Активизация деятельности обучающихся при изучении темы "Числовые последовательности" в профильных группах
Введение профильного обучения предполагает более углубленное изучение тех предметов, которые в будущем для выпускников будут играть важную роль как для поступления в вуз, так и для осознанного получения той или иной профессии.
В связи с этим для одной категории обучающихся предмет (например, математика) является профильным, а для другой - непрофильным.
Задача учителя, на мой взгляд, заключается не только в том, чтобы увеличить объем знаний за счет углубления и расширения теоретической составляющей данного профильного предмета, но и продемонстрировать его роль в развитии других областей знаний, его фундаментальную значимость в чувственной, эмоциональной области человеческого познания, через знакомство с историей математики, эволюцией математических идей.
Обучающиеся, для которых предмет является непрофильным, должны получить не только знания, соответствующие программе, но и убежденность в глубокой взаимосвязи всех изучаемых ими предметов.
Установление связей между математикой и изучаемых в школе предметами дает учителю возможность формировать у обучающихся целостность картины мира, показать многообразие свойств живой и неживой природы.
Известно, что у гуманитариев преобладает наглядно - образное мышление, восприятие красоты математики направлено на ее проявление в природе, произведениях искусства, в конкретных математических объектах. У обучающихся гуманитарных классов богатое воображение, ярко проявляются эмоции. Они с большим интересом изучают вопросы истории математики, прикладные аспекты, занимательный материал.
Так как занимательность - это свойство предметов, явлений, процессов, которое способно вызвать у обучающихся чувство удивления, обострить внимание. Вместе с тем занимательность - это прием учителя, который воздействуя на чувство ученика, способствует созданию положительного настроя к учению и готовности к активной мыслительной деятельности у всех обучающихся независимо от их знаний, способностей, интересов.
Занимательный материал требует достаточно обширных знаний. Это побуждает обучающихся читать дополнительную литературу, самостоятельно искать ответы за рамками учебника.
Исходя из этих позиций предлагаю материал проведения урока - семинара на котором присутствуют группы обучающихся различных профилей.
Учитель. Тема нашего урока "Числовые последовательности". Проведем в форме семинара и посвятим это занятие ряду чисел Фибоначчи. Рассмотрим его проявление в десяти областях знаний и для этого используем декаэдр, каждая грань которого будет соответствовать названию этих областей.
Используя ряд чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы.
Кто желает выступить?
[link]
В 1202 году появилась книга итальянского математика Леонардо из г. Пиза, в которой содержались сведения по математике, приводились решения всевозможных задач. Среди них была простая, не лишенная практической ценности, задача о кроликах: "Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?"
В результате решения этой задачи получился ряд чисел 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. Этот ряд чисел позже был назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо.
Чем же примечательны числа, полученные Фибоначчи?
(В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел). Математически ряд Фибоначчи записывается следующим образом:
И1, И2, : Иn, где Иn = И n - 1 + И n - 2
Такие последовательности, в которых каждый член является функцией предыдущих, называют рекурентными, или возрастными последовательностями.
Рекуррентным является и ряд чисел Фибоначчи, а члены этого ряда называют числами Фибоначчи.
Оказалось, что они обладают рядом интересных и важных свойств.
Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции.
[pic]
Ф - обозначение золотой пропорции от имени Фидий - греческий скульптор, применявший золотую пропорцию при создании своих творений.
[Если при делении целого на две части отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части, то такая пропорция называется "золотой" и равно примерно 1,618].
(О золотой пропорции много говорили в предпрофильной подготовке учащихся, т.к. эта тема представляет собой богатейший материал для организации проектной и исследовательской деятельности обучающихся).
Свойства ряда чисел Фибоначчи неразрывно связаны с золотой пропорцией и выражают порой магическую и даже мистическую сущность закономерностей и явлений.
Фундаментальную роль числа в природе определил еще Пифагор своим утверждением "Все есть число". Поэтому математика являлась одной из основ религии последователей Пифагора (пифагорейского союза). Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях.
Числа Фибоначчи обладают многими интересными свойствами. Так, сумма всех чисел ряда от 1-го до Иn равна следующему через одно число (Иn+2) без 2-х единиц.
Отношение расположенных через одно чисел Фибоначчи в пределе стремится к квадрату золотой пропорции, равному приблизительно 2,618: Удивительное свойство! Получается, что Ф + 1 = Ф2.
Золотая пропорция является иррациональной величиной, она отражает иррациональность в пропорциях природы. Числа Фибоначчи отражают целочисленность природы. Совокупность этих закономерностей отражают диалектическое единство двух начал: непрерывного и дискретного.
В математике известны фундаментальные числа [pic] и е, к ним возможно добавить Ф.
Оказывается все эти универсальные иррациональные числа, широко распространенные в различных закономерностях, связаны между собой.
е [pic] i + 1 = 0 - эта формула открыта Эйлером и позже де Муавром и названа в честь последнего.
Ф = 2 Cos [pic]
Не свидетельствуют ли эти формулы об органическом единстве чисел е, [pic] , Ф?
Об их фундаментальности?
Слайдовая презентация обучающихся химико - биологического профиля:
Рассмотрим некоторые вопросы, связанные со строением химических соединений.
Со времен Дальтона в химии утвердилось атомарное учение. Был сформулирован закон кратных отношений, по которому между атомами в соединениях устанавливаются простые целочисленные соотношения. Это дало возможность описывать состав химических соединений простыми формулами, например, Н2О, NaCl, ZnO.
Химия стала точной наукой. Утверждение закона кратных отношений - одно из замечательных достижений мировой науки: из хаоса атомарных представлений выросла простая, стройная, красивая система. Атомы различных элементов могут образовывать бесконечно много всевозможных сочетаний, соединенных силами химических связей. Но только некоторые из них являются устойчивыми и сохраняются, а другие погибают, распадаются на более устойчивые. А устойчивыми будут те сочетания атомов различных элементов, которые отвечают простым целочисленным отношениям компонентов.
Казалось бы, все стало на свое место, все стало ясным.
Однако впоследствии оказалось, что многие соединения постоянного состава не так уж строго сохраняют это постоянство, допускают некоторые отклонения, иногда очень существенные.
Да и с целочисленным соотношением атомов в соединения не все просто.
Появились соединения, где соотношения атомов нельзя назвать простым целочисленным отношением, например, С55, Н72, О5, N4, Мg (хлорофилл), С5750, Н7227, N2215, О4131, S590 (ДНК бактериофага). Не будем углубляться в область органической химии, а попытаемся выяснить: не проявляются ли в формулах соединений числа Фибоначчи, не подчиняется химическая организация правилу золотой пропорции? При окислении урана, хрома состав образующихся окислов изменяется не непрерывно, а скачкообразно - от одного устойчивого соединения к другому. Между окислами ИО2 и ИО3 образуется целый ряд промежуточных соединений: И2О5; И3О8; И5О13; И8О21; И13О34
Отношения атомов равно отношениям чисел Фибоначчи, расположенным через одно. Такое отношение в пределе -> к Ф2
То же самое с хромом: Сr2О5, Cr3О8; Сr5О13; Сr8О21
Химический анализ показывает, что есть такое соединение урана с кислородом, которое содержит 72,36% атомных долей кислорода. Это соединение можно описать формулой И8О21 - погрешность по кислороду составит 0,05%, если взять формулу И13О34 - погрешность 0,02%. Формула И89О233 точно отвечает составу соединения, содержащего 72,36% кислорода.
Разделив 233 на 89 (числа Фибоначчи) получим 2,618, т.е. Ф2. Тогда формула примет вид: ИОф2!
Но ведь Ф - иррациональная величина! Значит ли это, что существуют соединения с иррациональным отношением атомов? Возможно, что в природе сосуществуют две противоположные тенденции химической организации - непрерывная и дискретная.
Однако нахождение чисел Фибоначчи в химической организации - это свидетельство фундаментальности самого ряда чисел Фибоначчи, его природной изначальности.
Слайдовая презентация обучающихся физико - математического профиля:
Попытаемся заглянуть в глубь атома. Ядро атома состоит из протонов (Z) и нейтронов (N). Масса каждого атома определяется А= Z + N.
От 2-ого до 16 элементов (Не и S) : Z = N а далее N >Z. У урана: Z=92, N=146 отношение N стремится от 1 к приблизительно 1,6 (Ф).
У изотопа свинца (Рв) : Z = 82, N = 126, А = 208 разделив эти числа на 6, получим числа 132/3, 21, 342/3, которые близки к числам Фибоначчи.
В природе наиболее распространены изотопы с числом нейтронов, 8, 20, 30, 50, 82, 126, после деления на 6 получается: 11/3, 31/3, 5, 81/3, 132/3, 21 - эти числа также близки к числам Фибоначчи.
Слайдовая презентация обучающихся химико - биологического профиля:
Мир живой и неживой природы, казалось бы между ними дистанция огромного размера, это скорее антиподы, чем родственники. Но не следует забывать, что живая природа в конечном итоге возникла из неживой (если не на нашей планете, то в космосе) и должна была по законам наследственности сохранить какие-то черты своей прародительницы.
Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Симметрия сохранилась и в живой природе. Симметрия растений унаследована от симметрии кристаллов, симметрия которых унаследована от симметрии молекул и атомов, а симметрия атомов - от симметрии элементарных частиц.
Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике. Движение протоплазмы в клетке часто спиральное, носители информации - молекулы ДНК - также скручены в спираль. Установлены и винтовое расположение атомов в некоторых кристаллах (винтовые дислокации). Кстати, кристаллы с винтовой структурой обладают сверхпрочностью. Не потому ли живая природа и предпочла этот вид структурной организации, унаследовав его от неорганических веществ?
Чем же может быть выражена данная закономерность, сходство живой и неживой природы?
Чешуйки сосновой шишки располагаются по спирали, их число равно 8 и 13 или 13 и 21. В корзинках подсолнечника семена также располагаются по спиралям, их число обычно составляет 34 и 55 или 55 и 89.
Присмотритесь к ракушкам. Когда-то они служили домиками для маленьких моллюсков, которые они выстроили сами. Моллюски давно погибли, а их домики будут существовать тысячилетия. Выступы-ребра на поверхности ракушки инженеры называют ребрами жесткости - они резко повышают прочность конструкции. Эти ребра расположены по спирали и в любой ракушке их 21.
Возьмите любую черепаху - от болотной до гигантской морской - и вы убедитесь, что рисунок на панцире у них аналогичный: на овальном поле расположено 13 сросшихся пластин - 5 пластин в центре и 8 - по краям, а на периферийной кайме около 21 пластины.
На лапах у черепах 5 пальцев, а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Все указанные величины отвечают числам Фибоначчи.
У ближайшего родственника черепахи - крокодила туловище покрыто 55 роговыми пластинами. На теле кавказской гадюки расположено 55 темных пятен. В ее скелете насчитывается 144 позвонка.
Следовательно, развитие черепахи, крокодила, гадюки, формирование их тел, осуществлялось по закону ряда чисел Фибоначчи.
У комара: 3 пары ног, на голове 5 усиков - антенны, брюшко делится на 8 сегментов.
У стрекозы: массивный корпус и длинный тонкий хвост. В корпусе выделяется три части: голова, грудь, брюшко.
Брюшко разделено на 5 сегментов, хвост состоит из 8 частей.
Нетрудно видеть в этих числах развертывание ряда чисел Фибоначчи. Длина хвоста, корпуса и общая длина стрекозы связаны между собой золотой пропорцией: L хвоста = L стрекозы = Ф
Высшим типом животных на планете являются млекопитающие. Число позвонков у многих домашних животных равно или близко 55, число пар ребер примерно 13, грудная кость содержит 7 + 1 элемент.
У собаки, свиньи, лошади - 21 + 1 пара зубов, у гиены - 34, у одного из видов дельфинов - 233.
Ряд чисел Фибоначчи определяет общий план развития организма, эволюции видов. Но развитие живого осуществляется не только скачками, но и непрерывно. Организм любого животного находится в постоянном изменении, постоянном приспособлении к среде своего обитания. Мутации наследственности нарушают план развития. И неудивительно, что при общем преобладающем проявлении чисел Фибоначчи в развитии организмов часто наблюдаются отклонения от дискретных величин. Это не ошибка природы, а проявление подвижности организации всего живого, его непрерывного изменения.
Слайдовая презентация обучающихся биолого - географического профиля:
Почва Земли неоднородно по своему составу и свойствам. В ней выделяют три слоя: верхний - гумусовый слой, затем - подгумусовый и горная порода.
Ученые изучили профили почв и обнаружили удивительную закономерность. Оказалось, что мощности гумусового слоя ("толщина") равны в среднем:
в пустынном светлоземе - 5 см
в серо-бурой почве - 8 см.
в бурой полупустынной - 13 см.
в светло-каштановой - 21 см.
в темно-каштановой - 34 см.
в черноземе обыкновенном - 55 см.
в черноземе выщелочном - 89 см.
в серых лесных - 55 см.
в дерновых - 34 см.
в подзолистых - 21 см.
13 см.
8 см.
Установленная последовательности изменения мощности гумусового слоя почв отвечает ряду чисел Фибоначчи, расположенных симметрично относительно наиболее мощного слоя - выщелочного чернозема.
Слайдовая презентацияобучающихся физико - математического профиля:
Уже давно человечество пытается найти законы расположения планет Солнечной системы. Существуют различные научные предложения и расчеты. Наиболее применяемым является правило Тициуса-Боде (1766 г.), согласно которому а = 0,1 (3 * 2n + 4) а. L., где n = [pic] , 0, 1, 2 : 8, а - среднее расстояние от Солнца.
Данное правило согласуется с допустимой погрешностью с расположением семи первых планет (от Меркурия до Урана). Но расстояние от Солнца 2-х позже открытых планет (Нептун, Плутон) не укладывается в правило Тициуса-Боде (Для Нептуна погрешность ? 30%, для Плутона - 95% !!).
Если фактические расстояния планет от Солнца увеличить в 21 раз, то получается ряд чисел, близких ряду чисел Фибоначчи: 8, 15, 21, 32, 109, 200, 403, 632, 830 (8, 13, 21, 34, :. 144, 233, 377, 610, 987). Погрешность в среднем составляет примерно 10%, а для некоторых планет 0%). Между числами 34 и 144 должны быть 55, 89. Оказалось, что они соответствуют расстояниям астероидов [расположенных между орбитами Марса (34) и Юпитера (144)].
Если период обращения планет выразить в земных сутках, то получится ряд чисел близких числам ряда Фибоначчи:
88; 225; 365; 687; 4330; 10752; 30664; 60148; 90666
(89, 233, 377, 610, 4181, 10946, 28657; 75025; 121393)
Погрешность:
1%
3,5%
3%
13%
3,5%
2%
7%
24%
33%
Средняя погрешность 10%!
По вопросу о закономерностях строения Солнечной системы имеются различные варианты. Но почему ни одна математическая модель не дает точного, без погрешностей результата? Возможно по той причине, что Солнечная система находится в периоде своего активного развития, она не достигла устойчивого равновесия и , следовательно, не может быть адекватно описана одной математической моделью достаточно точно. Но, как видно, модель, основанная на применении ряда чисел Фибоначчи дает более приемлемые результаты для всех планет Солнечной системы.
Слайдовая презентация обучающихся химико - биологического профиля:
Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, и в строении человеческого тела они должны каким-то образом проявиться.
У человека:
1 - туловище, голова, сердце и т.д.
2 - руки, ноги, глаза, почки
Из 3 частей состоят ноги, руки, пальцы рук
5 пальцев на руках и ногах
8 - состав руки вместе с пальцами
12 пар ребер (одна пара атрофирована и присутствует в виде рудимента)
20 - число молочных зубов у ребенка
32- число зубов у взрослого человека
34 - число позвонков
Общее число костей скелета человека близко к 233.
Этот список частей тела человека можно продолжить. В их перечне очень часто встречаются числа Фибоначчи или близкие к ним величины. Отношение рядом стоящих чисел Фибоначчи приближается к золотой пропорции, значит, и соотношение чисел различных органов часто отвечает золотой пропорции.
Человек, как и другие живые творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать глубоко - в строении клеток, хромосом и генов, и далеко - в возникновении самой жизни на Земле.
Слайдовая презентация обучающихся гуманитарного профиля:
При рассмотрении храма Василия Блаженного возникает вопрос: случайно ли куполов в нем равно 8? Существовали ли какие-нибудь каноны, определяющие число куполов в храмах? Очевидно, существовали.
Простейшие православные соборы раннего периода были одноглавые, однако уже в Х веке строили и многокупольные церкви.
После реформы патриарха Никона в середине 17 века было запрещено строить одноглавые церкви. Многие православные соборы были пятиглавыми. Новгородский Софийский собор (Х век) был тринадцатиглавым. Преображенскую церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава. Случаен ли такой рост числа куполов (1,2,3,5,8,13,21) или здесь проявляется ряд чисел Фибоначчи, отражается естественный закон роста - от простого к сложному? Трудно ответить на этот вопрос однозначно, но трудно и не обратить внимания на эту совокупность чисел.
Посмотрим на поэтические произведения с позиций чисел ряда Фибоначчи. Остановимся на поэзии А.С.Пушкина. Ведь его произведения - образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии.
Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта: он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда Фибоначчи. Следует учесть, что законы стихосложения требует, как правило, наличия четного числа строк в стихотворениях, т.к. строки попарно рифмуются. Неудивительно поэтому, что стихотворения с числом 12 и 14 встречаются чаще, чем с числом строк 13. Это же справедливо и для интервала 20-22 строки.
Числа Фибоначчи проявляются не только в размерах стихотворений, но и в их структуре - число строк в стихах, число стихов в произведении. Некоторые стихи построены по схеме 3х5, 5х3, 3х8, 5х8, 8х8 ("Прощанье", "Предчувствие", "Пью за здравие Мери:", "Заклинанье:").
У А.С.Пушкина есть стихотворения с числом строк 13 и 21, т.е. с нечетным числом строк, что явно не отвечает распространенным канонам стихосложения. К ним относятся, например, стихотворения "Сапожник", "Поедем, я готов", - 13 строк; "Он между нами жил", "К Чаадаеву" - 21 строка.
Рассмотрим более подробно притчу "Сапожник". В ней 13 строк, отчетливо выделяется две части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк:
Картину раз высматривал сапожник
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник.
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво:
А эта грудь не слишком ли нага?..."
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
"Суди, дружок, не свыше сапога!"
Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах!
Многие шедевры его творчества тяготеют к размерам: 8, 13, 21, 34 строки:
"В крови горит огонь желаний:"
"Я вас любил, любовь еще, быть может:"
"Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит:"
"Сонет"
"Поэту"
"Мадонна"
"Няне"
"Храни меня, мой талисман"
"Во глубине сибирских руд"
"Я памятник себе воздвиг нерукотворный:"
"Зимний вечер"
"Анчар".
Преобладание в метрике стихотворений А.С.Пушкина чисел ряда Фибоначчи никак нельзя признать случайностью, игрой слепой вероятности. Поэт пользуется этими размерностями, т.к. они отвечают требованиями художественной формы, формы новой, необычайной, оригинальной и в то же время отвечающей критериям гармонии.
Теперь уже не кажется случайностью тот факт, что роман в стихах "Евгений Онегин" состоит из 8 глав, в каждой главе в среднем около 50 стихов (а глава 7 состоит из 55 стихов), а каждый стих состоит из 14 строчек.
Если "Евгений Онегин" является произведением высочайшего художественного уровня, то 8-ая глава романа - его драгоценная жемчужина.
Эта глава наиболее совершенна, отточена, насыщена эмоционально. Структура главы многоплановая, с подъемами и спадами, апофеозом эмоционального начала и лирическими отступлениями.
В ней 51 стих плюс письмо Евгения Онегина Татьяне (5 стихов) - очень близко к числу 55. Это письмо разбивает главу на две части: 32 и 19 стихов; их отношение равно Ф (1,68 - золотая пропорция).
Неудивительно, что поэзия А.С.Пушкина, и особенно 8-ая глава "Евгения Онегина", поражают читателей своей удивительной гармоничностью, отчетливо выраженной музыкальностью.
Работая над оперой "Евгений Онегин", Чайковский писал фон Мекк о Пушкине: ": силой гениального таланта очень часто врывается из тесных сфер стихотворства в бесконечную область музыки. Независимо от сущности того, что он излагает в форме стиха, в самом стихе, в его звуковой последовательности есть что-то проникающее в самую глубь души. Это что-то и есть музыка".
Белинский писал по поводу стихотворения А.С.Пушкина "Ночной зефир:": "Что это - поэзия, живопись, музыка? Или то, и другое, и третье, слившиеся в одно, где картина говорит звуками, звуки образуют картину, а слова блещут красками, вьются образами, звучат гармонией и выражают разумную речь:".
На примере поэзии А.С.Пушкина можно осторожно попытаться сделать вывод о том, что искусству, как и природе, присуща периодизация развития, которая, возможно, осуществляется в соответствии с развертыванием ряда чисел Фибоначчи.
Как в результате отбора (по Дарвину) выживают наиболее гармонически развитые организмы, так и произведения искусства, соответствующие гармоническим канонам, остаются на века в памяти поколений.
Учитель:
Математизация подходов к изучению природы от описания явлений (физических, химических и др.) до понимания гармонии, красоты является актуальной и перспективной. И в этом аспекте ряд чисел Фибоначчи, золотая пропорция выглядят лишь частным случаем, одним из многих вариантов числовых соотношений.
Таким образом, изучение одного вопроса с различных сторон, позволяет не только понять сущность, но и установить имеющиеся закономерности.
