Решение задач по финансовой грамотности «Кредиты с равными выплатами»

Решение задач по финансовой грамотности

«Кредиты с равными выплатами»

Е.С. Бабинер

ст. преподаватель КООиВ ОГАОУ ДПО «ИПКПР»

г. Биробиджан

Ключевыми фразами в условии таких задач являются:

• «равные платежи»;

• «каждый год (месяц) выплачивается одна и та же сумма».

Введем следующие условные обозначения:

k — счетчик конверсионных периодов (периодов начисления процентов).

— количество конверсионных периодов.

— последовательность наращенных сумм (сумма на начало года).

— последовательность выплат частей долга (взносы).

— последовательность сумм долга на конец года перед начислением процентов.

— процентная ставка в десятичном выражении.

— общая сумма всех выплат (взносов).

Для выявления закономерности составим таблицу:

4

...

...

...

...

Таким образом, рекуррентная формула для имеет вид:

,

.

- это сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем , заменим ее, используя формулу:

Получается, что последняя наращенная сумма определяется формулой:

(1)

Для рекуррентная формула, с учетом формулы суммы членов геометрической прогрессии, имеет вид:

(2)

Так как последний член последовательности долгов , то:

откуда формула для вычисления размера взноса имеет вид:

(3)

Формула для вычисления :

(4)

Найти количество конверсионных периодов можно из равенства:

(5)

Сумма всех выплат определяется формулой:

(6)

Рассмотрим применение выведенных формул на примере нескольких задач.

Задача 1.

Известно: .

Неизвестно: .

Найти: .

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 66819600 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Сколько рублей надо платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Решение.

Используем формулу (3) для вычисления размера ежегодного взноса:

Задача 2

Известно: .

Неизвестно: .

Найти: .

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 40040 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение.

Используем формулу (3) для и

Для общая сумма выплат:

Для общая сумма выплат:

Откуда:

Задача 3

Известно:

Неизвестно:.

Найти: .

31 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк 2132325 рублей. Какую сумму взял Сергей в кредит, если он смог выплатить долг четырьмя равными платежами?

Решение.

Из формулы (3), определяем сумму кредита:

Источники задач

1. [link]

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2017 года: учебно-методическое пособие Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-наДону: Легион,2016. – 384 с.

3. Семенов А.В. Единый государственный экзамен. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие./А.В. Семенцов, А.С. Трепалин, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров; под редакцией И.В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. – М.: Интеллект-Центр, 2017. – 192 с.