ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Параллелограмм Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
[pic]
[pic]
1.Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2.Противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны.
3.Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
4.Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 1800.
6.Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
[pic] [pic] [pic]
∆ABC=∆CDB AO=OC;BO=OD d12+d22=2a2+2b2
∟A=∟C; ∟A+∟B=1800;
∟B=∟D; ∟B+∟C=1800
AB=CD;BC=AD
1. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2.Если противоположные стороны четырехугольника равны друг другу, то этот четырехугольник - параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
4. Если противоположные углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на высоту, проведенную к этой стороне.
Площадь параллелограмма можно найти также по формулам:
[pic] [pic]
Прямоугольник
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны.
1.Диагонали прямоугольника равны.
2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
3. В прямоугольнике противоположные стороны равны.
1.Если ABCD – параллелограмм и ∟A = 900, то ABCD – прямоугольник.
2. Если ABCD – параллелограмм и AС = BD, то ABCD – прямоугольник.
[pic] [pic]
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
[pic]
Ромб
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны
1. Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.
2. Диагональ ромба делит его на два равных равнобедренных треугольника.
3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
[pic] Ромб имеет все свойства параллелограмма
[pic]
[pic]
[pic]
Площадь ромба равна произведению высоты на сторону:
[pic]
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла ромба:
[pic]
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.
Квадрат имеет все свойства ромба и прямоугольника.
[pic]
Трапеция
Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми.
1. Сумма углов прилежащих к боковой стороне равна 1800.
2. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна полусумме длин оснований.
[pic]
DC║MN║AD; MN=.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин основания на высоту
[pic]
Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту: m , где - средняя линия трапеции.
[pic]
Равнобедренная трапеция-трапеция, у которой боковые стороны равны.
1.Углы при основании равнобедренной трапеции равны, т.е.∟A=∟ D;∟B=∟C.
2. AF=ED=;
3. AE=FD=.
4.Диагонали равнобедренной трапеции равны:AC=BD.
[pic] [pic]
Если выполняется одно из утверждений 1-3, то трапеция равнобедренная.
Площадь см. трапеция
Прямоугольная трапеция-трапеция, у которой один угол прямой.
[pic] [pic]
Площадь см. трапеция
