Открытый урок по алгебре и началам анализа учителя математики
Доевой Евы Кимовны учителя МКОУ СОШ № 3 им. Героя Советского Союза К.Д. Карсанова с. Эльхотово МО Кировский район РСО-Алания
Технологическая карта урока
Тема: «Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного».
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.
Формируемые результаты:
Предметные: обеспечить повторение и систематизацию учебного материала.
Научить при решении уравнений ориентироваться на координатной плоскости и правильно записывать решение уравнений, имея ввиду неоднозначность ответа,
Проконтролировать степень владения УУД.
Личностные: Формировать: независимость суждений, содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, умению объективно оценивать себя, активности, мобильности, умению общаться, общую культуру учащихся.
Метапредметные: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора и зоркости, мышления и речи, внимания и памяти.
Планируемые результаты: Учащийся научится: решать уравнения по обобщающей схеме: 1)сводить тригонометрическое уравнение к алгебраическому,
2)решать тригонометрические уравнения разложением на множители,
3)вводить новую переменную,
4)вводить вспомогательный аргумент,
5)решать тригонометрические уравнения переводом суммы в произведение
6)применять формулы понижения степени;
делать системные обобщения, выполнять самопроверку, выполнять взаимопроверку.
Основные понятия: синус угла, косинус угла, период, чётность функции, корень уравнения, тригонометрическая окружность.
Организационная структура урока.
Устно: слайд №1-10
5.Самостоятельная работа
И
Слайд:
№11,12,13
6.Взаимопроверка и оценка
П
Слайд:
№14, 15
7.Систематизация знаний (профильный уровень)
И
Слайд:
№16-21
7.Информация о домашнем задании
п.11.2-11.4,11.8
№207 (а,б,в,д)
Ф - фронтальная работа И – индивидуальная работа П – парная работа
1. Организационный момент. (Презентация. Слайды 1 – 2)
Альберт Эйнштейн (1879 – 1955) однажды заметил:
«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы уравнений, методы и приемы решений тригонометрических уравнений.
2.Актуализация знаний.
(Презентация. Слайды 3,4.)
[pic]
(Презентация. Слайды 5-8.)
5)
Решение какого уравнения показано на тригонометрической окружности?
[pic]
6)
[pic]
7)
[pic]
8)
[pic]
9) Какая из схем лишняя?
Слайд 8. 5 – я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида [pic] ; 1, 2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида [pic] .
Слайд 9. 1 – я схема лишняя, так как она изображает решение уравнения вида [pic] ;
5 – я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида [pic] ;
2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида [pic] .
3.Самостоятельная работа по теме: «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс
УМК С.М.Никольский (профильное преподавание предмета 4 ч/нед)
Каково будет решение уравнения [pic] при [pic] ?
При каком значении а уравнение [pic] имеет решение?
Какой формулой выражается это решение?
На какой оси откладывается значение а при решении уравнения [pic] ?
В каком промежутке находится [pic] ?
В каком промежутке находится значение а?
Каким будет решение уравнения [pic] ?
Каким будет решение уравнения [pic] ?
Каким будет решение уравнения [pic] ?
Чему равняется [pic] ?
В каком промежутке находится [pic] ?
Какой формулой выражается решение уравнения [pic] ?
Каково будет решение уравнения [pic] при [pic] ?
При каком значении а уравнение [pic] имеет решение?
Какой формулой выражается это решение?
На какой оси откладывается значение а при решении уравнения [pic] ?
В каком промежутке находится [pic] ?
В каком промежутке находится значение а?
Каким будет решение уравнения [pic] ?
Каким будет решение уравнения [pic] ?
Каким будет решение уравнения [pic] ?
Чему равняется [pic] ?
В каком промежутке находится [pic] ?
Какой формулой выражается решение уравнения [pic] ?
На экране – 14слайд (Ответы)
Слайд 15 – оценивание сам работы.
3. Классификация тригонометрических уравнений. Систематизация знаний.
Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.
Слайды 16 – 21 . Составление таблицы по методам решения тригонометрических уравнений.
Учащимся предлагается решить уравнения ( по вариантам) предварительно определив, что это за уравнение и каким методом оно решается. У доски данную работу выполняет один ученик – решение уравнения одного варианта. Учащиеся, выполняющие работу другого варианта, решают уравнение на листочках.
В а р и а н т 1. В а р и а н т 2.
1) Уравнения сводимые к алгебраическим. Слайд 16
[pic]
[pic]
2) Разложение на множители. Слайд 17
[pic]
[pic]
3) Введение новой переменной. Слайд 18
[pic]
[pic]
4) Введение вспомогательного аргумента. Слайд 19*
[pic]
[pic]
5) Уравнения решаемые с помощью формул сложения.Слайд 20
[pic]
[pic]
6)Применение формул понижения степени.
[pic]
[pic]
Р [pic] [pic] ешение
c [pic] [pic] os2x – sin2x+ sin2x+ sinx- ¼ = 0
1- sin2x+ sinx- ¼ =0
sin2x- sinx- ¾ =0
[sinx=t]
t 2- t-¾ =0
4 t 2-4 t- 3=0
D=64
t 1 = 3/2 t2= - ½
s [pic] inx= 3/2 sinx= - ½
решений нет x= -π/6 +2πn n€Z
x= 7π/6 + 2πk k€Z
Ответ: x= -π/6 +2πn n€Z
x= 7π/6 + 2πk k€Z
[pic]
1)
3 cos2x- 3 sin2x - 5 cosx – 1=0
3 cos2x- 3(1 - cos2x)- 5 cosx – 1=0
6 cos2x-5 cosx – 4=0
[cosx= t]
6 t2-5 t-4=0
D=121
t 1= 4/3 t= - ½
cosx=4/3 cosx= - ½
решений нет x1= 2π/3 + 2πk k€Z
x2= 4π/3 +2πn n€Z
Ответ: x1= 2π/3 + 2πk k€Z
x2= 4π/3 +2πn n€Z
[pic]
2)
sinx(3sinx - √3 cosx)=0
sinx=0 или 3sinx - √3 cosx=0
x=πk ctgx= - √3/3
k€Z x=5π/6 + πn n€Z
Ответ: x=πk ctgx= √3/3
[pic] k€Z x=5π/6 + πn n€Z
2)
√3сosx(√3cosx - sinx)=0
√3cosx + 1 =0 или ctgx= - √3/3
x=π/2 +πn x=2π/3 + πk k€Z
n€Z
Ответ: x=π/2 +πn x=2π/3 + πk
[pic] k€Z n€Z
3)
3 cos2x-5 sin2x-2 sinx cosx=0
3-5tg2x- 2 tgx =0
5 tg2x+2 tgx – 3=0
[tgx = t]
5t2+2t – 3=0
D=64
t1=0,6 t2=-1
tgx=0,6 tgx=-1
x=arctg 0,6 +πn n€Z x=3π/4 + πk k€Z
Ответ: x=arctg 0,6 +πn n€Z
x=3π/4 + πk k€Z
3)
2 [pic] cos2x- sin2x+cosxsinx=0 : sin2x
2сtg2x + сtgx -1=0
[сtgx=t]
2t2+t -1= 0
D=9
t1= [pic] t2= -1
сtgx= [pic] сtgx= -1
x=arcctg [pic] + πk x= [pic] + πn
k€Z n€Z
Ответ: x=arcctg [pic] + πk x= [pic] + πn
k€Z n€Z
4 [pic] )
[pic] - [pic] =1
[pic] -x)=1
[pic] -x= [pic] + 2πn
-x= [pic] - [pic] +2πn
x= - [pic] + 2πn n€Z
О [pic] твет: x= - [pic] + 2πn n€Z
4 [pic] )
[pic] + [pic] [pic] = [pic]
[pic] + [pic] = [pic]
[pic] +x) = [pic]
[pic] +x = [pic] +2πn или [pic] +x = [pic] +2πk
x= - [pic] +2πn n€Z x= [pic] +2πk k€Z
Ответ: x= - [pic] +2πn n€Z x= [pic] +2πk k€Z
5) 2 [pic] [pic] = 4cos3x
2 [pic] = 4cos3x I :соs x
2 [pic] = 4 cos2x
4 [pic] cos2x I :4сosx
[pic] = [pic]
tgx – 1 =0
x= [pic] +πn n€Z
Ответ: x= [pic] +πn n€Z
5 [pic] )
-2 [pic] = [pic]
2 [pic] = [pic]
2 [pic] - [pic] =0
[pic] (2 [pic] -1)= 0
[pic] или 2 [pic] -1= 0
x1=πn [pic] = [pic]
n€Z x2= [pic] +2πk x3= [pic] +2πm
k€Z m€Z
Ответ: x1=πn n€Z
x2= [pic] +2πk k€Z
x3= [pic] +2πm m€Z
6) [pic]
[pic]
[pic] + [pic] + [pic] =0
cos4x (2 cos2x +1)=0
cos4x=0 или 2cos2x = -1
4x = [pic] +πn cos2x = - [pic]
x= [pic] + [pic] 2x= [pic] + 2πk или 2x = - [pic] +2πm
n€Z x= [pic] + [pic] k€Z x= - [pic] + πm m€Z
Ответ: x= [pic] + [pic] n€Z
x= [pic] + [pic] k€Z
x= - [pic] + πm m€Z
6) [pic]
2сos2x + 2 сos22x +2 сos23x = 3
cos2x + сos4x + сos6x 0
2 cos3x cos4x + cos4x =0
cos4x (2 cos2x +1)=0
cos4x=0 или 2 cos2x = -1
4x = [pic] +πn cos2x = - [pic]
x1= [pic] + [pic] n€Z 2x= [pic] + 2πk или 2x=- [pic] +2πk
x2= [pic] + [pic] x3= - [pic] +πm
k€Z m€Z
Ответ: x1= [pic] + [pic] n€Z
x2= [pic] + [pic] k€Z
x3= - [pic] +πm m€Z
введение вспомогательного аргумента
Аsinx +Bcosx=C
cosxcosα+sinxsinα=C
cos(x-α)=C
Подведение итогов урока.
Домашнее задание:
№ 207 (а,б,в,д) стр. 389 – «Алгебра и начала анализа – 10» Никольский С.М.
8
