Учебно-методическое пособие по теме Числовые и рациональные выраженияя

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ

КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ

КРАСНОДАРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

«ЧИСЛОВЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ»

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ»

общеобразовательный цикл

образовательной программы среднего профессионального образования

по программе подготовки специалистов среднего звена

Краснодар, 2016

Заместитель директора по НМР

ГАПОУ КК КГТК

______________ Н.И. Тутынина

«____» _____________ 2016 г.

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УР

ГАПОУ КК КГТК

_______________ Г.А. Словцова

«_____» _____________2016 г.

РАСМОТРЕНО

на заседании П(Ц)К естественнонаучных и математических дисциплин

Председатель П(Ц)К

______________ М. И. Андрюхина

«____» _____________ 2016 г.

Составитель: Андрюхина М.И., преподаватель математики ГАПОУ КК КГТК

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Учебно-методическое пособие «Числовые и рациональные выражения» разработано в соответствии с требованиями ФГОС СПО и по своему целевому назначению предназначено для изучения дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» общеобразовательного цикла образовательной программы СПО.

Учебно-методическое пособие включает в себя учебную цель, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме «Числовые и рациональные выражения», вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической и самостоятельной работы студентов, а так же задания для проведения текущего контроля по разделу «Числовые и рациональные выражения» по темам:

1. Числовые выражения.

2. Комплексные числа.

3. Рациональные выражения.

4. Рациональные уравнения.

5. Рациональные неравенства.

В результате изучения программного материала обучающиеся овладеют знаниями и умениями по основным вопросам:

• Числовые множества. Действия над числами, нахождение приближенных значений величин, абсолютной и относительной погрешности вычислений.

• Понятие комплексных чисел, геометрическая интерпретация комплексных чисел, алгебраическая и тригонометрическая запись комплексных чисел, правила действий с комплексными числами.

• Тождественные преобразования рациональных выражений – приведение подобных слагаемых, разложение на множители; преобразование дробно-рациональных выражений.

• Методы решения рациональных уравнений, систем рациональных уравнений.

• Методы решения рациональных неравенств, систем рациональных неравенств.

Тематика пособия в полом объеме соответствует содержанию рабочей программы дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» и направлена на овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения дисциплин естественнонаучного цикла, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне.

При составлении пособия соблюдалось единство понятий, терминологии, символики, обозначений в соответствии с действующими общеобразовательными стандартами

Учебно-методическое пособие «Числовые и рациональные выражения» может быть использовано в учебном процессе для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия».

Тема 1.1. Числовые выражения.

Учебная цель: Отработать арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной).

Краткое содержание теоретических вопросов.

1. Числовые множества.

N – множество натуральных чисел (n N, n = 1, 2, 3, 4 …).

Z – множество целых чисел (z Z, z = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 …).

Q – множество рациональных чисел (целые и дробные числа).

Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби ( ≈ 1,41421…; ≈ 1,73205…; π ≈ 3,14159…).

R – множество действительных чисел (рациональные и иррациональные числа).

2. Свойства действий с числами.

• a + b = b + a – переместительный закон сложения;

• (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательный закон сложения;

• a ∙ b = b ∙ a – переместительный закон умножения;

• (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) – сочетательный закон умножения;

• c ∙ (a + b) ∙ c = c ∙ a + c ∙ b – распределительный закон умножения;

3. Десятичные дроби.

• Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби нужно сложить (вычесть) соответствующие разряды.

Пример 1. Выполнить действия.

а) 23,04 + 1,306 = 24,346; б) 541, 2  3,44 = 537,76.

• Чтобы умножить десятичные дроби нужно выполнить умножение не обращая внимания на запятую, а в произведении отделить столько знаков после запятой, сколько их в обоих множителях вместе.

Пример 2. Выполнить действия.

а) 2,1 ∙ 0,05 = 0,105; б) 0,05 ∙ 12 = 0,6;

• Чтобы разделить на десятичную дробь нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько знаков, сколько их содержится в делителе после запятой.

Пример 3. Выполнить действия.

а) 0,48 : 0,03 = 4,8 : 3 = 1,6;

б) 125 : 2,5 = 1250 : 25 = 50;

в) 0,00063 : 0,021 = 0,63 : 21 = 0,03.

4. Обыкновенные дроби.

– обыкновенная дробь, m – числитель, n – знаменатель, (m N, n N).

• Если m ˂ n, то дробь называется правильной (например: ; и т.д.).

• Если m ˃ n, то дробь называется неправильной (например: ; и т.д.).

• Дроби и называются взаимообратными.

Пример 4. Выделить из неправильной дроби целую часть.

а ) = 1 ; б) = 3 ; в) = 5

• Дроби, содержащие целую и дробную части, называют смешанными.

Пример 5. Представить смешанную дробь неправильной.

2 = = ; 5 = = .

• Основное свойство дроби: = ; = .

• Чтобы сократить дробь нужно числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий множитель.

Пример 6. Сократить дробь.

а) = = ; б) = = .

Пример 7. Записать обыкновенную дробь десятичной.

а) = = = 0,6; б) 7 = 7 = 7 = 7,08.

Можно ли записать дробь десятичной дробью?

Пример 8. Записать десятичную дробь обыкновенной.

а) 0,24 = = ; б) 3,4 = 3 = 3 ; в) 12,008 = 12 = 12 .

Пример 9. Привести дроби к общему знаменателю.

а) и ; = ; = ; б) и ; = ; = .

• Чтобы сложить (вычесть) обыкновенные дроби нужно привести их к общему знаменателю. Числители дробей складываются (вычитаются), а знаменатель равен общему знаменателю дробей.

Пример 10. Выполнить действия.

а) + = + = = 1 ;

б) 2 + 4 = 2 + 4 = 6 ;

в) 1,12 + = 1 + = 1 + = 1 + = 1 = 2 .

Пример 11. Выполнить действия.

а) 5  3 = 5  2 = 3 ;

б) 1  =  = ;

в) 6  2 = 5  2 = 3 ;

г) 10  4 = 10  4 = 9  4 = 9  4 = 5 = 5 .

• Чтобы умножить обыкновенные дроби нужно умножить числители дробей и умножить знаменатели дробей: ∙ = .

Пример 12. Выполнить действия.

а) ∙ = = = ;

б) 2 ∙ = ∙ = = = = 1 .

• Чтобы разделить на обыкновенную дробь нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю: : = .

Пример 13. Выполнить действия.

а) : = = = ;

б) 2,1 : = : = = = = 2 .

5. Пропорция.

• Пропорцией называется равенство двух отношений: =

Пример: =

• Крайние члены пропорции – a и d, средние члены пропорции – b и с.

• Основное свойство пропорции: a ∙ d = b ∙ c.

6. Действия с положительными и отрицательными числами.

• Модуль (абсолютная величина) числа а показывает сколько единиц и их долей содержит число a, и является величиной неотрицательной: |a| ≥ 0.

|5,02| = 5,02; | 45,1| = 45,1; |0| = 0.

• Чтобы сложить числа с разными знаками нужно от большего модуля отнять меньший и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

Пример 17. Вычислить.

а)  3,5 + 10,1 = 10,1  3,5 = 6,6;

б) 1  2 =  (2  1 ) =  (2  1 ) =  1 .

• Чтобы сложить отрицательные числа нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак «».

Пример 18. Вычислить.

а)  12,3  8,15 =  (12,3 + 8,15) =  20,45;

б)   4 =  ( + 4 ) =  ( + 1 ) =  1 .

• Чтобы умножить (разделить) числа с разными знаками нужно умножить (разделить) их модули и перед результатом поставить знак «».

Пример 19. Вычислить.

а) 2,1 ∙ ( 0,3) =  0,63; б)  15 ∙ =  9.

• Чтобы умножить (разделить) отрицательные числа нужно умножить (разделить) их модули и перед результатом поставить знак «+».

Пример 20. Вычислить.

а)  2,4 : ( 0,03) = 80;

б)  : ( ) = ∙ = = 1 .

6. Приближенные вычисления.

• Правило округления чисел:

1. Найти цифру в разряде, до которого нужно округлить число;

2. Все последующие цифры справа заменить на 0;

3. Если стоящая рядом справа цифра меньше 5, то цифра, стоящая в округляемом разряде не меняется, а если больше 5, то цифра, стоящая в округляемом разряде увеличивается на 1.

Пример 17. Округлить число 4 520,8169:

а) до тысячных; 4 520,8169 ≈ 4 520,8170 = 4 520,817;

б) до сотых; 4 520,8169 ≈ 4 520,8200 = 4 520,82;

в) до десятых; 4 520,8169 ≈ 4 520,8000 = 4 520,8;

г) до единиц; 4 520,8169 ≈ 4 521,0000 = 4 521;

д) до десятков; 4 520,8169 ≈ 4 520,0000 = 4 520;

е) до сотен; 4 520,8169 ≈ 4 500,0000 = 4 500;

ж) до тысяч; 4 520,8169 ≈ 4 000,0000 = 5 000.

• Число а называется приближенным значением числа A с точностью до числа h ˃ 0, если |A  a| ≤ h.

• Величина |A  a| называется абсолютной погрешностью числа а.

Пример 18. Округлите число 25,6198 до сотых и вычислите абсолютную погрешность полученного приближенного значения.

Решение. 25,6198 ≈ 25,6200; |25,6198  25,6200 | = 0,0002.

• Отношение абсолютной погрешности числа к приближенному значению называется относительной погрешностью: .

• Чтобы выразить относительную погрешность в процентах нужно величину умножить на 100: × 100.

Пример 19. Округлите число 2539 до сотен и вычислите относительную погрешность приближенного значения, выраженную в процентах.

Решение. 2539 ≈ 2500; = = = 0,0156 = 1,56%.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какие числовые множества вы знаете?

2. Сформулируйте свойства действий над числами.

3. Как сложить, умножить, разделить десятичные дроби?

4. Что называют обыкновенной дробью?

5. Какая обыкновенная дробь называется правильной, неправильной?

6. Сформулируйте основное свойство дроби.

7. Как сократить обыкновенную дробь?

8. Как сложить, умножить, разделить обыкновенные дроби?

9. Что называется пропорцией?

10. Сформулируйте основное свойство пропорции.

11. Сформулируйте правила действий с положительными и отрицательными числами.

12. Как округлить число до заданного разряда?

13. Как вычислить абсолютную и относительную погрешность приближенных значений величин?

Практическая работа № 1.

«Нахождение значений числовых выражений»

Задание 1. Найдите значение выражения.

а) (1 – 2 ) : (0,75 – 1 );

б) 4 – (4 – 5,25) : 1 ;

в) (1,2 – 1 ) ∙ (– ) – 1 : 2 ;

г) (– 2,5 + 2 ) ∙ (– 5 ) + 1 : (– 5,6);.

д) (1,25 – 1 ) ∙ (– 5 ) – 1 : 5 .

Задание 2. Найдите значение выражения.

∙ (1,4х – 3,5) + 1,2 ∙ (3 – 2х), если х = – 1 .

Задание 3. Решите задачи на проценты:

а) В кафе завезли 40 кг конфет. Из них 36% – «Ласточка», 24% – «Ромашка», а остальные – «Гулливер». Сколько килограммов «Гулливера» завезли в кафе?

б) Молоко содержит 6% сливок. Сколько потребуется молока, чтобы получить 12,6 кг сливок?

в) Бригада за смену изготовила 48 деталей при норме 40 деталей. На сколько процентов бригада перевыполнила план?

Задание 4. Найдите погрешность приближенного значения.

а) Число 20 458 округлите до тысяч; (458; 2,29%)

б) Число 396 500 округлите до десятков тысяч; (3 500; 0,875%)

найдите абсолютную и относительную (выраженную в процентах) погрешности приближенного значения.

Практическая проверочная работа № 1.

«Нахождение значений числовых выражений»

Вариант 1

Вариант 2

1. Найдите значение выражения.

а) (– 2,5 + 3 ) : (– 2 )

– 0,4

а) (– 1 – 3,5) ∙ (– 1 )

5

б) (1 – 5 ) : (– + 2,1)

– 2

б) ( – 6,6) : (– 1 – 1 )

2,4

в) – 0,28 ∙ + : 2

0,09

в) ∙ (– 0,3) – : 1

– 1

2. Найдите значение выражения.

1,8 ∙ (4 – 2х) + 0,4х – 6,2, если х =

0,5

1,2 ∙ (4 – 3у) + 0,4у – 5,8, если у = –

– 0,5

3. Решите задачи на проценты

26

50

75

14

25

80

4. Найдите погрешность приближенного значения.

Число 49 605 округлите до тысяч. Найдите абсолютную и относительную (выраженную в процентах) погрешности приближенного значения.

395

0,79

Число 40 250округлите до тысяч. Найдите абсолютную и относительную (выраженную в процентах) погрешности приближенного значения.

250

0,625

Самостоятельная работа № 1.

Практикум по теме «Числовые выражения»

Задание 1. Найдите значение выражения.

а) (– 1,25 + 1 ) : (– 1 – 0,5);

б) 2 – (6 – 7 ) : ;

в) (2,7 – 2 ) ∙ (– 1 ) – : 2 ;
Задание 2. Найдите значение выражения.

∙ (1,8у – 2,7) + 0,6(2 – 3у), если у = – 1 .

Задание 3. Решите задачи на проценты.

а) В зоопарке обезьяны съедают 60 кг фруктов и овощей. Из них 27% бананов, 33% моркови, а остальные – яблоки. Сколько килограммов яблок съедают обезьяны?

б) Картофель содержит 21% крахмала. Сколько потребуется картофеля, чтобы получить 12,6 кг крахмала?

в) За день работники фермерского хозяйства собрали 12 т картофеля вместо 15 т по плану. Сколько процентов плана осталось выполнить?

Задание 3. Число 19 534 округлите до тысяч. Найдите абсолютную и относительную (в процентах) погрешности приближенного значения. (466; 2,33%)

Тема 1.2. Комплексные числа.

Учебная цель: рассмотреть определение комплексных чисел, геометрическую интерпретацию комплексных чисел, алгебраическую и тригонометрическую запись комплексных чисел, правила действий с комплексными числами.

Краткое содержание теоретических вопросов.

1. Алгебраическая запись комплексного числа.

• Комплексным числом z называется число вида а + bi, где а и b – действительные числа, а символ i удовлетворяет условию = – 1. Запись z = а + bi называется алгебраической записью комплексного числа.

• Число а называется действительной частью комплексного числа, bi называется мнимой частью комплексного числа, число i называется мнимой единицей.

С – множество комплексных чисел: R C.

• Два комплексных числа = а + bi и = с + di называются равными, если равны их действительные и мнимые части: а = с и b = d.

• Число z = 0 + 0i называется нулем и совпадает с нулем множества действительных чисел.

• Комплексные числа z = а + bi и = а – bi называются комплексно-сопряженными.

2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексное число z = a + bi можно представить точкой координатной плоскости Оху с координатами (а; b) (рис. 1).

• Плоскость, в которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Ось Ох называют действительной осью.

Ось Оу называют мнимой осью.

Пример 1. Изобразить на плоскости комплексное число: a) z = 3 – 2i; б) z = – 4 + 5i.

3. Действия с комплексными числами.

Для комплексных чисел = + i и = + i выполняются операции:

= ( ) + ( ) i.

= ( – ) + ( + ) i.

z ∙ = (а + bi)(a – bi) = +.

+ = (а + bi)(a – bi).

= = , 0.

Пример 2. Выполнить действия:

а) (3 – 4i) + (– 5 + 7i) = – 2 + 3i;

б) 8i ∙ 7i + 2i = 8 ∙ 7 ∙ i ∙ i = 56 = – 56;

в) (3 – 4i) ∙ (– 5 + 7i) = 3 ∙ (– 5) + 3 ∙ 7i + (– 4i) ∙ (– 5) + (– 4i) ∙ 7i = – 15 + 21i + 20i + 28 = 13 + 41i;

г) (5 + 3i) ∙ (5 – 3i) = 25 + 9 = 34;

д) = = = – + i;

е) = = 8i.

Пример 3. Решить уравнения:

а) + 49 = 0; = – 49; x = ± ; x = ± 7i;

б) + 4х + 13 = 0; D = – 36 = 36; = –2 – 3i; = – 2 + 3i

Пример 4. Разложите на множители:

1. + 4= (a + 2bi)(a – 2bi).

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Дайте определение комплексных чисел.

2. Какова геометрическая интерпретация комплексных чисел?

3. Какова алгебраическая и тригонометрическая запись комплексных чисел?

4. Сформулируйте правила действий с комплексными числами.

Практическая фронтальная работа № 2

«Комплексные числа»

Задание 1. Изобразить на плоскости комплексное число:

a) z = 2 + 3i; б) z = – 1 – 4i.

Задание 2. Выполнить действия:

а) (3 – 4i) + (– 5 + 7i) = – 2 + 3i;

б) 8i ∙ 7i + 2i = 8 ∙ 7 ∙ i ∙ i = 56 = – 56;

в) (3 – 4i) ∙ (– 5 + 7i) = 3 ∙ (– 5) + 3 ∙ 7i + (– 4i) ∙ (– 5) + (– 4i) ∙ 7i = – 15 + 21i + 20i + 28 = 13 + 41i;

г) (5 + 3i) ∙ (5 – 3i) = 25 + 9 = 34;

д) = = = – + i;

е) = = 8i.

Задание 3. Решить уравнения:

а) + 49 = 0; = – 49; x = ± ; x = ± 7i;

б) + 4х + 13 = 0; D = – 36 = 36; = –2 – 3i; = – 2 + 3i

Задание 4. Разложите на множители:

a) + 4= (a + 2bi)(a – 2bi).

Тема 1.3. Рациональные выражения.

Учебная цель: отработать тождественные преобразования рациональных выражений – приведение подобных слагаемых, разложение на множители; преобразование дробно-рациональных выражений.

Краткое содержание теоретических вопросов.

1. Тождественные преобразования.

c(a + b) = ca + cb;

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd;

• Формулы сокращенного умножения.

= 2ab + ;

= 3b + 3a ;

– = (a – b)(a + b);

– = (a – b)( + ab + );

+ = (a + b)( – ab + ).

• Свойства степеней.

• ∙ = ;

• = ;

• = ;

• = ∙ .

2. Рациональные выражения.

• Многочленом степени n (n N) называется всякое выражение вида:

3. P(x) = anxⁿ + an - 1x^{n - 1} + … + a1x + a0, где an, an – 1, …, a1, a0 R, an ≠ 0.

4. Пример 1. Представить выражение в виде многочлена.

5. a) (5с + 2 – 7) – (6с – 9);

6. б) – 8а – 2а ∙ (16 + 3);

7. в) – 4 ∙ (5m – 12) + 10;

8. г) (х – 2)(х + 3);

9. д) (2 – 5)( – 1);

10. e) (8 – х)(8 + х);

11. ж) (4у – 10)(4х + 10);

12. е) ;

13. ж) ;

14. з) .

15. 3. Способы разложения многочлена на множители.

1. Вынесение множителя за скобку.

16. Пример 2. Разложить на множители.

17. а) 2у² – 6ху; б) 18х⁴ + 12х³; в) 8х⁴у² – 12х²у³ + 4х²у².

2. Разложение по формулам сокращенного умножения.

18. Пример 3. Разложить на множители.

19. а) 9 – 4;

20. б) 144 – 1;

21. в) 49 + 28х + 4;

22. г) 9 – 24у + 16;

23. д) – 8;

24. е) 1 + 27.

4. Способ группировки.

5. Пример 4. Разложить на множители.

6. а) xa + xb + 6a + 6b;

7. б) – + x – 1;

8. в) ab – 2a – 2b + 4;

9. г) 2ху – 3ау + 2 – 3ах.

• Дробно рациональные выражения содержат дроби, в знаменателе которых содержится переменная.

• Чтобы сократить дробь нужно числитель и знаменатель дроби разложить на множители.

10. Пример 5. Сократить дробь.

11. а) ;

12. б) ;

13. в) ;

14. г) .

• Преобразования дробно рациональных выражений (сложение, умножение, деление) выполняются по правилам действий с обыкновенными дробями.

15. Пример 6. Выполнить действия.

16. а) – ;

17. б) + ;

18. в) ∙ ;

19. д) ∙ ;

20. e) : ;

21. ж) : .

22. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Сформулируйте правила тождественных преобразований многочленов: умножение одночлена на многочлен; умножение многочлена на многочлен.

2. Запишите формулы сокращенного умножения.

3. Сформулируйте способы разложения многочлена на множители.

4. Сформулируйте правила тождественных преобразований дробно рациональных выражений.

23. Практическая фронтальная работа № 3

24. «Преобразование рациональных выражений»

25. Задание 1. Сократите дробь.

26. а) ; б) ; в) .

27. Задание 2. Выполнить действия.

28. а) + ;

29. б) – ;

30. в) – ;

31. г) ∙ ;

32. д) 30 y : ;

33. e) : .

34. Задание 3. Упростите выражение.

35. a) ∙ ( + );

36. б) ( – ) : ( + );

37. в) ( + 1) ∙ ;

38. г) ∙ (y + );

39. д) (x – ) : ;

40. е) – ∙ ;

41. ж) ∙ + ;

42. з) + ∙ ;

43. и) ( – ) : ;

44. Практическая проверочная работа № 3

45. «Преобразование рациональных выражений»

    Вариант 1.

    47. Вариант 2.

    1. Сократите дробь

    48. а) ;

    50. а) ;

    52. б) ;

    54. б) ;

    56. в) ;

    58. в) ;

    2. Выполните действия

    60. а) + ;

    62. а) – ;

    64. б) – ;

    66. б) – ;

    68. в) – ;

    70. в) + ;

    72. г) ∙ ;

    74. г) ∙ 17;

    76. д) : ;

    78. д) : ;

    80. е) : .

    82. е) ∙ .

    3. Упростите выражение

    84. а) ∙ ( + );

    86. а) ∙ ( + );

    88. б) : – .

    90. б) + : .

46. Самостоятельная работа № 3

47. Практикум по теме «Рациональные выражения»

48. Задание 1. Сократите дробь.

49. а) ; б); в) . а) (); б) (); в) ().

50. Задание 2. Выполнить действия.

97. а) – ;

98. б) + ;

99. в) ∙ ;

100. г) : .

101. Задание 3. Упростите выражение.

102. а) ∙ ( – );

103. б) ( – ) : ( – );

104. в) (2 + ) ∙ ;

105. г) ∙ ( – b);

106. д) ( – 2y) : ;

107. е) – ∙ .

108. Тема 1.4. Рациональные уравнения.

109. Учебная цель: отработать основные методы решения рациональных уравнений, систем рациональных уравнений.

110. Краткое содержание теоретических вопросов.

1. Целые рациональные уравнения.

• Уравнения Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен, называются целыми рациональными уравнениями.

• Квадратным уравнением называется уравнение вида а + bx + c = 0, где числа (коэффициенты) а, b, с R, (а ≠ 0).

• Формулы корней квадратного уравнения.

111. D = – 4ac – дискриминант квадратного уравнения, и – корни квадратного уравнения

112. Если D ˃ 0, то = ;

113. Если D = 0, то x = ;

114. Если D ˂ 0, то уравнение не имеет корней.

115. Пример 1. Решить уравнение 3 + 5х – 2 = 0, = – 2, = .

• Уравнение + bx + c = 0 (а = 0) называется приведенным квадратным уравнением.

• Теорема Виета. Если и – корни приведенного квадратного уравнения + bx + c = 0, то выполняются условия:

117. Пример 2. Решить уравнение – 2x – 15 = 0, = – 3, = 5.

• Если и – корни уравнения а + bx + c = 0, то квадратный трехчлен а + bx + c можно разложить на множители:

118. а + bx + c = а(х – )(х – ).

119. Пример 3. Сократите дробь = = .

• Неполными квадратными уравнениями называются уравнения вида:

120. b = 0; а + c = 0; = ± ;

121. с = 0; а + bx = 0; х(ах + b)

122. Пример 4. Решить уравнения: а) 3 – 0,75 = 0; б) 4 + 10х = 0.

123. Методы решения рациональных уравнений.

1. Разложение на множители.

124. Пример 5. Решить уравнение.

125. а) + 6 – 7х = 0; б) – 4 – 9х + 36 = 0;

2. Введение новой переменной.

126. Пример 6. а) – 13 + 36 = 0, (D =169 – 144 = 25, = 4, = 9);

127. б) – 4( – 7) – 45 = 0, (D = 16 + 180 = 196, = – 5, = 9).

128. Методы решения систем рациональных уравнений с двумя переменными.

1. Способ сложения.

129. Пример 7. Решить систему уравнений.

130. (– 2; – 1)

2. Способ подстановки.

131. Пример 8. Решить систему уравнений.

132. а) (1; 4)

133. б) (1; 3), (– 2; 0).

2. Дробно рациональные уравнения.

• Дробно рациональными уравнениями называются все уравнения вида = 0, где P(x) и Q(x) – многочлены.

• Уравнение = 0 равносильно системе

134. Пример 9. Решить уравнение.

135. а) = ;у = 1.

136. б) – = ; у = – .

137. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Запишите формулы корней квадратного трехчлена; теорему Виета.

2. Сформулируйте методы решения рациональных уравнений.

3. Сформулируйте методы решения дробно рациональных уравнений.

4. Сформулируйте методы решения систем рациональных уравнений.

138. Практическая фронтальная работа № 4

139. «Решение рациональных уравнений»

140. Задание 1. Решить уравнения.

141. а) – 5х + 6 = 0;

142. б) 5 – 4х – 1 = 0;
     в) 7 + 8х + 1 = 0;

143. г) 3 + 18х = 0;

144. д) 4 – 17х = 0;

145. е) 4 – 25 = 0.

146. Задание 2. Сократить дробь.

147. a) ; б) ; в) .

148. Задание 3. Решить уравнения.

149. а) – 5 – 6х = 0;

150. б) + 5 – 4х – 20 = 0;

151. в) – 3 – 4 = 0;

152. г) – 6 + 5 = 0;

153. Задание 4. Решить системы уравнений.

154. а) б)

155. в) г) .

156. Задание 5. Решить уравнения.

157. а) = ;

158. б) = – 2;

159. в) = х – 6;

160. г) – = 3;

161. д) – = .

162. Практическая проверочная работа № 4

163. «Решение рациональных уравнений»

     Вариант 1

     165. Вариант 2

     1. Решите уравнения

     166. а) – 8х + 7 = 0

     167. 1;7

     168. а) – 6x + 8 = 0

     169. 2; 4

     170. б) 5 + 12x = 0

     171. 0; – 2,4

     172. б) 2 – 3x = 0

     173. 0; 1,5

     174. в) 2 – 18 = 0

     175. ± 3

     176. в) 3 – 12 = 0

     177. ± 2

     2. Сократите дробь

     3. Решите уравнения

     182. а) + 2 – 3х = 0

     183. 0; 1; – 3

     184. а) + 2 – 8х = 0

     185. 0; 2; – 4

     186. б) – 5 + 4 = 0

     187. ± 1; ± 2

     188. б) – 10 + 9 = 0

     189. ± 1; ± 3

     4. Решите системы уравнений

     190. а)

     191. (3; 3)

     192. а)

     193. (4; 3)

     194. б)

     195. (3; 5)

     196. (– 4; – 2)

     197. б)

     198. (1; 3)

     199. (– 2; 0)

     5. Решите уравнения.

     200. а) =

     201. (– 9; 1)

     202. а) =

     203. (– 1; – 4)

     204. б) + = 3

     205. (5; )

     206. б) + = 2

     207. (8; )

164. Самостоятельная работа № 4

165. Практикум по теме «Рациональные уравнения»

166. Задание 1. Решите уравнения.

167. а) – 7х + 10 = 0; б) 6 + 9х = 0; в) 5 – 20 = 0

168. Задание 2. Сократите дробь: .

169. Задание 3. Решите уравнения.

170. а) – 7 + 12х = 0; б) – 8 – 9 = 0;

171. Задание 4. Решите системы уравнений.

172. а) б)

173. Задание 5. Решите уравнения.

1. = ; б) – = 2.

218. Тема 1.5. Рациональные неравенства.

219. Учебная цель: отработать основные методы решения рациональных неравенств, систем рациональных неравенств.

220. Краткое содержание теоретических вопросов.

• Целыми рациональными неравенствами называются все неравенства вида Р(х) ˃ 0, где Р(х) – многочлен.

• Метод интервалов. Пусть многочлен Р(х) можно разложить на множители:

221. Р(х) = (х – ) ∙ (х – ) ∙ … ∙ (х – ),

222. где , …, – корни многочлена, тогда неравенство Р(х) ˃ 0 равносильно неравенству: (х – ) ∙ (х – ) ∙ … ∙ (х – ) ˃ 0. В каждом из промежутков, на которые разбивается множество значений переменной х корнями многочлена, знак многочлена сохраняется, а при переходе через ( ≤ ≤ ) знак многочлена меняется.

223. Пример 1. Решить неравенства.

224. а) 3х + 5 ≤ 7х – 9;

225. б) – 8х + 12 ˃ 0;

226. в) – + 5 + 6х ≥ 0.

• Дробно рациональными неравенствами называются неравенства вида ˃ 0, где Р(х) и Q(x) многочлены.

• Неравенство ˃ 0 равносильно неравенству P(x) ∙ Q(x) ˃ 0.

• Неравенство ≥ 0 равносильно системе

227. Пример 2. Решить неравенства.

228. а) ˂ 0; б) ≥ 0;

229. Пример 3. Решить системы неравенств.

230. а)

231. б)

232. Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Сформулируйте метод интервалов для решения рациональных неравенств;

2. Сформулируйте методы решения дробно рациональных неравенств;

3. Сформулируйте методы решения систем рациональных неравенств с одной переменной.

233. Практическая фронтальная работа № 5

234. «Решение рациональных неравенств»

235. Задание 1. Решите неравенства.

236. а) 4х – 5 ˃ 3х + 8;

237. б) 5х + 10 ≥ 7х – 1;

238. в) – 6x + 8 ˂ 0;

239. г) 15x – 4 ≤ 0;

240. д) – x ˂ 0;

241. е) – – 6x ˃ 0;

242. ж) ≥ 0;

243. з) ˂ 0;

244. и) ≤ 0.

245. Пример 2. Решите системы неравенств.

246. а)

247. б)

248. в)

249. г)

250. д)

251. е)

252. Практическая проверочная работа № 5

253. «Решение рациональных неравенств»

     Вариант 1

     255. Вариант 2

     1. Решите неравенства

     256. а) 4х – 9 ˃ 21 + х

     257. (10; + ∞)

     258. а) 5x + 12 ≤ 4 + 3x

     259. (– ∞; – 4]

     260. б) – 4x + 3 ≤ 0

     261. [1; 3]

     262. б) –3x – 4 ˃ 0

     263. (–∞; – 1), (4; + ∞)

     264. в) – 9x ≥ 0

     265. [– 3; 0], [3; + ∞)

     266. в) – 25x ˂ 0

     267. (–∞;– 5), (0; 5)

     268. г) ≤ 0

     269. (–∞;– 7], [0; 3)

     270. г) ≥ 0

     271. [– 2; 0), (4; + ∞)

     2. Решите системы неравенств

     272. а)

     273. [– 3,2; 0,5)

     274. а)

     275. [– 3; 5,5)

     276. б)

     277. (– ∞; – 4), (2; 3,5]

     278. б)

     279. (– 5; 1], [7; + ∞)

254. Самостоятельная работа № 5

255. Практикум по теме «Рациональные неравенства»

256. Задание 1. Решите неравенства.

283. а) 12х – 4 ≥ 7х – 11;

284. б) – 6x + 5 ˂ 0;

285. в) – 7x + 10 ≥ 0;

286. г) ≤ 0;

287. Задание 2. Решите системы неравенств.

288. а)

289. б)

290. в)

291. Тест по теме «Числовые и рациональные выражения»

1. Вычислите 23, 2 + 1,45:

292. а) 37,7 б) 24,65 в) 2,465 г) 24,47

2. Вычислите 10,05 – 4,8:

293. а) 5,23 б) 6,03 в) 5,7 г) 5,25

3. Вычислите 0,03 ∙ 3,4:

294. а) 102 б) 10,2 в) 0,102 г) 1,02

4. Вычислите 45 : 1,5:

295. а) 30 б) 3 в) 0,3 г) 300

5. Вычислите 2 +5:

296. а) 7 б) 7 в) 7 г) 7

6. Вычислите 7 – 4:

297. а) 3 б) 2 в) 3 г) 2

7. Вычислите ∙ :

298. а) 9 б) 3 в) 0,6 г) 0,3

8. Вычислите : :

299. а) б) в) 2 г) 3

9. Найдите 16% от числа 35:

300. а) 5,6 б) 4,8 в) 5,4 г) 4,6

10. Найдите неизвестный член пропорции = :

301. а) 90 б) 5 в) 0,5 г) 50

11. Округлите число 20 561 до сотен:

302. а) 20 560 б) 20 500 в) 20 600 г) 21 000

12. Упростите (3х  5)(3х + 5)  :

303. а) 24х  9 б) 24х  41 в) 12х  41 г)  41

13. Сократите дробь :

304. а) б) в) г)

14. Разложите на множители 18у  3с:

305. а) 3су(6 б) су(18 в) 3су(6 г) 6су(3

15. Решите уравнение 4х + 7 = 6х  5:

306. а)  1 б)  1,2 в)  6 г) 6

16. Решите уравнение + 3х = 0:

307. а) 0 б)  1,5 в) 0; 1,5 г) 0;  1,5

17. Решите уравнение  49 = 0:

308. а) ± 3,5 б) 0; 3,5 в) 12,25 г) 3,5

18. Решите уравнение + 5х + 6 = 0:

309. а) 2; 3 б)  3;  2 в)  3; 2 г)  2; 3

19. Решите неравенство х – 4 ≥ 3х + 10:

310. а) ( 7; + ∞) б) ( ∞;  7) в) ( ∞;  7] г) ( ∞;  7]

20. Решите неравенство  3х  4 ≤ 0:

311. а) [ 1; 4] б) ( ∞;  1] [4; + ∞) в) [ 4; 1] г) ( ∞;  4] [1; + ∞)

312. Ответы к тесту

314. 2

315. 3

316. 4

317. 5

318. 6

319. 7

320. 8

321. 9

322. 10

323. 11

324. 12

325. 13

326. 14

327. 15

328. 16

329. 17

330. 18

331. 19

332. 20

333. б

334. г

335. в

336. а

337. б

338. г

339. в

340. а

341. а

342. г

343. б

344. в

345. в

346. а

347. г

348. г

349. а

350. б

351. в

352. а

353. Литература:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования.  М.: Издательский центр «Академия», 2013.

2. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. Пособие для учреждений начального и среднего профессионального образования.  М.: Издательский центр «Академия», 2014.

3. Гусев В. А., Григорьев С. Г., Иволгина С. В. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования.  М.: Издательский центр «Академия», 2013.

4. Дадаян А.А. Математика.: учебник  М.: ФОРУМ, 2008.