Рекомендации ученикам по написанию КДР

Рекомендации учителя математики по написанию КДР

Всего 10 заданий на 45 минут считаем

[pic] минуты, поэтому отнеситесь серьезно к выполнению данных заданий.

Зада-ние с крат-ким отве-том

Задание № 1. Подразделяется на виды

1. Действия с целыми числами

2. Действия с обыкновенными дробями

3. Действия с десятичными дробями

4. Действия со степенями

5. Смешанные действия

В любом случае помните следующий алгоритм

1) Расставь порядок действий

а) изначально выполни операции в скобках

б) возведи в степень, не забудь при умножении степеней с одинаковым показателем, например ( [pic] ) степени складываются, при делении степеней с одинаковым показателем, например ( [pic] ), степени вычитаются, при возведении степени в степень, например ( [pic] ) степени перемножаются, при возведении произведения в степень, в степень возводится каждый множитель (например [pic] ), при возведении дроби в степень, в степень возводят и числитель и знаменатель (например [pic] ), при отрицательной степени, степень переворачивают, и она становится положительной (например [pic] или [pic] ). 0 как и 1 в любой степени останутся нулем и единицей при возведении (-1) в четную степень будет.1, а при возведении (-1) в нечетную степень -1, рассмотреть примеры.

в) выполни деление и умножение в порядке слева на право, не забудь что деление можно заменить умножением перевернув второе число, и пусть тебя не смущает что у тебя целые числа, их можно всегда заменить дробями с единицей в знаменателе (например [pic] ), ПОМНИ при умножении двух дробей сокращают (делят на одинаковое число) либо по диагонали, либо по вертикали, НО, НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ, НЕ ПО ГОРИЗОНТАЛИ. Не забудь про знаки при умножении и делении, минус на минус даст плюс, плюс на минус даст минус, минус на плюс даст минус, плюс на плюс даст плюс. А еще не забудь что при делении на 10; 100; 1000 … мы просто переносим запятую на 1, 2, 3, … знака влево, если не хватает знаков дописываем нули слева и переносим, при умножении на 10; 100; 1000 … , наоборот переносим запятую вправо, если есть куда, иначе дописываем нули, но уже справа не забывая переносить запятую.

г) выполни сложение и вычитание, начни со знаков, если два плюса то складывай, если плюс у первого минус у второго сравни что больше и из большего вычитай меньшее ставя знак большего, если равны зачеркни чтоб не мешали, наоборот если минус у первого плюс у второго - тоже сравни что больше и из большего вычитай меньшее ставя знак большего, если равны зачеркни чтоб не мешали, если два минуса складывай и ставь знак минус. Далее обрати внимание на числа, возможны варианты

г.а)целое и целое, десятичное и целое или наоборот, десятичное и десятичное

г.б)дробь обыкновенная и дробь обыкновенная, дробь обыкновенная и дробь неправильная или наоборот,

г.в) дробь обыкновенная и целое или наоборот, дробь неправильная и целое или наоборот

г.г) дробь обыкновенная и десятинная или наоборот, дробь неправильная и десятичная или наоборот

в каждом из вышеперечисленных случаев придется действовать по особому,

смотреть примеры.

При решении будьте внимательны иногда простым вынесением за скобки или их раскрытием, можно существенно облегчить себе объем работы. Подробнее если задание на верно и неверно, поступите следующим образом, + возле верных, - возле неверных, еще раз прочитайте, и только после этого заполняйте бланк.

При сложении дробей десятичных

Не отступим от правил обычных.

Пиши запятую под запятой,

Р

Например:

1

7,3

2,5

36 5

146

18,2 5

Дроби десятичные когда мы умножаем,

Запятой внимания почти не уделяем.

Здесь работает такое правило:

У [pic] множай их, как числа натуральные.

Подсчитав в множителях обоих

З [pic] наки, отделенные справа запятою.

Столько же отметь в произведении,

И получишь верное решение.

Рассмотрим примеры:

Пример №1 Сложение и вычитание десятичных дробей:

[pic]

Пример №2 Деление десятичных дробей

[pic]

Пример №3 Вычитание смешанных дробей

[pic]

2 (1 балл) Зада-ние на выбор ответа

Задание № 2 Прежде всего изобразите на числовой прямой все предложенные неравенства, обрати внимание на то где находится 0, не забудь поменять знак неравенства при умножении на число с «-» обеих частей неравенства рассмотреть примеры. Подробнее если задание на верно и неверно, поступите следующим образом, + возле верных, - возле неверных, еще раз прочитайте, и только после этого заполняйте бланк. Помни правильный ответ зачастую только один из четырех. Рассмотрим примеры тех заданий, которые могут вам встретиться:

Пример № 1: Задание поставь в соответствие числу точку

1. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  [pic] . Какая это точка?

[pic]

Решение: Возведем 7²= 49 [pic] 65; 8² = 64 [pic] 65, зхначит М соответствует числу [pic] .

Ответ: М.

Пример № 2

задание на Верно

1. О числах a и b известно, что  [pic] . Среди приведенных ниже неравенств выберите верные: 1)  [pic]  2)  [pic]  3)  [pic]

Решение: Рассмотрим каждое неравенство 1) если [pic] , то [pic] верное; 2) [pic] ; тогда [pic] неверно; 3) мы уже выяснили, что [pic] отрицательное число , тогда [pic] верно.

Ответ: 1,3.

Пример № 3

Задание на Не верно

1. О числах a и c известно, что  [pic] . Какое из следующих неравенств неверно?

Варианты ответа

1. На координатной прямой изображены числа а и с. Какое из следующих неравенств неверно?

[pic]

Варианты ответа

Пример № 4 задание на Возрастание

[pic]

Решение: сначала отметим на координатной прямой предложенные числа: [pic] будет меньше нуля так как смещая на 1 влево число [pic] , которое по модулю меньше 1 и само больше нуля получим [pic] больше -1, но меньше нуля, [pic] будет лежать хоть немного но правее чем 1, так как число [pic] по модулю меньше 1 и само больше нуля, а как мы помним [pic] и [pic] взаимно обратные числа и лежат по одну сторону от нуля и по разные стороны от 1 если [pic] положительно или по разные стороны от -1 если [pic] отрицательно, [pic] уже лежит на своем месте получим такой рисунок: [pic]

Далее перепишем числа в порядке с права на лево, получим: [pic] , [pic] , [pic] , найдем среди предложенных правильный ответ.

Ответ: 2

Пример № 5 задание на Убывание

[pic]

Решение: сначала отметим на координатной прямой предложенные числа: [pic] будет меньше нуля, но больше -1, так как само число [pic] больше -2, но меньше -1 и мы его смещаем на 1 вправо, [pic] будет лежать хоть немного но левее чем 1, и правее 0, так как число [pic] по модулю больше 1 и само меньше нуля, а как мы помним [pic] и [pic] взаимно обратные числа и лежат по одну сторону от нуля и по разные стороны от 1 если [pic] положительно или по разные стороны от -1 и по одну сторону от нуля если [pic] отрицательно, теперь учитывая что мы ищем не [pic] , а [pic] , делаем отметку на рисунке, [pic] будет лежать правее чем 1 и правее чем нуль, то есть правее единицы, так как квадрат ненулевого числа всегда больше нуля, и потому больше единицы, так как [pic] по модулю больше 1, получим следующий рисунок:

[pic]

Далее перепишем числа в порядке с лева на право, получим [pic] , [pic] , [pic] , найдем среди предложенных правильный ответ. Ответ:4

3 (1 балл)

Зада-ние с крат-ким отве-том

Задание № 3

а) при необходимости * на общий знаменатель, если более 3-х слагаемых 2 из которых содержат неизвестную.

б) будьте внимательны: 1) раскройте скобки не забыв про знак «-»

2) все с переменной в одну сторону без нее в другую

3) подобные, не заблудитесь в знаках

4) корень, не забыть про знак

5) если хватит время и целый корень, сделайте проверку, подставив вместо x, иначе не стоит, потратите много драгоценного времени!!!

Расскажу я вам рассказ

Около десятка фраз.

Ты от счета отвлекись,

О чем речь определи.

Раз – начну я свой рассказ

Два – все скобки раскрывай,

Три – подобные найди

И четыре – приведи

Пять – продолжу я считать.

Шесть – здесь тонкостей не счесть.

Семь – знак поменять сумей

Тем, что решил перенести.

Восемь – корень ты найди

И с облегчением вздохни.

Девять – черед пришел проверить.

Все, закончили решать!

Смело можно отдыхать!

Рассмотрим примеры:

Пример №1 скобки

[pic]

Решение:

[pic] проверка [pic]

Ответ: x=-10

Пример №2 дроби

[pic]

Решение:

[pic] проверка [pic]

Ответ: x=11,6

Пример №3 квадраты

[pic]

Решение: Раскроем скобки по формулам квадрат разности и квадрат суммы, приведем подобные и получим:

[pic] проверка [pic]

Ответ: x=20,5

4 (1 балл)

Зада-ние с крат-ким отве-том

Задание № 4 Есть возможность упростить жизнь, сначала подставь, потом вычисляй, если жизнь не стала проще, оставь на потом, возьмись за другое. Так как придется вспоминать формулы сокращенного умножения, приводить все к общему знаменателю, сокращать, делить, умножать, все не с числами, а с буквами, а потом только подставлять, подумай времени итак мало!!!

Нет ни проще, ни удобнее,

Чем слагаемые подобные.

Я сложу в один момент

Только коэффициенты.

Ну а буква та же в них –

Знает каждый ученик!

Но все же, надежда умирает последней, напомню формулы сокращенного умножения:

1.Квадрат суммы: Сумма (+) двух выражений в скобке с квадратом (степенью 2) за скобкой равна квадрату первого выражения (произведение выражения самого на себя), плюс удвоенное произведение обоих выражений из скобки, плюс квадрат второго и наоборот квадрату первого выражения (произведение выражения самого на себя), плюс удвоенное произведение обоих выражений из скобки, плюс квадрат второго равна Сумме (+) двух выражений в скобке с квадратом (степенью 2) за скобкой, при этом не забудьте извлечь квадратный корень из обоих квадратов и поставить знак плюс между ними, заключить выражение в скобки и поставить степень 2 за скобкой. Внимательно только два квадрата и удвоенное произведение, все знаки плюс

2.Квадрат разности: Разность (-) двух выражений в скобке с квадратом (степенью 2) за скобкой равна квадрату первого выражения (произведение выражения самого на себя), минус удвоенное произведение обоих выражений из скобки, плюс квадрат второго и наоборот квадрату первого выражения (произведение выражения самого на себя), минус удвоенное произведение обоих выражений из скобки, плюс квадрат второго равна Разности (-) двух выражений в скобке с квадратом (степенью 2) за скобкой , при этом не забудьте извлечь квадратный корень из обоих квадратов и поставить знак минус между ними, заключить выражение в скобки и поставить степень 2 за скобкой. Внимательно только два квадрата и удвоенное произведение, квадраты с плюсом, удвоенное произведение с минусом.

3.Разность квадратов: Разность(-) квадратов (вторых степеней) двух выражений равна произведению двух скобок, первая скобка сумма корней квадратных из данных квадратов, вторая скобка разность корней квадратных из данных квадратов

4.Вынесение общего множителя за скобки записываем перед скобкой выражение, на которое делятся все числа и одночлены, а в скобках пишем остатки от деления на данное выражение

5.Раскрытие скобок (фонтанчик): раскрывая скобки не забывайте умножать каждое на каждое например: [pic]

6.Умножение скобки на отрицательное число: при умножении скобки на отрицательное число, все выражения в скобке меняют свои знаки, на противоположные.

Если перед скобкой плюс,

Ничего я не боюсь!

Просто скобки опускаю,

Ну а знаки сохраняю.

Если перед скобкой минус,

То мозгами пораскину.

Скобки тоже опускаю,

Ну а знаки поменяю.

5 (1 балл) Зада-ние на установку со-ответ-ствия

Задание № 5 Вспомни летящий слева на право самолет и поставь соответствие функции [pic] , Далее по таблице:

Особо внимательно случаям параллельности одной из осей

Задание может быть двух видов прямое и обратное, в тренировочных работах представлены оба вида.

1 вид - для графика формулу, все четко по таблице.

2 вид – для формулы график немного сложнее, но с использованием таблицы жизнь проще!!!

В итоге вы должны заполнить следующую таблицу:

[pic]

Цифрами от 1 до 4, причем все три разные, никакие две из них не равны друг другу!!! И еще одна подсказка в разных вариантах, зачастую разные ответы, надеюсь это вам поможет.

Рассмотрим примеры, когда придется считать клетки: Зачастую на КДР и ГИА

Коэффициент [pic] всегда можно представить в виде дроби [pic] , где q – смещение по оси икс (абсцисс), а p – смещение по оси игрек (ординат), рассмотрим это свойство на примерах.

И еще одно правило:

Если прямая параллельна оси икс, значит игрек равен чему-то, а если прямая параллельна оси игрек, тогда икс равен чему-то.

Пример №1: Ниже горизонта

1 вид

[pic]

А [pic] [pic] [pic] [pic] ) [pic] Б) [pic] В) [pic]

[pic]

1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic]

Решение:

График А) Взлетает, ниже горизонта, значит либо 1, либо 2, проследуем по целым выделенным точкам по икс, в знаменателе 3, по игрек, в числителе 2 .

Б) Взлетает, ниже горизонта, значит либо 1, либо 2, но 1 занят, значит 2.

В) Падает, ниже горизонта, значит либо 3, либо 4, проследуем по целым выделенным точкам по икс, в знаменателе 5, по игрек, в числителе 3, значит 3.

Ответ:

2 вид

Даны три уравнения прямых для каждого из уравнений выбрать соответствующий график

[pic]

А) [pic] Б) [pic] В) [pic]

[pic]

1) [pic] 2) [pic]

3) [pic] 4) [pic]

Решение:

А) [pic] падает, ниже горизонта, значит либо 1, либо2, 3 в знаменателе, значит по икс 3, 1 в числителе, значит по игрек 1, значит 1

Б) [pic] падает, ниже горизонта, значит либо 1, либо2, но 1 занято, значит 2

В) [pic] взлетает, ниже горизонта, значит либо 3, либо 4, 2 в знаменателе, значит по икс 2, 1 в числителе, значит по игрек 1, откуда делаем вывод, что 4

Ответ:

Пример №2: Выше горизонта

1 вид

[pic]

А) [pic] Б) [pic] В) [pic]

[pic]

1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic]

Решение:

А) Взлетает выше горизонта, значит 1 или 3, по икс 5, значит в знаменателе 5, по игрек 1, значит в числителе 1, значит 1

Б) Взлетает выше горизонта, значит 1 или 3, но 1 занят, значит 3

В) Падает выше горизонта, значит 2 или 4, по икс 2, значит в знаменателе 2, по игрек 1, значит в числителе 1, значит 2

Ответ:

Даны три уравнения прямых для каждого из уравнений выбрать соответствующий график

[pic]

А) [pic] Б) [pic] В) [pic]

[pic]

1) [pic] 2) [pic]

3) [pic] 4) [pic]

Решение:

А) [pic] Падает выше горизонта, значит 1 или 3, в знаменателе 7, значит по икс 7, в числителе 5 значит по игрек 5, значит 1.

Б) [pic] Падает выше горизонта, значит 1 или 3, но 1 занят, значит 3

В) [pic] Взлетает выше горизонта, значит 2 или 4 знаменателе 7, значит по икс 7, в числителе 6 значит по игрек 6, значит 4.

Ответ:

1 вид

[pic]

А) [pic] Б) [pic] В) [pic]

[pic]

1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic]

Решение:

А) Взлетает на горизонте, значит 2 или 3, по икс 2, значит в знаменателе 2, по игрек 3, значит в числителе 3, значит 2.

Б) Взлетает на горизонте, значит 2 или 3, но 2 занято, значит 3

В) Падает на горизонте, значит 1 или 4, по икс 3, значит в знаменателе 3, по игрек 5, значит в числителе 5, значит 1.

Ответ:

2 вид

Даны три уравнения прямых для каждого из уравнений выбрать соответствующий график

[pic]

А) [pic] Б) [pic] В) [pic]

[pic]

1) [pic] 2) [pic]

3) [pic] 4) [pic]

Решение:

А) [pic] Падает на горизонте, значит 2 или 3, в знаменателе 2, значит по икс 2, в числителе 5, значит по игрек 5, значит 2.

Б) [pic] Падает на горизонте, значит 2 или 3, но 2 занято, значит 3.

В) [pic] Взлетает на горизонте, значит 1 или 4, в знаменателе 5, значит по икс 5, в числителе 7, значит по игрек 7, значит 4.

Ответ:

Пример №4: Параллельно одной из осей

1 вид

[pic]

А) [pic] Б) [pic] В) [pic]

[pic]

1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic]

Решение:

А) Параллельно игрек, значит икс равен, по графику 3, значит 2

Б) Параллельно игрек, значит икс равен, по графику 5, значит 4

В) Параллельно икс, значит игрек равен, по графику 7, значит 1

Ответ:

Даны три уравнения прямых для каждого из уравнений выбрать соответствующий график

[pic]

А) [pic] Б) [pic] В) [pic]

[pic]

1) [pic] 2) [pic]

3) [pic] 4) [pic]

Решение:

А) [pic] , значит параллельно игрек, на 2 левее нуля, значит 2

Б) [pic] , значит параллельно игрек, на 4 левее нуля, значит 4

В) [pic] , значит параллельно икс, на 6 ниже нуля, значит 3

Ответ:

Зада-ние на выбор ответа

Задание № 6.

Он есть у дерева, цветка,

Он есть у уравнений.

И знак особый – радикал –

С ним связан, вне сомнений.

Заданий многих он итог,

И с этим мы не спорим.

Надеемся что каждый смог

Ответить: это корень.

Запомни подкоренные выражения можно делить и умножать, но вот складывать и вычитать два и более различных корня уже нельзя, выполняя данное задание так же полезно вспомнить что можно множитель перед корнем возвести в квадрат и внести под корень и далее перемножить, далее если просят найти наибольшее то надо сравнивать, этот способ уже был рассмотрен на ИГЗ, иначе если просят найти рациональные числа расставляем + и – напротив выражений, еще раз смотрим на то что нужно найти и только после этого заполняем бланк. Еще одна тонкость, если три и более выражений с корнем и надо сократить, то найди общий делитель всех трех, так чтобы после деления оставались полные квадраты, напомню квадраты чисел от 1 до 10

Напомню некоторые признаки делимости которые ускорят устные расчеты:

На 2 последняя цифра числа 2,4,6,8,0

На 3 сумма цифр числа делится на 3

На 4 число составленное из последних 2 цифр делится на 4

На 5 число оканчивается на 5 или на 0

На 6 последняя цифра числа 2,4,6,8,0 и сумма цифр числа делится на 3

На 8 число составленное из последних 3 цифр делится на 8

На 9 сумма цифр числа делится на 9

На 10 число оканчивается на 0

На 11 сумма цифр на четных местах минус сумма цифр на нечетных местах полученное число или равно нулю или делится на 11. Таблица простых чисел от 1 до 1000 приводится в приложении 4.

Подсказка: Иногда полезно использовать при сравнении дробей принцип Фарея:

Поясню: даны две положительные простые дроби 1/5 и 3/7 меньшие единицы, так вот, число составленное из сумм числителей и знаменателей то есть 4/12, заведомо лежит между ними, проверим 1/5=0,2; 3/7=0,(48571); 4/12=1/3=0,(3).

Рассмотрим примеры:

Пример № 1 Оценка

[pic]

Решение:

[pic]

Ответ: 2

[pic]

Решение: Занесем все под корень, после этого сравним

[pic]

Откуда получим ответ. Ответ: 2

[pic]

Решение: Занесем все под корень, после этого сравним

[pic] Откуда получим ответ. Ответ: 4

Пример № 2 Возрастание

[pic]

Решение: Занесем все под корень, после этого сравним

[pic]

Откуда получим ответ [pic] . Ответ:4

Пример № 3 Убывание

[pic]

Решение: Занесем все под корень, после этого сравним

[pic]

Откуда получим ответ [pic] . Ответ: 3

Пример № 4 Рациональное

[pic]

Решение: Выполним действия и выясним

[pic] Ответ: 4

[pic]

Решение: Выполним действия и выясним

[pic]

Ответ: 1,4

Пример № 5 Иррациональное

[pic]

Решение: Выполним действия и выясним

[pic]

Ответ: 1

Пример № 6 Сложение, вычитание, умножение и деление иррациональных чисел.

[pic]

Решение:

Находим наибольший общий делитель для подкоренных выражений, то есть для чисел 32,2 и 50, это число 2 именно оно и останется под корнем, далее вынесем квадраты из под корня и приведем подобные, получим:

[pic]

Ответ: 1

[pic]

Решение:

Пользуясь формулой разность квадратов получим:

[pic]

Ответ: 2

[pic]

Решение:

Пользуясь формулой квадрат разности получим:

[pic]

Ответ: 3

Найдите значение выражения [pic]

Пользуясь правилом возведения произведения и дроби в степень, получим

[pic]

Ответ: 3

Упростите выражение  [pic] .

Пояснение: вносим все множители под один корень: [pic]

Найдите значение выражения [pic]

[pic]

Ответ: 4

Модуль Реальная математика

7 (1 балл) Зада-ние на выбор ответа

Задание № 7 При выполнении данного задания особое внимание удели вопросу задачи он может быть с подвохом, и тем единицам которые изображены на графике и записаны в вопросе. Не думай что задание на выбор ответа легкое, оно требует особого внимания при прочтении. Подсказка ответ не должен противоречить здравому смыслу, мыслите логически.

8 (1 балл) Зада-ние с крат-ким отве-том

Задание № 8 При выполнении данного задания особое внимание удели вопросу задачи он может быть с подвохом, и тем единицам которые занесены в таблице и записаны в вопросе. Не забудь записать ответ в бланк. Подсказка ответ не должен противоречить здравому смыслу, мыслите логически.

9 (1 балл) Зада-ние с крат-ким отве-том

Задание № 9. Помните процент это сотая часть числа, но так же задачи на % удобно решать пропорцией, учти что надо записывать проценты под процентами, единицы под единицами, в итоге получите линейное уравнение с одной неизвестной, решая его находите неизвестную, но прочитайте вопрос задачи еще раз, он может быть с подвохом, возможно вам придется выполнить еще несколько арифметических действий, чтобы ответить на него.

Модуль алгебра (часть 2)

10 (2 балла)

Используй 1 из 4-х рассмотренных на уроках способов:

- подстановка

- сложение, вычитание

- симметрическая подстановка

- использование теоремы Виета, или реши графически; для понимания сложности данного задания приведу пример:

[pic] [pic] [pic]

Откуда решая квадратное уравнение Д=49-4*7*12=1

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] , далее находим значения [pic] подставляя значения x в данное выражение

[pic]

[pic]

Рассмотрю еще один важный но не менее сложный пример очень часто встречающийся в прошлогодних КДР:

[pic] [pic]

1. Обратите ВНИМАНИЕ на второе уравнение минус четыре по модулю больше двух: [pic] , значит будем выражать x, в дальнейшем это сильно нам упростит жизнь

2. Преобразуем систему, чтобы избавиться от произведения xy во втором уравнении системы и выйти на квадратное уравнение относительно y.

[pic]

О [pic] братите ВНИМАНИЕ на то что у нас получилось [pic] из первого уравнения, а минус тридцать можно представить в следующем виде [pic] , откуда получим:

[pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

Вернемся к пункту 1 решения, повторюсь: будем выражать x, а для этого все элементы из правой части второго уравнения, кроме тех которые содержат x, переносим в левую часть, не забыв поменять знаки на противоположные

[pic]

В [pic] [pic] ернемся к пункту 2 решения, опять повторюсь надо выйти на квадратное уравнение относительно y.Для этого поставляем значение [pic] полученное во втором уравнении системы в первое уравнение системы [pic] и получаем:

[pic]

Решаем квадратное уравнение относительно y

Д=16-4*3*1=4

[pic] [pic] подставляя значения y в данное выражение получаем

[pic] Записываем ответ:

ОТВЕТ: (3;-2),(1;-6)

Графический способ решения данной системы крайне не рационален, но приведен мною в приложении 1.

А теперь рассмотрю такой же пример, но в данном случае будет удобнее выразить переменную x:

[pic] [pic]

1. Обратите ВНИМАНИЕ на второе уравнение минус один по модулю меньше двух: [pic] , значит будем выражать y, в дальнейшем это сильно нам упростит жизнь

2. Преобразуем систему, чтобы избавиться от произведения xy во втором уравнении системы и выйти на квадратное уравнение относительно x.

[pic]

О [pic] [pic] братите ВНИМАНИЕ на то что у нас получилось [pic] из первого уравнения, а двадцать четыре можно представить в следующем виде [pic] , откуда получим:

[pic] [pic] [pic]

Вернемся к пункту 1 решения, повторюсь: будем выражать y, а для этого все элементы из правой части второго уравнения, кроме тех которые содержат y, переносим в левую часть, не забыв поменять знаки на противоположные

[pic] Вернемся к пункту 2 решения, опять повторюсь надо выйти на квадратное уравнение относительно x..Для этого поставляем значение [pic] полученное во втором уравнении системы в первое уравнение системы [pic] и получаем:

[pic] Решаем квадратное уравнение относительно x

Д=9-4*-10*1=9+40=49

[pic] , подставляя значения x в данное выражение [pic] получаем

[pic] Записываем ответ:

ОТВЕТ: (5;4),(-2;-10)

Графический способ решения данной системы крайне не рационален, но приведен мною в приложении 2.

Очередная тонкость в данном задании:

В 2012 году на КДР предлагались задания, в которых изначально требовалось разложить одно из уравнений системы на множители, за счет чего система разбивалась на две подсистемы, решающихся подстановкой или свести за счет сложения или вычитания к такой системе:

Рассмотрим такие примеры:

Пример №1

[pic]

Пример № 2

[pic] [pic]

Выглядит просто, но не так просто решается!!!

Приравняем левые части неравенства к одному и тому же числу, а точнее к их наименьшему общему кратному, то есть надо найти НОК(12,32), вспоминаем программу 6-го класса, чтобы найти НОК 2-х чисел надо: каждое число разложить на простые множители

[pic] [pic] и каждое число взять в наибольшей степени, в которой оно входит в числа,

То есть 2 – 2 раза входит в 12 и 5 раз входит в 32, значит 2 в 5-ой степени,

3 – 1 раз входит в 12 и ни разу в 32, значит 3 в первой степени, откуда

[pic] к этому числу и приводим обе левые части уравнений,

Считаем 96/12=8; 96/32=3, значит

[pic]

Обратим внимание на второе уравнение [pic] , сразу заметим, ни x ни y не равны 0, иначе все было бы слишком просто, теперь разделим обе части данного уравнения на [pic] получим: [pic] , введем замену [pic] , получим квадратное уравнение [pic] , найдем его корни Д=64-4*3*-3=64+36=100

[pic] или возвращаясь к замене и пользуясь теоремой ВИЕТТА, получим

[pic]

Система (1) распадается на две подсистемы

[pic] и [pic] , у подсистемы (а) решений нет, так как после подстановки, будем иметь [pic] , чего быть не может на множестве действительных чисел, решаем подсистему (б), подставляем из первого уравнения во второе и получаем [pic] или [pic] ,подставляя полученные значения во второе уравнение системы (б), получим [pic] . Аккуратно записываем ответ.

ОТВЕТ: (6;2),(-6;-2)

Существует еще два способа решения систем нелинейных уравнений, первым из них пользовались еще древние греки, второй метод деления, рассмотрим их:

[pic] [pic]

Обратим внимание на тот факт, что зачастую на контрольных дают уравнения с целыми решениями, этим и воспользуемся в рассуждениях:

Если x и y целые то они же из первого уравнения еще и делители числа 60, но 60 разбить на два делителя можно следующим способом

X Y проверим эти пары на сумму квадратов X² + Y²

1 60 1+3600=3601-

2 30 4+900=904-

3 20 9+400=409-

4 15 16+225=241-

5 12 25+144=169+

6 10 36+100=136-

10 6 100+36=136-

12 5 144+25=169+

15 4 225+16=241-

20 3 400+9=409-

30 2 900+4=904-

60 1 3600+1=3601-

Далее обратив внимание на первое уравнение видим, что x и y одинакового знака или оба с + или оба с -, а так же помня то что окружность и гиперболу более чем в 4 точках не пересечешь, запишем ответ

ОТВЕТ: (5;12),(12;5),(-5;-12),(-12;-5).

Следующий метод, метод деления, это когда одно равенство делим на другое и получаем новое более удобное в использовании, главное не забыть, что ни х ни, ни y не равны нулю, более подробно в примере:

[pic] [pic]

Делим большее на меньшее и пользуемся пропорцией, получим: [pic]

Возьмем полученный результат и любое из уравнений системы получим новую более удобную систему:

[pic] решим ее

Из первого подставляем во второе, получим:

[pic]

Находим x

[pic] , записываем ответ

ОТВЕТ: (2,1)

ВНИМАНИЕ БОЛЕЕ ДВУХ ИСПРАВЛЕНИЙ В БЛАНКЕ, И ВАШ БЛАНК СЧИТАЕТСЯ НЕДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ, ТО ЕСТЬ ОЦЕНКА 2.

Критерии Оценки за контрольную работу:

[pic]

[pic]

Общие советы по выполнению работы:

1. Сделайте сначала наверняка часть 1, только потом делайте задания из второй части.

2. На эту контрольную постарайтесь распределить силы следующим образом:

7-9 задания – 5 минут, 1-6-ое задание 30 минут, 10 задание или проверка 10 минут.

3. Выберите максимально комфортный порядок выполнения заданий, чтобы сэкономить побольше времени, на более тяжелые задания.

4. Начинайте с легкого, заканчивайте самым тяжелым, советую следующий порядок заданий: 7-8-9-1-3-5-2-4-6 и может быть десятое.

5. Выспитесь перед контрольной.

6. Готовиться к КДР начинайте еще на перемене, на столе только черная гелевая или капиллярная ручка и справочные материалы

7. Создайте себе максимум комфорта на рабочем столе, не отвлекайтесь, будьте спокойны и сосредоточены.

8. Больше делайте вычислений на черновике, выполняя много вычислений в уме, велика вероятность ошибиться.

9. Не зацикливайтесь на одном задании.

10. Настройтесь на позитивный лад, верьте в себя и в свои силы, я в вас тоже верю.

11. Не бойтесь рисовать и делать пометки на бланке задания, он для этого и создан.

12. И самое главное чуть не забыл: Умело пользуйся справочными материалами и

УДАЧИ при написании КДР и ЭКЗАМЕНА!!!