5-6 класс
Задача 1: В жилеточном магазине меняют клетчатую жилетку на полосатую, а полосатую — на клетчатую. Однажды Остап Бендер купил 10 клетчатых и 15 полосатых жилеток. После этого он несколько раз приходил в магазин, менял три какие-то свои жилетки и покупал одну новую. Мог ли он такими своими действиями добиться, чтобы у него стало 30 клетчатых и 30 полосатых жилеток?
Задача 2: На доске написано двузначное число, а Петя, Вася и Коля пытаются поделить это число.
Петя: это число делится без остатка на 8, на 3 и на 5.
Вася: это число делится без остатка на 3, на 7 и на 8.
Коля: это число делится без остатка на 7, на 5 и на 8.
Известно, что каждый мальчик два раза ошибся и один раз сосчитал верно. Выясните, каким могло быть это число. (Приведите все варианты и объясните, почему других нет.)
Задача 3: На детском празднике в качестве призов выдали 10 апельсинов, 20 яблок и 30 бананов, причем каждый ребенок получил хотя бы один фрукт. При этом ровно 2 человека выиграли одновременно и апельсин, и яблоко, 3 человека — и апельсин, и банан, 4 человека — и яблоко, и банан. Могло ли в празднике участвовать 55 детей?
Задача 4: На доске выписали все семизначные числа, запись которых не меняется, если каждую цифру этого числа перевернуть «вверх ногами». (Запись цифр и их «перевернутый» вид показаны на рисунке.) Сколько среди этих чисел делящихся на 4?
Задача 5: Однажды рыбак поймал несколько окуней общим весом 100 кг. Оказалось, что вес трех самых больших окуней — 35 кг, а вес трех самых маленьких — 25 кг. Сколько окуней поймал рыбак? Обоснуйте свой ответ. (У всех рыб разный вес, кроме того, рыба может весить и не целое число килограммов.)
Задача 6: У Саши есть мешок конфет. Время от времени к нему подходит Петя и добавляет в мешок столько же конфет, сколько в нем уже есть. Иногда подходит Коля и добавляет в мешок в два раза меньше конфет, чем лежит в мешке. У Коли нет ножа, поэтому он подходит к Саше только в том случае, если количество конфет в мешке делится на 2 без остатка. Может ли у Саши оказаться 386 × 486 конфет, если изначально у него было всего 386 конфет?
Задача 7: На досуге кот Матроскин к каждому трёхзначному числу прибавляет число (не обязательно трехзначное), записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. Если результат сложения оказывается трехзначным, Матроскин записывает этот результат на листочек. Какие трёхзначные числа встречаются на его листочке чаще всего и сколько раз они написаны?
7-8 класс
Задача 1: Можно ли в таблице 4 × 4 закрасить несколько клеток так, что с какой стороны ни посмотри, ряды, в которых все клетки закрашены, чередуются с рядами, где закрашены три клетки?
Задача 2: На доске написано число, а Саша, Миша и Дима придумывают про него задачки.
Саша: это число при делении на 4, 5 и 6 дает остаток 3.
Миша: это число записывается при помощи трёх подряд идущих цифр.
Дима: одна из цифр этого числа равна разности двух других.
Найдите данное число. (Приведите все варианты и докажите, что других нет.)
Задача 3: По кольцевой дороге (в одном направлении) с равными скоростями и равными интервалами курсируют 12 трамваев. Сколько трамваев нужно добавить, чтобы при той же скорости интервалы между трамваями уменьшились на двадцать процентов?
Задача 4: Однажды рыбак поймал несколько окуней общим весом 100 кг. Оказалось, что вес трех самых больших окуней — 35 кг, а вес трех самых маленьких — 25 кг. Сколько окуней поймал рыбак? Объясните, что Вы привели все варианты. (У всех рыб разный вес, кроме того, рыба может весить и не целое число килограммов.)
Задача 5: У Саши есть мешок конфет. Время от времени к нему подходит Петя и добавляет в мешок столько же конфет, сколько в нем уже есть. Иногда подходит Коля и добавляет в мешок в два раза меньше конфет, чем лежит в мешке. У Коли нет ножа, поэтому он подходит к Саше только в том случае, если количество конфет в мешке делится на 2 без остатка. Может ли у Саши оказаться 359 × 243 конфет, если изначально у него было всего 64 × 359 конфет?
Задача 6: На досуге кот Матроскин для каждого трёхзначного числа выписал на листочке результат сложения этого числа с числом, записываемом теми же цифрами, но в обратном порядке. Какие числа встречаются на его листочке чаще всего и сколько раз они написаны?
Задача 7: Директор детского сада очень любит издавать приказы (каждый приказ состоит из нескольких распоряжений). Однако его приказы очень плохо выполняются, и распоряжения приходится повторять…В конце года выяснилось, что за год было издано ровно 100 приказов, однако, чтобы знать все распоряжения, достаточно прочесть любые 50 из них. Всего распоряжений меньше 100. Докажите, что найдутся 49 приказов, в которых содержатся все распоряжения.
8-9 класс
Задача 1: а) На доске нарисовали прямоугольную таблицу, и в каждой ее клетке поставили знак « + » или знак « – ».
б) Могут ли в такой таблице, с какой стороны ни посмотри, ряды, где стоит 4 « + » и 0 « – », идти через один с рядами, где стоит 3 « + » и 1 « – »?
в) Каких размеров может быть таблица, если, с какой стороны ни посмотри, ряды, в которых стоит 4 « + », и ряды, где стоит 3 « + », чередуются? (Минусов может быть произвольное количество.)
г) Могут ли в таблице 1001 × 1001, с какой стороны ни посмотри, ряды, в которых стоит 4 « + », идти через один с рядами, где стоит 3 « – »?
Задача 2:
На лист бумаги положили картонный квадрат. Хулиган проткнул квадрат иголкой (прикрепив его к бумаге). После этого повернул квадрат вокруг иглы, нарисовав на бумаге путь каждой из вершин квадрата, а затем сам квадрат выкинул.
Примечание: Если взять за вершину точку на одной окружности, и повернуть относительно неё на 90 окружность, получающуюся из соседней вершины, то точка пересечения получившейся окружности с другой «соседней» окружностью (получившейся из второй соседней вершины) будет как раз другой вершиной соответствующего квадрата.
а) Сколько окружностей может быть нарисовано?
б) Верно ли, что можно по картинке восстановить, какие две из четырех окружностей соответствуют вершинам квадрата, расположенным по диагонали?
в) Из четырех окружностей стерли одну. Какое максимальное количество вариантов дорисовать четвертую окружность, чтобы получившиеся окружности могли получиться вращением вершин квадрата?
г) Сколько различных квадратов (не получающихся друг из друга поворотом относительно центра окружностей) могли дать в результате вращения данные окружности?
Задача 3: На складе, где есть n мест для ящиков, установили робота. Для того чтобы робот работал (а он приспособлен только для перестановки ящиков), ему должны составить программу – последовательность команд. Каждая команда соответствует определённому способу переставлять ящики (например: переставить ящик с места 1 на место n, с места 2 на место (n – 1), …, с места n на место 1 – то есть «расставить в обратном порядке».) Не важно, сколько в программе команд, но необходимо, чтобы для любого желаемого порядка ящиков можно было составить программу.
а) На одном складе только 5 ящиков, а у робота — 4 команды, переставляющие первый ящик с всевозможными остальными. Достаточно ли этих команд?
б) Для каких значений n существует удовлетворяющий условиям набор из всего одной команды? (Любая программа тогда – эта команда, повторённая несколько раз.)
в) При каких n существует удовлетворяющий условиям набор из всего двух различных команд? (На количество переставляемых одной командой ящиков ограничений нет.)
г) Оказалось, что некий набор различных команд удовлетворяет условиям, то есть можно составить программу для любой перестановки n ящиков, используя только эти команды. При этом каждая команда переставляет только два ящика. Какое наименьшее количество команд может быть в наборе?
10-11 класс
Задача 1: Директор детского сада очень любит издавать приказы (каждый приказ состоит из нескольких распоряжений). Однако его приказы очень плохо выполняются и распоряжения приходится повторять…В конце года выяснилось, что за год было издано ровно 100 приказов, однако, чтобы знать все распоряжения, достаточно прочесть любые 50 из них.
а) Покажите, что может оказаться так, что никакие 49 приказов не дают полного представления о распоряжениях директора.
б) Докажите, что если распоряжений меньше 100, то найдутся 49 приказов, в которых содержатся все распоряжения.
в) Найдите наименьшее возможное количество распоряжений, если известно, что таких 49 приказов нет.
Задача 2: а) Вася нарисовал график функции, определенной для всех чисел. Это оказалась кривая без разрывов. Он обнаружил, что если повернуть его на 180 так, чтобы оси OX и OY перешли в себя (изменив свое направление), график останется прежним. Докажите, что у этой функции есть корень.
б) В другой раз Вася не изобразил на графике оси и опять повернул его также на 180 . График остался таким же. Известно, что функция принимает значения большие произвольного наперед заданного числа. Докажите, что эта функция тоже имеет корень.
в) Теперь Вася нарисовал график третьей функции с осями координат на кальке и перевернул его на другую сторону, оставив на месте ось OY. И на этот раз график остался прежним. Сколько корней может иметь эта функция?
Задача 3:
На лист бумаги положили картонный квадрат. Хулиган проткнул квадрат иголкой (прикрепив его к бумаге). После этого повернул квадрат вокруг иглы, нарисовав на бумаге путь каждой из вершин квадрата, а затем сам квадрат выкинул.
Примечание: Если взять за вершину точку на одной окружности, и повернуть относительно неё на 90 окружность, получающуюся из соседней вершины, то точка пересечения получившейся окружности с другой «соседней» окружностью (получившейся из второй соседней вершины) будет как раз другой вершиной соответствующего квадрата.
а) Сколько окружностей может быть нарисовано?
б) Верно ли, что можно по картинке восстановить, какие две из четырех окружностей соответствуют вершинам квадрата, расположенным по диагонали?
в) Из четырех окружностей стерли одну. Какое максимальное количество вариантов дорисовать четвертую окружность, чтобы получившиеся окружности могли получиться вращением вершин квадрата?
г) Сколько различных квадратов (не получающихся друг из друга поворотом относительно центра окружностей) могли дать в результате вращения данные окружности?
