Текстовые задачи на ЕГЭ.
Задачи на сплавы и концентрацию.
Смешали 14 л 30% водного раствора некоторого вещества с 10 литрами 18% раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
Пусть p – концентрация получившегося раствора. Тогда
Имеются 2 слитка сплава золота с медью. 1 слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток - 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в г) куска, взятого от первого куска.
Решение:
Масса первого куска – 250 г (т.к. 230 г золота и 20 г меди), масса второго куска – 300 г (т.к. в нем 240 г золота и 60 г меди).
Найдем процентное содержание золота в первом слитке:
Найдем процентное содержание золота во втором куске:
В полученном сплаве содержится золота.
Пусть от первого куска взяли х г, а от второго – (300-х), тогда
Составим уравнение:
Ответ: от первого куска взяли 100 г.
Первый сплав содержит серебра и меди 70 г, а второй сплав – 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько граммов серебра содержится в первом сплаве?
Решение:
Пусть в первом сплаве содержится х г серебра.
Масса второго сплава 75 г. Составим уравнение:
Ответ: в первом сплаве 430 г серебра.
Задачи на концентрацию.
Из сосуда, доверху наполненного 94% раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
Решение.
Пусть x – количество литров, которое вмещает сосуд.
Первоначально в сосуде находилось 0,94х г кислоты.
Отлили г кислоты, долили г кислоты.
После этого в сосуде стало г кислоты.
Составим уравнение.
Ответ: сосуд емкостью 4,5 литра.
В колбе было 800 г 80% спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определите концентрацию (в %) полученного спирта.
Решение.
Пусть - концентрация полученного раствора. Тогда согласно условиям задачи, составим уравнение:
Ответ: 60% раствор.
Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12% раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получили 15% раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.
Решение.
Пусть концентрация первого раствора, концентрация второго раствора, тогда составим систему уравнений:
Ответ:
В сосуде было 12 л соляной кислоты (чистой). Часть кислоты отлили и добавили такое же количество воды. Затем снова отлили столько же раствора и опять добавили воды. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 56,25% раствор соляной кислоты?
Решение.
Пусть - количество отливаемой жидкости, причем в первом случае – это чистая кислота, во втором – раствор с некоторой концентрацией.
После того, как отлили л кислоты и добавили л воды, то в сосуде стало (12-л кислоты и л воды. Концентрация полученного раствора равна: (где k- концентрация раствора). Значит, когда второй раз отливали л раствора, то здесь содержалось л той кислоты. Тогда в сосуде осталось кислоты.
С другой стороны это количество составляет
Составим уравнение.
Ответ: 3
В первом сплаве золота и серебра количество этих металлов находится в отношении 1:2, а во втором – в отношении 2:3. Из этих металлов получили 19 г сплава с отношением золота и серебра 7:12. Сколько граммов первого сплава было взято?
Решение.
Пусть в первом сплаве содержится золота и 2 серебра.
Аналогично во втором сплаве содержится г золота и г серебра.
Так как масса полученного сплава равна 19 г, то в нем 7 г золота и 12 г серебра.
Составим систему уравнений.
Решая систему, находим . В итоге масса первого сплава равна 9 г.
Ответ: 9
Смешали 20%-й раствор соли с 40%-м раствором и добавили 5 кг воды. В результате получили 10%-й раствор. Если бы вместо воды добавили5 кг 96%-го раствора соли, то получили бы 70%-й раствор. Сколько килограмм первого раствора было взято?
Решение.
Пусть - количество первого раствора, а - количество второго раствора. Тогда в обоих случаях после добавления получилось кг раствора.
Так как первый раствор содержит 20% соли и 80% воды, то в нем содержится 0,8 кг воды, а во втором – 0,6 кг воды.
После того, как добавили воду в первом случае, получили раствор, в котором кг воды.
Получили первое уравнение системы:
После того, как во втором случае добавили 5 кг 96% раствора соли получили раствор, в котором кг воды.
Получили второе уравнение системы: .
Составим систему уравнений:
Решая уравнение одним из методов, получим:
Ответ: 2
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй сплав – 30% никеля. Из этих сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограмм масса первого сплава меньше массы второго?
Решение.
Пусть - масса первого сплава, тогда масса второго сплава – .
Составим уравнение, учитывая условия задачи:
Следовательно, масса первого сплава – 50 кг, тогда масса второго сплава – 150 кг и масса первого сплава меньше массы первого на 100 кг.
Ответ: 100
Имеется 10 л 60% раствора соли. Сколько литров воды нужно долить, чтобы получить 40% раствор соли?
Решение.
Пусть надо долить л воды. Тогда, с учетом условий задачи, составим уравнение:
Ответ: 5
Задачи на проценты
Цена холодильника в магазине уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, насколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 8 000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей.
Решение.
Пусть – количество процентов, на которые уменьшалась цена холодильника. Тогда % от 8 000: .
- цена холодильника после первого снижения цены.
% от
- цена холодильника после второго снижения.
Составим уравнение:
Ответ: 10%
В течение года цену товара повышали 2 раза: сначала на 20% , затем на 10%. Но в конце года ее уменьшили на 25%. Сколько процентов составляет итоговая цена от первоначальной?
Решение.
Пусть - цена первоначальная товара
Увеличение цены на 20% означает, что она стала
Увеличение цены на 10% означает, что она стала
Понижение цены на 25% означает, что она стала
Таким образом, первоначальная цена , итоговая цена - . Следовательно, новая цена составляет от первоначальной 99%.
Ответ: 99%
В январе завод перевыполнил план на 10%, а в феврале перевыполнил январский выпуск на 6%. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Решение.
Пусть - месячный план выпуска продукции. Тогда в январе выпуск составил 1,1. В феврале – . Тогда за два месяца перевыполнение плана составило 2,266 при плане 2
Превышение составило
Ответ: 13,3%
Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике6 численность волков возросла на 10%, а во втором – на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?
Решение.
Пусть в первом заповеднике было особей, тогда во втором – 220 –. Учитывая, что в первом заповеднике количество особей возросла на 10%, то особей стало – , а во втором – . Так как, количество особей в заповеднике стало 250, составим уравнение:
Ответ: 140
7 рубашек дешевле одного костюма на 9%. На сколько процентов 11 рубашек дороже одного костюма?
Решение.
Пусть стоимость одной рубашки – x, стоимость одного костюма – y.
7 рубашек дешевле одного костюма на 9%.
Следовательно, стоимость 7 рубашек – С другой стороны, стоимость 7 рубашек -
Стоимость 11 рубашек составляет 143% от стоимости костюма. Следовательно, стоимость рубашек дороже стоимости костюма на 43%.
Ответ: 43
3 кг черешни стоят столько же, сколько 5 кг вишни. 3 кг вишни – столько же сколько 2 кг клубники. На сколько процентов 1 кг клубники дешевле 1 кг вишни?
Решение.
Пусть стоимость черешни – , стоимость вишни – , стоимость клубники – .
Составим систему:
Следовательно, стоимость 1 кг клубники составляет 90% от стоимости 1 кг черешни
Ответ: 10%
Задачи на работу
Первый рабочий может за 1 час изготовить 25% всех заказанных деталей. Производительность второго рабочего составляет от производительности первого, а производительность первого относится к производительности третьего как 3:1. За сколько часов будет выполнен весь заказ, если все трое рабочих будут работать вместе?
Решение.
Пусть заказано деталей.
Тогда за 1 час первый рабочий изготовит
Второй рабочий изготовит за 1 час .
Третий рабочий - .
Таким образом, весь заказ будет выполнен за:
Ответ: 2 часа
Через первую трубу бак объема 12 м3 наполняется со скоростью м3/ч, а через вторую – опорожняется со скоростью 2 м3/ч. При пустом баке были открыты обе трубы. Когда бак наполнился на 40%, вторую трубу закрыли. В результате бак стал полным через 4 часа 12 мин. Чему равен ?
Решение.
Бак, объемом 12 м3, заполняется на 40% (т.е. на 4,8 м3) за время . Оставшееся время бак наполнялся со скоростью м3/ч и при этом налилось воды. Таким образом, составим уравнение:
Очевидно, что второй корень нам не подходит. Вода будет выливаться из бака быстрее, чем наливаться. Поэтому .
Ответ: 4
Секретарю фирмы поручили разослать письма адресатам по списку. Секретарь, отдав своему помощнику часть списка, содержащую 80% адресатов, взял оставшуюся часть себе и разослал письма по своей части списка за время в 6 раз меньшее, чем помощник по своей. Сколько процентов списка адресатов секретарь должен был сразу отдать помощнику (взяв себе остальное), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?
Пусть производительность труда секретаря –
Производительность труда помощника –
Время работы секретаря – время работы помощника - 6 , вся работа – 1. Тогда, учитывая условия задачи, составим систему уравнений:
Отсюда следует, что производительность секретаря составляет 3 части, а производительность помощнику – 2 части. Всего 5 часов. Пусть вся работа 100%, тогда, с учетом условий задачи, секретарю необходимо взять 60% всей работы, а помощнику отдать 40%.
Ответ: 40
Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты за 8 часов. Если первый оператор будет работать 3 часа, а второй 12 часов, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?
Решение.
Вся работа - 1
Пусть время работы первого оператора –
Время работы второго оператора –
Тогда, производительность труда первого оператора - , производительность труда второго оператора - .
Учитывая условия задачи, составим систему уравнений:
Ответ: 12 ч и 24 ч
Задачи на движение
Первую четверть пути поезд двигался со скоростью 80 км/ч, а затем снизил скорость на x км/ч. Чему равен x, если средняя скорость движения поезда на всем пути равна 64 км/ч?
Решение.
Пусть 1 – весь путь. Тогда первую четверть пути поезд прошел за ч, а оставшиеся пути поезд прошел за ч. На весь путь поезд затратил .
Ответ: 20.
Два тела равномерно движутся по окружности. Если они движутся в разные стороны, то встречаются каждые две минуты. Если же тела двигаются в одну сторону, то первое тело догоняет второе каждые 10 минут. На сколько секунд первое тело быстрее проходит окружность?
Решение.
Пусть м/мин – скорость первого тела, м/мин – скорость второго тела. При движении в разные стороны они сближаются со скоростью , а при движении в одну сторону - сближаются со скоростью . Пусть 1 – длина окружности. Тогда – время между встречами при движении в разных направлениях, а 10 мин - время, за которое первое тело догоняет второе.
Получим систему уравнений:
Отсюда
Тогда первое тело проходит окружность за минут,
Второе тело – за минут.
Разница составляет 300-200=100 сек.
Ответ: 100 секунд.
