Олимпиадные задания по математике 10-11 класс.
При каких значениях параметра m уравнение [pic]
Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4 см, b = 5 см. Вычислите площадь треугольника.
Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?
Постройте эскиз графика функции: [pic] .
Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения [pic] положительны.
М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.
Критерии оценивания.
10 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
8 баллов – Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.
6 баллов – Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).
4 балла – Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.
2 балла – Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай.
0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Решение.
Задача №1
При каких значениях параметра m уравнение [pic]
[pic] ешение.
ОДЗ: х [pic]
1-й случай. Если 3m-2=0, то m = [pic] имеем m + 2 = [pic] +2 [pic] В этом случае в левой части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m = [pic] данное уравнение решений не имеет, то есть m = [pic]
2-й случай. 3m-2 [pic] . Тогда х2 = [pic] Так как х≠0, то полученное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда [pic] Решая это неравенство, получим -2 [pic] m [pic] .
Так как в первом случае показано, что m = [pic] , также удовлетворяет условию задачи, то получим [pic]
Ответ: m∈ [-2; [pic] ].
Задача №2.
И
AF
з вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, которая разделила противоположный катет на отрезки а = 4см, b = 5см. Вычислите площадь треугольника. Р [pic] [pic] ешение. [pic] прямой
см, DB = 5см.
Катет СB = 4 + 5 = 9 [pic] . Используя свойство
биссектрисы угла треугольника:
[pic]
[pic] теореме Пифагора AC 2 + CB2 = AB2 ;
A
C
D
B
C2 + 81 = [pic] AC2 ; 16AC2 + 16 [pic] 81 = 25AC2 ; 16 ∙ 81= 9 AC2 ; AC = [pic] = 12 [pic] .
SABC = [pic] AC [pic] CB = [pic] [pic] .
Ответ: 54см2
Задача №3
Путь из села в город таков: сначала 15км в гору, потом 6км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1ч, обратно 2,5ч. Какова скорость велосипедиста в гору и с горы?
Решение.
Пусть в гору велосипедист ехал со скоростью х км/ч, а с горы - у км/ч. Больше времени заняла дорога с большим подъемом, поэтому [pic] + [pic] и b = [pic] и решим систему уравнений: [pic] Она имеет единственное решение
a = [pic] , b = [pic] . Откуда х = 6, у= 10. Это означает, что скорость велосипедиста в гору 6 км/ч, а с горы 10 км/ч.
Ответ: 6 км/ч, 10 км/ч.
Задача 4. Постройте эскиз графика функции: [pic] .
Решение. [pic]
Отсюда график:
[pic]
Задача 5. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения [pic] положительны.
Решение. Если (а+1)=0, то уравнение будет линейным, и его корнем приа=-1 является х=1. Подходит.
Если а?-1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется
[pic] .
С учетом первого случая получаем ответ [pic] .
Ответ [pic]
Задача 6. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс [pic] . Отсюда [pic] . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.
Ответ. Хватит.
Задача №7
В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.
Р
C
ешение. О [pic] [pic] [pic]
B
– центр описанной окружности, М [pic] [pic] [pic]
M
[pic] – центр вписанной окружности, А [pic]
D
D
В = ВС = 5, АС = 8, МD = r, ВО = R. Найдем площадь и периметр данного
O
треугольника. SABC = [pic] AC [pic] BD;
A
BD = [pic] = 3 , SABC = [pic] [pic] = 12 p = [pic] 1 [pic] .
R = [pic] = [pic] ;
OM = OB [pic] + DM = R [pic] BD + r = [pic]
Ответ: [pic] ; R = 4 [pic] OM = 2,5.
