Тема урока: Формулы сложения
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока: на основе полученных ранее знаний, вывести формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов; выработать умения и навыки применения данных формул к упрощению выражений, решению уравнений.
Ход урока:
1.Организационный этап. Учитель приветствует учащихся, объясняет тему урока, цели и задачи урока.
2. Повторение (подготовка учащихся к активному усвоению нового материала). Необходимо повторить с учащимися следующие понятия и формулы: вектор, скалярное произведение векторов, определение координат данного вектора, формула скалярного произведения в координатах, определения косинуса и синуса.
3. Изучение нового материала.
Вывод формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
[pic] [pic]
Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов [pic] и [pic] . же координаты имеют Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти соответственно и векторы [pic] и [pic] . По определению скалярного произведения векторов:
[pic] = х1х2 + y1y2. (1)
Выразим скалярное произведение [pic] [pic] [pic] через тригонометрические функции углов α и β. Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos α, y1 = R sin α, х2 = R cos β, y2 = R sin β.
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:
[pic] = R2cos α cosβ + R2sin α sinβ = R2(cos α cosβ + sin α sinβ).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:
[pic] = [pic] [pic] cos [pic] BOC = R2cos [pic] BOC.
Угол ВОС между векторами [pic] и [pic] может быть равен α - β (рис.1), [pic] - (α - β) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos [pic] BOC = cos (α - β). Поэтому
[pic] = R2 cos (α - β).
Т.к. [pic] равно также R2(cos α cosβ + sin α sinβ), то
cos(α - β) = cos α cosβ + sin α sinβ.
cos(α + β) = cos(α - (-β)) = cos α cos(-β) + sin α sin(-β) = cos α cosβ - sin α sinβ.
Значит, cos(α + β) = cos α cosβ - sin α sinβ.
4. Закрепление изученного материала.
1. Вычислить: 1) cos750, 2) cos150.
Решение: 1) Воспользуемся тем, что 750 = 450 + 300;
cos750 = cos( 450 + 300) = cos450·cos300 – sin450·sin300= [pic] ;
2) Воспользуемся тем, что 150 = 450 - 300;
cos150 = cos(450 - 300) = cos450·cos300 + sin 450·sin300 = [pic] .
2. Вычислить: [pic] , если известно, что [pic] .
Решение: [pic]
[pic] . По условию аргумент y принадлежит второй четверти, а в ней синус положителен. Поэтому из равенства [pic] находим, что [pic] .
[pic] .
3. Вычислить:
1) cos370cos80 – sin370sin80; 2) cos1070cos170 + sin1070sin170.
Решение: 1) cos370cos80 – sin370sin80 = cos(370 + 80) = cos450 = [pic]
2) cos1070cos170 + sin1070sin170 = cos(1070 - 170) = cos900 = 0.
4. Подведение итогов урока (выставление отметок, ответы на вопросы учащихся).
5. Домашнее задание.
§22, № 344-345
