ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
В програмі на тему «Числові послідовності» виділено 11 годин. Уроки, розробки яких запропоновано, є заключними з теми.
Їх метою є: - закріпити вміння і навички розв’язування вправ на прогресії;
- вчити учнів застосовувати методи аналізу (дослідження умови задачі, вибір необхідної формули) та синтезу ( вміння об’єднати обрані елементи в єдине - розв’язок) в математиці;
- сприяти розвитку навичок творчого мислення, критичного мислення, вміння задавати питання, формулювати проблему, шукати шляхи її розв’язання, робити висновки;
- створити умови для формуванню позитивного інтересу до предмету, добросовісного відношення до виконання завдань, навичок роботи в команді.
Використано підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір — Харків «Гімназія» 2009.
Під час розв’язування задач і вправ учні вчаться будувати та застосовувати математичні моделі. Використовуються різні технології (перевірка домашнього завдання – за технологією «Ажурна пилка»), оптимальні форми роботи (за робочою картою), комбінується індивідуальна і групова діяльність, активується творчий потенціал, формуються пізнавальна і самоосвітня компетентності (складання банку нестандартних задач з математики)
При плануванні даних уроків мною були враховані можливості та психологічні особливості мого класу. Особливу увагу намагалася приділити логічному зв’язку між етапами уроку.
Виходячи з державних вимог до рівня підготовки учнів з даної теми, учні повинні записувати і пояснювати формули загального члена арифметичної і геометричної прогресій; суми перших членів цих прогресій, суми нескінченої геометричної прогресії для чого в системі організований теоретичний тренінг, завершальний етап якого демонструється на останньому уроці.
РОЗРОБКИ УРОКІВ З ТЕМИ «ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ»
УРОК № 9
Тема. Нескінчена геометрична прогресія (|q| < 1) та її сума.
Мета: - створити умови для формування свідомого розуміння поняття нескінченої геометричної прогресії (|q| < 1) та її суми;
- відпрацювати вміння практичного використання алгоритмів розв’язування задач на прогресії;
- формувати пізнавальну, самоосвітню, інформаційну, соціальну, комунікативну, полікультурну компетентності.
Тип уроку: засвоєння нових знань та вмінь.
Хід уроку
І. Організаційний момент
Девіз уроку: Справжній учень вчиться здобувати невідоме з відомого і тим
наближається до майстра.
І. Гете
ІІ. Мотивація пізнавальної діяльності
Отже кожен з вас буде сьогодні на уроці і в ролі учня і в ролі майстра. Тому діліться своїми знаннями без вагань.
Наприкінці кожного етапу уроку за допомогою римського жесту (великий палець руки вгору або вниз) учні проводять рефлексію.
ІІІ. Перевірка домашнього завдання – за технологією «Ажурна пилка», яка передбачає взаємоперевірку. Діти допомагають один одному з’ясувати незрозуміле, обмінюються інформацією в ході продуктивного спілкування. Учитель націлює на відповідну діяльність, проводить інструктаж технології: На попередньому уроці учні отримали картки певного кольору з номером на них (від 1 до 5) з одним теоретичним питанням. Для підготовки за цими питаннями були запропоновані джерела: підручник «Алгебра 9 клас» А.Г.Мерзляк Харків «Гімназія», §20-24,Збірник завдань для тематичних і підсумкових атестацій «Алгебра 7-9 класи» під ред. Л.Я.Федченко, п.6 з розділів І, ІІ,ІІІ. Кожен учень вивчав та опрацьовував одне з питань: [pic]
«ЗЕЛЕНІ» - Послідовність. Способи завдання послідовності, приклади. «ЖОВТІ» - Арифметична прогресія, застосування формули n – го члена прогресії, приклади.
«ЧЕРВОНІ» - Арифметична прогресія, застосування формули суми n членів арифметичної прогресії., приклади.
«СИНІ» - Геометрична прогресія, застосування формули n –го члена прогресії, приклади.
«ФІОЛЕТОВІ» - Геометрична прогресія, застосування формули суми n членів арифметичної прогресії., приклади.
І етап – робота в «домашніх» групах: осмислення й закріплення вивчених вдома знань (учні обмінюються інформацією, проводять взаємоопитування, розв’язують завдання, підібрані вдома);
ІІ етап – робота в експертних групах: вивчення й усвідомлення нового розглядання всіх п’яти питань, конспектування в зошитах, опрацьовування прикладів); [pic]
ІІІ етап – повернення у «домашні» групи, де закріплюється отримана інформація;
IV етап – колективне обговорення вивченого, підбиття підсумків.
Рефлессія.
IV. Вивчення нового матеріалу
Нехай довжина відрізка АВ дорівнює 2 од. Відмітимо точку В1 – середину відрізка АВ, потім точку В2 – середину першої його половини, після точку В3 – середину отриманого праворуч відрізка тощо. Довжини відрізків АВ, В1В2, В2В3 … утворюють нескінчену геометричну прогресію, знаменник якої : [pic]
1; ::: … .
Знайдемо суму n перших членів цієї прогресії:
Sn = = = 2 - 2∙2 - .
При збільшенні числа доданків n значення дробу наближається до нуля. Дійсно, якщо n = 10, тоді = = ;
якщо n = 15, тоді = = тощо.
Тому при необмеженому збільшені n різниця 2 - стає близькою до числа 2 або, як то кажуть, наближається до 2.
Таким чином, сума n перших членів геометричної прогресії 1; ::: …при необмеженому збільшенні n прямує до числа 2. Число 2 називають сумою нескінченої геометричної прогресії 1; ::: … і пишуть:
1+ + + … = 2 Цю рівність легко тлумачити геометрично: сума довжин відрізків АВ, В1В2, В2В3 …дорівнює довжині відрізка АВ.
Узагальнити наведений приклад пропоную самостійно, попрацювавши з підручником. [pic]
«Алгебра 9 клас» А.Г.Мерзляк стор 252.
Рефлексія.
V. Виконання вправ
Під час розв’язування задачі з класом працює група учнів «вищої ліги». Вони вивчають спосіб подання нескінченого десяткового дробу у вигляді звичайного дробу. «Алгебра 9 клас» А.Г.Мерзляк ,стор 254 [pic]
№1. Знайти суму нескінченої геометричної прогресії 8; 2; …
( в задачі є умова нескінченості, уточнюємо значення q) [pic]
b1=8; q = =; |q| < 1 (зауважуємо, що тільки в цьому випадку можна застосовувати формулу)
S = = = =10
Відповідь: 10
№2. Подайте нескінчений десятковий дріб 0, 2(54) у вигляді звичайного 0,2(54)= 0,2545454…= 0,2 + 0,05454…= 0,2 + 0,054 + 0,00054+… [pic]
Нескінчений десятковий дріб 0,0545454… можна розглядати як суму нескінченої геометричної прогресії, перший член якої дорівнює b1 = 0,054, а знаменник q= 0,01; |q| < 1.
Тоді 0,0545454… = = = =.
Звідки ), 2(54) = 0,2 + = + = .
Відповідь:
Рефлексія.
VI. Домашнє завдання [pic]
1. Опрацювати приклад 2, стор 254, «Алгебра 9 клас» А.Г.Мерзляк
2. Розв’язати №846, 850 ; [pic]
3. Для інтелектуалів прочитати стор 217
УРОК № 10
Тема. Нескінчена геометрична прогресія (|q| < 1) та її сума.
Мета : - закріпити вміння і навички розв’язування вправ на прогресії,
- сприяти розвитку навичок творчого мислення, критичного мислення,вміння задавати питання, формулювати проблему , шукати шляхи її розв’язання, робити висновки:
- сприяти формуванню позитивного інтересу до предмету, добросовісного відношення до виконання завдань, навичок роботи в команді.
Тип уроку: засвоєння і закріплення знань, умінь, навичок.
Хід уроку
І. Організаційний момент
Девіз уроку: Навчатися можна тільки весело. Мистецтво навчання це мистецтво пробуджувати в юних душах допитливість потім задовольняти її; а здорова, жива допитливість буває тільки при доброму настрої. Коли ж силком забивають голову знаннями, вони тільки пригнічують за засмічують розум. Щоб перетравлювати знання, треба їх поглинати з апетитом.
А. Франс.
II. Перевірка домашнього завдання.
Фронтально перевіряються відповіді.
Вчитель наголошує, що робота на уроці відбуватиметься за робочою картою, нагадує правила роботи з нею.
III. Актуалізація опорних знать ті вмінь.
Робота в парах. «Запиши мою улюблену формулу» з подальшою перевіркою. [pic]
Складання «фишбоуну». Заповнення верхньої теоретичної частини формулами.
IV. Виконання вправ.
Завдання підібрані з текстів ДПА минулого року. Після розв’язання номер завдання записати у фишбоун в робочу картку.
№1'. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (хn), якщо х1= -3, х6=7. /d = 2/ [pic]
Робота в групах в використанням прийому «3+1». Обрахуйте прогнозовані помилки і до однієї правильної відповіді доберіть три неправильних.
Не змінили знак при переносі доданків (0,8)
Не правильно знайшли множник (0,5)
Заплутались з знаком (-4)
№2''. Послідовність (bn) є геометричною прогресією. Знайдіть b1, якщо b5= 4, b6= - 8. /b1 = /
№3'. Арифметичну прогресію (хn) задано формулою n-го члена хn = -2n -1. Знайдіть суму десяти перших членів прогресії./S10 = - 120 /
№4''. Знайдіть суму нескінченої геометричної прогресії (bn), якщо b3= 6, b4 = -3. /S∞ = 16/
№5''. Знайдіть суму шістьох перших членів геометричної прогресії: 3; -6: … /- 63/
V. Фізкультхвилинка.
VІ. Самостійна робота експрес перевірка [pic]
І варіант
№1'. Яка з даних послідовностей є арифметичною прогресією?
А) 3,6,9,15,…;
Б) 3,6,9,12,…;
В)3,9,27,81,…;
Г)3,15,30,60,… .
ІІ варіант
№1'. Яка з даних послідовностей є геометричною прогресією?
А) 5,10,20,50,…;
Б)2,8,32,128,…;
В)3,9,27,30,…;
Г)2,8,12,16,… .
№2' Для геометричної прогресії -0,5; 1; -2;… знайти:
S4
S5
VІІ. Домашнє завдання. [pic]
№1''. Знайдіть суму тридцяти перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а21= 17, а різниця прогресії d = 2.
№2. ( ЗНО 2015 рік №27)
Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у 450м. Кожного наступного тренування він пропливав на 50м більше, ніж попереднього, поки не досягнув результату 1000м за одне тренування. Після цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав 1000м. Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші 10 тижнів тренувань, якщо він тренувався тричі кожного тижня?
VІІІ. Рефлексія.
Оберіть вислів , який відповідає вашому самопочуттю на уроці. Підкресліть в робочій карті уроку.
Чув краєчком вуха;
Сушив голову;
Гав ловив;
Працював в поті чола;
Грав в мовчанку;
Не покладав рук;
Спіймав облизня.
РОБОЧА КАРТА УРОКА З ТЕМИ:
1. Моя улюблена формула____________
2. Фишбоун [pic]
3. Готуємось до ДПА
№1_____________
Прогнозована помилка
____ ____ ____
№2________________
№3________________
№4________________
№5________________
№1'. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (хn), якщо х1= -3, х6=7. [pic]
№2''. Послідовність (bn) є геометричною прогресією. Знайдіть b1, якщо b5= 4, b6= - 8.
№3'. Арифметичну прогресію (хn) задано формулою n-го члена хn = -2n -1. Знайдіть суму десяти перших членів прогресії.
№4''. Знайдіть суму нескінченої геометричної прогресії (bn), якщо b3= 6, b4 = -3.
№5''. Знайдіть суму шістьох перших членів геометричної прогресії: 3; -6: …
4. Самостійна робота експрес перевірка
І варіант
№1'. Яка з даних послідовностей є арифметичною прогресією?
А) 3,6,9,15,…; В)3,9,27,81,…;
Б) 3,6,9,12,…; Г)3,15,30,60,…
ІІ варіант
№1'. Яка з даних послідовностей є геометричною прогресією?
А) 5,10,20,50,…; В)3,9,27,30,…;
Б)2,8,32,128,…; Г)2,8,12,16,… .
№2' Для геометричної прогресії -0,5; 1; -2;… знайти:
S4 S5
№1 _______ №2 ________________
№1 _______ №2 ______________
5. Домашнє завдання.
№1''. Знайдіть суму тридцяти перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а21= 17, а різниця прогресії d = 2.
№2. ( ЗНО 2015 рік №27)
Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у 450м. Кожного наступного тренування він пропливав на 50м більше, ніж попереднього, поки не досягнув результату 1000м за одне тренування. Після цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав 1000м. Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші 10 тижнів тренувань, якщо він тренувався тричі кожного тижня? [pic]
6. Рефлексія.
Чув краєчком вуха;
Сушив голову;
Гав ловив;
Працював в поті чола;
Не покладав рук;
Спіймав облизня. [pic]
Грав в мовчанку;
УРОК № 11
Тема. Розв’язування вправ і задач на прогресії, в тому числі прикладного змісту.
Мета: - вчити учнів застосовувати методи аналізу (дослідження умови задачі, вибір необхідної формули) та синтезу ( вміння об’єднати обрані елементи в єдине - розв’язок) в математиці;
розвивати пізнавальний інтерес;
вчити бачити та цінувати красу математики;
сприяти естетичному вихованню учнів шляхом розв’язування «красивих задач».
Тип уроку: систематизації знань, закріплення умінь, навичок.
Хід уроку:
І. Організаційний момент. [pic]
Сьогодні наш урок присвячується темі: « Розв’язування вправ і задач на прогресії, в тому числі прикладного змісту». Це ще один крок в опануванні математичної науки. Ми розглянемо деякі нестандартні задачі.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.
Почнемо з аналізу творчого завдання, яке ви виконували дома. Кожна робоча група, створена на попередньому уроці, демонструє моделі послідовностей
а) трикутних чисел;
б) квадратних чисел;
в) п’ятикутних чисел;
г) пірамідальних чисел.
ІІІ. Систематизація теоретичного матеріалу. [pic]
На протязі багатьох сторіч людей притягувала внутрішня гармонія і строга краса числових рядів. Деякі з них складають арифметичну та геометричну прогресії. Яким же законам підпорядковуються члени прогресій? Які властивості мають? Завдання класу по варіантах доповнити відповідні формули. Два учня біля дошки.
Арифметична прогресія
(); - перший член; [pic]
d – різниця;
an = a1 + d ( n – 1)
= =;
Геометрична прогресія
(; - перший член;
q – знаменник;
bn =b1qn-1
= =; q ≠ 1;
S =; |q|< 1.
IV. Розв’язування вправ. [pic]
Як ви пам’ятаєте, я запропонувала вам з книжок нашої математичної бібліотеки, що знаходиться в кабінеті, обрати на вашу думку «красиві задачі» на прогресію. Ви виконали це завдання і ми отримали такий собі банк задач.
№1. Розв’язати рівняння
(х+х+1) + (х+2х+3) + (х+3х+5) +…+ (х+20х + 39) = 4500
Доданки, що в лівій частині рівняння, утворюють А.П. з різницею d = х+ 2. В цій прогресії всього 20 членів ( кількість непарних чисел в послідовності 1,3,5….39). За формулою знайдемо : [pic]
. 20 =4500
Після спрощення маємо 2х + 21х - 410 =0
Розв’язавши це рівняння, знаходимо =10; = -20,5.
Запитання:
Як ви вважаєте, чи кожен може побачити красу задачі? ( тільки знавці,ті хто розуміє її сутність ) [pic]
Красивою задачею є та , яку ти сам розв’язав , чи непідкорена вершина математики?
Давайте складемо формулу КРАСИВА ЗАДАЧА
КРАСИВА ЗАДАЧА = непередбаченість + неочікуваність +
Тлумачний словник розкриває поняття краси, як сукупність якостей, що завдають насолоду погляду та слуху. Можливо термін «красива задача» недоречний?
( краса може надавати насолоду і розуму)
№2. В многокутнику точки А і В ділять периметр навпіл. Сторони і мають довжину 1. При цьому довжини сторін , ,… - утворюють геометричну прогресію зі знаменником q =3, а довжини сторін , , …- арифметичну прогресію з d= 2. Знайти число сторін многокутника. [pic]
За формулою Г.П. знайдемо півпериметр:
1+ q + q2 + q3 + q4 = = =121
За формулою А.П. він дорівнює:
∙ n = ∙n = n2;
n2 =121; n =11.
Додамо ще 5 сторін. Маємо всього 16 сторін.
Інколи при першому знайомстві з задачею вона вражає своєю складністю і навіть викликає страх, але її розв’язання дивовижно витончене и просте. [pic]
№3. Обчислити суму нескінченого ряду S =++++… [pic]
Традиційно це виглядає так : q = ∙ = < 1, S = = 1.
Але можна розглянути
як суму частин квадрата
з стороною 1.
Для деяких задач ми виконуємо додаткові побудови, для інших вводимо нові змінні, робимо заміни, тобто робимо деякий «революційний крок» для досягнення істини. [pic]
№4. Знайти закономірність в побудові послідовності [pic]
111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122,…
Якщо переставити коми, отримаємо 11,12, 13, 14, 15… А.П. у якої d =1.
Є задачі в яких правильна відповідь кардинально відрізняється від того, що ми інтуїтивно очікуємо. Ця відмінність викликає здивування
№5. Бактерії розмножуються діленням. За 1 сек з однієї бактерії утворюється дві. Одна бактерія разом з нащадками заповнює пробірку за одну годину. За який час цю ж пробірку заповнюють дві бактерії? [pic]
Хочеться відповісти 30 хвилин, але це не так. З однієї бактерії за одну секунду утворюється дві, далі процес піде як в пробірці з однією бактерією, так і в пробірці з двома. Тобто , відповідь буде 59 сек. В цій задачі процес моделюється Г.П. з q =2.
Цінити красу математики може лише ті, кому подобається ця наука, а подобатись вона може лише тим, хто нагороджується успіхом при розв’язанні задач. Успіх - це результат наполегливої праці. Такі учні можуть доповнити формулу доданком праця. [pic]
V. Домашнє завдання.
1. Розв’язати стор 259, тести №5 ( Алгебра 9 Мерзляк А.Г., Полонский В.Б.,Якір М.С.) [pic]
2. Для кмітливих пропоную розв’язати рівняння, пошукавши в ньому прогресію: [pic]
+ + +…+ = 3
В дужках арифметична прогресія. Скільки в ній членів? n = х – 1. Перетворюємо вираз ∙ = 3
0,5 (х – 1) = 3
х – 1 = 6
х = 7
VI. Рефлексія
На столі у кожного лежить Банк нестандартних задач з теми «Прогресія», якщо вас зацікавила наша сьогоднішня розмова і ви вважаєте отримані знання важливі, а задачі цікаві, то візьміть їх із собою . Хочу побажати вам бачити красу математики, продовжити пошук «красивих задач». До ваших послуг бібліотека нашого кабінету.
Банк нестандартних задач з математики
Задача очень не проста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Пять первых связок изучи.
Найдёшь к решенью ты ключи!
1 + 100 = ? 2 + 99 = ? 3 + 98 = ?
4 + 97 = ? 5 + 96 =?
Давным-давно один мудрец сказал,
Что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.
Розв’язати рівняння: + + +…+ = 3
Розв’язати рівняння: (х2 + х + 1)+(х2 + 2х + 3)+(х2 + 3х + 5)+…+ (х2+ 20х+39) =4500
Журнал складається з 16 вкладених один в одного подвійних листів. На якому подвійному листі сума чисел, яки позначають номер сторінки, буде найбільшою?
Знайти закономірність в побудові послідовності
111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122,…
Обчислити суму нескінченого ряду S =++++…
Бактерії розмножуються діленням. За 1 сек з однієї бактерії утворюється дві. Одна бактерія разом з нащадками заповнює пробірку за одну годину. За який час цю ж пробірку заповнюють дві бактерії?
Садівник продав першому покупцю половину своїх яблук і ще пів’яблука, другому половину залишку і ще пів яблука; третьому - половину решти і ще пів яблука і т.д. Сьомому покупцю він продав половину залишку і ще пів яблука, після чого яблук в нього не залишилося. Скільки яблук у садівника?
В многокутнику точки А і В ділять периметр навпіл. Сторони і мають довжину 1. При цьому довжини сторін , ,… - утворюють геометричну прогресію зі знаменником q =3, а довжини сторін , , …- арифметичну прогресію з d= 2. Знайти число сторін многокутника.
