1.
В треугольной пирамиде SMEF все ребра равны 4 см.Найдите периметр сечения, проведенного параллельно ребру MF и проходящего через точки Е и Р, где Р – середина SF.
а) 37(
б) 2(
в) 2(
г) 3(
2.
∆ АСД – равносторонний. Точка S удалена от вершин ∆ АСД на 6 см, а от плоскости ∆ АСД на 3 см. Найдите сторону ∆ АСД
а) в)
б) 9 г)
3.
АВСДА1В1С1Д1 – куб, ребро которого равно см. Найдите расстояние между прямыми СС1 и ДВ1.
а) 6 в)
б) 4 г)
4.
Угол между плоскостями равнобедренного ∆ АВС и ромба АВМК равен 30. Найдите длину отрезка СК, если АС = ВС = 10 см, АВ = 12 см, ∠ АВМ = 120.
а) в)
б) г)
5.
АВСДА1В1С1D1 – куб, = , = , = . Точка К – середина СС1, точка Р – середина AD. Разложите вектор по векторам , , .
а)
б)
в)
г)
6.
Стороны основания прямого параллелепипеда 2 см и 4 см, а синус угла между ними равен . Найдите угол, который образует меньшая диагональ параллелепипеда с основанием, если ее длина равна см.
а)
б) 30
в) 60
г) 45
7.
Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее ребра по см, а стороны основания равны 5 см, 6 см и 5 см.
а) 0,75 в)
б) г)
8.
Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональное сечение – равносторонний треугольник, площадь которого равна см2.
а) в)
б) г)
9.
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 8 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен 30. Найдите площадь боковой поверхности данной усеченной пирамиды.
а) 48 в) 24
б) г) 12.
10.
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМ проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна , а боковое ребро –
а) в)
б) г)
Вариант третий
а) 16 ,5 в) 18 б) 17,75 г)18
2.
Плоскости треугольника АВC и ромба ABMN перпендикулярны, причем ∠ АCВ = 90, ∠ АВM = 150, АC = 4 см и ВC = 2 см. Найдите расстояние от точки C до прямой MN.
а) в)
б) г)
3.
Треугольник MKP – прямоугольный, ∠K = 90. Точка A, лежащая вне плоскости треугольника, равноудалена от сторон треугольника на 8 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости МКР, если МР = 13 см и КР = 12 см.
а) 6 в) 2
б) г)
4.
Плоскость β проходит через сторону MN треугольника MKN. Сторона KN образует с плоскостью β угол 30 Найдите синус угла между плоскостями β и MKN, если MK = 12 см, KN =13 см, MN = 5 см.
а) 0,7; б) ; в) ; г) .
5.
Треугольник АВС – равнобедренный, а АCDE – ромб, ∠АВС = 90,∠САЕ = 45. Найдите косинус угла между плоскостями ∆ АВС и ромбом, если расстояние от точки В до прямой DE равно см и АВ = 8 см.
а) ; в) ; б) ; г) .
6.
ABCDA1B1C1D1 – куб. Найдите вектор, равный - +
а) в) ; б) ; г)
7.
ABCA1B1C1 – наклонная призма. Двугранный угол при ребре АА1 равен 90. Расстояние от ребра АА1 до ребер ВВ1 и СС1 равны соответственно 4 см и 3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна см и боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60.
а) 96 в) 288
б) г)
8.
ABCDA1B1C1D1 – куб. K – середина AD. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки C, В1 и K,если ребро куба равно 12 см.
а) 162 в)
б)144 г) 96
9.
Основание пирамиды – ромб, один из углов которого равен 60. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 30. Найдите площадь основания пирамиды, если ее высота равна 6 см.
а) в)
б) г) 320
10.
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 см и 8 см. угол между плоскостями боковой грани и основания равен 30. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
а) 48 в) 24
б) г)
Вариант второй
Вариант первый
1.
Отрезок АВ не пересекает плоскость α, а точка С делит его в отношении 2:3, считая от точки А. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α соответственно в точках А1, В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если АА1 = 5 см, а ВВ1 = 8 см.
а) 6 см; в) 6 см;
б) 6,4 см; г) 6,2 см.
2.
Плоскости треугольника АВК и ромба ABCD перпендикулярны, причем ∠ АВК = 90, ∠ АВС = 135, АК = 12 см и ВК = 8 см. Найдите расстояние от точки К до прямой CD.
а) 8 в) 4
б) г)
3.
Треугольник АВС – прямоугольный, ∠С = 90. Точка D, лежащая вне плоскости треугольника, равноудалена от вершин треугольника АВС на 8 см. Найдите расстояние от точки Dдо плоскости АВС, если АС = 12 см и ∠ВАС = 30.
а) 5 в) 4
б) г)
4.
Плоскость α проходит через сторону AD треугольника ABD. Сторона АВ образует с плоскостью α угол 30 Найдите синус угла между плоскостями α и ABD, если AD = 3 см, АВ = 5 см, BD = 4 см.
а) ; в) ; б) ; г) .
5.
Треугольник АВС – равносторонний со стороной 8 см, а BCDE – параллелограмм, ∠СВЕ = 60, CD = 10 см. Найдите косинус угла между плоскостями ∆ АВС и параллелограммом BCDE, если расстояние от точки А до прямой DE равно см.
а) ; в) ; б) ; г) .
6.
ABCDA1B1C1D1 – куб. Найдите вектор, равный + -
а) б) в)
г) правильного ответа нет
7.
ABCDA1B1C1D1 – наклонная призма. Двугранный угол при ребре ВВ1 равен 60, а расстояния от ребра ВВ1 до ребра АА1 и СС1 равны 1 см и 2 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна 0,5 см, а боковое ребро образует с основанием угол 30.
а) 6 в)
б) г)
8.
ABCDA1B1C1D1 – куб. М – середина CD. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки А, В1 и М,если ребро куба равно 8 см.
а) 48 в) 64
б)64 г) 72
9.
Основание пирамиды – ромб, каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 60. Найдите площадь основания пирамиды, если высота пирамиды 9 см, а один из углов ромба 45.
а) 120 в) 64 б) 72 г) 108
10.
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 6 см и 12 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен 30. Найдите площадь боковой поверхности данной усеченной пирамиды.
а) 36 в) 54 б) 36 г) 48
Вариант четвертый
1.
ABCDA1B1C1D1 – куб. Точка Е – середина CD, F делит ребро AD в отношении 1:3, считая от точки D. В каком отношении делит ребро АА1( считая от точки А) плоскость, проходящая через точки В1, Е и F?
а) 1 : 2 в) 2 : 3
б) 2 : 1 г) 3 : 2
2.
АВСD – квадрат с периметром, равным 16. Точка Е удалена от всех сторон квадрата на 4 см. Найдите расстояние от точки Е до плоскости АВС.
а) в)
б) г) 2
3.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 20 см. Найдите расстояние между прямыми CD и ВС1.
а) 10 в) 20
б) 10 г)
4.
ЕМС – равносторонний треугольник. Через сторону МС проведена плоскость β под углом 30 к плоскости β. Найдите сторону МС, если площадь ∆ ЕМС равна 18 см2.
а) 6 в) 4
б) 4 г) 6
5.
В тетраэдре DABC точка М – пересечение медиан грани АСD, а К – середина АВ. Разложите вектор по векторам , и .
а) +-
б)++
в)+
г)+ -
6.
Площади двух диагональных сечений прямого параллелепипеда равны 16 см2 и 27 см2. Основанием параллелепипеда является ромб, площадь которого равна 24 см2. Найдите длину бокового ребра параллелепипеда.
а) в) 2
б) 2 г) 3
7.
Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой. Найдите косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания.
а) в)
б) г)
8.
Основание пирамиды – ромб, один из углов которого 60. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 30. Найдите площадь основания пирамиды, если высота пирамиды равна 6 см.
а) 256 в)240
б)288 г)320
9.
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды 6 см и 8 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60.
а) 9 в) 14
б)15 г) 14
10.
Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АВС, катеты которого АС = 8см, ВС = 6 см, высота пирамиды равна г) 3. Двугранные углы при основании пирамиды равны между собой. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
а) 108
б) 208
в) 56
г) 112
