г. Нижневартовск
Урок геометрии в 8 классе
Тема урока « ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»
( выездная редакция газеты «ГЕКАТОКОМБА» )
Подготовила
учитель высшей
квалификационной категории
КАРАВАЕВА Р.В.
Цели урока. Доказать теорему Пифагора, рассмотреть решение задач с её применением, показать учащимся тесную связь между алгеброй и геометрией, нацелить их на последовательную и систематическую подготовку к ГИА и ЕГЭ, познакомить учащихся с некоторыми фактами из биографии Пифагора, формировать познавательный интерес, совершенствовать приёмы устных вычислений.
ПОДГОТОВКА К УРОКУ участвуют
Класс разбивается на 6 групп.
Учащиеся 1 группы: оформляют газету и в конце занятий вывешивают её. Они
придумывают название газеты и обосновывают это название
.
Учащиеся 2 группы: разрабатывают биографию Пифагора.
Учащиеся 3 группы: работают над вопросом: «Целочисленные пифагоровы треугольники».
Учащиеся 4 группы: ищут различные доказательства теоремы Пифагора.
Учащиеся 5 группы: подбирают задачи с практическим содержанием и решают их.
Учащиеся 6 группы: сочиняют стихи, сказки, находят «Золотые стихи», «Символы», приписываемые Пифагору.
Вступительное слово учителя.
/ учитель называет тему урока, ставит цель: обобщить данную тему /
С именем Пифагора связано много различных рассказов и легенд. Пифагор /596-500 до н.э./ - полумифическая фигура. Мистик, математик, естествоиспытатель, « на одну десятую гений, на девять десятых выдумщик». Его биография стала легендой, полной невероятных преувеличений его талантов. Он много путешествовал, многому научился у жрецов и ещё больше принял на веру. Что же о Пифагоре дошло до наших дней?
2 группа.
Ученики приготовили реферат о Пифагоре и выступают перед классом.
Выдержки из их выступлений.
« Пифагор родился на острове Самосе в 6 веке до нашей эры. Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе. Его ученики уверяли даже, что он был сыном самого солнечного бога Аполлона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошёл к одной реке, та вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора. Но мало ли что рассказывали люди в то легковерное время!
Если отбросить сказки и выдумки, то окажется, что Пифагор очень много сделал для развития науки /хотя начинал он не как учёный, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!/. Сначала он занялся музыкой. Ему удалось установить связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки , но и вообще всё на свете можно выразить с помощью чисел. « Числа правят миром!- провозгласил он.
Пифагор много путешествовал по Египту, проник через Малую Азию караванными путями в Вавилон. Он по крупицам собирал знания древнейших народов по математике, астрономии и технике, а, вернувшись на свою родину остров Самос, он та поразил приобретёнными знаниями своих соотечественников, что его считали полубогом. Пифагор открывает тайное общество для высоких математических размышлений. Так как учение Пифагора носило тайный характер, то и не сохранилось никаких письменных трудов. Пифагор и его школа положили начало теории чисел они заложили основы греческой алгебры, изучая пропорции и прогрессии. В геометрии Пифагору принадлежат учение о правильных многоугольниках, теоремы о сумме углов треугольника и многоугольника, и, конечно теорема, носящая его имя
.
Прокл в своём комментарии к « Началам» Евклида писал относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: « Если слушать тех, кто любит повторять легенды, то придётся сказать , что это теорема восходит к Пифагору. Рассказывают , что в честь этого открытия он принёс в жертву быка». О том же рассказывает другой греческий историк древности – Плутарх /1 в./. На основе этих и других преданий долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и назвали её поэтому «теоремой Пифагора». Это название сохранилось и поныне. Однако в настоящее время установлено, что эта теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3,4,5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне.
В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно по крайне мере за 500 лет до Пифагоре. Эта теорема была известна и в Древней Индии.
Смерть Пифагора окружена красивыми легендами. По одной из них дом в Кротоне, где Пифагор собирался со своими учениками. Был подожжён. Преданные друзья бросились в огонь и проложили в нём дорогу учителю, чтобы он по их телам вышел из огня, как по мосту. Друзья погибли, а сам Пифагор, будучи спасённым столь дорогой ценой, так затосковал , что лишил себя жизни.»
6 группа.
Ученик читает стихотворение А.Шамиссо.
Во мгле веков пред нашим взором
Блеснула истина . Она
Как теорема Пифагора,
До наших дней ещё верна.
Найдя разгадку, мудрый старец
Был благодарен небесам.
Он сто быков велел зажарить
И в жертву принести богам.
С тех пор быки тревожно дышат.
Они, кляня дары богов,
О новой истине услышав,
Ужасный поднимают рёв.
2
Их старца имя потрясает,
Их истины лучи слепят;
И, новой жертвы ожидая,
Быки, зажмурившись, дрожат.
5 группа.
Говорят, что на вопрос о том, сколько у Пифагора учеников, он ответил так:
« Половина моих учеников изучает математику, четвёртая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы.». Сколько же учеников было у Пифагора?
/Ответ:28
4 группа.
Каждый член группы предлагает классу доказательство теоремы Пифагора, отличное от доказательства предыдущего ученика. Класс внимательно слушает и делает краткую запись в своих тетрадях. Вот, только три способа доказательства теоремы Пифагора.
Дано: [pic]
Доказать: [pic]
Д [pic] [pic] [pic] оказательство: С
1 способ:
[pic]
[pic] [pic] [pic] А В
D
[pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] Е
Итак, [pic]
2 способ:
Н [pic] [pic] [pic] а гипотенузе [pic] построен квадрат ABDE К D
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] и [pic] А
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] и [pic] с
[pic] [pic] в
[pic] С а Н В М
[pic]
Итак, [pic]
3 способ:
ABDE – квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC.
[pic]
3
[pic]
KH=HM=MC=CK=a-b
Из чертежа имеем:
[pic]
[pic]
Итак, [pic]
3 группа.
Футбольное поле_ это прямоугольная площадка длиной 90 м и шириной 60 м. Как разметить такую площадку? Прямоугольник на листе бумаги строят при помощи линейки и циркуля, или линейки и угольника. Эти приборы слишком малы для работы на местности. Они не обеспечат нужной точности в построении прямых углов такой площадки, как футбольное поле.
С давних времён известен очень простой способ построения на местности прямых углов. Выполним такое построение. Возьмём шнур и три колышка. На шнуре отметим 12 равных долей. Затем узлами выделим 3 части шнура МВ, ВС, СН так, чтобы первая часть состояла из 5, вторая часть из 4, а третья часть из 3 таких долей. Узлы М и Н свяжем вместе и обозначим вновь полученный узел через А.
С помощью колышков натянем часть шнура ВС вдоль данной прямой так, чтобы точка С совпала с точкой, через которую должен быть проведён перпендикуляр к данной прямой Потом оттянем шнур за узел А так, чтобы участки АВ и АС стали прямолинейными, и вобьём в точке, где будет находиться узел А, колышек. Угол АВС будет прямой.
Чтобы убедиться в этом, докажем, что прямоугольным будет всякий треугольник, стороны которого, измеренные какой-нибудь линейной единицей измерения, выражаются числами 3,4,5. Для доказательства возьмём прямоугольный треугольник с катетами, равными двум меньшим сторонам данного треугольника, и найдём его гипотенузу х.
По теореме Пифагора: [pic] . Поэтому х = 5.
Таким образом, три стороны данного треугольника соответственно равны трём сторонам прямоугольного треугольника. А отсюда следует, что и данный треугольник – прямоугольный.
Доказанное свойство треугольника со сторонами 3, 4, 5 было, по-видимому , известно ещё древнеегипетскими землемерами. Поэтому такой треугольник и называют египетским. Всякий целочисленный треугольник, подобный египетскому, также является прямоугольным. Существуют ли целочисленные треугольники другие? Если катеты и гипотенуза какого-нибудь целочисленного прямоугольного треугольника а,в,с, то по теореме Пифагора получим: [pic] /1/.
Оказывается, что верно и обратное, т.е. если а, в, с натуральные числа, удовлетворяющие уравнению /1/, то треугольник со сторонами а, в ,с- прямоугольный. Целочисленный прямоугольный треугольник для краткости иногда называют Пифагоровым.
Наше рассуждение показывает, что задача отыскания всех пифагоровых треугольников сводится к решению уравнения /1/ в натуральных числах.
3, 4, 5.
6, 8, 10.
12, 16, 20.
…………..
Каждую тройку называют пифагоровой тройкой.
Французский математик Пьер Ферма /1601-1665/ вывел формулы для нахождения таких чисел. Пифагор указал способ нахождения любого числа целочисленных прямоугольных треугольников: возьмите два произвольных натуральных числа /например 4 и 5/, составьте их сумму /в нашем примере 9/ и удвойте их произведение /получим 40/. Пифагор утверждал, что в прямоугольном треугольнике длины катетов которого выражаются этими числами, длина гипотенузы будет выражаться целым числом. Прав он или нет? Проверьте на примерах.
5 группа.
Учащиеся этой группы предлагают классу задачи с практическим содержанием. Класс решает эти задачи, записывая в тетради а затем их проверяет.
Этот эпизод взят из реальной следственной практики.
Получив сообщение о краже, следователь выехал на место происшествия. Заявитель утверждал, что преступник проник в помещение, где хранились ценности через окно. Осмотр показал, что подоконник находится на расстоянии от земли 124 см. Поверхность земли на расстоянии 180 см от стены здания покрыта густой порослью, не имевшей никаких следов повреждения. Технических средств, лестницы поблизости не оказалось. Следователь выдвинул версию об инсценировке кражи. Подтвердите или опровергните это предположение.
/ Возникло предположение, что преступник проник в помещение через окно, каким-то образом преодолел расстояние между наружным краем поросли и подоконником. Оно было определено с применением теоремы Пифагора .
Очевидно, что преодолеть такое расстояние без какого-либо технического средства, например, лестницы, невозможно. Поиски этого средства в рассмотренном случае не увенчались успехом. С учётом указанного обстоятельства и некоторых других данных, следователь выдвинул версию об инсценировке кражи, которая в ходе дальнейшего расследования и подтвердилась./
Между фабричными зданиями устроен покатый жёлоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы жёлоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землёй. Определите длину жёлоба.
/ 10,8 м /
Требуется выфрезовать квадратную головку со стороной 32 мм. Чему должен быть равен наименьший диаметр круглого железа, годного для этой цели?
/ 45 мм /
Диаметр бревна 12 см. Можно ли из этого бревна вытесать квадратный брус со стороной 10 см?
/ нет /
Стропильная ферма емеет «ноги» АВ и СВ по 9 м и пролёт АС в 15 м. Определите
высоту фермы.
/ ВД = 5 м /
Это лишь часть задач, предложенных этой группой учащихся классу. Другая часть – более сложные задачи и их решения, красочно оформленные через рефераты, помещаются для красочного оформления с ними.
6 группа.
Учащиеся этой группы знакомят ребят с « Золотыми стихами» и «Символами», приписываемыми Пифагору. Сказки и собственные стихи оно передают первой группе учащихся, которые все рефераты учащихся помещают в своей газете.
« ЗОЛОТЫЕ СТИХИ»
Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь.
« СИМВОЛЫ»
1 группа.
Председатель этой группы подводит итог всей работы за два урока. После этого он просит
ребят своей группы вывесить газету, которую они оформили.
Название газеты: « ГЕКАТОКОМБА».
Предание гласит: « Когда Пифагор пришёл к теореме, известной под его именем, он принёс в
жертву богам 100 быков. Эта теорема называлась в средние века «гекатокомба», что в
переводе с греческого означает «сто быков».
8
