Факультативное занятие
в 11 классе.
Тема «Решение задач с параметрами»
Учитель математики
СОШ №1
Вакажева А. Х.
а. Кошехабль
Решение задач с параметрами.
План факультативного занятия.
Тема. Задачи с параметрами.
Ход занятия.
Объяснение материала.
Можно начать с рассмотрения следующих примеров:
прямая пропорциональность: у = kх (х и у переменные, k – параметр, k [pic] ;
линейная функция: у = kх + b (x и y – переменные, k и b –параметры);
уравнение первой степени: ах + b + c = 0 (х – переменная, a, b,c–параметры, а [pic] );
квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 (x – переменная,a,b и c – параметры, a [pic] .
В школьном курсе рассматриваются такие задачи как поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.
При решении задач с параметрами необходимо усвоить следующее: параметр будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во–первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом; во–вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, – это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.
Рассмотрим примеры
Сравнить : –а и 3а
Решение.
Если а < 0, то –а > 3а;
Если а=0, то –а=3а;
Если а>0, то –а<3а;
2.Решить уравнение ах = 1.
Решение.
На первый взгляд кажется возможным сразу дать ответ х = [pic] . Однако при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
Если а = 0, то нет решений;
Если а [pic] 0, то х = [pic] .
3.Решить уравнение (а2 – 1)х = а + 1.
Решение.
При решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:
а) а = 1; тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;
б) а = –1; получаем 0х = 0, и очевидно х – любое;
в) а [pic] [pic] 1; имеем х = [pic] .
5.Решить неравенство [pic] .
Решение.
Ясно, что при а [pic] 0 правая часть неравенства отрицательна, и тогда при любом х левая часть больше правой. В случае, когда а = 0, важно не упустить, что исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме х = 3.
Ответ. Если а [pic] 0, то х –любое; если а = 0, то х<–3 или х>3.
II. Решить самостоятельно уравнение(с последующим разбором)
а) [pic] .
Решение.
Это уравнение равносильно системе: [pic]
При а [pic] второе уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х -= 1. Если же а = 0, то из второго уравнения получаем х – любое. Следовательно, в это случае система имеет два решения х = 1 или х = –1.
Ответ. Если а [pic] 0, то х = 1; если а = 0, то х = [pic]
б) Решить уравнение [pic] =0.
Решение.
х = а – единственное решение. Так как х [pic] 1, то а [pic] .
Ответ. Если а [pic] , то х = а; если а = 1, то решений нет.
в) Решить неравенство [pic]
Решение.
Данное уравнение равносильно системе:
[pic]
Отсюда х = а – корень исходного уравнения при а любом, а х = 1 – корень лишь при а [pic] 1.
Ответ. Если а<1, то х = а или х = 1;
Если а = 1, то х = 1; если а > 1, то х = а.
Итоги занятия.
