Обобщающий урок математики в 10 классе по теме: «Применение производной к исследованию функций»
Оборудование: компьютеры, подключенные к Интернет, презентация ученика, раздаточный материал для учащихся ( графики производной и графики функций, ответы к заданиям, графики к исследуемой функции, листы самооценки)
Ход урока
Ребята ни для кого не секрет, что каждая наука оперирует своей лексикой. Увлекшись изучением с вами последней темы по алгебре, я в беседе с учителем литературы сказала: «Неважно сколько ученик знает, но важно, чтобы у него была положительная производная». Коллега не поняла меня. А вы можете прояснить мою фразу? (Это означает важно, чтобы скорость приращения знаний у ученика была положительна – это залог того, что его знания возрастут)
Эпиграф: нашего урока будет высказывание Конфуция
Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь
самый благородный,
путь подражания – это путь
самый легкий и
путь опыта – это путь
самый горький.
«Музыка может возвышать или умиротворять душу,
живопись – радовать глаз,
поэзия – пробуждать чувства,
философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей!»
Морис Клайн
Каковы же цели нашего сегодняшнего обобщающего урока по теме «Применение производной к исследованию функции?
(учащиеся формулируют цели урока)
Результаты своей работы учащиеся будут заносить в оценочный лист
Оценочный лист учащегося
Фамилия______________________________________________
Имя_________________________________________________
Этап урока Задания
Количество баллов
1
Проверка домашнего задания (Разминка) (4 б)
2
Миниисследование «Соотнеси график производной и график функции» (5 б)
3
Практика «Построй эскиз графика» (3б)
4
Домашнее творческое задание (4б)
5
Тест на компьютере (6б)
6
Конкурс: «Выбери сам» (3б)
Итоговое
количество баллов
Оценка
Критерии оценок:
«5» - 21-25 баллов
«4» - 18- 20 баллов
«3» - 12- 17 баллов
«2» - менее 12 баллов
I . Проверка домашнего задания (разминка)
- опрос по основным теоретическим положениям по теме (парная работа)
Достаточный признак возрастания (убывания) функции.
Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
Определение критических точек функции, точек экстремума и экстремумов функции.
Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия существования экстремума в точке: признак максимума и минимума.
Алгоритм отыскания экстремумов функции.
Схема исследования функции (с помощью производной).
Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции
на отрезке
на незамкнутом промежутке
презентация «Применение производной к исследованию функции» (Бондаренко Татьяна обобщила теоретический материал)
II. Практическое задание
соотнеси график производной и график функции
(каждый учащийся получает карточку с заданием определенного уровня сложности)
[pic]
[pic]
[pic]
ответы
[pic]
«Примеры учат больше, чем теория».
М.В. Ломоносов
Практическое задание Исследовать функцию и построить график
Задание: исследовать на наличие экстремумов функцию f(x)= и построить эскиз её графика.
1. .
2.
3.
4. при х=0, х=2, х=-2
Наносим полученные точки на координатную плоскость. Возникает проблема: какой линией соединить имеющиеся точки графика, чтобы она более точно передавала свойства заданной функции? Предлагаем 4 варианта соединения точек. Какой из них верный?
Ответить на вопрос, можно вспомнив, что во всех найденных точках экстремумов производная равна нулю. Значит, касательные к графику функции в этих точках должны быть параллельны оси ОХ. Это возможно только на рисунке 4. Таким образом, линия представленная на рисунке 4 наиболее точно отражает свойства заданной функции. Вывод: строить график можно, исследуя функцию с помощью производной, при этом нужно использовать не только координаты точек экстремума, но и всю аналитически найденную информацию.
5. Интересная задача ( домашнее задание Давыдовская Ольга )
Задача. Определить какое из чисел больше?
Сравнить числа:
(cos 1990) и (1+ cos 1991).
Возможно ли эту задачу решить известными ученикам приемами? Формулы приведения применить нельзя; использование формул тригонометрических преобразований не приводит к нужному результату.
Пусть M = cos 1990; N= I +cos 1991.
Задача сводится к тому, какой знак между этими числами поставить: М>N либо M
В связи с только что изученной теорией ученики использовали свойство возрастания и убывания функции:
Функция f возрастает (убывает) на множестве Р, если для любых x1и x2 из множества Р, таких, что x2 > x1 выполнено неравенство f(x2) > f(x1) .
Целесообразно вспомнить это определение и при решении настоящей задачи. Тогда нужно определить, как относиться к М и N: либо как к аргументам, либо как к соответствующим значениям какой-то функции, и, связав это с ее производной, выяснить характер ее монотонности и ответить на вопрос задачи. Так как составление функции в данных
условиях для учеников – задача непривычная, подсказка учителя не будет лишней.
Понятно, что прибавление одной и той же константы к обеим частям неравенства сохранит знак этого неравенства: [pic]
Положим С = 1990, тогда:
C + M = 1990 + cos l990; С + N = 1991 + cos l991.
Нетрудно видеть, что если рассмотреть функцию f(x) = x + cosx,
то С + М = f(1990), C + N = f(1991).
Итак, имеем две точки x1 и x2:
x1 = 1990, x2 =1991; x1 < x2 ;
надо сравнить значения функции f(x) в этих точках.
Определим характер монотонности f(x):
так как f'(x) = 1 – sinx ≥ 0 и f'(x) = 0 при х = [pic] , то f(x) возрастает на множестве всех действительных чисел.
Поэтому: f(1990) < f (1991) => М + С < N + C => M < N =>
(cos l990) < (1 + cos l991)
Тест на компьютере [link]
(учащиеся выполняют задание, выясняют правильность выполненных заданий, объясняют ошибки, допущенные ими при выполнении данной работы, выставляют баллы в оценочный лист)
Учитель подводит итог работы учащихся
«Ум компьютера – это ум человека, воплощенного в программу». Никакая машина не заменит труд человека, но компьютер может сделать его более эффективным и интересным
Конкурс «Выбери сам»
Учащиеся сами выбирают карточки по своему уровню и желанию: уровень «А»(1 балл за задание), «В» (2 балла за задание), «С» (3 балла за задание).
Часть А.
Инструкция для учащихся. При выполнении заданий уровня А выберите номер правильного ответа.
А 1. Найдите-5
1)3 2)2 3)-1 4)1
А 2. Укажите производную функции g(x)=+
1)2x+ 2)2х- 3)+ 4) -
А 3. Уравнение касательной к графику функции y= в точке с абсциссой х0 = -3 имеет вид:
1)y=7x+13 2)y=7x+15 3)y= -7x+15 4)y = -7x+13
А 4. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у=6х - в его точке с абсциссой (-1).
1)-4 2)-6 3)6 4)8
А 5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику y= в его точке с абсциссой 0.
1)2 2)1 3)0 4)-1
Часть Б.
Инструкция для учащихся. Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом может быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.
В6. Найдите значение производной функции f(x)=2+ в точке х0 =4.
- В7. Укажите число целых решений неравенства f '(x)0, если f(x)= f(x)= -
- В8. Найдите минимум функции g(x)=3- 5 В9.Укажите число точек экстремума функции g(x)=х3(х+1)4
Часть С.
Инструкция для учащихся. Запишите обоснованное решение.
С10. При каких значениях а прямая у=ах является касательной к параболе F(х)=-2х+4?
C11. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 32 см3, а одна из боковых граней является квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. В ответе укажите этот периметр.
Итог урока. Рефлексия.
За что ты можешь себя похвалить?
Что тебе удалось на уроке?
[pic]
Домашнее задание
Составить тест (из пяти заданий по теме: "Производная").
Я хочу вам пожелать, чтобы у вас была только положительная производная, чтобы знания ваши только возрастали. Спасибо за урок.
