Элективный курс
« Исследование квадратного трёхчлена»
Пояснительная записка
Математическое образование в системе общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, её возможностями в развитии и формировании мышления человека, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
Актуальным остаётся вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой стороны – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к математике.
Программа курса «Исследование квадратного трёхчлена» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы, но часто встречаются в экзаменационных заданиях. Рассматриваемая тема позволяет сделать достаточно полный обзор не только изучаемых в школьном курсе формул корней уравнения [pic] и формул Виета, выражающих зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, но и теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой. Практическая часть составлена из заданий с параметрами, что будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.
Целями данного курса являются:
Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.
Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщение умственных умений.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:
Выделение логических приёмов мышления и способствование их осмыслению, развитие образного и ассоциативного мышления.
Обеспечение диалогичности процесса обучения.
Курс предназначен для учащихся 9 классов и рассчитан на 8,5 часов аудиторного времени.
Курс призван помочь учащимся в овладении навыком решения заданий с параметрами, повысить уровень общей математической культуры, оценить потенциал для дальнейшего обучения в профильной школе.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
Свободно оперировать аппаратом алгебры при решении задач на исследование квадратного трёхчлена.
Применять формулы корней квадратного трёхчлена, теорему Виета и теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой для решения заданий с параметрами.
Тематическое планирование
лекции
практические
1
Теорема Виета
1
2
2
Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой
1
2
3
Задания на определение количества корней квадратного трёхчлена
–
2
4
Выходной контроль
–
0,5
Исследование квадратного трёхчлена
Теорема Виета
Между корнями [pic] и [pic] [pic] квадратного трёхчлена [pic] и коэффициентами существуют соотношения:
[pic] ; [pic]
При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.
Теорема 1. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
[pic] [pic] [pic] > [pic]
при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:
[pic] > [pic]
и оба корня будут отрицательными, если
[pic] < [pic]
Теорема 2. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения следующих соотношений:
[pic] [pic] > [pic] [pic] < [pic]
при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если
[pic] > [pic]
если же
[pic] < [pic]
то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.
Задания для самостоятельного решения
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет два различных положительных корня?
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет корни разных знаков?
При каком значении [pic] сумма квадратов корней уравнения
[pic]
минимальна?
При каком значении [pic] сумма квадратов корней уравнения
[pic]
минимальна?
При каком значении [pic] корни уравнения
[pic]
таковы, что сумма их квадратов равна [pic] ?
При каком значении [pic] сумма квадратов корней уравнения
[pic]
минимальна?
При каких значениях [pic] произведение корней квадратного уравнения
[pic]
равно нулю?
При каких значениях [pic] сумма корней квадратного уравнения
[pic]
равна нулю?
В уравнении [pic] сумма квадратов корней равна 16. Найдите [pic] .
В уравнении [pic] [pic] квадрат разности корней равен 16. Найдите [pic] .
При каких значениях [pic] сумма корней уравнения
[pic]
равна сумме квадратов его корней?
При каком значении параметра [pic] сумма квадратов корней уравнения
[pic]
наибольшая?
При каких значениях [pic] и [pic] корни уравнения
[pic]
равны [pic] и [pic]
При каких значениях параметра [pic] один из корней квадратного уравнения
[pic]
в два раза больше другого?
Известно, что корни уравнения
[pic]
на 1 меньше корней уравнения
[pic] .
Найдите [pic] и корни каждого из уравнений.
Известно, что корни уравнения
[pic]
равны соответственно квадратам корней уравнения
[pic] .
Найдите [pic] и [pic] , и корни каждого из уравнений.
Ответы
№ 1. [pic] < [pic]
№ 2. [pic] < [pic] и [pic] > [pic]
№ 3. [pic] .
№ 4. [pic]
№ 5. [pic]
№ 6. [pic]
№ 7. 3;4.
№ 8. 1.
№ 9. 0.
№ 10. – 3.
№ 11. [pic]
№ 12. – 1.
№ 13. [pic] или [pic]
№ 14. [pic]
№ 15. [pic] 2 и 3 – корни первого уравнения, 3 и 4 – корни второго уравнения.
№ 16. [pic] корни первого уравнения равны 2; 3, корни второго уравнения равны 4; 9, или [pic] корни первого уравнения равны – 2; – 3, корни второго уравнения равны 4; 9.
Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой
Пусть квадратный трёхчлен [pic] имеет корни [pic] и [pic] , а [pic] — некоторое действительное число. Во всех нижеперечисленных соотношениях [pic] представляет собой выражение [pic]
Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше, чем число [pic] , т.е. лежали на координатной прямой левее точки [pic] , необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
[pic] [pic]
[pic]
Теорема 2. Чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число [pic] , а другой больше числа [pic] , т.е. точка [pic] лежала бы между корнями, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
[pic] [pic]
[pic]
Теорема 3. Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем число [pic] ,т.е. лежали на координатной прямой правее, чем точка [pic] , необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
[pic] [pic]
[pic]
[pic] Следствие 1. Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше,
чем число М, но меньше, чем число А (М < А), т.е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно:
[pic] [pic]
[pic]
Следствие 2. Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале между М и А (М < А), необходимо и достаточно:
[pic] [pic]
При этом меньший корень лежит вне отрезка МА.
[pic]
Следствие 3. Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале между М и А (М < А), необходимо и достаточно:
[pic] [pic]
При этом больший корень лежит вне отрезка МА.
[pic]
Следствие 4. Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М < А), т.е. отрезок МА целиком лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно:
[pic] [pic]
[pic]
Задания для самостоятельного решения
При каких значениях [pic] оба корня квадратного трёхчлена
[pic]
больше [pic] ?
При каких значениях [pic] оба корня квадратного уравнения
[pic]
больше 3?
При каких значениях [pic] оба корня квадратного уравнения
[pic]
меньше – 1?
При каких значениях [pic] оба корня квадратного уравнения
[pic]
больше 1?
При каких значениях [pic] один из корней квадратного уравнения
[pic]
больше 1, а другой меньше 1?
При каких значениях [pic] оба корня квадратного уравнения
[pic]
по абсолютной величине меньше 1?
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет один корень больше 3, а другой меньше 2?
При каких значениях [pic] корни уравнения
[pic]
принадлежат промежутку [pic] ?
При каких значениях [pic] корни уравнения
[pic]
принадлежат промежутку [pic] ?
При каких значениях [pic] один корень квадратного уравнения
[pic]
больше [pic] а другой меньше [pic]
При каких значениях [pic] число [pic] находится между корнями квадратного трёхчлена
[pic] ?
Ответы
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] и [pic]
Задания на определение количества корней квадратного трёхчлена
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет единственное решение?
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет единственное решение?
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет более одного корня?
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет корни? Приведите пример положительного значения [pic]
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения [pic]
Найдите все целые значения [pic] , при которых уравнение
[pic]
имеет два корня?
Найдите все целые значения [pic] , при которых уравнение
[pic]
имеет два корня?
При каком значении [pic] уравнение
[pic]
имеет два корня? Найдите эти корни.
При каком значении [pic] уравнение
[pic]
имеет два корня? Найдите эти корни.
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет корни?
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет корни?
При каких значениях параметра [pic] корни уравнения
[pic]
равны по модулю?
Найдите наибольшее целое значение [pic] , при котором уравнение
[pic]
не имеет действительных корней.
Найдите наименьшее целое значение [pic] при котором уравнение
[pic]
имеет два различных корня.
При каком значении [pic] уравнение
[pic]
имеет один корень?
При каком значении [pic] уравнение
[pic]
имеет один корень?
При каких значениях [pic] уравнение
[pic]
имеет более двух корней?
Ответы
[pic]
[pic]
[pic] .
[pic]
