Тема урока: «Вычисление определителя матрицы»
Цели:
- выявить качество усвоения учащимися знаний и способов действий по теме «Матрицы»;
- создать условия для развития способности учащихся к оценочным действиям;
- содействовать развитию вычислительных навыков учащихся, логического мышления, способности к самоконтролю, самооценке, рефлексии.
Тип урока: комбинированный.
Структура урока.
1) Организационный этап.
2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
3) Актуализация знаний.
4) Изучение нового материала.
5) Закрепление изученного материала.
6) Подведение итогов.
7) Домашнее задание.
1. Организационный этап.
[link] Подведем итог.
Определителем квадратной матрицы, элементы которой есть числа, является число. Мы рассмотрели три способа вычисления определителя:
через сумму произведений сочетаний элементов матрицы;
через разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы;
методом приведения матрицы к верхней треугольной (методом Гаусса).
Были получены формулы для вычисления определителей матриц порядка 2 на 2 и 3 на 3.
Мы разобрали свойства определителя матрицы. Некоторые из них позволяют быстро понять, что определитель равен нулю.
При вычислении определителей матриц порядка выше 3 на 3 целесообразно использовать метод Гаусса: выполнить элементарные преобразования матрицы и привести ее к верхней треугольной. Определитель такой матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали.
5. Закрепление изученного материала.
Пример.
Убедитесь, что определитель матрицы [pic] равен определителю транспонированной матрицы.
Решение.
Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы порядка3 на 3:
[pic]
Транспонируем матрицу А:
[pic]
Вычислим определитель транспонированной матрицы:
[pic]
Действительно, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Пример.
Проверьте, что определитель матрицы [pic] порядка 3 на 3равен нулю.
Решение.
[pic]
Пример.
Даны две квадратные матрицы порядка 3 на 3 [pic] и [pic] . Покажите, что их определители противоположны.
Решение.
Матрица В получена из матрицы А заменой третьей строки на первую, а первой на третью. Согласно рассмотренному свойству определители таких матриц должны отличаться знаком. Проверим это, вычислив определители по известной формуле.
[pic]
Действительно, [pic] .
Пример.
Покажите, что определитель матрицы [pic] равен нулю.
Решение.
В данной матрице второй и третий столбцы одинаковы, так что согласно рассмотренному свойству ее определитель должен быть равен нулю. Проверим это.
[pic]
На самом деле определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами есть ноль.
Пример.
Докажите, что определитель матрицы [pic] равен утроенному определителю матрицы [pic] .
Решение.
Элементы первого столбца матрицы В получены из соответствующих элементов первого столбца матрицы А умножением на 3. Тогда в силу рассмотренного свойства должно выполняться равенство [pic] . Проверим это, вычислив определители матриц А и В.
[pic]
Следовательно, [pic] , что и требовалось доказать.
Пример.
Докажите, что определитель матрицы [pic] равен сумме определителей матриц [pic] .
Решение.
В нашем примере [pic] , поэтому в силу рассмотренного свойства определителя матрицы должно выполняться равенство [pic] . Проверим его, вычислив соответствующие определители матриц порядка 2 на 2 по формуле [pic] .
[pic]
Из полученных результатов видно, что [pic] . На этом доказательство завершено.
Пример.
Убедитесь, что если к элементам третьего столбца матрицы [pic] прибавить соответствующие элементы второго столбца этой матрицы, умноженные на ( -2 ), и прибавить соответствующие элементы первого столбца матрицы, умноженные на произвольное действительное число [pic] , то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы.
Решение.
Если отталкиваться от рассмотренного свойства определителя, то определитель матрицы, полученной после всех указанных в задаче преобразований, будет равен определителю матрицы А.
Сначала вычислим определитель исходной матрицы А:
[pic]
Теперь выполним необходимые преобразования матрицы А.
Прибавим к элементам третьего столбца матрицы соответствующие элементы второго столбца матрицы, предварительно умножив их на (-2). После этого матрица примет вид:
[pic]
К элементам третьего столбца полученной матрицы прибавим соответствующие элементы первого столбца, умноженные на [pic] :
[pic]
Вычислим определитель полученной матрицы и убедимся, что он равен определителю матрицы А, то есть, -24:
[pic]
Пример.
Вычислите определитель матрицы [pic] порядка 4 на4, разложив его
Решение.
Используем формулу разложения определителя по элементам 3-ей строки
[pic]
Имеем
[pic]
Так задача нахождения определителя матрицы порядка 4 на 4 свелась к вычислению трех определителей матриц порядка 3 на 3:
[pic]
Подставив полученные значения, приходим к результату:
[pic]
Используем формулу разложения определителя по элементам 2-огостолбца
[pic]
и действуем аналогично.
Не будем подробно расписывать вычисление определителей матриц третьего порядка.
[pic]
Пример.
Вычислите определитель матрицы [pic] порядка 4 на 4.
Решение.
Можно разложить определитель матрицы по элементам любого столбца или любой строки, однако выгоднее выбирать строку или столбец, содержащую наибольшее количество нулевых элементов, так как это поможет избежать лишних вычислений. Разложим определитель по элементам первой строки:
[pic]
Вычислим полученные определители матриц порядка 3 на 3 по известной нам формуле:
[pic]
Подставляем результаты и получаем искомое значение
[pic]
Пример.
Вычислите определитель матрицы [pic] порядка 5на 5.
Решение.
В четвертой строке матрицы наибольшее количество нулевых элементов среди всех строк и столбцов, поэтому целесообразно разложить определитель матрицы именно по элементам четвертой строки, так как в этом случае нам потребуется меньше вычислений.
[pic]
Полученные определители матриц порядка 4 на 4 были найдены в предыдущих примерах, так что воспользуемся готовыми результатами:
[pic]
Пример.
Вычислите определитель матрицы
Не следует сразу бросаться раскладывать определитель по элементам какой либо строки или столбца. Если внимательно посмотреть на матрицу, то можно заметить, что элементы шестой строки матрицы можно получить умножением соответствующих элементов второй строки на двойку. То есть, если к элементам шестой строки прибавить соответствующие элементы второй строки, умноженные на (-2), то определитель не изменится в силу седьмого свойства, а шестая строка полученной матрицы будет состоять из нулей. Определитель такой матрицы равен нулю по второму свойству.
Ответ:
[pic] .
Пример.
Вычислите определитель квадратной матрицы [pic] порядка 3 на 3.
Решение.
В нашем примере
[pic]
Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка:
[pic]
Формулы для вычисления определителей квадратных матриц второго и третьего порядков очень часто применяются, так что рекомендуем их запомнить.
Пример.
Вычислите определитель квадратной матрицы [pic] порядка [pic] .
Решение.
В нашем примере [pic] . Применяем полученную формулу [pic] : [pic]
6. Подведение итогов.
Определителем квадратной матрицы, элементы которой есть числа, является число. Мы рассмотрели три способа вычисления определителя:
через сумму произведений сочетаний элементов матрицы;
через разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы;
методом приведения матрицы к верхней треугольной (методом Гаусса).
Были получены формулы для вычисления определителей матриц порядка 2 на 2 и 3 на 3.
Мы разобрали свойства определителя матрицы. Некоторые из них позволяют быстро понять, что определитель равен нулю.
При вычислении определителей матриц порядка выше 3 на 3 целесообразно использовать метод Гаусса: выполнить элементарные преобразования матрицы и привести ее к верхней треугольной. Определитель такой матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали.
7. Домашнее задание.
1. Убедитесь, что определитель произведения двух матриц [pic] и [pic] равен произведению их определителей.
Решение.
Найдем сначала произведение определителей матриц А и В:
[pic]
Сейчас выполним умножение матриц и вычислим определитель получившейся матрицы:
[pic]
Таким образом, [pic] , что и требовалось показать.
2. Покажите, что сумма произведений элементов третьего столбца матрицы [pic] на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца равна нулю.
Решение.
[pic]
