- Что называется пропорцией? Пропорции – равенство двух отношений a/b = c/d. Основное свойство пропорций: a∙d = b∙c. - Какие виды задач на проценты вы знаете? Три вида задач на проценты:
Проценты прочно вошли в нашу жизнь – скидки, налоги, кредиты, на любой продуктовой этикетке мы встречаем проценты.
Для решения я предлагаю вам задачи из нашей повседневной жизни. Кроме того, они присутствуют и на ГИА.
Задача 1. На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?
Решение:
20000*0,16 = 3200 – один год
20000 + 3200 = 23200 р
23200:12= 1933 р
Ответ: 1933 рубля.
Задача 2. Задачи на смеси и сплавы.
На выпускных экзаменах встречается много задач на смеси и сплавы. Рассмотрим старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы (правило креста).
Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.
Данный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.
[pic]
Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора.
Решение:
Применим правило “креста”.
Составим схему:
[pic]
Значит, 100 г смеси составляют 20 + 30 = 50 частей.
100 : ( 20 + 30 ) = 2 г - на 1 часть.
2 * 20 = 40 г – 20% раствора
2 * 30 = 60 г – 70 % раствора
Ответ: 40 г- 20 % раствора; 60 г- 70 % раствора.
2 способ.
20% соли 70% соли 50%
Х г У г 100г
Составим систему уравнений.
Откуда х=40г, у 60г.
Задача 3.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 201%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Берем за х –зарплата мужа ,
y-зарплата жены: z-стипендия дочери
x+y+z=100 весь доход семьи
4x+y+z=100+201 увеличение за счет увеличения зарплаты мужа
3x=201
x=67 %
x+y+z=100
x+y+0,5z=100-4 уменьшилась за счет дочери
0,5z=4
z=8
100-67-8=25% доход жены
Ответ:25 %
ФИЗМИНУТКА .УПРАЖНЕНИЕ ДЛЯ ГЛАЗ.
IVэтап.Первичное осмысление нового материала. Работа в парах.
Задача 4. На сколько процентов изменится произведение двух чисел, если первое из них увеличить на 25%, а второе уменьшить на 60%?
Решение. Пусть а – первое число, b – второе число, аb – их произведение. Согласно выражениям, указанным в пунктах 2 и 4, новое значение первого сомножителя равно а(1+0,01*25)=1,25а, новое значение второго сомножителя равно b(1-0,01*60)=0,4b, а их произведение 1,25а*0,4b=0,5ab. Понятно, что произведение уменьшилось в 2 раза, т.е на 50%
Ответ. Уменьшится на 50%.
Примечание. При сравнении произведений ab и 0,5ab можно также воспользоваться выражением, приведенным в пункте 6: ((0,5ab-ab)/ ab)*100%=(ab-0,5ab)/ ab*100%=50%.
Vэтап. Закрепление нового материала. Работа в группах (по рядам).
I ряд.Задача 5.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия
дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
1)112:2=56%-Доля мужа
2)3%*2=6-доля дочери
3)100%-56%-6%=38-доля жены.
Ответ:38
IIряд. Задача 6..Первый сплав содержит 10 % меди, второй - 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 30 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было использовано?
[pic]
5+10 = 15 частей в 3 кг
3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.
На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг
На 10 частей - 0, 2 * 10 = 2 кг
Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.
III ряд.Задача 7. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?
Решение.
Пусть х руб. - сумма, которую клиент внес в банк.
Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб.;
0,11(х+800) руб. - доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы. 11% = 0,11
Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:
0,11(х+800) = 220.
0,11х = 220 -800 · 0,1
х = 132
Ответ: 132 рубля
Защита решения задачи (по одному ученику от ряда представляют свое решение ).
Критерии оценивания задания:
«5» ставится, если учащиеся выполнили правильно более 90% задания.
«4» - составлена математическая модель, уравнение. Уравнение решено не до конца.
«3» - при решении допущена вычислительная ошибка.
«2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.
VI этап. Подведение итогов.
С какими задачами мы сегодня познакомились?
Каков алгоритм решения этих задач?
Где встречаются эти задачи?
Какие качества помогают развивать такие задачи?
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с задачами на проценты, встречающиеся на экзамене по математике. Это задачи на смеси и сплавы, решение которых предполагает составление и решение уравнений или систем уравнений, научились решать эти задачи при помощи составления математической модели, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы.
VII. Задание на дом.
Задача 1. На сколько процентов изменится произведение двух чисел, если первое из них увеличить на 25%, а второе уменьшить на 60%?
Решение. Пусть а – первое число, b – второе число, аb – их произведение. Согласно выражениям, указанным в пунктах 2 и 4, новое значение первого сомножителя равно а(1+0,01*25)=1,25а, новое значение второго сомножителя равно b(1-0,01*60)=0,4b, а их произведение 1,25а*0,4b=0,5ab. Понятно, что произведение уменьшилось в 2 раза, т.е на 50%
Ответ. Уменьшится на 50%.
Задача 2.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери
уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое и при этом общий доход семьи вырос бы на 67%, значит, зарплата мужа составляет 67% дохода семьи, стипендия дочери уменьшилась втрое и при этом доход сократился на 4%,значит две трети ее стипендии составляют 4% дохода семьи, вся ее стипендия - 6%, муж и дочь вместе получают доход 73%, жена 27%
Задача 3.Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г., содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?
Решение:
35% 65% 47%
Х г у г 20г
Составим систему уравнений:
Решая её, получим х=8
у=12 Ответ: масса 1 слитка 8г; 2 слитка 12г
Задача 4. Мировой финансовый кризис крепко ударил по российским туристам. Если, например, прошлой зимой перелет в Таиланд стоил 700$, то в этом году уже 1000. На сколько процентов подорожал перелёт до Таиланда? На сколько процентов в прошлом году он был дешевле?
Решение: перелет подорожал на 300 долларов. Пусть Х цена подорожания.
Х== 43%
Слово «было дешевле» означает, что известна новая цена, а требуется найти величину её изменения.
х = = 30%
Ответ: на 30%
7
