Задачи к зачету по перпендикулярности в пространстве.
1.КА-перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Известно, что КВ ⊥ВС. Докажите:
а) что треугольник АВС—прямоугольный.
б) перпендикулярность плоскостей КАС и АВС.
в) Найдите КА, если АС=13см, ВС=5см, ∠КВС=45°.
2.Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α.
Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АВ=20см, АС=24см, а двугранный угол между плоскостями АВС и α равен 30°
3.Из точки А к плоскости α проведены наклонные АВ АС, образующие с плоскостью α равные углы. Известно, что ВС=АВ. Найдите углы треугольника АВС.
4.КА— перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. М—середина стороны ВС. Известно, что КМ⊥ВС.
а) Докажите, что треугольника АВС—равнобедренный.
б) Докажите перпендикулярность плоскостей КВС и КАМ.
в) Найдите площадь треугольника АВС, если ∠ВКС=60°, ВС=6см, КА=3см.
5. Точка S удалена от каждой из вершин правильного треугольника АВС. На SАВС, если АВ=6см.
6.Прямая АВ—ребро двугранного угла, равного 90°. Прямые Аи В принадлежат разным граням двугранного угла и перпендикулярны к прямой АВ. Докажите, что А⊥В
6. Точка О лежит на биссектрисе угла АВС, равного 60°. DО—перпендикуляр к плоскости АВС.
а) Докажите, что точка D равноудалена от сторон угла АВС
б) Пусть DА и т DС—расстояние от точки D до сторон угла. Докажите перпендикулярность плоскостей DАС и DОВ.
