = 350 тг
3.Тікбұрышты параллелепипедтің ені 12 см, биіктігі 9 см, ал көлемі 1404 см3 болса, параллелепипедтің ұзындығын табыңыз. Шешуі: V = abc, b = V : (ac), b = 1404 : (12 • 9) = 1404 : 108 = 13 см
4.17 кг алманың құны 4420 теңге болса, 13 кг алманың құны неше теңге?
Шешуі: C = an, a = C : n, а = 4420 : 17 = 260, C = 260 • 13 = 3380
5.Кубтың бір жағының периметрі 36 см, кубтың көлемін табыңыз.
Шешуі: P = 4a, a = 36:4 = 9см, V = a3 = 93 = 729 см3
6. 7-ге бөлгенде 4 қалдық қалатын сандардың жалпы түрін жазыңыз.
Шешуі: кез келген белгісіз санды n деп белгілейік.
7-ге бөлінетін сан 7n болады.
Тапсырманың шарты бойынша 7-ге бөлген кезде 4 қалдық қалу үшін осы санға 4-ті қосамыз.
Олай болса, 7n + 4 болады.
2.7-ге бөлгенде 4 қалдық қалатын сандардың жалпы түрін жазыңыз.
Шешуі: кез келген белгісіз санды n деп белгілейік.
7-ге бөлінетін сан 7n болады.
Тапсырманың шарты бойынша 7-ге бөлген кезде 4 қалдық қалу үшін осы санға 4-ті қосамыз.
Олай болса, 7n + 4 болады.
Құйма массасының 3/5 бөлігі мыс. 240 г құймада неше грамм мыс бар?
Шешуі: 240-тың 3/5 бөлігін табамыз, яғни 240 : 5 • 3 = 144 г мыс бар.
санына кері санды табыңдар. 13
Шешуі: (12+56−79):123=9+15−1418:53=1018⋅35=26=13;
13-ге кері сан 3.
А-ның қандай мәнінде бөлшек мәні 0-ге тең болады: 9−3a9+3a
Шешуі: 9−3a9+3a=0,9−3a=0,−3a=−9,a=3.
у=kx+5 функциясының графигі А(–3; –1) арқылы өтсе, k-ның мәнін табыңыз.
Шешуі: -1=-3·k+5, 3k=6, k=2
Теңсіздік орындалатындай а-ның (a>0) барлық мәндерін табыңыз: ∫0a(1−x)dx≤1+a4 ж. (0;0,5]∪[1;+∞)
Шешуі: ∫0a(1−x)dx=∫0adx−∫0axdx=(x−x22)|0a==a−a22.Сондықтан, ізделінді a -ның мәндері теңсіздіктер жүйесінің шешімі болады:
{a>0a−a22≤1+a4
Теңсіздіктер жүйесінің шешімі a∈(0;0,5]∪[1;+∞)
Жауабы: (0;0,5]∪[1;+∞).
П/18 рад қанша градус? Ж.10°
Шешуі: пропорция құрсақ:
радрадосыдантіңмәнінтабамызπ18 рад =x01 рад =1800πосыдан x−тің мәнін табамыз, x=1800⋅π180⋅π=100.
Адыңғы сұрақКелесі сұрақ
Конспект
а саны қалдықсыз бөлінетін натурал сан натурал а санының бөлгіші деп аталады.
Қасиеттері:
1) Берілген натурал санның ең үлкен бөлгіші сол санның өзіне тең;
2) 1 саны кез келген натурал санның бөлгіші болады.
Жалпы түрі: a : b = c, a – бөлінгіш, b – бөлгіш, c – бөлінді.
Натурал b санына еселік сан деп сол b санына қалдықсыз бөлінетін натурал санды айтады. Жалпы түрі: a : b = c, мұндағы a – b-ға еселік сан және a = bc.
14 санының бөлгіштерінің санын табыңыз.
Шешуі: 14 санының бөлгіштері: 1, 2, 7, 14, яғни 4 бөлгіші бар.
35 тал раушан гүлі бар. Сатушы гүлдер саны әртүрлі болатындай гүлшоқтарын неше тәсілмен істей алады?
Шешуі: 35-тің бөлгіштері 1, 5, 7, 35, ендеше 4 тәсілмен.
Конспект
Егер қосылғыштардың әрқайсысы жеке-жеке берілген натурал санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді. Яғни, (a + b) : c = a : c + b : c.
Мысалы,
56 : 7 = 8
Қосылғыштар берілген натурал санға жеке-жеке қалдықпен бөлінген жағдайда қалдықтардың қосындысы сол санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді.
Мысалы,
8
72 : 8 = 9
Егер көбейткіштердің біреуі берілген натурал санға бөлінсе, онда көбейтінді де сол натурал санға бөлінеді. Яғни, (a · b) : c = (a : c) b немесе (ab) : c = a(b:c).
Мысалы,
336 : 6 = 56
Егер айырмалардың әрқайсысы жеке-жеке берілген натурал санға бөлінсе, онда айырма да сол санға бөлінеді. Яғни, (a - b) : c = a : c - b : c.
Мысалы,
66 : 11 = 6
Конспект
Жазылуы жұп цифрлармен аяқталатын барлық натурал сандар 2-ге бөлінеді. Егер санның жазылуы тақ цифрлармен аяқталса, онда ол сан 2-ге бөлінбейді. Мысалы, 12 : 2 = 6; 15 : 2 = 7(1).
2-ге бөлінетін сандар жалпы түрде 2п өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1, 2, 3, ...
Жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 5-ке бөлінеді. Егер санның жазылуы кез келген басқа цифрмен аяқталса, онда ол сан 5-ке бөлінбейді. Мысалы, 105 : 5 = 21, 80 : 5 = 16, 19 : 5 = 3 (4).
5-ке бөлінетін сандар жалпы түрде 5п өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1, 2, 3, ...
Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 10-ға бөлінеді. Егер санның жазылуы кез келген басқа цифрмен аяқталса, онда ол сан 10-ға бөлінбейді. Мысалы, 260 : 10 = 26, 709 : 5 = 70 (9).
10-ға бөлінетін сандар жалпы түрде 10п өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1, 2, 3, ...
Конспект
Берілген сан цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе, онда ол санның өзі де 3-ке бөлінеді, егер санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінбесе, онда ол санның өзі де 3-ке бөлінбейді.
3-ке бөлінетін сандар жалпы түрде 3n өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1, 2, 3, ...
Берілген санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінеді, егер санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінбесе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінбейді.
9-ға бөлінетін сандар жалпы түрде 9n өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1, 2, 3, ...
Конспект
1-ге және өзіне ғана бөлінетін сандар жай сандар деп аталады. Мысалы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
Екіден көп бөлгіштері сандар құрама сандар деп аталады. Мысалы, 18 саны – құрама сан, бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
31 < у < 41 аралығында неше жай сан бар?
Шешуі: Берілген аралықтағы жай сандар: 11, 13, 17, 19. Жауабы: 4.
Құрама сандарды теріп жазыңыз:
16; 26; 37; 65; 73; 86; 91; 101; 127
D 16; 26; 65; 86; 91
Шешуі: 16; 26; 65; 86; 91 сандары құрама сандар болады. Себебі:
а) 16, 26, 86 сандары - жұп сандар, яғни олар 1-ден және өзінен басқа 2-ге бөлінеді.
ә) 65 cаны 5 цифрымен аяқтылып тұр, яғни 5-ке бөлінеді.
б) 91 cаны 7-ге бөлінеді:
91 : 7 = 13.
3850 санының бөлгіші болатын ең үлкен жай санды табыңыз.
D 11
Шешуі: берілген санды жай сандарға жіктейміз:
3850 = 2 * 5 * 5 * 7 * 11.
Көбейткіштердің ішіндегі ең үлкен жай сан - 11.
Конспект
Берілген натурал сандардың әрқайсысына еселік болатын ең кіші натурал санды ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) деп атайды және оны жай сандарға жіктеу арқылы табады.
1) Берілген натурал сандар жай көбейткіштерге жіктеледі.
2) Берілген сандардың ең үлкеніндегі жай көбейткіштер жазылады да, ал оның құрамында жоқ, бірақ басқа сандардың құрамында бар жай көбейткіштермен толықтырылады.
3) Шыққан көбейткіштердің көбейтіндісі берілген натурал сандардың ең кіші ортақ еселігі болады. Мысалы, ЕКОЕ(27,45)-ін табу керек. 27=33, 45=32·5, ЕКОЕ (27, 45) = 33·5 = 135, сонда 135 : 27 = 5, 135 : 45 = 3.
Егер берілген натурал сандардың үлкені кішілеріне еселік болса, онда үлкен сан осы сандардың ең кіші ортақ еселігі болады. Мысалы, ЕКОЕ (29, 87) = 87.
Егер берілген натурал сандардың, 1 санынан басқа, ортақ жай көбейткіші болмаса, ондай сандар өзара жай сандар деп аталады. Мысалы, ЕКОЕ (28, 45) -ін табайық. 28=4·7, 45 = 5·9, ЕКОЕ (28, 45) = 28·45 = 1260.
Егер берілген сандар өзара жай сандар болса, онда ең кіші ортақ еселік осы сандардың көбейтіндісіне тең.
Қаламсап бағасы 15 теңге, Айнұрда 20 теңгелік тиындар ғана бар. Егер сатушыда қайтаратын ақша болмаса, ол ең аз дегенде қанша қаламсап алу керек?
Шешуі: ЕКОЕ(15; 20)=60, 60 : 15 = 4
ЕКОЕ(а; 6) = а болса, а-ның ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі: ЕКОЕ(а; 6) = а шартын қанағаттандыратын а = 12, ЕКОЕ(12; 6) = 12.
Орамдағы сымды әрқайсысының ұзындығы 12 м немесе 18 м болатындай бөліктерге бөле аламыз. Орамда кем дегенде неше метр сым бар?
Шешуі: ЕКОЕ(18; 12)=36
Базарға әкелінген қарбыздарды он-оннан бөлсек те, он екі - он екіден бөлсек те ешқандай қарбыз артық қалмайды. Базарға ең аз дегенде неше қарбыз әкелінді?
Шешуі:10=2*5
12=2*2*3EKOE(10,12)=2*2*3*5=60
Конспект
Кез келген шаманың 1/100 бөлігі бір процент деп қабылданған, яғни 1% = 1/100 немесе 1% = 0,01. Процентті бөлшекпен жазу үшін 100-ге бөлу керек, ал бөлшекті процентпен жазу үшін 100-ге көбейту керек.
[pic]
Берілген санның процентін табу үшін:
процентті жай бөлшекке немесе ондық бөлшекке өрнектеу керек;
берілген санды осы бөлшекке көбейту керек.
Мысалы, 45 санының 20%-ін табайық.
[pic]
Процент бойынша санды табу үшін:
процентті жай бөлшекпен немесе ондық бөлшекпен өрнектеу керек;
берілген санды осы бөлшекке бөлу керек.
Мысалы, 15%-і 60-қа тең санды табу керек. Ол үшін
[pic]
Бөлінді бойынша бірінші сан екінші санның неше процентін құрайтынын табу үшін:
бірінші санды екінші санға бөлу керек;
шыққан бөліндіні процентпен өрнектеу керек.
Мысалы, 5 саны 20-ның неше процентін құрайтынын табу үшін: [pic]
Алманың 17/20-сі су. Алманың неше проценті су?
Шешуі: 17/20 • 100% = 17,5 = 85%
Теңіз суының 5%-і тұз. Теңіз суының неше бөлігі тұз?
[pic]
Сүттің 20%-і қаймақ, қаймақтың 25%-і май. Сүттің неше проценті май?
Шешуі:
20%=20100=15;25%=25100=14;15⋅14=120;120⋅100%=5%
Алдңғы сұрақКел
Шешуі:
20%=20100=15;25%=25100=14;15⋅14=120;120⋅100%=5%
Жерге себілген 300 пияз тұқымының 195-і өнді. Пияз тұқымының өнімділігі неше процент?
[pic]
Тұзды судың екі ерітіндісінен қоспа жасалды. Бірінші ерітіндінің массасы 400г, ондағы тұз 25%, ал екінші ерітіндінің массасы 200г, ондағы тұз 10%. Қоспа ерітіндісінің неше проценті тұз?
Шешуі: бірініші ерітіндідегі тұз: г400⋅25%=400⋅14=100г, екінші ерітіндідегі тұз: г200⋅10%=200⋅110=20г. Қоспа массасы 400+200=600г, қоспадағы тұз массасы 100+20=120. Қоспадағы тұздың проценті: 120⋅100600=20%.
Концентрациясы 8% болатын ас содасының судағы 450 г ерітіндісіне 10 г ас содасын қосқанда ерітіндінің концентрациясы неше процент болады?
Шешуі: 450г ерітіндідегі ас содасының мөлшерін табайық: г8%=8100=225,450⋅225=36г. Жаңа ерітіндідегі ас содасының мөлшері: 36+10=46г. Ерітіндінің мөлшері: 450+10=460г. Ендеше, 46460=110=0,1⋅100=10%.
Алдың Дүкенге әкелінген көкөністің бірінші күні 35%-і, ал екінші күні 28%-і сатылды. Үшінші күні қалған 333 кг сатылды. Дүкенге қанша көкеніс әкелінді?
Шешуі: барлық көкөністің үшінші күні қанша пайызы сатылды: 35%+28%=63&, 100%-63%=37%.
Ендеше, 333:37%=кг
Теңіз суының 95%-і таза су, қалғаны тұз. 6 т теңіз суында қанша тұз бар?
[pic]
ы с Қоспаның 85%-і мыс, қалғаны қалайы. 5кг қоспаның құрамындағы мыс қалайыдан қанша килограммға артық?
Шешуі:
Мыстың мөлшері:
кг85%=85100=1720;5⋅1720=174=414кг
Қалайының мөлшері:
кг5−414=34кг
414−34=354−34=324=312
Конспект
Екі санның бөліндісі сол сандардың қатынасы деп аталады.
Мысалы, 14:7 немесе 14/7 оқылуы «14-тің 7-ге қатынасы», мұндағы 14 – алдыңғы мүшесі, 7 – соңғы мүшесі болады.
Егер берілген қатынастың алдыңғы мүшесін соңғы мүше етіп, ал соңғы мүшесін алдыңғы мүше етіп, орындарын ауыстырып жазсақ, онда берілген қатынасқа кері қатынас алынады.
Мысалы, 2/3 қатынасы 3/2 қатынасына кері қатынас.
Қатынастың екі мүшесін де нөлден өзге бірдей санға көбейтсек немесе бөлсек берілген қатынасқа тең қатынас шығады.
Мысалы, 10/12 = 5/6 немесе 3/5 = 9/15.
Екі санның қатынасын процентпен өрнектеуге болады. Ол үшін санның қатынасын 100-ге көбейтіп процент белгісін тіркеп жазу керек.
Мысалы: 4,59=4590=0,5⋅100=50%.
Санды берілген қатынаста бөлу үшін:
берілген қатынас мүшелерін қосу керек;
санды табылған қосындыға бөлу керек;
шыққан нәтижені қатынас мүшелерінің әрқайсысына көбейту керек.
Мысалы, 630 санын 2/7 қатынасына бөлу керек.
1) 2+7=9;
2) 630:90=70;
3) 70•2=140;
4) 70•7=490.
630 санын 2/7 қатынасына бөлсе, 140:490 болады.
Ас содасының судағы ерітіндісі берілген. Ондағы ас содасы массасының су массасына қатынасы 2:23. Ас содасының судағы ерітіндісінің концентрациясын табыңыз.
Шешуі: ерітінді массасы 23+2=25, концентрациясы 2:25=0,08•100=8%
Компот қайнату үшін 12:5:3 қатынасындай алма, алмұрт және қара өрік алынды. Компоттың қанша проценті алмұрт болады?
Шешуі: қатынас мүшелерінің қосындысы 12+5+3=20, ендеше 520⋅10%=25%.
Қоспадағы алтын мен күміс массаларының қатынасы 5:3. 56 г қоспадағы алтын массасын табыңыз.
Шешуі: 5 + 3 = 8, 56 : 8 = 7, 5•7 = 35 г
Елдос төрт сан ойлады. Ол ойлаған сандардың қатынасы 2:3:5:8 қатынасындай. Бірінші сан мен үшінші санның қосындысы 84-ке тең. Елдос ойлаған төртінші санды табыңыз.
Шешуі: бірінші мен үшінші сандар 2x+5x=7x,
7x=84,
x=84:7=12,
төртінші сан: x•8=12•8=96
Көшенің ені 50 метр. Оның ұзындығының еніне қатынасы 200-ге тең. Көшенің ұзындығы қанша?
Шешуі: мкм Шешуі: мкм Х/50 Х=10000=10КМ
Қатынастың алдыңғы мүшесін 3 есе арттырса, қатынас қалай өзгереді?
Шешуі: abқатынасының алдыңғы мүшесі a. Егер алдыңғы мүшені 3 есе арттырса, 3abболады. Жауабы: 3⋅ab, қатынас 3 есе артады.
Жездің құрамындағы мыс пен мырыш массаларының қатынасы 3 : 2 қатынасындай. 360 г жез құрамында неше грамм мыс бар?
Шешуі: 360:(3+2)=360:5=72,72⋅3=216
Барлық бөлшек үш токарьға бөлінді. Біріншісіне барлық бөлшектің 0,48-і, ал екіншісіне біріншісіне берілген бөлшектің 5/6 -індей берілді. Қалған 180 бөлшек үшінші токарьға берілді. Барлығы қанша бөлшек?
Шешуі: Барлық бөлшекті х деп алсақ, онда бірінші токарьға 0,48х, екінші токарьға 0,48•5/6=0,4х екеуіне 0,48х+0,4х=0,88х, үшіншісіне 0,12 бөлігі қалды.
0,12 бөлігі 180 болатын санды табамыз, яғни 180:0,12=1500.
Барлығы 1500 бөлшек болған.
Жәшіктің ұзындығы а см, оның ені ұзындығының 75%-іне, ал биіктігі енінің 80%-іне тең. Жәшіктің көлемін табыңыз. Мұндағы а=20.
Шешуі: ұзындығы a, биіктігі 34a⋅45=35a,көлемі см
Конспект
Екі қатынастың теңдігі пропорция деп аталады.
Мысалы, 34=912 – бұл пропорция.
Пропорция ab=cd немесе а:b=с:d түрінде жазылады, мұндағы а, d – шеткі, b,с – ортаңғы мүшелері деп аталады.
Пропорцияның шеткі мүшелерінің көбейтіндісі ортаңғы мүшелерінің көбейтіндісіне тең, яғни ab=cd немесе а:b=с:d болса, a•d=b•c болады.
Мысалы, 2,73=4,55;2,7⋅5=4,5⋅3.
Пропорцияның осы қасиетін қолданып, оның белгісіз мүшесін табуға болады.
Мысалы, 37=6x;3⋅x=6⋅7x=6⋅73=14;x=14.
Конспект
Егер екі шаманың біреуін бірнеше есе арттырғанда, екіншісі де сонша есе арттырса, онда мұндай шамалар тура пропорционал шамалар деп аталады.
Мысалы, заттың бағасы тұрақты болғанда, заттың мөлшері артса, оның құны да артады. Мұнда зат мөлшері мен құны тура пропорционал.
Жиі кездесетін тура пропорционал шамалар:
заттың бағасы тұрақты болғандағы құны мен мөлшері;
тұрақты жылдамдықпен жүргендегі жол мен уақыт;
квадраттың қабырғасы мен периметрі;
заттың көлемі мен массасы, т.с.с.
Егер бірінші шама бірнеше есе артқанда (кемігенде), екінші шама сонша есе кемитін (артатын) болса, онда мұндай шамалар кері пропорционал шамалар деп аталады.
Мысалы, жұмыс мөлшері тұрақты болғанда жұмысшы саны мен жұмыстың орындалу уақыты кері пропорционал шамалар болады.
Кері пропорционал шамалардың сәйкес мәндерінің көбейтіндісі тең болады.
Кері пропорционал шамаларға:
тік төртбұрыш ауданы тұрақты болғанда, ені мен ұзындығы;
құны бірдей заттардың мөлшері мен бағасы;
арақашықтық бірдей болғандағы жылдамдық пен уақыт, т.с.с.
Массасы 150 г, концентрациясы 40% ас содасы дайындалған. Оған қанша су қосқанда концентрациясы 15% ас содасының ерітіндісі алынады?
4 тігінші 15 күнде 20 көйлек тіккенде, 2 тігінші 9 күнде неше көйлек тікті?
[pic]
Ұзындығы 800 м поезд станция кезекшісінің тұсынан 40 секундта өтті, ал тоннельден 1,5 минутта өтті. Тоннельдің ұзындығын табыңыз.
[pic]
Құбырдан аққан сумен 2 сағатта хауыздың 15-і толады. Әрбір сағатта құбырдан аққан судың мөлшері өзгермегенде, 5 сағатта хауыздың қандай бөлігі суға толады?
[pic]
Шиеден қайнатылған тосаптың 2 бөлігі шие, 3 бөлігі құмшекер болу үшін 8 кг шиеге неше килограмм құмшекер қосу керек?
[pic]
Поезд тұрақты жылдамдықпен бір қалыпты жүріп, 2 сағатта 144 км жол жүрді. Ол 5 сағатта қанша жол жүреді?
[pic]
Станокта сағатына 108 бөлшек даярланса, тапсырма 5 сағатта орындалады. Осы станокта сағатына 60 бөлшек даярланса, тапсырма неше сағатта орындалады?
[pic]
Дайындалған мал азығы 75 сиырға 184 күнге жетеді. Егер сиырлар саны 40 сиырға өссе, осы дайындалған мал азығы неше күнге жетер еді?
[pic]
Тапсырманы 30 жұмысшы 6 күнде орындайды. Егер жұмысшылар саны 20%-ке өссе, осы тапсырма қанша күнде орындалады?
[pic]
Ыстық күні 6 шалғышы ыдыстағы сусынды 8 сағатта ішті. Осындай ыдыстағы сусын 4 сағатта ішілсе, шалғышылар саны қанша болған?
[pic]
Конспект
Картадағы кескін ұзындығының оған сәйкес жер бетіндегі қашықтыққа қатынасы масштаб деп аталады.
Мысалы, картаның масштабы 1:100 000 болса, онда картадағы 1 см кесіндіге жер бетіндегі 100 000 см =1000 м =1км сәйкес келеді.
Егер 1:2500 масштабындағы 3 см кескінге сәйкес жер бетінің өлшемін табатын болсақ, онда 3•2500=7500см =75 м, яғни 3 см 75 м-ге сәйкес.
Ұзындығы 10 м болатын кесіндінің сызбадағы ұзындығы 1см. Сызба масштабын табыңыз.
Шешуі: 10м=10•100=1000см, ендеше масштабы 1:1000 болады.
Үлкен Алматы каналының ұзындығы 170 км, оның картадағы ұзындығы 17 см. Картаның масштабын табыңыз.
Шешуі: 170 км = 170 000 м = 17 000 000 см, масштабы: 17:17 000 000, 1:100 000
Масштабы 1:60 000 000 картада Алматы мен Астана арасын қосатын кесінді ұзындығы 17 мм. Қалалардың жер бетіндегі арақашықтығы неше киллометр?
Шешуі:17 • 60 000 000 = 1 020 000 000 мм = 1 020 000 мм = 1020 км
Масштабы 1:10 000 картада тік төртбұрышты жер алқабының ұзындығы 12,5 см, ені 8 см. Осы жер алқабының ауданын табыңыз.
Шешуі:
ұзындығы: 12,5 • 10 000 = 125 000см = 1250 м,
ені: 8 • 10 000 = 80 000 см = 800 м,
ауданы: 1250 • 800 = 1 000 000 м2 = 100 га, себебі: 1 га = 10 000 м2
Картадағы 1,8 см кесіндіге жер бетіндегі 270 км арақашықтық сәйкес. Осы картадағы 2,7 см кесіндіге жер бетіндегі неше киллометр арақашықтық сәйкес болады?
A
[pic]
Пән: Математика, Бөлім: Жұмыс және еңбек өнімділігіне арналған есептер
.
Екі кран бірлесіп баржанын жүгін 6 сағатта түсіреді, егер әр кран жеке жұмыс істегенде, біріншісі екіншісінен 5 сағат бұрын түсіретін болса, онда әр кран баржаны қанша уақытта түсіреді?
Шешуі: бірінші кран х сағатта, екінші кран х+5 сағатта бітіреді. Екеуі бірігіп 1 сағатта 1/6 бөлікті, бірінші кран 1/х, ал екінші кран 1/(х+5) бөлікті бітіреді.
1x+1x+5=16; 6x+30+6x=x2+5x;x2−7x−30=0;
Виет теоремасы бойынша: x1= –3; x2=10; x= –3 бөгде түбір; бірінші кран 10 сағатта, екінші кран 15 сағатта.
Жұмыс күні 8 сағаттан 7 сағатқа азайтылды. Бұрынғы жалақы 5%–ке өсу үшін еңбек өнімділігін неше процентке көтеру керек.
Шешуі:8 сағ алатын айлық-100%,жаңа айлық - 105%; 1 сағ-та жұмыстың 18=0,125бөлігін істеген. Жаңа ереже бойынша 1,057=0,15бөлігін істеуі керек,сонда ол 1 сағ-та бұрынғы істегенінің 0,150,125=1,2 бөлігін істеуі тиіс. (1,2⋅1,0)⋅100%=20%.
Бір жұмысшы өзінің нормасын 6 сағ-та, екіншісі 5 сағ-та, үшіншісі 4 сағ-та орындайды. Олар белгілі бір уақыт бірге жұмыс істеп 740 тетік дайындады. Әрқайсысы қанша тетік әзірледі?
Шешуі: ЕКОЕ(4, 5, 6)=60; бірінші жұмысшы 60/6=10; екіншісі 60/5=12; үшіншісі 60/4=15 норма орындайды.
Бірінші жұмысшы74010+12+15⋅10=200;
екіншісі 74010+12+15⋅12=240; үшіншісі 74010+12+15⋅15=300 тетік жасайды.
Гаражда 54 жүргізуші бар. Егер әр күні гараждағы 60 машинаның 25%-і жұмысқа шықпай қалса, онда бір айда (30күн) әр жүргізушінің неше бос күні болады?
Шешуі: 1 күнде 60·0,25=15; 60-15= 45 машина жұмысқа шығады. Бір айда: 30·45=1350; Әр жұмысшыға бөлгенде 1350/54=25 күн;
бос күн: 30-25=5.
Екі жұмысшы бір сменада 72 тетік дайындайды. Біріншісі еңбек өнімділігін 15% -ке, екіншісі 25% -ке арттырғаннан кейін бір сменада 86 тетік жасайтын болады. Еңбек өнімділігін арттырғаннан кейін әрқайсысы бір сменада қанша тетік жасайтын болды.
Шешуі: {x+y=721,15x+1,25y=86{x=72−y1,15(72−y)+1,25y=86,82,8−1,15y+1,25y=86;0,1y=3,2; y=32;x=72−32=40.Қосу тәсілін
Ағаш дайындау жұмысына үш топ қатысты. Бірінші топта барлық жұмысшылардың 36% бөлігі, ал екінші топта біріншіге қарағанда 72 адам артық болды. Қалған 124 адам үшінші топта еді. Үш топта барлығы қанша адам бар?
Шешуі: барлық жұмысшы –х; бірінші топта – 0,36х; екінші топта – 0,36х+72;
0,36х+0,36х+72+124=x;
0,72x+196=x;
0,28x=196;
x=700.
Берілген тапсырманы бірінші жұмысшы 3 сағ-та, ал екінші жұмысшы 6 сағ-та бітіреді. Бірлесе жұмыс істесе неше сағатта орындайды.
Шешуі: 1 сағатта біріншісі 1/3, ал екіншісі 1/6 бөлігін бітіреді. 13+16=36=12 ; яғни 2 сағ.
Пән: Математика, Бөлім: Концентрация және пайыздық құрамға арналған есептер
Екі санның айырмасы 6-ға тең, біріншісінің 30% -і екіншісінің 42 % -іне тең. Осы сандарды табыңыз.
Шешуі: бірінші сан – х, ал екіншісі – у болсын. Біріншісінің 30% -і 0,3х ,екіншісінің 42% -і 0,42у.
{x−y=60,3x=0,42y{x=y+60,3(y+6)−0,42y=00,3y+1,8−0,42y=0;0,12y=1,8; y=15; x=21.
Санның 13% -і 1,69-ға тең болса, онда берілген сан нешеге тең?
Шешуі:
Пропорция құрамыз:
13% - 1,69
100% - х
x=(1,69·100)/13=13.
Сүттің 21 % -і қаймақ болады,ал қаймақтың 24% -і май болады. 630 кг май алу үшін қанша сүт керек?
Шешуі: пропорция құрамыз:
630 кг - 24%
х кг - 100%
х= (630·100)/24 = 2625 кг(қаймақ)
2625 кг - 21%
х кг -100%
х = (2625·100)/21= 12500.
Екі қапта 140 кг ұн бар. Егер бірінші қаптан 12,5 % ұнды екіншісіне ауыстырып салса,онда екі қаптағы ұн бірдей болады.Әр қапта қанша ұн бар?
Шешуі: біріншіде – х; екіншіде 140-х;
х-0,125х = (140-х)+0,125х;
1,75х =140; х = 80кг; 140-80= 60 кг.
Тауар бағасын алдымен 20%, ал одан кейін жаңа бағасын тағы да 25% кемітті. Тауардың бастапқы бағасын неше процент кеміткен?
Шешуі: бастапқы баға – х; өзгерген баға – 0,8х, осыны тағы да 25% -ке кеміткенде 0,8х – 0,8х·0,25 = 0,6х, яғни бастапқы бағаның 60% -і қалды. Демек, бағаны 40% -ға кеміткен.
40 саны өзінің квадратының қанша процентін құрайды?
Шешуі: 402=1600; 401600⋅100=2,5.
Жер шарында дайындалатын барлық ағаштың 33% құрылыс қажетіне жұмсалады. Құрылысқа жұмсалатыннан 123 есе артық ағаш отын ретінде пайдаланылады. Қалған 144 миллион тонна ағаш басқа қажеттерге жұмсалады. Жер шарында барлығы қанша ағаш дайындалады?
Шешуі: Барлығы – х, құрылысқа - 0,33х, ал отынға: 0,33х·123=0,55x;
x - 0,33x – 0,55x = 144 млн;
0,12x = 144 млн;
x= 1200 млн.
Екі заттан тұратын салмағы 18 кг қоспа бар. Қоспадан 40% бірінші, 25% екінші затты айырып алғаннан кейін екінші зат қанша қалса, бірінші зат та сонша қалды. Қоспада әрқайсысынан қанша қалды?
Шешуі: бірінші заттың салмағы – х, ал екіншісі – у болсын. Бірінші заттың 40% алғанда, онда одан 0,6х қалады. Екінші заттың 25% алғанда, онда одан 0,75у қалады.{x+y=180,6x=0,75y
{x+y=184x=5y {5x+5y=184x−5y=0x=10; y=8.
Теңіз суының құрамында массасы бойынша 5 % тұз болады. 15 л теңіз суында,ондағы тұздың концентрациясы 1,5% құрайтын болу үшін, қанша тұщы су құю керек?
Шешуі:
15л суда 15·0,05= 0,75 гр тұз бар.
0,75 - 1,5%
x - 100%
x=(100·0,75)/1,5=50;
50 - 15=35л.
Құрамында никельдің мөлшері 5% және 40% болатын болаттың екі түрлі сорты бар. Құрамында никельдің мөлшері 30% болатын 140 т болат алу үшін екі сорттың әрқайсысынан қанша тоннадан алу керек?
Шешуі: бірінші сортты болаттың салмағы – х, ал екінші сортты – у болсын. Олардағы никель салмағы сәйкесінше 0,05х және 0,4у.
140 т-ғы никель 140·0,3 42т. {x+y=1400,05x+0,4y=42
бірінші теңдеуді -1-ге және екінші теңдеуді 20-ға көбейтіп, қосу тәсілін қолданамыз:{−x−y=−140x+8y=8407y=700; y=100; x=40.
Екі бұрышының қосындысы 160° болатын параллелограмның бұрыштарын табыңыз.
Ж.80°; 100°. Шешуі: ABCD- параллелограм: ∠B+∠D=1600; ∠B=∠D=800;∠A+∠C=1800−800=1000.
Теңдеуді шешіңіз: lgcosx = 1.
Шешуі:
{lgcosx=1cosx>0{cosx=10cosx>0±arccos10+2πk, k∈Z ∉ A.O.
Барлық мүшелері оң геометриялық прогресияның үшінші мен жетінші мүшелерінің көбейтіндісі 25-ке тең.b5+1b5мәнін табыңыз, мұндағы b5 - прогрессияның бесінші мүшесін табыңыз.
Шешуі: b3⋅b7=25; b5+1/b5−?b1q2⋅b1q6=25; b12q8=25; (b1q4)2=52;b5=b1q4=5; 5+1/5=6/5.
Өрнекті ықшамдаңыз:sin(0,5π+x)+cos(π−3x)1−cos(−2x) ж. 2cos x
Шешуі: cosx−cos3x/1−cos2x=−2sin2xsin(−x)/2sin2x=2cosx.
ABCDA1B1C1D1 кубы берілген. AC1 түзуі мен ABCD жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.
AC=a2;AC1=a3;sin(∠C1AC)=13;∠C1AC=arcsin13.
Жұп функцияны анықтаңыз.
Шешуі: y(−x)=(−x)SQR2/3+(−x)SQR2=xSQR2/3+x2.
Теңдеуді шешіңіз: x5–x4–2x3+2x2–3x+3=0
Шешуі:
x4(x−1)−2x2(x−1)−3(x−1)=0(x−1)(x4−2x2−3)=0x1=1;x4−2x2−3=0, x2=b;b2−2b−3=0b1=3; b2=−1x2=3; x2,3=±3;x2≠−1.
теңдеудің шешімін табыңыз. 10.
x+1−SQR5+2x−x2 теңдеудің шешімін табыңыз.
Шешуі: (x+1)2=SQR(5+2x−x2)2
x2+2x+1=5+2x−x2
2x2=4
x2=2
18
