Геометрия 7 класс поурочное планирование (Атанасян Л.С.)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС

ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ

УМК Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.

ПРАСКОВА МАРИЯ ВАЛЕРИЕВНА

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

МБОУ «ГУНДИНСКАЯ СОШ»

Введение основных понятий опирается на наглядные представления и на тот опыт, который накоплен учащимися при изучении математики в 1-6 классах. Понятие аксиомы в первых двух главах не вводится, и сами аксиомы не формулируются в явном виде. Вместе с тем необходимые исходные положения, на основе которых изучаются свойства геометрических фигур, приведены в описательной форме уже в первой главе.

Изучение первой главы ставит перед учителем сложные методические задачи:

1) начать обучение школьников четким геометрическим формулировкам и рассуждениям;

2) постепенно подводить учащихся к пониманию необходимости доказательства каждого утверждения;

3) начать обучение умению выделить из текста геометрической задачи что дано и что требуется найти (или доказать), отразить ситуацию, данную в условии задачи и возникающую по ходу ее решения, на рисунке, кратко и чётко записать решение задачи. Этому школьники будут обучаться на протяжении всего курса геометрии, но при изучении этой главы закладываются основы будущих умений и навыков.

При решении задач этой главы следует прежде всего опираться на наглядные представления учащихся. Письменные формы работы являются важнейшим видом деятельности, формирующим устойчивые навыки в логических рассуждениях при решении задач.

Форма записи условия задачи, разумные сокращения и обозначения, расположение в тетради вычислений и доказательств дисциплинируют мышление.

Практические приложения геометрического материала, изложенного в этой главе, раскрываются в пунктах «Провешивание прямой на местности», «Единицы измерения. Измерительные инструменты» и «Измерение углов на местности». Соответствующую практическую работу можно выполнить в удобное время учебного года.

 Урок 1. ПРЯМАЯ И ОТРЕЗОК (§ 1)

 Цели: познакомить учащихся с тем, что изучает геометрия, какой раздел геометрии называется планиметрией, какие фигуры в планиметрии называются основными; систематизировать сведения о взаимном расположении точек и прямых; рассмотреть свойство прямой: через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну; научить обозначать точки и прямые на рисунке; ввести понятие отрезка; рассказать о практическом проведении (провешивании) прямых на местности.

I. Вводная беседа о возникновении и развитии геометрии (10-12 мин).

ПЛАН БЕСЕДЫ

1. Зарождение геометрии.

2. От практической геометрии к науке геометрия.

3. Геометрия Евклида.

4. История развития геометрии.

5. Геометрические фигуры.

Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было сооружать жилища, храмы, прокладывать дороги, оросительные каналы, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» — по-гречески земля, а «метрео» — мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами.

Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений.

За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построения прямых углов и т. д.

Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

Первым, кто начал получать геометрические факты при помощи рассуждений (доказательств), был древнегреческий математик Фалес (VI в. до н. э.), который в своих исследованиях применял перегибание чертежа, поворот части фигуры и так далее, то есть то, что на современном геометрическом языке называется движением.

Постепенно геометрия становится наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем выводов, рассуждений, доказательств.

Попытки греческих ученых привести геометрические факты в систему начинаются уже с V в. до н. э. Наибольшее влияние на всё последующее развитие геометрии оказали труды греческого ученого Евклида, жившего в Александрии в III в. до н. э. Сочинение Евклида «Начала» почти 2000 лет служило основной книгой, по которой изучали геометрию. В «Началах» были систематизированы известные к тому времени геометрические сведения, и геометрия впервые предстала как математическая наука.

Эта книга была переведена на языки многих народов мира, а сама геометрия, изложенная в ней, стала называться евклидовой геометрией.

В геометрии изучаются формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и т. д. Отвлекаясь от этих свойств и беря во внимание только форму и размеры предметов, мы приходим к понятию геометрической фигуры.

На уроках математики вы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляете себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол, как они могут быть расположены относительно друг друга. Вы знакомы с такими фигурами, как треугольник, прямоугольник, круг (показать модели этих фигур).

Геометрия не только дает представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.

Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. Такие фигуры, как отрезок, луч, прямая, угол, окружность, круг, треугольник, прямоугольник, являются плоскими, то есть целиком укладываются на плоскости. Раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости, называется планиметрией (от латинского слова «планум» - плоскость и греческого «метрео» - измеряю).

В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, таких как параллелепипед, шар, цилиндр, пирамида (показать модели). Мы начнем изучение геометрии с планиметрии.

II. Изучение нового материала.

1. Повторение известного учащимся материала о точках и прямых, их изображении и расположении относительно друг друга.

2. Прямая безгранична, а на рисунке изображается только часть прямой.

3. Обозначение прямых малыми буквами латинского алфавита или двумя большими буквами, соответствующими двум точкам, лежащим на прямой.

(Рисунки выполнять на доске и в тетрадях; рассмотреть по учебнику рисунки 4, 5 и 6 на с. 5.)

4. Выполнение практического задания № 1 (с. 7 учебника). Символы ∈ и ∉.

5. Вопросы к учащимся:

1) Можно ли через данную точку провести прямую?

2) Сколько прямых можно провести через данную точку?

Учащиеся должны сделать вывод: «через данную точку можно провести сколько угодно прямых».

3) Сколько прямых можно провести через две данные точки? (Ответ: только одну.)

Учащиеся проводят прямую через две данные точки и находят в п. 1 учебника утверждение: «через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну».

Это утверждение выражает неискривленность прямой, то есть то свойство, которое отличает прямую от других линий (через две данные точки можно провести сколько угодно кривых линий, например окружностей, а прямых - только одну).

6.  Рассмотрение различных случаев взаимного расположения двух прямых на плоскости (с помощью рисунков учебника, плакатов, таблиц, транспарантов для графопроектора).

Учащиеся делают вывод: две прямые не могут иметь более одной общей точки.

III. Выполнение практических заданий.

1.  Учащиеся выполняют практические задания № 2, 3 на с. 7 учебника.

2.  Вопросы к учащимся:

1) Могут ли прямые ОА и АВ быть различными, если точка О лежит на прямой АВ? (Ответ: прямые ОА и АВ не могут быть различными, так как обе они проходят через точки А и О, а через две точки проходит только одна прямая.)

2) Даны две прямые а ив, пересекающиеся в точке С, и точка Д, отличная от точки С и лежащая на прямой а. Может ли точка Д лежать на прямой в? (Ответ: точка Д не может лежать на прямой в, так как две прямые не могут иметь двух общих точек.)

3.  Ввести понятие отрезка (использовать рисунок 7 учебника).

4.  Самостоятельное выполнение учащимися задания № 5.

5.  Изложение материала п. 2. «Провешивание прямой на местности» в виде беседы (по рис. 8 и 9 учебника).

IV. Проверка усвоения изученного материала.

Самостоятельная работа проводится в форме диктанта:

1.  Начертите прямую и обозначьте ее буквой в.

1) Отметьте точку М, лежащую на прямой в.

2) Отметьте точку Д, не лежащую на прямой в.

3) Используя символы ∈ и ∉, запишите предложение: «Точка М лежит па прямой в, а точка Д не лежит на ней».

2.  Начертите прямые а я в, пересекающиеся в точке К. На прямой а отметьте точку С, отличную от точки К.

1) Являются ли прямые КС и а различными прямыми? Ответ обоснуйте.

2) Может ли прямая в проходить через точку С? Ответ обоснуйте.

3*. Сколько точек пересечения могут иметь три прямые? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте соответствующие рисунки.

4*. На плоскости даны три точки. Сколько прямых можно провести через эти точки так, чтобы на каждой прямой лежали хотя бы две из данных точек? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте рисунки.

V. Итоги урока.

Учащиеся отвечают на вопросы:

1. Сколько прямых можно провести через две точки?

2. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

3. Какая фигура называется отрезком?

4. Как обозначаются точки и прямые на рисунке?

Домашнее задание: пункты 1, 2; ответить на вопросы 1-3 на с. 25 учебника; практические задания № 4, 6 и 7.

На первых уроках, комментируя домашнее задание, следует показать учащимся на примерах вопросов 1-3 повторения, как находить на них ответы в тексте учебника.



Урок 2. ЛУЧ И УГОЛ (§ 2)

Цели: напомнить учащимся, что такое луч и угол; ввести на наглядном уровне понятия внутренней и внешней областей неразвернутого угла; познакомить с различными обозначениями лучей и углов.

Оборудование: таблица (кодопозитив) с изображением лучей и углов; шарнирная модель угла, изготовленная из деревянных реек или другого подходящего материала.

I. Проверка домашнего задания.

1. Выполнение учащимся на доске практических заданий № 4 и 6.

2. Проверка задания № 7 по рис. 10 учебника (устно).

3. Ответы на контрольные вопросы 1-3.

4. Сообщение итогов математического диктанта.

II. Изучение нового материала.

1. Введение понятия луча (использовать рис. 11 учебника).

2. Обозначение луча (рис. 12, а и б).

3. Выполнение под руководством учителя заданий:

1) Проведите прямую а.

а) Отметьте на ней точки А, В и С так, чтобы точка А лежала между точками В и С. [pic]

б) Назовите лучи, исходящие из точки А.

в) Отметьте на луче АВ точку Д.

2) Укажите все лучи, изображенные на рисунке:

а) исходящие из точек М и Д;

б) составляющие вместе с их общим началом одну прямую.

 4. Самостоятельное выполнение учащимися практического задания № 8.

5. Изложение п. 4 «Угол» (использовать при этом заготовленную шарнирную модель угла):

1) На модели показывается, из каких элементов состоит данная фигура.

2) Дается определение угла.

3) Вводятся различные способы обозначения угла.

4) Вводятся понятия развернутого и неразвернутого угла (рис. 15, а и б).

 III. Закрепление изученного материала.

1. Выполнение практических заданий № 9, 10 и 11 на доске и в тетрадях.

2. Устно:

1) Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и сторона угла.

2) Какой угол называется развернутым?

3. Выполнение задания учащимися: начертить неразвернутый угол hk, заштриховать его внутреннюю область, провести луч l, исходящий из вершины и проходящий внутри этого угла, то есть луч, разделяющий угол hk на два угла: ∠hl и ∠lk. (Работа по рис. 16, а.)

4. Учитель отмечает, что если угол hk развёрнутый, то любой луч, исходящий из его вершины и не совпадающий с лучами h и k, также делит этот угол на два угла (рис. 16, б).

5. Выполнение учащимися практического задания № 14.

6. Устно решить задания № 15, 16 (по рис. 17) и задание № 17 (по рис. 18).

IV. Итоги урока.

В ходе беседы с учащимися по изученному материалу учитель выясняет, умеют ли ученики объяснить, что такое луч; умеют ли изображать и обозначать лучи; знают ли, какая геометрическая фигура называется углом, что такое стороны и вершина угла; умеют ли обозначать неразвернутые и развернутые углы, показывать на рисунке внутреннюю область неразвернутого угла, проводить луч, разделяющий угол на два угла.

Домашнее задание: изучить пункты 3, 4 из § 2; ответить на вопросы 4-6 на с. 25 учебника; выполнить практические задания № 12 и 13.

Урок 3. СРАВНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ (§ 3)

Цели: ввести одно из важнейших геометрических понятий - понятие равенства фигур, в частности равенства отрезков и углов; научить учащихся сравнивать отрезки и углы; ввести понятия середины отрезка и биссектрисы угла.

Оборудование: модели различных плоских фигур (знакомых учащимся из курса математики I-VI классов); плакат с фигурами Ф1 и Ф2, аналогичный рисунку 19 учебника, и калька; транспаранты и графопроектор.

I. Устная работа.

Вопросы к учащимся:

1. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.

2. Что такое планиметрия?

3. Как можно обозначить прямую?

4. Что называется отрезком?

5. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

6. Сколько прямых можно провести через любые две точки плоскости?

7. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

8. Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.

9. Какой угол называется развернутым?

10. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трёх прямых, проходящих через одну точку? (Ответ: двенадцать углов.)

 II. Объяснение нового материала.

1. Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Такими предметами являются, например, два одинаковых листа бумаги, две одинаковые книги, два одинаковых шкафа. (Показ моделей равных плоских фигур окружающей обстановки.)

2. Определение равных фигур.

3. Как установить, равны фигуры или нет?

Используя плакат с фигурами Ф1 и Ф2 и кальку, учитель показывает процесс наложения одной фигуры на другую, описанный в учебнике (рис. 19).

Вывод: две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

4. Задача сравнения фигур (их форм и размеров) является одной из основных задач в геометрии. На практике сравнить наложением две небольшие плоские фигуры вполне возможно, а вот два очень больших стекла, а тем более два земельных участка, практически невозможно. Это приводит к необходимости иметь какие-то правила сравнения двух фигур, позволяющие сравнить некоторые их размеры, и по результатам этого сравнения сделать вывод о равенстве или неравенстве фигур.

5.  Учащиеся сравнивают несколько отрезков, изображенных на доске, среди которых есть равные (с помощью кальки, бечевки или циркуля).

6.  Работа по рис. 20 учебника. Запись в тетрадях: ВК = ДМ (равные отрезки); АС < АВ.

7.  Введение понятия середины отрезка (рис. 21).

8.  Решение задач № 19 и 20 (по рис. 25).

9.  При сравнении углов используются транспаранты. На двух пленках изображаются углы, и с помощью графопроектора показывается, как равные углы можно совместить наложением.

10. Работа по рис. 22 и 23 учебника.

11. Выполнение задания № 21 на доске и в тетрадях.

12. Введение понятия биссектрисы угла (рис. 24).

13. Устно решить задачу № 22.

 III Проверка усвоения нового материала.

Самостоятельная работа проводится в форме диктанта:

1.  На луче h с началом в точке О отложите отрезки ОА и ОB так, чтобы точка А лежала между точками О и В. Сравните отрезки ОА и ОВ и запишите результат сравнения.

2.  Начертите неразвернутый угол ABC и проведите какой-нибудь луч ВД, делящий этот угол на два угла. Сравните углы ABC и АВД, ABC и ДВС и запишите эти результаты сравнения.

При наличии времени проверку работы можно провести на этом же уроке с помощью графопроектора.

 IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 5 и 6 из § 3; ответить на вопросы 7—11 на с. 25; решить задачи № 18 и 23.

 Урок 4. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ (§ 4)

Цели: познакомить учащихся с процедурой измерения отрезков; ввести понятие длины отрезка и рассмотреть свойства длин отрезков; ознакомить учащихся с различными единицами измерения и инструментами для измерения отрезков.

I. Анализ выполнения учащимися самостоятельной работы, её итоги.

 II. Работа учащихся с учебником.

1. В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением длин высот, расстояний. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.

2. Учащиеся по учебнику изучают процедуру измерения отрезков (пункт 7 «Длина отрезка»).

3. При выбранной единице измерения каждому отрезку соответствует определенное положительное число, которое и выражает длину отрезка. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.

4. Записать в тетрадях выводы:

1) равные отрезки имеют равные длины;

2) меньший отрезок имеет меньшую длину;

3) когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков;

4) длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

5. По учебнику учащиеся при чтении пункта 8 «Единицы измерения. Измерительные инструменты» вспоминают известные им единицы измерения отрезков. Необходимо подчеркнуть, что единица измерения, в частности миллиметр, сантиметр или метр, есть некоторый отрезок.

6. Устное решение задачи № 26.

 III. Решение задач по закреплению изученного материала.

При решении задач учитель показывает оформление решения задачи на доске, объясняя, как из условия задачи выделить, что дано и что требуется найти или доказать.

1. Решить задачу № 27 (объясняет учитель).

[pic]

[pic]

Замечание: если за единицу измерения принять отрезок АВ, то  [pic]

2. На доске и в тетрадях решить задачи № 30, 31 (б).

3. Выполнение заданий с необходимыми краткими записями на доске и в тетрадях:

1) Дан луч h с началом в точке О; В ∈ h, А ∈ А; точка В лежит между точками О и А. а) Какой из отрезков ОВ или О А имеет большую длину? б) Найдите АВ, если О А = 72 см, ОВ = 4,2 дм.

2) Начертите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. С помощью масштабной линейки и циркуля отметьте на прямой а точку Д удаленную от точки А на расстояние 3 см. (Выяснить вместе с учащимися, что задача может иметь одно или два решения, а может и не иметь решений.)

3) Решить задачу № 29 учебника.

4) Начертите отрезок СД, равный 5 см. С помощью масштабной линейки отметьте на прямой СД точку В, такую, что СВ = 2 см. а) Сколько таких точек можно отметить на прямой СД? б) Какова длина отрезка ВД? Рассмотрите все возможные случаи.

4. Решить задачу № 32 (учитель на доске объясняет решение задачи и её оформление):

Дано: А ∈ а, В ∈ а, С ∈ а, АВ = 12 см, ВС = 13,5 см.

Найти: АС.

Решение

На прямой а отложим отрезок АВ, а затем отрезок ВС. Возможны два случая.

1) Точки А и С лежат по разные стороны от точки В.

[pic]

АС = АВ + ВС

АС = 12 + 13,5 = 25,5 (см)

АС = 25,5 см.

2) Точки А и С лежат по одну сторону от точки В.

[pic]

АС = ВС — АВ

АС = 13,5 - 12 АС = 1,5 см.

АС = 1,5 (см)

Ответ: АС = 25,5 см или АС = 1,5 см.

5. Самостоятельное решение учащимися задач № 34, 35.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 7, 8 из § 4; ответить на вопросы 12 и 13, с. 25; решить задачи № 24, 25, 28, 31 (a), 33, 36 (решение задачи приведено в учебнике).

Урок 5. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ (§ 5)

Цели: ввести понятие градусной меры угла и рассмотреть свойства градусных мер углов; ввести понятия острого, прямого и тупого углов; ознакомить учащихся с приборами для измерения углов на местности.

Оборудование: демонстрационный транспортир; транспортиры у учащихся; таблица «Виды углов».

I.  Проверочная самостоятельная работа (10 мин) (проверка усвоения свойств длин отрезков).

Вариант I

1. На прямой в отмечены точки С, Д и Е так, что СД = 6 см, ДЕ = 8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ? (Ответ: СЕ = 14 см или СЕ = 2 см.)

2. Точка М - середина отрезка АВ; MB = 4,3 дм. Найдите длину отрезка АВ в миллиметрах.

Вариант II

1. На прямой m отмечены точки А, В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС? (Ответ: ВС = 20 см или ВС = 4 см.)

2. Точка Р — середина отрезка MN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Даны отрезок СД и точка М, причем СД = 17 см, СМ = 13 см, ДМ = 5 см. Лежит ли точка М на отрезке СД?

2. На прямой а отмечены последовательно точки С, Д, Е и F так, что СД = EF. Расстояние между серединами отрезков СД и EF равно 12,4 см. Найдите расстояние между точками С и Е.

 II. Объяснение нового материала.

1. Измерение углов аналогично измерению отрезков - оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения.

2. Градус - угол, равный 1/180 части развернутого угла. Градусная мера угла.

3. Повторить измерение углов с помощью транспортира. (Начертить на доске и в тетрадях любые углы и измерить их с помощью транспортира; рис. 32, рис. 33.)

4. Ввести понятие минуты - это 1/60 часть градуса; запись 1', понятие секунды - это 1/60 часть минуты; записывается 1".

5. Записать в тетрадях выводы:

1) равные углы имеют равные градусные меры;

2) меньший угол имеет меньшую градусную меру;

3) развернутый угол равен 180°; неразвернутый угол меньше 180°;

4) когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов (рис. 34).

6. Выполнение практических заданий № 41, 42,43.

7. Устно решить задачи № 45, 46.

8. Ввести понятия прямого, острого и тупого углов с помощью таблицы «Виды углов» и рисунка 35.

9. Устно решить задачи № 51 (по рис. 38), № 52 (по рис. 39) и № 53.

III. Закрепление изученного материала.

1.  Решить задачу № 47(6). Решение записывается на доске и в тетрадях (объясняет учитель): [pic]

Дано: ∠AOE = 12°37'; ∠EOB = 108°25'.

Найти: ∠AOB.

 Решение: ∠AOB = ∠AOE + ∠ВОЕ; ∠AOB = 12°37' + 108°25' = 120°62' = 121°2'.

Ответ: 121°2'.

2.  Решить задачу № 48 на доске и в тетрадях (объясняет учитель):

Дано: ∠AOB = 78°; ∠AOC < ∠BOC на 18°. [pic]

Найти: ∠BOC.

Решение: По условию ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC - 78°; ∠AOC = ∠BOC - 18°.

Отсюда ∠BOC - 18° + ∠BOC = 78°;

2 · ZBOC = 78° + 18°;

2 · ZBOC = 96°, тогда ∠BOC = 96° : 2 = 48°.

Ответ: 48°.

3.  Решить задачу обучающего характера на доске и в тетрадях (учащиеся на доске с помощью учителя делают чертёж, записывают, что дало и что найти, учатся оформлять решение задачи):

1) Луч ВД делит развернутый угол ABC на два угла, разность которых равна 46°. Найдите образовавшиеся углы.

2) Луч СК делит прямой угол ВСМ на два угла, один из которых в 4 раза больше другого. Найти образовавшиеся углы.

3) Луч ДО делит прямой угол АДВ на два угла, градусные меры которых относятся как 5 : 4. Найдите угол между лучом ДО и биссектрисой угла АДВ.

IV. Итоги урока.

С помощью вопросов, задаваемых учащимся, учитель выясняет, знают ли ученики, что такое градусная мера угла, чему равны минута и секунда; умеют ли изображать прямой, острый, тупой и развернутый углы и находить градусные меры данных углов, используя транспортир.

Домашнее задание: изучить пункты 9 и 10 (самостоятельно); ответить на вопросы 14-16 на с. 25-26; выполнить практическое задание № 44; решить задачи № 47(a), 49, 50.



Урок 6. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ (§ 6)

Цели: ввести понятия смежных и вертикальных углов; рассмотреть их свойства; ввести понятие перпендикулярных прямых и показать, как применяются эти понятия при решении задач.

Наглядные пособия: таблицы «Смежные углы», «Вертикальные углы», «Перпендикулярные прямые».

I.  Анализ результатов самостоятельной работы.

 II. Изучение нового материала. Решение задач.

1. Ввести понятие смежных углов и их свойства (сумма смежных углов равна 180°) с помощью таблицы «Смежные углы». [pic]

2. Выполнение практического задания № 55 (на доске и в тетрадях).

3. Устно решить задачи № 58, 59, 60, 63, 62 (по рис. 46).

4. Письменно решить задачу № 61 (в; г):

в) Дано: ∠hk и ∠kl - смежные; ∠hk больше ∠kl на 47° 18'.

Найти: ∠hk и ∠kl.

 Решение: Пусть ∠kl = х, тогда ∠hk = х + 47°18'. По свойству о сумме смежных углов ∠kl + ∠hk = 180°.

х + х + 47°18' = 180°;

2х = 180° - 47°18';

2х - 179°60' - 47° 18'; 

2х = 122°42';

х = б6°21'.

∠kl = 66°2Г; ∠hk = 66°21' + 47°18' = 113°39'.

Ответ: 113°39' и 66°21'.

г)  Пусть ∠kl = х, тогда ∠hk = 3х

х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°; ∠kl = 45°; ∠hk = 135°.

Ответ: 135° и 45°.

5. Понятие вертикальных углов можно ввести, выполняя следующее задание:

1) Начертите неразвернутый ∠AOB и назовите лучи, являющиеся сторонами этого угла.

2) Проведите луч ОС, являющийся продолжением луча ОА, и луч ОД, являющийся продолжением луча ОВ.

3) Запишите в тетради: углы АОВ и СОД называются вертикальными.

6. На таблице «Вертикальные углы» показать, что при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов с вершиной в точке пересечения этих прямых.

7. Определение вертикальных углов (рис. 41). [pic]

8. Обоснование того факта, что вертикальные углы равны, вначале можно провести на конкретном примере, записав его на доске и в тетрадях учащихся.

Задача. Прямые АВ и СД пересекаются в точке О так, что ∠AOД = 35°. Найдите углы АОС и ВОС.

Решение:

1) Углы АОД и АОС смежные, поэтому ∠BOC = 180° - 35° = 145°.

2) Углы АОС и ВОС также смежные, поэтому ∠BOC = 180° - 145° = 35°.

Значит, ∠BOC = ∠АОД = 35°, причем эти углы являются вертикальными. Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

9. Самостоятельное доказательство учащимися свойства вертикальных углов (рис. 41) и запись этого доказательства в тетрадях.

10. Устно решить задачу № 65 (использовать таблицу «Вертикальные углы»).

11. Устно решить задачу № 67 по рисунку 47.

12. Ввести понятие перпендикулярных прямых (использовать таблицу «Перпендикулярные прямые» (рис. 42).

13. Учащиеся самостоятельно, используя свойства вертикальных и смежных углов, должны обосновать тот факт, что если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов прямой, то остальные углы также прямые.

14. Выполнение практического задания № 57.

15. Беседа о построении прямых углов на местности (п. 13) с демонстрацией изготовленного учащимися экера.

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1.  Один из смежных углов на 27° меньше другого. Найдите оба смежных угла.

2.  Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 226°.

Вариант II

1.  Один из смежных углов в девять раз больше другого. Найдите оба смежных угла.

2.  Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 81° больше другого.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 11-13 из § 6; ответить на вопросы 17-21 на с. 26; выполнить практическое задание № 56; решить задачи № 61 (а, б), 66 (а), 68.

Повторить весь изученный материал и подготовиться к контрольной работе, просмотрев по тетрадям решение задач.

Урок 7. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (1 час)

Цели: проверить знания, умение решать задачи и навыки учащихся по теме «Измерение отрезков. Измерение углов. Смежные и вертикальные углы».

I.  Организация учащихся на выполнение работы.

 II. Выполнение работы по двум (трём) вариантам.

Вариант I

1. Три точки В, С и Д лежат на одной прямой. Известно, что ВД = 17 см, ДС = 25 см. Какой может быть длина отрезка ВС?

2. Сумма вертикальных углов МОЕ и ДОС, образованных при пересечении прямых МС и ДЕ, равна 204°. Найдите угол МОД.

3. С помощью транспортира начертите угол, равный 78°, и проведите биссектрису смежного с ним угла.

Вариант II

1. Три точки М, N и К лежат на одной прямой. Известно, что MN = 15 см, NK = 18 см. Каким может быть расстояние МК?

2. Сумма вертикальных углов АО В и СОД, образованных при пересечении прямых АД и ВС, равна 108°. Найдите угол ВОД.

3. С помощью транспортира начертите угол, равный 132°, и проведите биссектрису одного из смежных с ним углов.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Лежат ли точки М, N и Р на одной прямой, если МР = 12 см, MN = 5 см, PN = 8 см? [pic]

2. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 37°.

3. На рисунке АВ ⊥ СД, луч ОЕ — биссектриса угла А ОД. Найдите угол СОЕ.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить § 1-6 и подготовиться к устному опросу, который будет проводиться во внеурочное время.

Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся.

Вариант I

1. Какая точка называется серединой отрезка?

2. Отметьте точку С на прямой АВ так, чтобы точка В оказалась серединой отрезка А С.

3. Отрезок длиной 18 см разделен точкой на два неравных отрезка. Чему равно расстояние между серединами этих отрезков?

Вариант II

1. Какой луч называется биссектрисой угла?

2. Начертите угол ВАС, а затем с помощью транспортира и линейки проведите луч АД так, чтобы луч АВ оказался биссектрисой угла САД. Всегда ли это выполнимо?

3. Чему равна градусная мера угла, образованного биссектрисами двух смежных углов?

Вариант III

1. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? Могут ли быть смежными прямой и острый углы?

2. Начертите угол, смежный с данным углом. Сколько таких углов можно начертить?

3. Градусные меры двух смежных углов относятся как 3 : 7. Найдите эти углы.

Вариант IV

1. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?

2. Начертите три прямые АВ, СД и МК, пересекающиеся в точке О. Назовите пары получившихся вертикальных углов.

3. При пересечении двух прямых образовались четыре неразвернутых угла. Найдите эти углы, если сумма трех углов равна 290°.

Вариант V

1. Какие прямые называются перпендикулярными? Каким свойством обладают две прямые, перпендикулярные к третьей?

2. Начертите прямую а и отметьте точку М, не лежащую на ней. С помощью чертежного угольника проведите через точку М прямую, перпендикулярную к прямой а.

3.  Начертите тупой угол ABC и отметьте точку Д вне его. С помощью чертежного угольника через точку Д проведите прямые, перпендикулярные к прямым АВ и ВС.

ГЛАВА 2. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (§ 1)

Во второй главе изучаются признаки равенства треугольников. Они являются основным рабочим аппаратом всего курса геометрии. Доказательства большей части теорем курса строятся по схеме: поиск равных треугольников — доказательство их равенства — следствия, вытекающие из равенства треугольников. Признаки равенства треугольников открывают широкие возможности для решения задач и, таким образом, позволяют накапливать опыт доказательных рас- суждений. Доказательства первого и второго признаков состоят в том, что один треугольник совмещается с другим путем наложения, а это означает, что треугольники равны по определению равенства фигур. Этот приём нагляден, понятен учащимся, вполне соответствует их представлениям о равенстве фигур.

На начальном этапе изучения признаков равенства треугольников полезно больше внимания уделять решению задач по готовым чертежам, применяя таблицы и ТСО. В дальнейшем при решении задач данной главы нужно нацеливать учащихся на самостоятельное выполнение рисунка по условию задачи, что во многих случаях помогает быстрее найти и применить подходящий признак равенства треугольников.

Второй важный момент данной главы - введение нового класса задач - на построение с помощью циркуля и линейки.

Урок 1. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (§ 1) (3 часа)

 Цели: ввести понятия треугольника и его элементов, периметра треугольника; учить оформлять и решать задачи; развивать логическое мышление учащихся.

Оборудование: различные многоугольники и треугольники, вырезанные из бумаги или изготовленные из проволоки; таблицы «Виды треугольников» и «Равенство треугольников».

I. Анализ контрольной работы.

1. Сообщение итогов контрольной работы.

2. Ошибки, допущенные учащимися в ходе работы.

3. Решение на доске задач, вызвавших затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала методом беседы.

1. Понятие треугольника знакомо учащимся, поэтому изучение темы начинается с демонстрации различных многоугольников, треугольников, изготовленных из бумаги, проволоки либо изображенных на таблице или классной доске.

2. Учащиеся выделяют треугольники, указывают и называют их стороны, вершины и углы. Обозначение треугольника, его углов, сторон.

3. Выполнение практического задания:

1) Начертите треугольник ABC и проведите отрезок, соединяющий вершину А с серединой противоположной стороны.

2) Начертите треугольник MNP. На стороне МР отметьте произвольную точку К и соедините ее с вершиной, противолежащей стороне МР.

3) Назовите углы: а) треугольника ДЕК, прилежащие к стороне ЕК; б) треугольника MNP, прилежащие к стороне MN.

4) Назовите угол: а) треугольника ДЕК, заключенный между сторонами ДЕ и ДК; б) треугольника MNP, заключенный между сторонами NP и РМ.

5) Между какими сторонами: а) треугольника ДЕК заключен угол К, б) треугольника MNP заключен угол N?

4. Выполнение заданий № 87 и 88 для лучшего усвоения понятий треугольника и его элементов.

5. Введение понятия периметра треугольника. Записать в тетради: сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром.

6. Решение задачи № 91 с оформлением на доске и в тетрадях учащихся:

Дано: РΔАВС = 48 см, АС = 18 см, ВС - АВ = 4,6 см.

Найти: АВ и ВС.

Решение:

Обозначим длину стороны АВ в сантиметрах буквой х, тогда ВС = (х + 4,6) см;

48 см = АВ + АС + ВС = х + х + 4,6 + 18 см, откуда 2х - 25,4; х = 12,7.

Значит, АВ = 12,7 см; ВС = 12,7 + 4,6 + 17,3 (см).

Ответ: 12,7 см и 17,3 см.

7. Вспомнить, какие фигуры называются равными. Записать в тетрадях определение:

Два треугольника называются равными, если каждой стороне и каждому углу в любом из них найдется равный элемент в другом.

8. Работа по рис. 50 и таблице «Равенство треугольников».

Обратить внимание учащихся на то, что из равенства треугольников следует равенство соответствующих, то есть совмещающихся при наложении сторон и углов этих треугольников, и что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы и обратно, против соответственно равных углов лежат равные стороны. [pic]

9. Устно решить задание: на каждом из рисунков 1 и 2 изображены равные между собой треугольники. Указать соответственно равные элементы этих треугольников.

10. Устное решение задачи № 92.

11. Письменно решить задачу:

Треугольники ABC и MNP равны, причем ∠A = ∠M, ∠B = ∠N и ∠C = ∠P. Найдите стороны ΔМNР, если АВ = 7 см, ВС = 5 см, СА = 3 см.

Решение:

ΔABC = ΔМNP по условию, поэтому углы и стороны ΔABC соответственно равны углам и сторонам треугольника MNP. Из условия задачи следует, что соответственно равными являются стороны АВ и MN, ВС и NP, СА и РМ.

Значит, MN = 7 см, NP = 5 см, РМ = 3 см.

III. Закрепление изученного материала.

1.  Учащиеся самостоятельно выполняют практическое задание № 89 (б; в).

Учитель просматривает выполнение этого задания и устраняет ошибки.

2.  Решение задачи № 90 (самостоятельно).

IV. Итоги урока.

Используя таблицы, учитель с помощью вопросов выясняет, умеют ли учащиеся объяснить, какая фигура называется треугольником, и назвать его элементы; знают ли, что такое периметр треугольника, какие треугольники называются равными.

Домашнее задание: изучить п. 14 из § 1; ответить на вопросы 1 и 2 на с. 49; решить задачу № 156; выполнить практическое задание 89 (а).

Урок 2. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

 Цели: разъяснить смысл слов «теорема» и «доказательство теоремы»; сформулировать и доказать первый признак равенства треугольников.

I.  Актуализация опорных знаний.

Вопросы к учащимся:

1.  Повторить определение смежных углов и их свойство.

2. Повторить определение вертикальных углов и их свойство.

3. Вспомнить определение равных фигур, биссектрисы угла.

4. Вспомнить, какой угол называется острым, прямым, тупым.

5. Повторить определение треугольника, его элементов; определение периметра треугольника; определение равных треугольников.

 II. Объяснение нового материала.

1. Разъяснение смысла слов «теорема» и «доказательство теоремы», так как с этими понятиями учащиеся встречаются впервые.

В геометрии каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы.

2. Напомнить учащимся, что приведенные ранее рассуждения о свойстве смежных и о равенстве вертикальных углов были доказательствами теорем, хотя мы их еще так не называли.

3. Повторить с учащимися понятие равенства фигур (отрезков, углов, треугольников), используя при этом таблицы, модели, кодопозитивы.

4. Сформулировать и доказать теорему, выражающую первый признак равенства треугольников (это объясняет учитель).

5. После доказательства теоремы (пункта 15) учитель разъясняет смысл слова «признак», отметив, что доказанный признак дает возможность устанавливать равенство двух треугольников, не производя фактического наложения одного из них на другой, а сравнивая только некоторые элементы треугольника. [pic]

 III. Закрепление изученного материала.

Желательно рассмотреть как можно больше задач, решаемых по готовым чертежам.

1. Решение задач (устно) по готовым чертежам на доске (учитель использует цветные мелки для выделения одним цветом равных элементов).

Задание: найдите пары равных треугольников (см. рис. 1-4) и докажите их равенство.

2. Решить задачу № 96 на доске и в тетрадях (по рис. 54).

Решение: Рассмотрим ΔАОВ и ΔДОС:

ОА = ОД (по условию); ОВ = ОС (по условию); ∠AOB = ∠ДОС (вертикальные углы равны) ⇒ ΔAОВ = ΔДОС (I признак, равны по двум сторонам и углу между ними).

Тогда ∠ДСО = ∠ABO = 74°.

∠АСД = ∠ACO + ∠ДСО = 36° + 74° = 110°.

Ответ: 110°.

3. Самостоятельно учащиеся решают задачу № 1:

Из точек А и В на прямую а опущены перпендикуляры АС и ВД, причем АС = ВД.

Докажите, что ΔАСД = ΔВДС. [pic]

4. Задача № 2.

Дано: ΔАОВ = ΔСОД.

Доказать: ΔВОС = ΔДОА.

 IV. Итоги урока.

Домашнее задание: знать доказательство первого признака равенства треугольников п. 15, решить задачи № 93, 94 и 95.

 Урок 3. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

 Цели: выработать у учащихся умение применять при решении задач изученные свойства и теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними; развивать логическое мышление учащихся.

I. Проверка усвоения изученного материала.

1. Проверить знание первого признака равенства треугольников (один человек - у доски и можно три человека с листочками - за первыми партами).

2. Два человека у доски записывают решение домашних задач № 94 и 95. [pic]

3. Устная работа с классом:

1) Контрольные вопросы 1—4 на с. 49-50.

2) Решение задач по готовым чертежам: [pic]

а) Какие треугольники равны на рисунке 1 и почему?

 б) На рисунке 2 в треугольниках АВД и АСД

∠ВАД = ∠САД; АВ = АС. Найдите периметр ΔАВД, если АС = 5 см, СД = 3 см, АД больше АС на 2 см. [pic]

в) ΔMNO = ΔMRО (рис. 3). Доказать, что ΔNOP = ΔROP.

II. Решение задач.

При построении чертежей обязательно использовать цветные мелки.

1. Решить задачу № 98 (решение объясняет учитель, привлекая учащихся).

Дано: ΔАСВ и ΔA1С1В1; АВ = А1В1; АС = А1С1; ∠A = ∠A1; AP = A1P1.

Доказать: ΔВPC = ΔВ1Р1С1. [pic]

 Доказательство:

Рассмотрим ΔАСВ и ΔA1С1В1:

АВ = А1В1 (по условию), АС = А1С1 (по условию),

∠A = ∠A1 (по условию), тогда ΔАСВ = ΔA1С1В1 (первый признак, равны по двум сторонам и углу между ними).

Отсюда ВС = В1С1 и ∠В и ∠B1.

По условию АВ = А1В1 и АР = А1Р1, то РВ = Р1В1.

Рассмотрим ΔВРС и ΔВ1Р1С1:

ВС = В1С1; РВ = Р1В1; ∠В = ∠B1 ⇒ ΔВРС = ΔВ1Р1С1 (первый признак, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними).

2. Решить задачу № 99 на доске и в тетрадях.

 III. Самостоятельная работа (10 минут).

Вариант I

Докажите равенство треугольников АДС и ABC, изображенных на рисунке, если АД = АВ и ∠1 = ∠2. Найдите углы АДС и АСД, если ∠ABC = 108°, ∠ACB = 32°.

  [pic]

Вариант II

Докажите равенство треугольников ABC и АДС, изображенных на рисунке 53 учебника, если АВ = ДС и ∠4 = ∠3. Найдите углы АСВ и АДС, если ∠ABC = 102°, ∠BCA = 38°.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

Известно, что ∠АВС и ∠А1В1С1, причем ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. На сторонах АС и А1С1 отмечены точки Д и Д1 так, что СД = С1Д1.

Докажите, что ΔСВД = ΔС1В1Д1.

Вариант IV (для более подготовленных учащихся)

Известно, что треугольник МКР равен треугольнику М1К1Р1, причем ∠М = ∠M1, ∠К = ∠К1. На сторонах МР и М1Р1 отмечены точки E и E1 так, что ME = M1E1.

Докажите, что ΔМЕК = ΔМ1Е1К1.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 14, 15; ответить на вопросы 1—4 на с. 49—50; решить задачи № 97, 160 (a).



МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА (§ 2)

Урок 1. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ. МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

 Цели: ввести понятие перпендикуляра к прямой и доказать теорему о перпендикуляре; ввести понятия медианы, биссектрисы и высоты треугольника и научить учащихся их строить.

Наглядные пособия: таблица «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника»; транспортиры; прямоугольные треугольники.

I.  Анализ результатов самостоятельной работы.

 II. Изучение нового материала.

1. Введение понятия перпендикуляра к прямой (рис. 55).

Учащиеся должны уяснить, что перпендикуляр АН, проведенный из точки А к прямой а, — это такой отрезок, для которого выполнены следующие два условия: 1) прямая АН перпендикулярна к прямой a (АН ⊥ а); 2) А ∉ а, Н ∈ а.

2. Выполнение практического задания 100.

3. Доказательство теоремы о перпендикуляре к прямой проводит сам учитель по рисункам 56, 57 без записи доказательства этой теоремы в тетрадях.

4. Решение задачи № 105 (устно по готовому чертежу).

5. Введение понятия медианы треугольника (использовать таблицу «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника) и построение учащимися медиан треугольника (рис. 59).

6. Введение понятия биссектрисы треугольника и построение учащимися биссектрис углов треугольника с помощью транспортира (рис. 60).

Обратить внимание учащихся на различие между биссектрисой угла (луч, делящий угол на два равных угла) и биссектрисой треугольника (отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны).

7. Введение понятия высоты треугольника (использовать таблицу) и построение учащимися высот в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках с помощью прямоугольных треугольников (рис. 61 и 62).

У учащихся вызывает затруднение проведение высоты из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике, поэтому учитель объясняет построение высот в различных тупоугольных треугольниках.

III. Практическая работа.

Для закрепления навыков построения медиан, биссектрис и высот треугольника учащиеся выполняют практические задания № 101, 102 и 103, а учитель просматривает выполняемые учащимися построения и оказывает необходимую помощь.

IV. Итоги урока.

Выяснить, какими свойствами обладают медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Домашнее задание: изучить пункты 16 и 17; ответить на вопросы 5-9 на с. 50; выполнить на отдельных листочках практические задания № 101, 102 и 103 и сдать учителю на проверку.

Решить задачи:

1. АС - биссектриса ∠A треугольника АВД. Докажите, что ΔВAС = ΔДАС.

2. В треугольнике АСД проведены медианы АЕ, СВ и ДF. Длины отрезков AF, ВД и СЕ соответственно равны 4 см, 3 см и 2 см. Найдите периметр треугольника АСД.

3. DN - высота треугольника MNK; МД = ДК.

Доказать, что ΔМNД = ΔKNД.



Урок 2. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

 Цели: закрепить изученный материал; ввести определение равнобедренного треугольника; доказать теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Фронтальный опрос по вопросам 1-9 на с. 49-50.

2. Устная проверка решения домашних задач.

II. Объяснение нового материала.

1. Определение равнобедренного треугольника; его боковые стороны и основание (рис. 63).

2. Определение равностороннего треугольника.

3. Устно решить задачи (по готовым чертежам):

1) Дан равнобедренный треугольник СДЕ с основанием ДЕ. Назовите боковые стороны, углы при основании и угол, противолежащий основанию этого треугольника.

2) В равнобедренном треугольнике МДК МК = ДК. Назовите боковые стороны, основание, угол, противолежащий основанию, и углы при основании этого треугольника.

4. Доказательство теоремы о свойствах углов при основании равнобедренного треугольника.

Чертеж, краткую запись условия и заключение теоремы, а также основные этапы доказательства полезно записать на доске и в тетрадях учащихся.

Дано: ΔАВС - равнобедренный, ВС - основание.

Доказать: ∠В = ∠С.

Доказательство: Проведем биссектрису АД треугольника (рис. 64 учебника). ΔAВД = ΔAСД по двум сторонам и углу между ними (АВ = АС по условию, АД - общая сторона, ∠1 = ∠2, так как АД - биссектриса). Значит, ∠B = ∠C, что и требовалось доказать.

Это свойство в дальнейшем часто используется при решении задач и доказательстве теорем, поэтому оно должно быть хорошо усвоено. [pic]

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 108.

Дано: ΔABC - равнобедренный; ΔВСД - равносторонний.

РΔABC = 40 см; РΔBCD = 45 см.

Найти: АВ и ВС.

 Решение: ВС = СД = ВД (по условию), РΔBCD = 45 см = 3ВС, отсюда ВС = 45 : 3 = 15 (см).

По условию РΔABC = 40 см, ВС = 15 см, тогда АВ + АС = 40 - 15 = 25 (см). Так, по условию ΔABC - равнобедренный, то АВ = АС = 25 : 2 = 12,5 (см).

Ответ: АВ = 12,5 см; ВС = 15 см. [pic]

2. Устно решить задачу № 116.

3. Задачу № 112 по рисунку 66 решить на доске и в тетрадях.

Дано: ΔАВС; АВ = ВС; ∠1 = 130°.

Найти: ∠2.

Решение: По условию АВ = ВС, тогда ΔABC - равнобедренный по определению, значит, ∠BAC = ∠BCA (по свойству равнобедренного треугольника). ∠BCA + ∠1 = 180° (свойство смежных углов). Отсюда ∠BCA = 180° - ∠1 = 180° - 130° = 50°; значит, и ∠BAC = 50°.

Так как ∠ВАС = ∠2 (вертикальные углы равны), то ∠2 = 50°.

Ответ: 50°.

4. Разобрать решение задачи сначала устно путем логических рассуждений, строя чертежи, а затем решение записать на доске и в тетрадях.

В равнобедренном треугольнике сумма всех углов равна 180°. Найдите углы этого треугольника, если известно, что:

а) один из них равен 105°;

б) один из них равен 38° (рассмотреть два случая).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 18 с доказательством теоремы об углах при основании равнобедренного треугольника; ответить на вопросы 10-12 на с. 50; решить задачи № 104, 107 и 117.



Урок 3. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

 Цели: изучить свойство биссектрисы (медианы, высоты) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию; изучить признак равнобедренного треугольника и закрепить знание свойств равнобедренного треугольника при решении задач; развивать логическое мышление учащихся.

I. Проверка домашнего задания учащихся.

1. Один учащийся на доске готовит доказательство теоремы о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника.

2. Второй учащийся решает на доске домашнюю задачу № 117 (по рис. 67).

3. Устно по готовым чертежам на доске (см. рис. 1-3) решаем задачи, предварительно повторив материал в ходе ответов учащихся на контрольные вопросы 10-12 на с. 50. [pic]

Найдите ∠ДВА.

II. Изучение нового материала.

1. Сформулировать и записать признак равнобедренного треугольника (обратная теорема свойства углов равнобедренного треугольника):

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Решить задачу № 111 (по рис. 65) устно по заранее заготовленному чертежу на доске.

3. Изучить теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника, проведенной к основанию (рис. 64):

1) перед изучением теоремы повторить первый признак равенства треугольников; повторить определение биссектрисы, медианы и высоты треугольника; определение и свойство смежных углов треугольника;

2) учить учащихся при формулировке теоремы выделять, что дано, что надо доказать; учить краткой записи доказательства теоремы.

4. Объяснение учителя. Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:

1) Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Устно решить задачу № 110. [pic]

III. Решение задач на закрепление изученного материала.

1. Решение задач (устно) по готовым чертежам (заранее изготовить плакаты с рисунками, см. рис. 1—5).

Найдите ∠ДВА (учить учащихся читать чертеж по обозначениям на нем).

2. Решить задачу № 119 с записью решения на доске и в тетрадях.

Дано: ΔДЕК - равнобедренный; EF - биссектриса; ДК = 16 см, ∠ДЕF = 43°.

Найти: KF, ∠ДЕК, ∠ЕFД.

Решение: [pic]

1) По условию EF - биссектриса ΔДЕК и ∠ДЕF = 43°, тогда ∠ДЕК = 2 · ∠ДEF = 43° · 2 = 86°.

2) EF - медиана равнобедренного ΔДЕК (по свойству биссектрисы, проведенной к основанию), тогда KF = 1/2ДК; KF = 16 : 2 = 8 (см).

3) EF - высота равнобедренного ΔДЕК (свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника). Значит, ∠EFД = ∠EFK = 90°.

Ответ: KF = 8 см; ∠ДEK = 86°; ∠EFД = 90°.

3. Решить задачу № 120 (а) с записью решения на доске и в тетрадях.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить п. 15; изучить пункты 16-18, ответить на вопросы 4-13 на с. 50; решить задачи № 114, 118 и 120 (б).

ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ (§ 3)

Урок 1. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

 Цели: повторить и закрепить изученный ранее материал; изучить второй признак равенства треугольников и выработать навыки использования первого и второго признаков равенства треугольников при решении задач; развивать логическое мышление учащихся.

I.  Устная работа.

1. Ответы на контрольные вопросы 4-13 на с. 50.

2. Решение задач по готовым чертежам с целью повторения первого признака равенства треугольников:

1) На рисунке 1 ДЕ = ДК, ∠1 = ∠2. Найдите ЕС, ∠ДCK и ∠ДKC, если КС = 1,8 дм; ∠ДCE = 45°, ∠ДEC = 115°. [pic]

2) На рисунке 2 ОВ = ОС, АО = ДО; ∠ACB = 42°, ∠ДCF = 68°.

Найдите ∠ABC.

II. Объяснение нового материала.

1.  Выполнение учащимися практического задания: с помощью транспортира и масштабной линейки начертить треугольник ABC так, чтобы ∠А = 46°, ∠В = 58°, АВ = 4,8 см.

2.  Формулировка и доказательство второго признака равенства треугольников (на доске и в тетрадях).

При доказательстве второго признака желательно отметить аналогию с доказательством первого признака: в том и другом случае равенство треугольников доказывается путем такого наложения одного треугольника на другой, при котором они полностью совмещаются.

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно по готовым рисункам (рис. 3-7) решить задачи:

1) На рисунке 3 ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Докажите, что ΔABC = ΔАДС.

2) На рисунке 4 АС = СВ, ∠A = ∠B. Докажите, что ΔВСД = ΔАСЕ. [pic]

3) На рисунке 5 луч АД - биссектриса угла ВАС, ∠1 = ∠2. Докажите, что ΔАВД = ΔАСД.

4) На рисунке 6 ВО = ОС, ∠1 = ∠2. Укажите равные треугольники на этом рисунке.

5) На рисунке 7 ∠1 = ∠2, ∠CAB = ∠ДВА. Укажите равные треугольники на этом рисунке.

 2. Решить задачу № 121 (самостоятельно).

3. Решить задачу № 126 (по рис. 74).

4. Решить задачу № 127 (записать решение этой более сложной задачи на доске и в тетрадях):

 Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1, АВ = A1B1; ВС = В1С1, ∠В = ∠В1; и Д ∈ АВ; Д1 ∈ A1B1; ∠АСД и ∠А1С1Д1.

Доказательство:

1) ΔАВС = ΔА1В1С1 по двум сторонам и углу между ними, первый признак (АВ = A1B1; ВС = В1С1, ∠В = ∠В1 по условию), значит, ∠АСВ = ∠А1С1В1.

2) ∠ВСД = ∠АСВ - ∠АСД, ∠В1С1Д1 = ∠А1С1В1 - ∠А1С1Д1. Так как ∠АСВ = ∠А1С1В1 и ∠АСД = ∠А1С1Д1 (по условию), то ∠ВСД = ∠В1С1Д1. [pic]

3) ΔВСД = ΔВ1С1Д1 по стороне и прилежащим к ней углам, второй признак (ВС = В1С1, ∠В = ∠В1, ∠ВСД = ∠В1С1Д1), что и требовалось доказать.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: выучить доказательство теоремы из п. 19; решить задачи № 124, 125, 128.

Урок 2. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

 Цели: изучить третий признак равенства треугольников и закрепить его знание в ходе решения задач; выработать у учащихся умение применять изученные теоремы при решении задач.

I.  Проверка домашнего задания.

1.  Обсудить решения домашних задач, ответить на вопросы учащихся.

2.  Устный опрос учащихся с использованием вопросов 1-14 на с. 49-50.

3.  Решение задач (устно) по готовым чертежам (см. рис. 1, 2) на применение первого и второго признаков равенства треугольников и свойств равнобедренного треугольника: [pic]

1)  На рисунке 1 ∠1 = ∠2, ∠5 = ∠6, AC = 12 см, ВД = 5 cm, ∠4 = 21°. Найдите АД, ВC и ∠3.

2)  На рисунке 2 MN = NP, ∠NPK = 152°. Найдите ∠NMP.

3)  На рисунке 70, а учебника A1С = A1C1; CB1 = C1B1. Докажите, что ΔABC = ΔABC1.

 II. Изучение нового материала.

1. Формулировка третьего признака равенства треугольников и его доказательство.

Можно дать формулировку третьего признака в таком виде: Два треугольника будут равными, если для каждой стороны одного треугольника найдется равная сторона в другом треугольнике.

Доказательство третьего признака равенства треугольников отличается от доказательств первого и второго признаков тем, что здесь не проводится наложение одного треугольника на другой. В процессе изучения теоремы о третьем признаке весьма полезна работа с рисунком 70, б и в учебника, по которому можно показать, что в случае, когда луч С1С совпадает с одной из сторон угла А1С1В1 или проходит вне этого угла, доказательство проводится аналогично случаю, когда луч С1С проходит внутри угла А1С1В1 или проходит вне этого угла, доказательство проводится аналогично случаю, когда луч С1С проходит внутри угла А1С1В1 (рис. 70, а). Можно также, после того как доказательство теоремы изложено учителем по рис. 70, а, предложить одному из учащихся доказать третий признак равенства треугольников для случая, изображенного на рисунке 70, в).

2. Треугольник - жесткая фигура (рис. 71 и 72). [pic]

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно решить задачи по готовым чертежам (см. рис. 1-6).

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство (цель устной работы — учить учащихся читать чертеж по изображениям на нем равных элементов):

 2. Устно решить задачу № 135.

3. Решить задачу № 138 (по рис. 75) на доске и в тетрадях:

Дано: АВ = СД и ВД = АС.

Доказать: а) ∠САД = ∠АДВ; б) ∠ВАС = ∠СДВ.

  [pic]

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник АВД и треугольник ДСА (можно отрезок ВС сначала стереть на доске, тогда учащиеся легко доказывают равенство этих треугольников):

АВ = СД (по условию); ВД = АС (по условию); АД - общая сторона (знак ∞) ⇒ ΔАВД - ΔДСА (третий признак по трем сторонам).

Отсюда имеем, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, значит, ∠САД = ∠АДВ.

2) Рассмотрим треугольник ВАС и треугольник СДВ (восстанавливаем на доске отрезок ВС и стираем отрезок АД).

ВС - общая сторона этих треугольников. Аналогично доказывается равенство ΔВАС = ΔСДВ по третьему признаку. Тогда ∠ВАС = ∠СДВ.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 15-19; изучить п. 20; решить задачи № 136, 137, 134.



Урок 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

 Цели: повторить и закрепить изученный материал в ходе решения задач; учить учащихся умению применять изученные теоремы при решении задач; развивать логическое мышление.

I.  Актуализация опорных знаний.

1. Провести фронтальный опрос учащихся по вопросам 1-15 на с. 49—50 без доказательств.

2. Устное решение задач:

1) В двух треугольниках равны по две стороны и по одному углу. Всегда ли равны эти треугольники?

2) В двух треугольниках равны по одной стороне и по два угла. Всегда ли равны эти треугольники?

3) Оба треугольника равносторонние и имеют только по одной равной стороне. Равны ли эти треугольники?

4) ΔСДЕ = ΔKFM и оба они равносторонние. Найдите периметр треугольника KFM, если сторона СД = 10 см. [pic]

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 139 (по рис. 76) на доске и в тетрадях.

Решение (краткая запись):

1) ΔАВС = ΔСДА по трем сторонам, следовательно, ∠АВС = ∠СДА. Так как BE и DF - биссектрисы углов ABC и СДА, то  откуда следует, что ∠АВЕ =∠ADF.

2) Из равенства треугольников ABC и СДА следует, что ∠ВАЕ = ∠ДСF. Далее, ∠АВЕ = ∠АДF = ∠СДF. Итак, ∠АВЕ = ∠СДF, ∠ВАЕ = ∠ДСF и АВ = СД по условию, значит, ΔАВЕ = ΔСДF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

2. Решить задачу № 169 (по рис. 95) на доске и в тетрадях. Рассказать учащимся о способе измерения ширины озера (отрезка АВ) по заранее изготовленной таблице: «Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют на земле произвольный отрезок ВС. Выбирают на местности точку О, из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и С. Провешивают прямые ВОЕ и СОД, отмеряют на местности ДО = ОС и ОЕ = ОВ. Затем идут по прямой ДЕ, глядя на точку А, пока не найдут точку F, которая лежит на прямой АО.

Тогда FE равно искомому расстоянию. Расстояние FE измеряют на земле с помощью рулетки».

3. Решить задачу № 176* на доске и в тетрадях.

Дано: ΔАВС = ΔA1B1C1; [pic]

АВ = А1В1; АС = А1С1; AM = А1М1.

AM и A1M1 - медианы треугольников.

Доказать: ΔАВС = ΔA1B1C1.

Доказательство:

Проведем отрезки МД = AM; М1Д1 = А1М1 и отрезки ВД; ВД1.

1)  ΔВМД = ΔСМА по двум сторонам и углу между ними, поэтому ВД = АС; ∠Д = ∠4. Аналогично ΔВ1М1Д1 = ΔС1М1А1, откуда В1Д1 = А1С1; ∠Д1 = ∠2. Отсюда следует, что ВД = В1Д1.

2)  ΔАВД = ΔА1В1Д1 по трем сторонам, поэтому ∠3 = ∠1, ∠Д = ∠Д1, значит, ∠4 = ∠2.

3)  ∠A = ∠А1, так как ∠A = ∠4 + ∠3 = ∠2 + ∠1 = ∠A1. Таким образом, ΔАВС = ΔА1В1С1 по двум сторонам и углу между ними. [pic]

III. Самостоятельная работа проверочного характера.

Вариант I

1. Докажите равенство треугольников АВЕ и ДСЕ на рисунке 1, если АЕ = ЕД, ∠А = ∠Д. Найдите стороны треугольника АВЕ, если ДЕ = 3 см, ДС = 4 см, ЕС = 5 см.

 2. На рисунке 2 АВ = АД, ВС = СД. Докажите, что луч АС - биссектриса угла ВАД.

Вариант II [pic]

1. Докажите равенство треугольников MON и PON на рисунке 3, если ∠MON = ∠PON, а луч NO - биссектриса ∠MNP. Найдите углы треугольника NOP, если ∠MNO = 28°, ∠NMO = 42°, ∠NOM = 110°.

2. На рисунке 4 ДЕ = ДК, СЕ = СК. Докажите, что луч СД - биссектриса угла ЕСК. [pic]

 Дополнительно (для тех учащихся, кто более подготовлен):

В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ = А1В1, ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1. На сторонах ВС и В1С1 отмечены точки Д и Д1 так, что ∠САД = ∠С1А1Д1. Докажите, что: а) ΔАДС = ΔА1Д1С1; б) ΔАДВ = ΔА1Д1В1. [pic]

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 16-20 из § 2 и 3; решить задачи № 140; 172.

Глава II. ТРЕУГОЛЬНИКИ

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ (§ 4)

Урок 1. ОКРУЖНОСТЬ

 Цели: ввести понятие определения; систематизировать сведения об окружности, известные учащимся из курса математики предыдущих классов; уделить особое внимание отработке определения окружности и ее элементов.

I. Анализ самостоятельной работы и ее итоги.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Работа с учебником по изучению материала.

1. Ввести понятие определения.

Желательно остановиться на этом вопросе и показать учащимся, что они фактически уже встречались с определениями некоторых геометрических фигур, например, угла, треугольника, смежных углов, вертикальных углов. Повторить эти понятия.

2. Ввести определение окружности (рис. 77).

3. Самостоятельная работа учащихся по учебнику и заранее заготовленным плакатам или транспарантам (рис. 77, 78, 79-82), уделить особое внимание отработке определения окружности и ее элементов.

Систематизировать сведения, известные учащимся из курса математики предыдущих классов.

III. Проверка усвоения изученного материала.

1. Устно решить задачу № 143 (рис. 90).

2. Решить задачу № 144 на доске и в тетрадях.

3. Решить задачу № 146 на доске и в тетрадях.

Решение

Рассмотрим треугольник ВОС и треугольник ДОА:

АО = ОВ = ОС = ОД (радиусы окружности); ∠ВОС = ∠ДОА (вертикальные углы равны), тогда ΔBOC = ΔДОА (первый признак, по двум сторонам и углу между ними).

Значит, АД = СВ = 13 см, АО = ОВ = ОД = 16 : 2 = 8 (см); тогда РΔДОА = АД + АО + ОД = 13 + 8 + 8 = 29 (см).

Ответ: 29 см.

4.  Решить задачу № 147 на доске и в тетрадях.

Указание: рекомендовать учащимся после изображения окружности начертить прямой угол с вершиной в точке О - центре этой окружности, а затем отметить на окружности точки А и В пересечения сторон прямого угла с окружностью.

IV. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I

Отрезки КМ и EF являются диаметрами окружности с центром О. Докажите, что: a) ∠FEM = ∠КМЕ; б) отрезки КЕ и MF равны.

Вариант II

Отрезки ME и РК являются диаметрами окружности с центром О. Докажите, что: а) ∠ЕМР = ∠МРК; б) отрезки МК и РЕ равны.

Вариант III

В окружности с центром О проведены диаметр АС и радиус ОВ так, что хорда ВС равна радиусу. Найти ∠АОВ, если ∠ВСО = 60°.

Вариант IV

В окружности с центром О проведены хорды АВ и СД. Докажите, что АВ = СД, если ∠АОС = ∠ВОД.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 21 из § 4; ответить на вопрос 16 на с. 50; решить задачи № 145, 162. Обязательно принести на следующий урок циркули и линейки.

 Урок 2. ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

 Цели: дать представление о новом классе задач - построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений - и рассмотреть основные (простейшие) задачи этого типа.

I.  Вводная беседа учителя.

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры с помощью различных инструментов. При построении отрезка заданной длины использовалась линейка с миллиметровыми делениями, а при построении угла заданной градусной меры - транспортир.

Но, оказывается, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений.

В дальнейшем, говоря о задачах на построение, мы будем иметь в виду именно такие построения.

Задачи на построение циркулем и линейкой являются традиционным материалом, изучаемым в курсе планиметрии. Обычно эти задачи решаются по схеме, состоящей из четырех частей (посмотреть с. 95-96 учебника). Сначала рисуют (чертят) искомую фигуру и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами. Эта часть решения называется анализом. Она дает возможность составить план решения задачи.

Затем по намеченному плану выполняется построение циркулем и линейкой.

После этого нужно доказать, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

И наконец, необходимо исследовать, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений.

В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные части, например анализ или исследование, можно опустить.

В VII классе мы решим простейшие задачи на построение циркулем и линейкой, в других классах будем решать более сложные задачи.

II. Построение с помощью циркуля и линейки.

Отработать навыки решения простейших задач на построение циркулем и линейкой, рассмотренных в учебнике:

1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

2. Отложить от данного луча угол, равный данному.

3. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

4. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка.

5. Построить середину данного отрезка.