Урок математики в 8 классе на тему: "Теорема Виета»
Автор: Хайтбекова Фатма Якубовна, учитель математики в МБОУ «Украинская школа»
Цели урока:
Обучающая:
обобщить и систематизировать знания учащихся по теме: “Квадратные уравнения”;
«открыть» зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения;
доказать теорему Виета, сформулировать обратную теорему
учить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях.
Развивающая:
способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы;
развивать исследовательские навыки и самостоятельность при составлении и решении уравнений;
Воспитательная:
научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле;
формировать навыки сотрудничества, воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал
Тип урока: урок изучения нового материала
План урока
Организационный момент 1 мин
Проверка домашнего задания 2 мин
Изучение нового материала 30 мин
Историческая справка 2мин
Исследовательская работа (постановка проблемы перед учащимися) 5 мин
Формулировка вывода учащимися 3 мин
Доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения в общем виде. -8мин
Применение теоремы Виета 5 мин
Установление зависимости между знаками корней и знаками коэффициентов 3мин
Формулировка учащимися теоремы, обратной теореме Виета 5 мин
IV. Закрепление изученного материала 10мин
1 Самостоятельная работа с последующей проверкой. 5 мин
2. Самостоятельная работа «Поставь себе оценку сам» 5 мин
V.Подведение итога по уроку. Рефлексия. 1мин
VI. Домашнее задание. 1мин
Ход урока
Организационный момент(1мин)
Сегодня очень важный урок: мы познакомимся с математиком, ученым, которого называют отцом алгебры, так как ему принадлежит знаменитая теорема. А что это за человек, какая теорема его прославила и облегчила жизнь многим поколениям учеников при решении квадратных уравнений, вы узнаете чуть позже.. Сегодня на уроке вы можете заработать смайлики успеха «Улыбка». В конце урока каждый из вас сможет обменять заработанные смайлики на оценку. Успехов вам!
Проверка домашнего задания (Слайд№3) – 2мин
Замените целые корни уравнений из домашнего задания на буквы. Отгадайте фамилию
французского ученого, математика, именем которого названа очень важная теорема алгебры.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
(Учащиеся называют корни, учитель по щелчку открывает буквы, учащиеся узнают фамилию ученого математика Учитель формулирует тему урока)
- Выберите квадратные уравнения, у которых старший коэффициент равен 1. Как называются эти квадратные уравнения?
- А можно ли из уравнений под буквами а, б получить приведенные квадратные уравнения? Как? Чем вам не нравятся эти уравнения?
III. Изучение нового материала
1. Историческая справка, подготовленная заранее учащимся (Слайд №4) - 2 мин
Франсуа Виет – французский математик 16 века. Он был адвокатом, а позднее, - советником французских королей. И хотя математика была лишь его увлечением, или как говорят хобби, благодаря упорному труду, он добился в ней больших результатов. Ф. Виета называют «отцом буквенной современной алгебры». Виет сделал множество открытий, сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которое называется теоремой Виета.
2. Исследовательская работа (постановка проблемы перед учащимися) -10мин
(Слайд №5)
Давайте и мы с вами попытаемся установить зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами. Заполните таблицу:
1 вариант – решите уравнения с четными номерами
2 вариант – решите уравнения с нечетными номерами
п/п
Приведенное квадратное уравнение
[pic]
Второй коэффициент
[pic]
Свободный член
[pic]
Корни уравнения
[pic]
Сумма корней
[pic]
Произведение
[pic]
1
[pic]
- 2
-15
5 и – 3
2
-15
2
[pic]
3
-28
4 и -7
-3
-28
3
[pic]
-14
48
6 и 8
14
48
4
[pic]
15
36
-12 и -3
-15
36
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
(Проверка осуществляется по щелчку)
3. Формулировка вывода учащимися: [pic] (Слайд №6)
Заполните пропуски: Если приведенное квадратное уравнение имеет корни, то
сумма корней … квадратного уравнения равна … коэффициенту, взятому с … знаком, а произведение корней равно …. члену.
[pic]
Сегодня веселый щенок Бейсик будет поддерживать вас на уроке, прислушайтесь
к его советам! Вот в каком виде предлагает он вам запомнить теорему Виета!
Запоминание стишка: Теорему Виета тебе
Я запомнить легко помогу:
Сумма корней минус р,
Произведение q.
4. Доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения в общем виде. -10мин
Но любая теорема предполагает доказательство. Я предлагаю вам попытаться доказать для квадратного уравнения в общем виде ее самостоятельно по следующему плану:
1 шаг: запишите квадратное уравнение в общем виде
2 шаг: запишите его в виде приведенного квадратного уравнения (хорошенько подумайте, как это можно сделать!)
3 шаг: найдите корни этого уравнения
4 шаг: найдите сумму корней, преобразуйте получившееся выражение
5 шаг: найдите произведение корней, преобразуйте получившееся выражение
6 шаг: сравните получившиеся результаты с коэффициентами уравнения.
7 шаг: сделайте вывод.
(Распечатанные инструкции с планом доказательства разложены на партах)
Проверяется доказательство с помощью слайда . (Слайд №7)
Если мы разделим обе части квадратного уравнения [pic] , где [pic] на [pic] , то получим приведенное квадратное уравнение
[pic] , в котором [pic]
Если [pic] - корни квадратного уравнения [pic] , то [pic]
Так как [pic] , то
[pic]
[pic]
Даже поэты не оставили без внимания такую важную теорему! (Слайд №8)
Поэтом по праву должна быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого-
Умножишь ты корни и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе [pic]
И сумма корней тоже дроби равна,
Хоть с минусом дробь та, что за беда:
В числителе [pic] , в знаменателе [pic]
5. Применение теоремы Виета.
Мы узнали теорему для того, чтобы ее применять. Давайте этим и займемся.
Теорема Виета – волшебница, она позволяет нам, не решая уравнения, определить, верно ли найдены корни.
№1 (Слайд №9)
Проверьте, правильно ли найдены корни уравнения:
-
6. Установление зависимости между знаками корней и знаками коэффициентов. - 8мин
№2 (Слайд №10)
Данные пары чисел являются корнями квадратного уравнения. Определите знаки коэффициентов [pic] и [pic] :
-
Учащиеся выполняют задание устно, по щелчку появляются знаки коэффициентов, делается вывод. Учащимся раздаются обобщенные таблички, которые они вклеивают в тетрадь (памятка для нахождения корней квадратного уравнения) (Слайд №11) .
Памятка
[pic]
корни одного знака
корни разных знаков
оба положительны
оба отрицательны
больший по модулю положителен
больший по модулю отрицателен
7. Формулировка учащимися теоремы, обратной теореме Виета.
Проверка утверждения на практике
Вы знаете, что к любой теореме можно составить обратную. Давайте проверим,
а будет ли справедлива теорема, обратная теореме Виета. (Слайд №12) .
Если два числа [pic] и [pic] таковы, что их сумма равна [pic] ,а произведение равно [pic] ,то эти числа являются корнями квадратного уравнения [pic] .
Первое задание учащиеся выполняют и оформляют с помощью учителя у доски, учитель показывает образец оформления задания. Оставшиеся задания учащиеся выполняют самостоятельно, с последующей проверкой по слайду.
Закрепление изученного материала.
Итак, мы уже сказали, что теорема Виета и обратная ей – волшебницы. Почему? Что мы теперь как по волшебству можем делать?
(Учащиеся формулируют вывод: теорема Виета и обратная ей позволяют нам
Самим составлять квадратные уравнения
Определять знаки корней квадратного уравнения [pic]
Делать проверку корней решенного квадратного уравнения)
Но самое сильное и значимое волшебство мы еще не знаем. Оказывается мы теперь сможем решать некоторые квадратные уравнения (а какие?) без нахождения дискриминанта и очень быстро узнавать корни. Разбирается образец (Слайд №13) .
Решить уравнения по образцу:
[pic]
[pic] [pic]
Проверка (устно): [pic]
Ответ: -3;-9
1. Самостоятельная работа с последующей проверкой. 5 мин
Первое уравнение решается на доске с объяснением. Остальные уравнения учащиеся решают самостоятельно по вариантам (1 вариант -3 и 5, 2 вариант – 2 и 4 уравнения)
Задание проверяется, ответы появляются по щелчку.
2. Самостоятельная работа «Поставь себе оценку сам» (Слайд №15) .
1
[pic]
[pic]
2 и 4
Нет корней
2
[pic]
[pic]
-3 и- 5
-16 и 5
3
[pic]
[pic]
12 и -2
-12 и 2
Задание проверяется, ответы появляются по щелчку. По объявленным критериям учащиеся ставят себе оценку. На полях рисуют соответствующее количество смайликов.
3. Следствие из теоремы Виета. (Слайд №16)
На этом волшебство еще не закончилось. Поднимите руку, кто отважится решить уравнение № 3? А я вам сейчас в течение 1 секунды могу назвать корни. Кто хочет узнать , как я это делаю? ( Учащимся раздаются распечатанные формулы)
4. Устное решение уравнений (Слайд №17)
Подведение итога по уроку. Рефлексия.
Задание на раздаточных карточках
была доказана теорема Виета
1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.
5) [pic] 1) [pic]
2. Для уравнения 7х2 + 14х - 21 =0 приведенным является
5) [pic] 6) [pic]
3.Сумма корней уравнения [pic] равна
8) 2 9) 5
4. Произведение корней уравнения [pic] равно
2) -1 1) -2
Давайте вспомним все волшебные силы теоремы Виета (Слайды №18, 19)
Выразите свое настроение после нашего с вами урока: поднимите цветную карточку
в соответствии с выбранным смайликом.
Учащимся выставляются оценки в соответствии с количеством набранным смайликов
«Улыбка»
V. Домашнее задание.
1.Составить карточку с 10 квадратными уравнениями, оформить ее, найти корни и составить таблицу ответов к карточке.
2. Выучить формулировку теоремы Виета.
Литература:
Учебник «Алгебра 8класс» авт. А.Г.Мордкович, Л.А. Александрова
