Я хочу предложить задачи логического типа при подготовки учеников 5 класса к олимпиаде по математике. Данный материал был отобран на основании задач, которые мы решали на уроках математики из учебника Мерзляк А.Г. из раздела « Мудрая Сова» .
Данные задачи можна использовать также во внеклассной работе.
Задача 1
В квадрате суммы чисел в каждой столице, в каждой строке и диагоналях должны бать одинаковыми. Найдите число,которое долино бать записано вместо звездочки.
- 10
*
9
13
14
Решение.
- 10
15
8
9
11
13
14
7
12
Вместо звездочки должно быть записано число 15.
Задача 2
В этом году день рождения отца был в воскресенье. В какой день недели праздновала свой день рождения мать, если она на 62 дня моложе отца?
Решение :
62-8*7= 62-56=6 дней
От воскресенья отсчитать 6 дней назад, получим понедельник.
Задача 3.
Укажите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 101.
Решение:
Пробуем подобрать как можно больше девяток к 101.
Получим 101 делим на 9 получаем 11( ост.2)
9*11=99
Что бы число получилось наименьшим ставим двойку в начало.
Получим: 299999999999
Задача 4:
Как расставить 16 учеников в три ряда, чтобы в каждом ряду их было поровну?
Решение:
Буквой «П».
Задача 5:
Вдоль забора растут восемь кустов малины. Количество ягод на соседних кустах отличается на одну. Може тли на всех кустах вместе расти 225 ягод?
Решение:
Так как количество ягод на соседних кустах отличаются на 1, то их сумма на всех кустах будет равно 1+2+3+4+5+7+6=8
225-28=197.
Задача 6:
Семь гномов собрали вместе 28 грибов. Причем все они собрали разное количество грибов и ни у кого не оказалось пустой корзинки. Сколько грибов собрал каждый гном?
Решение:
1 гном-1гриб
2 гногм- 2 гриба
3 гном- 3 гриба
4 гном- 4 гриба
5 гном- 5 грибрв
6 гном- 6 грибов
7 гном- 7 гриб
Всего: 28 грибов.
Задача 7:
Можно ли таблицу из пяти строк и шести столбцов заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел каждой строки была равна 30,а сумма чисел каждого столбца-20.
Решение:
- 4
6
4
6
4
6
6
4
6
4
6
4
4
6
4
6
4
6
6
4
6
4
6
4
Задача 8:
Во сколько паз путь по лестнице с первого этажа на десятый длинее, чем путь с первого этажа на второй?
Решение:
Путь на десятый этаж в 9 раз длинее, чем на второй. Следует заметить, что ступеньки начинаются лишь с первого этажа. Если путь с первого этажа на второй равняется х , то путь с первого этажа до десятого равняется 9 х.
Задача 9:
На озере начали распускаться кувшинки. Каждый день количество кувшинок возрастало вдвое. На двадцатый день кувшинками заросла вся поверхность озера. На какой день половина озера была покрыта кувшинками?
Решение:
На 19-ый день половина озера была покрыта кувшинками. Если на 20-ый день все озеро было покрыто кувшинками и известно, каждый день количество кувшинок увеличивалось в двое, тогда на 19-ый день ( перед двадцатым) кувшинок было вдвое меньше, чем на двадцатый тоесть половина всего озера.
Задача 10:
Лимоны одинаковой массы продают поштучно. Маса каждого лимона составляет целое количество граммов. Купили больше двух, но меньше семи лимонов. Маса все покупки составляет 850 г. Какова маса одного лимона?
Решение:
Если купили больше 2, но менше 7, то их было 5лимонов.
Тогда 850:5=170гр – весит каждый лимон.
Задача 11:
Как с помощью пятилитрового бидона и трехлитровой банки набрать на берегу реки 4 л воды?
Решение:
Набирае 5 л, выливаем в 3-х литровую банку, в бидон остается 2 литра воды,выливаем воду из банки и наливаем в нее 2 л из бидона;
Набираем из реки в бидон 5 л воды, отливаем в банку, где уже есть 2 л еще 1 л из бидона;
В бидон остается ровно 4 л.
Задача 12:
1.Сложить из десяти спичек три квадрата.
2. сложить из 19 спичек шесть квадратов.
3. Какие четыре спички надо убрать, чтобы остались четыре маленьких квадрата и один большой?
4. Какие четыре спички надо убрать , чтобы осталось пять равных квадратов?
Решение:
3 квадрата = 3 * 4 = 12 граней
Значит 2 грани должны быть общие у двух квадратов.
Отсюда вывод :
_______
| |
| |
----------------------
| | |
| | |
----------------------
[pic]
6*4 = 24 всего нужно спичек для отдельніх квадратов
24-19 =5 столько сторон должно граничить друг с другом
то есть, шесть квадратов рисуешь в ряд с граничащими сторонами
[pic]
Задача 13:
В 5 классе учатся трое друзей: Миша, Дима и Саша. Один из них занимается футболом, второй - плаванием, а третий- боксом. У футболиста не тни брата, ни сестры , он самый младший из друзей. Миша старше боксера и дружит с сестрой Димы. Каким видом спорта занимается каждый из друзей?
Решение:
Футболист самый младший, а Миша старше боксера.
Значит, Миша не футболист. У Димы есть сестра, а у футболиста нет.
Значит, Дима тоже не футболист. Тогда футболист Саша.
Миша старше боксера, значит, боксер Дима, а Миша пловец.
Задача 14:
На столе расположено семь зубчатых колес так, что первое сцепленно со вторым, второе – с третьим и т.д., а седьмое сцеплено с первым. Могут ли все колеса вращаться одновременно?
Решение:
Нет, они будут вращаться в разные стороны.
Задача 15:
Известно,что веревка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью:
1. Одной веревки отмерить 2 мин;
2. Двух таких веревок отмерить 3 мин.
Решение:
Поджечь веревку с двух сторон одновременно.Веревка сгорит за 2 мин.
Первую веревку поджечь одновременно с 2 стороны и одновременно вторую с одной стороны. Когда первая сгорит, поджечь вторую веревку со второй стороны.
Задача 16:
В очереди за билетами в цирк стояли Миша, Наташа, Петя, Дима и Маша.
Маша купила билет раньше, чем Миша, но позже, чем Наташа. Петя и Наташа не стояли рядом, а Дима не был рядом ни с Наташей, ни с Машей, ни с Петей. Кто за кем стоял в очереди?
Решение:
Наташа
Миша
Петя
Миша
Дима.
Задача 17:
Расстояние между городами А и В равно 30 км. Из города А в город В выехал велосипедист и двигался со скоростью 15 км/ч. Одновременно из города В в направлении города А вылетела птица со скоростью 30 км/ч. Встретившись с велосипедистом, птица развернулась и полетела назад. Прилетев в город В, она снова
Развернулась и полетела назад в город В и т.д. Сколько километров пролетела птица за то время, пока велосипедист ехал из города А в город В?
Решение:
30:15= 2 часа двигались велосипедист и птица
2. 30*2=60 км – пролетела птица.
Задача 18:
Как с помощью линейки измерить диагональ (отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани) кирпича, имея еще несколько таких кирпичей?
Решение:
Чтобы измерить диагональ кирпича надо сложить простую лесенку – 1 кирпич, рядом 2 кирпича. И приложить к верхнему (второму кирпичу) углу мерить до нижнего (первого лестница) противоположного угла. Так мы измерили диагональ (которая будет уходить как бы внутрь) кирпича.
Задача 19:
В записи первого трехзначного числа используются только цифры 2 и 3, а в записи второго - только цифры 3и 4.Может ли произведение этих чисел записывается только цифрами 2 и 4?
Решение:
Нет , например 233*344=80152.
Задача 20:
В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами та, что половина всех девочек сидит с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?
Решение:
Нет, нельзя потому что девочек в 2 раза больше. Тогда второй половине мальчиков
предется сидеть с девочками.
Задача 21:
К пяти разным замкам есть пять ключей,причем неизвестно ,какой ключ к какому замку подходят. Барон Мюнхаузен утверждает. Что можно не более чем за десять попыток подобрать ключ к каждому замку. Прав ли барон Мюнхаузен?
Решение:
Барон прав. Берем первый ключ и пробуем открыть им все замки,наибольшее количество попыток – 4. Второй замок – 3 попытки, третий замок – 2 попытки,
Четвертый замок – 1 попытка. Итого – 10 попыток
Задача 23:
Мартышка , Удав, Слоненок и Попугай съели вместе 70 бананов, причем каждый из них съел хотя бы один банан. Мартышка съела больше, чем кто- либо из них.
Попугай и Слоненок съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел удав?
Решение:
70-45=25- Мартышка и Удав, кто-то 22, а кто-то 23. Мартышка съела больше, то есть 24, а Удав – 1 банан.
В коробке лежало 4 белых, 5 черных и 6 красных шариков. Какое наименьшее количество шариков надо вынуть из коробки, чтобы среди них обязательно оказались:
3 шарика одного цвета;
Шарики всех трех цветов?
Решение:
Из первого ящика достали белый шарик, тоесть тут может быть БЧ или ББ. Из другого ящика достали черный шарик, тоесть тут может быть или БЧ, или ЧЧ,
или БЧ то же не может быть, т.к. на этикетке написано БЧ, а мы знаем, что это неправда. Тогда в другом ящике ЧЧ. Из третьего ящика достали или черный или белый. Если белый, то в нем может быть или ББ или БЧ ( если черный, то ЧЧ или БЧ), но на ящике написано ББ и это неправда, значит в третьем ящике БЧ, тогда в первом ББ.
Задача 22:
В 5 классе учатся 35 учеников. Сможет ли каждый ученик этого класса обменяться открытками с пятью своими одноклассниками?
Решение:
Нет, не смогут. Всего в обмене должно быть 35*5=175 открыток. Но в каждом обмене должно быть 2 открытки, т.е. четное число их должно быть.
Задача 24:
Ученики Федоров, Сидоров и Петров входили в сборную школы по шахматам. Имена этих учеников были Федор, Сидор и Петр. Известно , что фамилия Федора не петров, волосы у Сидора рыжего цвета и учится он в 6 классе; Петров учится в 7 классе, а волосы у Федорова черного цвета. Укажите фамилию и имя каждого мальчика.
Решение:
Федор Федоров
Сидор Сидоров
Петр Петров.
Задача 23:
Как поделить поровну 7 яблок между 12 друзьями, если каждое яблоко можно разрезать не более чем на 4 части?
Решение:
4 яблока разрежим на 3 части, получим 12 частей, раздадим каждому по 4 части , оставшиеся 3 яблока поделим на 4 частикаждое. Получим 12 частей, разделим каждому по 1 части.
Задача 25:
В пачке было 1000 конвертов. За какое наименьшее время почтальон сможет отложить 850 конвертов, если за 1 мин он отсчитывает 100 конвертов?
Решение:
1000-850-150 конвертов нужно убрать, тогда останется 850 конвертов.
За 1 мин – 100 конвертов, тогда 150 конвертов за 1,5 мин, т.е. 1мин 30с.
Задача 26:
Вася рассказал друзьям, что позавчера ему еще было 10 лет, а в следующем году ему исполниться 13. Как такое может быть?
Решение:
У него был День рождения 31 декабря.
Задача 27:
В 5 классе учатся 100 учеников. Из них 75 учеников изучают немецкий язык, 85 учеников – французский, а 10 учеников не изучают ни одного из этих языков. Сколько учеников изучают только французский язык, а сколько – только немецкий?
Решение:
100-10=90 - учеников изучают языки.
90-75=15 - учеников – только французский.
90-85=5 – учеников – только немецкий.
Задача 28:
Семь карандашей стоят дороже восьми тетрадей. Что стоит дороже: восемь карандашей или девять тетрадей?
Решение:
Так как 7 карандашей дороже 8 тетрадей, то 7+1=8 карандашей дороже, чем 8+1=9 тетрадей.
Задача 29:
В классе диктант по русскому языку писали 30 учеников. Петя Ленивцев сделал больше всех ошибок – 14. Покажите, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок ( в этом классе могли быть ученики, которые не сделали ни одной ошибки).
Решение:
Из оставшихся 29 учеников наибольшее количество ошибок могли сделать 13 учеников.
29:13=2,2,3.
Задача 30:
Для просмотров кинофильма в зрительном зале собрались ученики нескольких школ. Оказалось, что ученики одной из школ составляют 47% количества зрителей. Сколько всего зрителей было в зале, если в нем 280 мест и более половины мест было занято?
Решение:
Пусть в зале было х зрителей, тогда учеников « одной из школ» было 0,47х, а а остальных 0,53х. Так как занято больше половины, то значит больше 140 человек. Итак, нужно найти число из промежутка от 141 до 280, что бы числа 0,47х и 0,53х
Были целыми, это только число 200.
Ответ: В зале 200 человек.
