Контрольная работа № 7 (1 час)
Цели: выявление знаний учащихся, проверка степени усвоения ими изученного материала; развитие навыков самостоятельной работы.
Вариант 1
1. Составьте уравнение касательной к графику функции [pic] в точке [pic]
2. Составьте уравнения касательных к графику функции [pic] в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точку ппересечения этих касательных.
3. Исследуйте функцию [pic] на монотонность и экстремумы и постройте её график.
4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции [pic] в точке с абсциссой [pic] параллельна биссектрисе первой координатной четверти.
Вариант 2
1. Составьте уравнение касательной к графику функции [pic] в точке [pic]
2. Составьте уравнения касательных к графику функции [pic] в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точ-кку пересечения этих касательных.
3. Исследуйте функцию [pic] на монотонность и экстремумы и постройте её график.
4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции [pic] в точке с абсциссой [pic] параллельна прямой [pic]
Вариант 3
1. Составьте уравнение касательной к графику функции [pic] в точке х = 4.
2. Составьте уравнения касательных к графику функции [pic] в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точку пересечения этих касательных.
3. Исследуйте функцию [pic] на монотонность и экстремумы и постройте её график.
4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции [pic] в точке с абсциссой [pic] параллельна биссектрисе второй координатной четверти.
Вариант 4
1. Составьте уравнение касательной к графику функции [pic] в точке х = 1.
2. Составьте уравнения касательных к графику функции [pic] в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точку пересечения этих касательных.
3. Исследуйте функцию [pic] на монотонность и экстремумы и постройте её график.
4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции [pic] в точке с абсциссой [pic] параллельна прямой [pic]
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Уравнение касательной:
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
2. [pic]
Найдем точки пересечения с осью 0х:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Составим уравнение касательной в точке х = 1:
[pic]
[pic]
[pic]
Получим, [pic]
[pic]
Составим уравнение касательной в точке х = –1:
[pic]
[pic]
Получим [pic]
[pic]
Найдем точку пересечения касательных:
[pic]
[pic]
х = 0
[pic]
Ответ: [pic] , [pic] (0; –6).
3. [pic]
1) Область определения: [pic]
2) Чётность / нечётность:
[pic] – чётная.
3) Асимптоты.
Асимптот нет.
4) Монотонность и экстремумы.
[pic]
[pic]
[pic]
х = 0, х = 1
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
5) Контрольные точки:
4. [pic]
Биссектриса первой координатной четверти имеет уравнение у = х. Если касательная ей параллельна, то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть k = 1.
Таким образом, нужно найти такое значение параметра а, при котором производная данной функции в точке [pic] равна 1.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
Вариант 2
1. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Уравнение касательной:
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
2. [pic]
Найдем точки пересечения с осью 0х:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Составим уравнение касательной в точке х = 2:
[pic]
[pic]
[pic]
Получим [pic]
[pic]
Составим уравнение касательной в точке х = –2:
[pic]
[pic]
Получим [pic]
[pic]
Найдем точку пересечения касательных:
[pic]
[pic]
х = 0
[pic]
Ответ: [pic] (0; –48).
3. [pic]
1) Область определения: [pic]
2) Чётность / нечётность:
[pic] – нечётная.
3) Асимптоты.
Асимптот нет.
4) Монотонность и экстремумы.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
5) Контрольные точки:
Пересечение с осью 0х: [pic]
[pic]
х = 0, х = 1
А (0; 0), В (1; 0), С (–1; 0).
[pic]
4. [pic]
[pic]
Если касательная параллельна прямой [pic] то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть [pic] Значит, нужно найти такое же значение параметра а, при котором производная данной функции в точке [pic] равна [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
Вариант 3
1. [pic] , х = 4.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Уравнение касательной:
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
2. [pic]
Найдем точки пересечения с осью 0х:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Составим уравнение касательной в точке х = 1:
[pic]
[pic]
[pic]
Получим [pic]
[pic]
Составим уравнение касательной в точке х = –1:
[pic]
[pic]
Получим [pic]
[pic]
Найдем точку пересечения касательных:
[pic]
[pic]
х = 0
[pic]
Ответ: [pic] (0; –24).
3. [pic]
1) Область определения: [pic]
2) Чётность / нечётность:
[pic] – ни чётная, ни нечётная.
3) Асимптоты.
Асимптот нет.
4) Монотонность и экстремумы.
[pic]
[pic]
[pic]
х = 0, х = 2
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
5) Контрольные точки:
4. [pic]
Биссектриса второй координатной четверти имеет уравнение у = –х. Если касательная ей параллельна, то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть k = –1.
Таким образом, нужно найти такое значение параметра а, при котором производная данной функции в точке [pic] равна –1.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
Вариант 4
1. [pic] х = 1.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Уравнение касательной:
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
2. [pic]
Найдем точки пересечения с осью 0х:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Составим уравнение касательной в точке х = 1:
[pic]
[pic]
[pic]
Получим [pic]
[pic]
Составим уравнение касательной в точке х = –1:
[pic]
[pic]
Получим [pic]
[pic]
Найдем точку пересечения касательных:
[pic]
[pic]
х = 0
[pic]
Ответ: [pic] (0; –68).
3. [pic] .
1) Область определения: [pic]
2) Чётность / нечётность:
[pic] – чётная.
3) Асимптоты.
Асимптот нет.
4) Монотонность и экстремумы.
[pic]
[pic]
[pic]
х = 0, х = [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
5) Контрольные точки:
4. [pic]
[pic]
Если касательная параллельна прямой [pic] то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть k = 1. Значит, нужно найти такое же значение параметра а, при котором производная данной функции в точке [pic] равна 1.
[pic]
[pic]
–а = 1
а = –1
Ответ: а = –1.
