Методическое пособие по теме:
«Применение графического метода при решении задач с параметрами по материалам ГИА»
Цель работы: систематизация и обобщение у учащихся умений и навыков применения графического метода при решении задач с параметрами при подготовке к ОГЭ.
Задачи:
- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;
-развивающие: целеполагание, планирование своей деятельности в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся;
-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.
Такие задачи постоянно предлагаются при проведении Государственной итоговой аттестации, поэтому те школьники, которые хотят получить высокий результат должны уметь их решать. Поэтому начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.
Многие задания с параметром удобно решать, представив условие в графическом виде. Для этого нужно уметь строить графики уравнений и семейства кривых, зависящих от параметра.
Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:
№ Этапы решения задач
Формируемые УУД
-
Анализ условия(введение буквенных обозначений)
целеполагание;
выделение существенной информации;
формулирование задачи и прогнозирование способов решения;
аналогия;
классификация;
знакосимволические действия.
-
Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями
-
Составление модели(поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)
-
Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)
анализ и выявление существенной информации;
выведение следствий;
построение цепи рассуждений;
выдвижение и проверка гипотез;
преобразование модели.
-
Интерпретация модели(проверка и оценка решений, корней)
-
Исследование(обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)
анализ;
синтез;
поиск аналогов;
построение цепи рассуждений;
умение сжато передать содержание;
умение применять схемы, символы, модели;
создание способов решения проблем поискового, творческого характера.
-
Рефлексия
смыслообразование;
планирование;
контроль;
коррекция;
оценка;
волевая саморегуляция;
готовность к саморазвитию, к самообразованию;
умение ставить и формулировать для себя новые задачи;
развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.
Задания данного типа можно разделить на группы:
1) Уравнение прямой;
2) Функция ;
3) Парабола;
4) Кусочные функции.
Рассмотрим каждую группу на конкретных заданиях.
Уравнение прямой.
Уравнение прямой задаётся уравнением .
Если
[pic]
Если
[pic]
Если
, т.е.
, где - угловой коэффициент, - свободный коэффициент.
[pic]
[pic]
[pic]
Подготовительные задания.
1) Постройте прямую , если:
а)
б)
в)
2) Постройте прямую , если:
а)
б)
в)
3) Постройте прямую , если:
а)
б)
в)
4) Постройте прямую , если:
а)
б)
в)
5) Постройте прямую , если:
а)
б)
в)
Взаимное расположение прямых на плоскости. Системы линейных уравнений.
Параллельные прямые Пересекающиеся прямые
Совпадающие прямые
[pic]
[pic]
[pic]
Не имеют общих точек
Одна общая точка
Бесконечно много общих точек
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Геометрическое представление на плоскости - две прямые, где решение системы (; является общей точкой двух этих прямых.
Если
система имеет единственное решение
Если
система имеет бесконечное множество решений
Если
система не имеет решений
Задания с решениями.
№1. При каких значениях прямая
а) параллельна прямой
б) совпадает с этой прямой.
Решение.
а) Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны , а свободные коэффициенты не равны.
При прямые параллельны.
б) Прямые совпадают, если равны и угловые коэффициенты и свободные коэффициенты соответственно, т.е.
Эта система не имеет решений, поэтому прямые не могут совпадать.
Ответ: а) ; б) решений нет.
№2. Постройте график функции [pic] и найдите значения [pic] , при которых прямая [pic] имеет с ним ровно две общие точки.
Решение.
Раскрывая модули, получаем, что график функции совпадает с прямой [pic] при [pic] , совпадает с прямой [pic] при [pic] и совпадает с прямой [pic] при [pic] .
График изображен на рисунке. [pic]
Прямая [pic] имеет с графиком данной функции ровно две общие точки при [pic] и [pic] .
Ответ: [pic] .
№3. Постройте график функции [pic] и найдите все значения k, при которых прямая [pic] имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Решение.
Раскрывая модули, получаем, что при [pic] функция принимает вид [pic] при [pic] функция принимает вид [pic] а при [pic] функция принимает вид [pic]
График функции изображён на рисунке.
[pic]
Прямая [pic] имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку при [pic]
Ответ: [pic]
Решите самостоятельно.
1) Найдите , при котором прямая проходит через точку (2;1).
2) Найдите , при котором прямая проходит через точку (-3;5).
3) Постройте график функции [pic] и найдите значения [pic] , при которых прямая [pic] имеет с ним ровно две общие точки.
4) Постройте график функции [pic] и найдите все значения k, при которых прямая [pic] имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
График функции .
Область допустимых значений . Графиком функции является гипербола. Если , то её ветви расположены в 1 и 3 координатных четвертях; если , то её ветви расположены во 2 и 4 координатных четвертях.
Подготовительные задания.
1) Постройте график функции , если
а)
б)
в)
г)
д)
2) Постройте график функции , если
а)
б)
в)
г)
3) Постройте график функции , если
а)
б)
в)
г)
Задания с решениями.
№1. Найдите, при каких значениях параметра p уравнение имеет один корень?
Решение.
Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики и .
[pic]
множество графиков такого вида
Рассмотрим функцию . О.Д.З.:
- гипербола.
Графики имеют одну общую точку, если и если график не проходит через
точку A(2; .
[pic]
Найдём :
Значит исходное уравнение имеет один корень при и .
Ответ: , .
№2. Постройте график функции [pic] и определите, при каких значениях [pic] прямая [pic] имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
При [pic] имеем:
[pic]
Поэтому график заданной функции представляет собой гиперболу, с выколотой точкой (-0,5; -2). Прямая [pic] будет иметь с графиком одну общую точку, если пройдёт через выколотую точку. Тогда [pic] и уравнение прямой примет вид: [pic]
[pic]
Ответ:
№3. Постройте график функции [pic] и найдите все значение [pic] , при которых прямая [pic] имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Решение.
Найдем область определения функции:
[pic] .
Поскольку [pic] , получаем, что на области определения функция принимает вид [pic] .
График изображён на рисунке. [pic]
Прямая [pic] имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку при [pic] .
Ответ: [pic] .
Решите самостоятельно.
1) Постройте график функции и определите при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
2) Найти все значения параметра , при которых уравнение не имеет корней.
Парабола.
[pic]
Парабола получается из параболы смещением
на единиц вдоль оси : вправо - при , влево - при ;
на единиц вдоль оси : вверх - при , вниз - при .
В точке (- вершина параболы.
Парабола получается из графика растяжением в раз вдоль оси ординат .
Парабола получается из графика отражением относительно оси абсцисс .
Парабола имеет вершину в точке , где
Подготовительные задания.
1) Постройте график функции , если
а)
б)
в)
г)
2) Постройте график функции , если
а)
б)
в)
г)
3) Постройте график функции , если
а)
б)
в)
г)
Задания с решениями.
№1. При каком значении [pic] прямая [pic] имеет с параболой [pic] ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении [pic] .
Решение.
График функции изображён на рисунке. [pic]
Запишем условие общей точки: [pic]
Прямая [pic] будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: [pic] откуда [pic] Подставив значение параметра в уравнение, находим [pic]
Ответ: (-2;0).
№2. При каком значении р прямая [pic] имеет с параболой [pic] ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении [pic]
Решение.
Найдём абсциссы точек пересечения:
[pic]
Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.
[pic]
Подставив параметр [pic] в уравнение, найдём [pic] координату точки пересечения этих функций:
[pic]
Координата [pic] находится путём подстановки координаты [pic] в любое из уравнений, например, в первое:
[pic]
Теперь, зная [pic] можем построить графики обеих функций (см. рисунок).
[pic]
Ответ: (2; 0).
Решите самостоятельно.
1) При каком значении р прямая [pic] имеет с параболой [pic] ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении [pic]
2) При каких отрицательных значениях [pic] прямая [pic] имеет с параболой [pic] ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.
Кусочная функция.
Кусочно-заданная (кусочная) функция - это функция, заданная несколькими подфункциями, каждая из которых имеет свою область определения.
Подготовительные задания.
1) Постройте график функции , если
а)
б)
г)
2) Постройте график функции , если
а)
б)
в)
3) Постройте график функции , если
а)
б)
в) .
Задания с решениями.
№1. Постройте график функции [pic] и определите, при каких значениях параметра [pic] прямая [pic] имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
[pic] График функции изображён на рисунке.
Прямая [pic] будет иметь с графиком единственную общую точку при [pic]
Ответ: (−1;0].
Решите самостоятельно.
1) Постройте график функции [pic] и определите, при каких значениях параметра [pic] прямая [pic] имеет с графиком три общие точки.
2) Постройте график функции
[pic]
и определите, при каких значениях [pic] прямая [pic] имеет с графиком ровно две общие точки.
3) Постройте график функции [pic]
и определите, при каких значениях [pic] прямая [pic] будет иметь с графиком единственную общую точку.
