Разработка метапредметного урока

по математике и физике

по теме «Производная в математике и физике» в 11 классе

( с использованием метапредметных образовательных технологий )

Учитель математики: Богданов Алим Ибрагимович

Учитель физики: Вакулова Л.А.

ГБОУ лицей № 445 Санкт-Петербурга

Основная цель урока – сформировать у учащихся умение решать простейшие практические задачи с использованием методов дифференциального исчисления.

В целях закрепления пройденного материала по математике и физике в 11 классе и углубления пройденного в 9 классе по физике (раздел механики) на уроке целесообразно рассмотреть следующие вопросы:

1. Определение производной в математике.

2. Физический смысл производной.

3. Примеры физических величин, являющихся производной по времени от других физических величин.

4. Таблица производных.

5. Вывод уравнения колебаний и его решение.

6. Использование производной для решения задач по механике:

а) определение скорости и ускорения;

б) нахождение максимальной величины.

7. Использование производной при решении задач на механические или электромагнитные колебания.

8. Решение задач на нахождение первообразной.

Ход урока

Вступительное слово учителя физики:

«Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость – это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение и т.д.»

Учитель математики:

«Рассмотрим произвольную функцию у = f ( x ).

Пусть Δх = х – х0 – приращение аргумента;

Δf = f ( x ) – f ( x0 ) = f ( x0+Δx ) – f ( x0 ) - приращение функции.

Тогда [pic] - скорость изменения функции.

А теперь дайте определение производной».

Первый учащийся дает определение производной ( и остается у доски).

Учитель физики: «Понятие производной так и осталось бы для многих учащихся математически абстрактным символом, если бы не уроки физики.

Я прошу вас назвать физические величины, являющиеся производной по времени от других физических величин, и выписать их обозначения в столбик».

( Рассматриваются следующие физические величины: скорость, ускорение, ЭДС индукции, сила тока).

Первый учащийся выполняет задание.

Затем учащимся предлагается дать определение этих величин и записать их через производную:

v = [pic] ; a = [pic] = [pic] ; ei = - [pic] ; i = [pic] .

Второй учащийся по карточке ( приложение 1 ) выписывает на доске значения табличных производных.

Учитель физики вызывает третьего ученика выводить на доске уравнение колебаний и дать его решение на основе знаний элементарных производных ( приложение 2 ).

Четвертый учащийся решает задачу на определение скорости ( приложение 3 ).

Пятый учащийся решает задачу на определение ускорения ( приложение 4 ).

Шестой учащийся решает задачу на нахождение max и min функции ( приложение 5 ).

Седьмой учащийся решает задачу по физике на определения max дальности полета струи жидкости ( приложение 6 ).

Учитель физики: «Производная используется не только при решении задач по механике, но, как мы убедились в начале урока, и при изучении электромагнитных колебаний. Решим задачу на определение параметров колебательной системы».

Восьмой учащийся решает задачу ( приложение 7 ).

Учитель математики: «Функция – обратная производной – это первообразная. Применяем первообразную в математике и при решении задач в физике».

Девятый ученик решает задачу ( приложение 8 ).

Используемая литература: открытый банк заданий ЕГЭ.

Приложение 1.

Запишите значения производных:

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

[pic] =

Приложение 2.

I. Вывод уравнения, описывающего процессы в колебательном контуре.

Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени:

[pic] , где L – индуктивность, С – электроемкость.

Эта энергия не меняется, если сопротивление контура равно нулю.

Следовательно:

[pic] ; [pic] = 0;

[pic] + [pic] = 0; т.е. [pic] = – [pic] ;

[pic] .

Так как [pic] и [pic] , то [pic] ; [pic] .

Отсюда, [pic] . ( 1 )

II. Решение уравнения, описывающего свободные колебания.

Нельзя считать, что [pic] или [pic] , так как в этом случае вместо

[pic] получилось бы равенство: [pic] .

Но небольшое усложнение формы решения приводит нас к цели.

Чтобы в выражении второй производной был множитель [pic] , запишем решение уравнения

( 1 ) в виде: [pic] . ( 2 )

Тогда [pic] ,

а [pic] .

Следовательно, функция ( 2 ) есть решение исходного уравнения ( 1 ).

Приложение 3.

Задача.

Материальная точка движется прямолинейно по закону:

[pic] .

а) Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t.

б) Найдите скорость в момент времени t = 2 сек. ( перемещение измеряется в метрах ).

в) Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

Решение:

а) [pic] .

б) t = 2 сек., [pic] .

в) [pic] ;

[pic] ;

[pic]

[pic] .

Ответ: 5 секунд.

Приложение 4.

Задача.

Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону [pic] , при [pic] .

Решение:

[pic] .

Найдем ускорение движения:

[pic] ;

[pic] ;

[pic] ;

[pic] .

Ответ: [pic] .

Приложение 5.

Задача.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции по рисунку:

[pic] [pic]

+ +

[pic] [pic]

х [pic]

[pic] [pic] [pic] – 1

Функция возрастает на [pic] и [pic] .

Ответ: точек max и min нет.

Приложение 6.

Задача.

В цилиндрическом баке высотой 5 м находится жидкость. На какой высоте нужно сделать отверстие в стенке бака, чтобы дальность полета струи была максимальной ?

Дано:

Н [pic] [pic] = 5 м

[pic] [pic]

L = max

H h

_________

h = ? L

[pic] [pic] [pic] [pic]

Решение:

1) Применим формулу Торричелли для скорости истечения жидкости из отверстия:

[pic] .

2) Пусть t – время движения элемента воды.

3) [pic] ; [pic] .

4) [pic] .

5) Дальность полета струи максимальна, если максимальна функция [pic] ,

то есть [pic] .

6) Найдем производную: [pic] .

7) Найдем критические точки:

[pic] [pic]

[pic]

[pic] [pic] h

y 2,5

Ответ: дальность полета струи будет максимальной, если сделать отверстие в стенке бака на высоте h = 2,5 м.

Приложение 7.

Задача.

Проволочная рамка площадью S равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В вокруг оси, перпендикулярно направлению поля. Период вращения равен Т. Выразите магнитный поток Ф, проходящий через рамку, и ЭДС индукции в рамке как функцию времени.

[pic] Дано: Решение:

Т , S, B 1) [pic] .

_________

Найти: 2) Угол [pic] меняется во времени: [pic] .

Ф ( t ) = ?

е ( t ) = ? 3) Тогда: [pic] .

4) [pic] .

Приложение 8.

Задача.

Материальная точка массой т движется вдоль оси Ох под действием силы, направленной вдоль оси Ох. В момент времени t сила равна F ( t ). Найдите формулу зависимости x ( t ) от времени t, если известно, что при t = t0 скорость точки равна v0, а координата равна х0.

( F ( t ) – в ньютонах, t – в секундах, v – в м/сек, m – в кг )

[pic] Дано: Решение:

[pic] , 1) По второму закону Ньютона:

[pic] ,

[pic] , [pic] , где [pic] – ускорение.

[pic] ,

[pic] . Отсюда: [pic] .

____________________

Найти: 2) [pic] .

[pic]

[pic] ;

[pic] ; [pic] ;

[pic] .

3) [pic] ;

[pic] ;

[pic] ; [pic] ;

[pic] .

Ответ: [pic]

9