Основное содержание
Рациональные числа
Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами.
Степень с целым показателем.
Действительные числа
Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень. Корень третьей степени. Понятие о корне п-й степени из числа1. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора.
Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел. Этапы развития представления о числе.
Измерения, приближения, оценки
Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя-степени десяти в записи числа.
Алгебраические выражения
Свойства степеней с целым показателем. Теорема Виета. Понятие прямой и обратной теоремы на примере теоремы Виета.
Алгебраическая дробь. Область допустимых значений переменных. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями.
Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.
Уравнения и неравенства
Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений.
Неравенство с одной переменной. Решение неравенств. Линейные неравенства с одной переменной и их системы.
Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств.
Графическая интерпретация неравенств с двумя переменными и их систем.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Числовые функции
Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость и ее график. Гипербола. Графики функций: корень квадратный, корень кубический. Использование графиков функций для решения уравнений.
Координаты
Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч.
Графическая интерпретация неравенств с двумя переменными и их систем.
Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений.
Тематическое планирование
уроков
Примечание
Повторение (3 ч.)
1
Повторение. Многочлены. Формулы сокращенного умножения. Инструктаж по ТБ
1
Презентация
2
Повторение. Уравнения, системы уравнений. Функции
1
3
Входная контрольная работа
1
Глава 1. Рациональные дроби (23 ч.)
1
1
Анализ входной контрольной работы.
Рациональные выражения. Алгебраические дроби.
1
2
Рациональные выражения. Область допустимых значений переменных.
1
3
2
Тождество. Тождественные преобразования выражений.
1
4
Основное свойство дроби. Алгоритм работы.
1
5
Сокращение дробей. Сокращение алгебраических дробей.
1
Презентация
6
3
Действия с алгебраическими дробями.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
1
7
Сложение и вычитание алгебраических дробей с противоположными знаменателями.
1
8
4
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями ( знаменатели одночлены)
1
9
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (знаменатели многочлены).
Преобразование выражения в дробь.
1
10
Сложение и вычитание целого выражения и алгебраической дроби. Упрощение выражений.
1
11
Контрольная работа №1 по теме
«Сокращение, сложение и вычитание дробей»
1
12
5
Анализ контрольной работы.
Действия с алгебраическими дробями. Умножение дробей.
1
Презентация
13
Умножение алгебраических дробей. Умножение алгебраической дроби на многочлен.
1
14
Возведение алгебраической дроби в степень.
1
15
6
Действия с алгебраическими дробями. Деление дробей.
1
16
Деление алгебраических дробей. Упрощение выражений.
1
17
7
Рациональные выражения и их преобразования. Преобразование рациональных выражений.
1
18
Представление выражения в виде рациональной дроби.
1
19
Все действия с алгебраическими дробями. Упрощение рациональных выражений
1
20
8
Функция у = и её график. Свойства функции, описывающая обратную пропорциональную зависимость. Гипербола.
1
Презентация
21
Построение графика функция у =. Определение принадлежности точки графику функции
1
22
Обобщение по теме: «Рациональные выражения»
Подготовка к контрольной работе
1
23
Контрольная работа №2 по теме
«Преобразование рациональных выражений»
1
Глава 2. Квадратные корни (19ч.)
24
10
Анализ контрольной работы.
Рациональные числа. Понятие о рациональном и иррациональном числе.
1
25
11
Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа. Действительные числа. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел.
1
26
12
Квадратный корень из числа. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень.
1
27
13
Уравнение х2=а. Решение уравнений вида х2=а
1
Презентация
28
14
Нахождение приближенных значений квадратного корня.
Корень третьей степени. Кубический корень. Графики зависимостей: корень квадратный, корень кубический.
1
29
15
Функция у= и её график.
1
30
Нахождение значений функции (аргумента), сравнение чисел с помощью графика функции у=
1
31
16
Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях. Квадратный корень из произведения и дроби.
1
32
Вычисление значений корня. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора.
1
33
17
Квадратный корень из степени.
1
34
Квадратный корень из степени, применение данного свойства при вычислениях.
1
35
Контрольная работа №3 по теме
«Арифметический квадратный корень»
1
36
18
Анализ контрольной работы
Вынесение множителя из-под корня.
1
37
Внесение множителя под знак корня
1
38
19
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни (упрощение выражений).
1
39
Упрощение выражений, используя формулы сокращенного умножения.
1
40
Сокращение дробей, содержащих квадратные корни.
1
41
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни (освобождение от иррациональности в знаменателе дроби).
1
42
Контрольная работа №4 по теме
«Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»
1
Глава 3. Квадратные уравнения (20+1 статистика=21ч.)
43
21
Анализ контрольной работы
Определение квадратного уравнения. Квадратное уравнение.
1
Презентация
44
Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.
1
Презентация
45
Решение квадратных ур-й выделением квадрата двучлена.
1
46
Решение квадратных ур-й выделением квадрата двучлена.
1
47
22
Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения (I). Дискриминант квадратного уравнения. Число корней квадратного уравнения.
1
48
Решение квадратных уравнений по формуле корней квадратного уравнения (I), более сложные случаи.
1
49
Решение квадратных уравнений по формуле для чётного второго коэффициента (II).
1
50
23
Решение квадратных уравнений с выбором нужной формулы Решение задач физического содержания с помощью квадратных уравнений. Решение текстовых задач алгебраическим способом.
1
51
Решение задач геометрического содержания с помощью квадратных уравнений.
1
52
24
Теорема Виета.
1
53
Понятие прямой и обратной теоремы на примере теоремы Виета. Нахождение корней квадратного уравнения по теореме, обратной теореме Виета. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений.
1
6.1
54
Контрольная работа №5 по теме
«Квадратные уравнения»
1
55
25
Анализ контрольной работы.
Решение рациональных уравнений. Понятие рациональных уравнений.
1
56
Решение дробных рациональных уравнений. Алгоритм.
1
57
26
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Решение задач с помощью рациональных уравнений.
1
58
Применение умения решать дробные рациональные
уравнения в нестандартной ситуации. Упражнения в решении задач с помощью рациональных уравнений.
1
59
Решение задач на движение с помощью рациональных уравнений
1
60
Решение задач на совместную работу с помощью рациональных уравнений.
Графический способ решения уравнений
1
61
Графический способ решения уравнений
1
62
27
Уравнение с параметром. Подготовка к контрольной работе.
1
63
Контрольная работа №6 по теме
«Дробные рациональные уравнения»
1
Глава 4. Неравенства (16+ 2 статистики= 18 ч.)
64
28
Анализ контрольной работы.
Числовые неравенства и их свойства.
1
Презентация
65
29
Свойства числовых неравенств. Доказательство числовых и алгебраических неравенств
1
66
Использование свойств числовых неравенств для перехода от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической
67
Применение свойства числовых неравенств для оценки значения выражения.
1
68
30
Сложение и умножение числовых неравенств
1
69
Вычитание и деление числовых неравенств. Использование сложения и умножения числовых неравенств для оценки суммы, разности, произведения и частного.
1
70
Контрольная работа №7 по теме
«Числовые неравенства»
1
71
31
Анализ контрольной работы.
Погрешность и точность приближения
1
72
Понятие множества, элемент множества, подмножество, пустое множество.
6.2
73
Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера
6.3
74
33
Числовые промежутки. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч.
1
75
34
Неравенство с одной переменной, алгебраическое неравенство. Решение неравенства.
1
76
Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Линейные неравенства с одной переменной
1
77
Решение неравенств с одной переменной
1
78
35
Системы неравенств с одной переменной
1
79
Решение систем неравенств с одной переменной
1
80
Применение систем неравенств с одной переменной для нахождения допустимых значений переменной в выражении
1
81
Контрольная работа №8 по теме
«Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной»
1
Глава 5. Степень с целым показателем. (6ч.)
82
37
Определение степени с целым отрицательным показателем
Вычисление значения выражения, содержащего степень с целым отрицательным показателем
1
Презентация
83
38
Свойства степени с целым показателем
Упрощение выражений, содержащих степени с целым показателем
1
84
39
Стандартный вид числа. Выделение множителя-степени десяти в записи числа. Размеры объектов окружающего мира.
1
85
Запись приближенных значений.
1
86
Действия над приближенными значениями
Вычисления с приближенными
данными на микрокалькуляторе
1
87
Контрольная работа №9 по теме «Степень с целым показателем»
Глава 6. Элементы статистики (4+3=7ч.) Статистические исследования
88
40
Сбор и информация статистических данных
1
89
Представление статистических данных в виде таблиц частот и относительных частот.
1
90
41
Генеральная и выборочная совокупности.
Наглядное представление статистической информации. Столбчатые и круговые диаграммы.
1
91
Наглядное представление статистической информации. Полигон и гистограмма.
1
92-94
в нач года
Повторение (8 = 3 в нач года=11ч.)
95
Рациональные дроби и действия над ними.
1
96
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
1
97
Повторение. Квадратные уравнения. Неравенства
1
98
Повторение. Степень с целым показателем.
Элементы статистики.
1
99
Итоговый зачёт
1
100
Повторение. Решение текстовых задач
1
101
Административная контрольная работа (за 1 полугодие).
1
102
Диагностическая работа за 3 четверть
1
Содержание образования
Алгебраические выражения
Рациональные дроби
Основная цель – выработать умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.
Так как действия с рациональными дробями существенным образом опираются на действия с многочленами, то в начале темы необходимо повторить с учащимися преобразования целых выражений.
Главное место в данной теме занимают алгоритмы действий с дробями. Учащиеся должны понимать, что сумму, разность, произведение и частное дробей всегда можно представить в виде дроби. Приобретаемые в данной теме умения выполнять сложение, вычитание, умножение и деление дробей являются опорными в преобразованиях дробных выражений. Поэтому им следует уделить особое внимание. Нецелесообразно переходить к комбинированным заданиям на все действия с дробями прежде, чем будут усвоены основные алгоритмы. Задания на все действия с дробями не должны быть излишне громоздкими и трудоемкими.
Степень с целым показателем
Основная цель – выработать умение применять свойства степени с целым показателем в вычислениях и преобразованиях.
В этой теме формулируются свойства степени с целым показателем. Метод доказательства этих свойств показывается на примере умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дается понятие о записи числа в стандартном виде. Приводятся примеры использования такой записи в физике, технике и других областях знаний.
В этой теме формулируются свойства степени с целым показателем. Метод доказательства этих свойств показывается на примере умножения степеней с одинаковыми основаниями. Дается понятие о записи числа в стандартном виде. Приводятся примеры использования такой записи в физике, технике и других областях знаний.
Действительные числа
Квадратные корни
Основная цель – систематизировать сведения о рациональных числах и дать представление об иррациональных числах, расширив тем самым понятие о числе; выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
В данной теме учащиеся получают начальное представление о понятии действительного числа. С этой целью обобщаются известные учащимся сведения о рациональных числах. Для введения понятия иррационального числа используется интуитивное представление о том, что каждый отрезок имеет длину и потому каждой точке координатной прямой соответствует некоторое число. Показывается, что существуют точки, не имеющие рациональных абсцисс.
При введении понятия корня полезно ознакомить учащихся с нахождением корней с помощью калькулятора.
Основное внимание уделяется понятию арифметического квадратного корня и свойствам арифметических квадратных корней. Доказываются теоремы о корне из произведения и дроби, а также тождество , которые получают применение в преобразованиях выражений, содержащих квадратные корни. Специальное внимание уделяется освобождению от иррациональности в знаменателе дроби в выражениях вида . Умение преобразовывать выражения, содержащие корни, часто используется как в самом курсе алгебры, так и в курсах геометрии, алгебры и начал анализа.
Продолжается работа по развитию функциональных представлений учащихся. Рассматриваются функция , ее свойства и график. При изучении функции показывается ее взаимосвязь с функцией , где x ≥ 0.
Уравнения и неравенства
Квадратные уравнения
Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.
В начале темы приводятся примеры решения неполных квадратных уравнений. Этот материал систематизируется. Рассматриваются алгоритмы решения неполных квадратных уравнений различного вида.
Основное внимание следует уделить решению уравнений вида ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, с использованием формулы корней. В данной теме учащиеся знакомятся с формулами Виета, выражающими связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трехчлена на линейные множители.
Дробные рациональные уравнения
Учащиеся овладевают способом решения дробных рациональных уравнений, который состоит в том, что решение таких уравнений сводится к решению соответствующих целых уравнений с последующим исключением посторонних корней.
Изучение данной темы позволяет существенно расширить аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач.
Неравенства
Основная цель – ознакомить учащихся с применением неравенств для оценки значений выражений, выработать умение решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.
Свойства числовых неравенств составляют ту базу, на которой основано решение линейных неравенств с одной переменной. Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств находят применение при выполнении простейших упражнений на оценку выражений по методу границ. Вводятся понятия абсолютной погрешности и точности приближения, относительной погрешности.
Умения проводить дедуктивные рассуждения получают развитие как при доказательствах указанных теорем, так и при выполнении упражнений на доказательства неравенств.
В связи с решением линейных неравенств с одной переменной дается понятие о числовых промежутках, вводятся соответствующие названия и обозначения. Рассмотрению систем неравенств с одной переменной предшествует ознакомление учащихся с понятиями пересечения и объединения множеств.
При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах. Особое внимание следует уделить отработке умения решать простейшие неравенства вида ах > b, ах < b, остановившись специально на случае, когда а < 0.
В этой теме рассматривается также решение систем двух линейных неравенств с одной переменной, в частности таких, которые записаны в виде двойных неравенств.
Требования к уровню подготовки обучающихся 8 класса
В результате изучения математики обучающиеся должны
знать / понимать:
существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;
существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
как используются уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;
как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
уметь:
выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
решать квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним;
решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;
решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;
определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;
описывать свойства изученных функций, строить их графики;
проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений; оценивать логическую правильность рассуждений;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
вычислять средние значения результатов измерений;
решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения.
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами, при исследовании несложных практических ситуаций;
интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами;
распознавания логически некорректных рассуждений;
записи математических утверждений, доказательств;
анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов.
