Методы решения нестандартных задач по математике

23

Министерство общего и профессионального образования

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

Управление образования Администрации города Екатеринбурга

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 131

_____________________________________________________________________________________

620076, г. Екатеринбург, ул. Гаршина, 8 б тел. 263-48-85 email: [link] для учителей и учеников для подготовки к олимпиадам.

Материально – техническая база

1. Мультимедийный проектор;

2. Компьютер;

3.Экран для демонстрации слайдов и презентаций;

4. Принтер для распечатки раздаточного и дидактического материала;

5. Чертежные измерительные инструменты.

Календарно-тематическое планирование по курсу «Методы решения нестандартных задач по математике»

(1 час в неделю, всего 35 уроков)

Тема

Кол-во часов

Тип урока

Практические работы

Оборудование

Основные понятия

1 неделя сентября

Поиск родственной задачи

1

Унз

Беседа

Проектор компьютер

Если задача трудна, то необходимо попробовать заменить ее похожей, более простой. Это часто дает ключ к решению исходной задачи. Полезно применить следующие соображения: рассмотреть частный случай, потом обобщить идею решения задачи; разбить задачу на подзадачи; обобщить задачу, например, заменить конкретное число переменной, свести задачу к более простой. Переформулировать задачу, переведя ее на более простой и понятный язык, нарисовать схему, свести общие случаи к частным, можно использовать выражения « не нарушая общности», «в силу симметрии», «можно считать, что» и т.д.

2 неделя сентября

Поиск родственной задачи

1

усз

Беседа

Проектор компьютер

3 неделя сентября

Доказательство от противного.

1

усз

пр

Проектор компьютер

Рассуждают примерно так «допустим, исходное утверждение неверно. Если из этого получим противоречие, то исходное утверждение верно».

4 неделя сентября

Доказательство от противного.

1

усз

пр

Проектор компьютер

1 неделя октября

Четность

1

унз

пр

Проектор компьютер

Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определенную четность. Из этого следует, что ситуация в которой имеет другую четность невозможна. Иногда эту величину нужно сконструировать (ввести), например, рассмотреть четность суммы или произведения, или разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в два цвета.

2 неделя октября

Четность

1

узз

пр

Проектор компьютер

3 неделя октября

Обратный ход

1

Если в задаче задана некоторая операция и эта операция обратима, то можно сделать обратный ход от конечных результатов к исходным данным.

4 неделя октября

Обратный ход

1

1 неделя ноября

Подсчет двумя способами

1

узз

пр

Проектор компьютер

При составлении уравнений выражают некоторую величину двумя способами ( например, площадь , путь или время). Эта идея тесно связана с идеей инварианта.

2 неделя ноября

Подсчет двумя способами

1

унз

пр

Проектор компьютер

3 неделя ноября

Соответствие

1

узз

пр

Проектор компьютер

Если каждому элементу поставить в соответствие единственный элемент из другого множества, при этом каждый элемент из второго множества соответствует ровно одному элементу из другого множества, то говорят что установлено взаимно однозначное соответствие. Это означает, что в двух множествах одинаковое количество элементов, даже если их нельзя пересчитать. Если мы установили соответствие между элементами одного множества и частью элементов второго множества, то элементов во втором множестве больше.

4 неделя ноября

Соответствие

1

унз

ПР

Проектор компьютер

1 неделя декабря

Инварианты

1

узз

пр

Проектор компьютер

Инвариант – величина, которая остается неизменной в результате некоторых операций (например, разрезание и перестановка некоторых частей фигуры не изменяют ее суммарной площади). Если инвариант различает два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта можно использовать четность или раскраску. В задачах про сумму цифр используются остатки от деления на 3 и на 9. Полуинвариант- величина изменяющаяся только в оду сторону либо только увеличивается, либо только уменьшается.

2 неделя декабря

Инварианты

1

укз

пР

Проектор компьютер

3 неделя декабря

Инварианты

1

усз

пр

Проектор компьютер

4 неделя декабря

Метод крайнего

1

усз

пР

Проектор компьютер

Особые крайние объекты часто служат «краеугольным камнем» решения. Так, например, рассматривают наибольшее число, ближайшую точку, вырожденную окружность. В задачах на метод крайнего работает метод минимального контрпримера: допустим, утверждение задачи не верно, тогда существует минимальный в некотором случае контрпример.

2 неделя января

Метод крайнего

1

укз

пр

Проектор компьютер

3 неделя января

Принцип Дирихле

1

Усз узз

пр

Проектор компьютер

В простейшем виде его выражают так» Если десять кроликов сидят в девяти клетках, то хотя бы в одной клетке сидят два кролика». Принцип Дирихле кажется очевидным, однако при решении задач бывает непросто догадаться, что является кроликом, а что клеткой.

Зная принцип Дирихле , можно догадаться в каком случае его применять. Например, если каждому элементу множества А соответствует ровно один элемент множества В , то элемент множества А можно считать кроликом, а элементы множества В –клетками.

4 неделя января

Принцип Дирихле

1

укз

пр

Проектор компьютер

1 неделя февраля

Принцип Дирихле.

1

унз

пр

Проектор компьютер

2 неделя февраля

Индукция

1

унз

пр

Проектор компьютер

Метод индукции, база индукции, шаг индукции.

3 неделя февраля

Индукция

1

унз

пр

Проектор компьютер

Метод индукции, база индукции, шаг индукции.

4 неделя февраля

Индукция

1

усз

пр

Проектор компьютер

Метод индукции, база индукции, шаг индукции.

1 неделя марта

Индукция

1

унз

пр

Проектор компьютер

Метод индукции, база индукции, шаг индукции.

2 неделя марта

Делимость и остатки.

1

Унз

узз

пР

Проектор компьютер

Делители и остатки. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Сравнение по модулю.

3 неделя марта

Делимость и остатки.

1

унз

пр

Проектор компьютер

1 неделя апреля

Алгоритм Евклида

1

Усз и узз

ПР

Проектор компьютер

Делители и остатки, алгоритм Евклида, наибольший общий делитель, неполное частное, остаток.

2 неделя апреля

Алгоритм Евклида

1

узз

пр

Проектор компьютер

3 неделя апреля

Покрытия и упаковки, раскраски

1

унз

пр

Проектор компьютер

Если объедение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф, то говорят, что эти фигура образуют покрытие фигуры Ф. При этом покрывающие фигуры могут пересекаться.

Упаковка – это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных. В некоторых задачах фигура разрезается на меньшие части или из нескольких фигур составляется одна - большая. Это задачи на разрезание и замощение. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой

4 неделя апреля

Покрытия и упаковки, раскраски

1

узз

пр

Проектор компьютер

1 неделя мая

Покрытия и упаковки, раскраски

1

узз

пр

Проектор компьютер

2 неделя мая

Игры

1

узз

пр

Проектор компьютер

Математические игры.

Выигрышная стратегия.

3 неделя мая

Игры

1

унз

пр

Проектор компьютер

Математические игры.

Выигрышная стратегия.

4 неделя мая

Игры

1

унз

пр

Проектор компьютер

Математические игры.

Выигрышная стратегия.

5 неделя мая

Игры

1

узз

пр

Проектор компьютер

Математические игры.

Выигрышная стратегия.

Расшифровка аббревиатур, использованных в рабочей программе

УНЗ - урок новых знаний

УСЗ – урок систематизации знаний

Узз – урок закрепления знаний

УКЗ - урок контроля знаний

ПР – практическая работа

СР – самостоятельная работа

Аннотация рабочей программы

по элективному курсу для учащихся 8 класса

«Методы решения нестандартных задач по математике»

Рабочая программа элективного курса «Методы решения нестандартных задач по математике» составлена группа учителей математики МБОУ СОШ №131.

Общепризнано, что уровень математической подготовки ученика определяется в первую очередь его умением решать задачи. Поэтому обучение решению задач является одной из самых важных целей учителя математики. Этот аспект кратко передается такой формулой: задача — цель.

Чтобы достичь этой цели, недостаточно и нерационально только знакомить учеников с типовыми задачами, разучивать способы решения задач каждого из выделенных типов, т. к. жизнь неизбежно поставит такую задачу, которая не подходит ни под какой из заранее заготовленных шаблонов. Поэтому важно не только усвоить определенный набор действий в стандартных ситуациях, но и подготовить ученика к деятельности в новых, нетипичных обстоятельствах, развить его мышление. Наиболее подходящим для этого средством является решение математических задач. Этим обосновывается формула: задача — средство.

В школьном курсе математике решается много задач: «на движение», «вычисление стоимости покупки», «на работу» и «концентрацию растворов» и т.д. Большую часть этих задач можно решать по алгоритму, и эти задачи можно отнести к стандартным задачам. Какие задачи можно назвать «нестандартными»?

«Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения», – считает Л. М. Фридман. Нестандартная задача (задание) – это учебная задача, содержание которой не укладывается в общепринятые типы и варианты расчётных и экспериментальных задач, имеющая необычную формулировку, с зашифрованным в тексте вопросом, и обеспечивающая адаптацию учащихся в окружающем мире. Решение нестандартных задач способствует развитию логического и критического мышления школьников, позволяет провести умственный эксперимент, развивает фантазию и воображение.

Курс построен как практикум по решению задач, учащимся предлагается задача для обдумывания и обсуждения, после этого совместно с учителем обсуждается решение задачи, вводятся новые понятия и определения, схематично записывается или называется метод решения, для закрепления учащимся предлагаются следующие задачи.

Цели курса:

• развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту;

• развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;

Задачи курса:

• предоставить учащимся дополнительные возможности для развития творческих способностей;

• обучить приемам сознательного усвоения изучаемого предмета;

• повысить логическую грамотность учащихся;

• выработать доказательное мышление;

• выработать интерес к изучению математической теории, потребность в самообразовании и чтении научно – популярной литературы;

• обучение учащихся некоторым методам и приемам решения математических задач, выходящих за рамки школьного учебника математики;

• формирование умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач;

• развитие интереса и положительной мотивации изучения математики.

Основные образовательные технологии, использующиеся при преподавании элективного курса: игровые формы обучения, проблемное обучение, проектное обучение, технология уровневой дифференциации, технология индивидуализации обучения, коллективный способ обучения (КСО), групповые технологии, информационные технология и технология развития критического мышления (РКЧМ).

Базисный учебный (образовательный) план МБОУ СОШ № 131 на изучении курса отводит 1 час в неделю, всего 35 уроков

Промежуточная аттестация усвоения изученного материала проводится в форме самостоятельных работ, согласно «Положения МБОУ СОШ № 131«Формы, периодичность и порядок текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся» итоговая оценка выставляется один раз в полугодие.

Составитель: Ибрагимова Ирина Михайловна – учитель математики.