Департамент по делам казачества и кадетских учебных заведений Ростовской области
государственное бюджетное общеобразовательное
учреждение Ростовской области
«Орловский казачий кадетский корпус»
Региональная научно – практическая конференция «Шаг в мир науки» среди обучающихся довузовских образовательных организаций.
Тема работы: «Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни».
Выполнил: Митраков Владимир Леонидович, 10 кл.
Руководитель: Сердюк Ирина Валерьевна
п. Орловский
2016
Оглавление
Введение 3
Основная часть
Глава1.Понятие числовой последовательности. История возникновения. 4-5
Глава 2.Геометрические прогрессии в биологии. 5-6
Глава 3.Арифметические прогрессии в медицине, спорте и строительстве. 7
Глава 4.Слухи и финансы. 8-9
Заключение. 10
Список литературы. 11
Введение
Наша жизнь полна различных вычислений. Овладение конкретными математическими знаниями помогает в практической деятельности, формирует представление о математике как о части человеческой культуры. Актуальным становится высказывание Иоганна Гёте «Недостаточно только получить знание, надо найти ему приложение». Всё, что не применяется, очень быстро забывается, так как становится ненужным.
В курсе алгебры 9класса изучалась тема «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Присмотревшись внимательнее, я стал замечать, что рано или поздно правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. Передо мной стал вопрос: в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях? Можно ли увидеть прогрессию в природе, экономике других областях человеческой жизни.
Таким образом, объектом моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.
Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий.
Гипотеза исследования: на уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.
Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Задачи исследования :
1. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.
2. Выяснить:
- когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;
- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.
3. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.
Методы исследования:
Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.
Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии и в медицинских справочниках.
Основная часть
Глава1. Понятие числовой последовательности. История возникновения.
В этой части исследовательской работы, содержится информация по решению проблемного вопроса, представленной в начале работы, а именно: Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.
Имеет вид: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…
Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.
Имеет вид: b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…
Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)
Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).
Есть довольно интересная легенда, содержание которой позволяет сделать вывод о практическом применении геометрической прогрессии еще много-много лет назад.
Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы: 1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1). Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым в V веке. Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:
1+2+3+…+n=½n(n+1);
1+3+5+…+(2n-1)=n2;
2+4+6+…+2n=n(n+1).
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.
1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=
=101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия.
О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2. В результате получилось 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Для такого урожая необходимо поле, которое превосходит сушу земного шара в 28 раз.
Каков же заложен потайной смысл в легенде? Умение применять математику может пригодиться в самой неожиданной ситуации.
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.
Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».
Глава 2. Геометрическая прогрессия в биологии.
Довольно часто, рассказывая о некоторых процессах в жизни, стараясь подчеркнуть некий смысл, говорят, что они растут в геометрической прогрессии. Какой в этом заложен смысл?
Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:
ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?
Ответ: b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)
БАКТЕРИИ… Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением.
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток. [Задача №524. Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобра-зовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(108) ]
Решение. В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=
= 4 722 366 482 869 645 213 695 .Это число читается:
4 септиллиона
722 сектиллиона
366 квинтиллионов
482 квадриллионов
869 триллиона
645 миллиарда
709 миллионов
213 тысяча 695
Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).
К сожалению, интенсивность размножения бактерий играет свою негативную роль, например, в период эпидемии гриппа.
ОДУВАНЧИК……. “Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”.
К. А. Тимирязев.
Задача: одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих семян.
а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?
Ответ: 1012 км2
б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?
Ответ: нет, Sсуши = 148 млн км2
ТЛЯ……. Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев,
одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.
ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.
Глава 3. Арифметические прогрессии в медицине, спорте строительстве.
Оказывается прогрессии применяются и в медицине.
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)
Решение. Составим математическую модель задачи:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
ап=а1+d(n-1),
40=5+5(п-1),
п=8,
Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,
180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.
В спорте …Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?[Задача № 471 Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)
Дано: a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.
Решение: Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;
5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет
10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)
10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили
100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.
n2-29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.
В строительстве… Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.
Однако, каждый из нас, изучая что-либо, наверно, думает: «А конкретно мне в жизни, где пригодятся эти знания?». Решив следующую задачу, мы точно ответим на этот вопрос.
Глава 4.Слухи и финансы.
Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:
В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?
Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:
в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);
9.15 121+81 ·3 =364 (человек);
9.30 364+243 ·3=1093 (человек);
9.45 1093+729 ·3=3280 (человек);
10.00 3280 + 2187 ·3 =9841(человек).
Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Для того, чтобы не попасть в затруднительное финансовое положение разберем механизм финансовых пирамид. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.
Решение: Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.
Кредиты…Для обучения на платном отделении по специальности «Экономика» в техническом университете абитуриенту потребовался образовательный кредит. Он обратился в три банка. Банк «Омега» предложил 250тыс. на срок 5лет под 25% годовых, банк «Дельта» предложил 250тыс. рублей на срок 10 лет под 15% годовых, а банк «Тета» на срок 8 лет по 20% годовых.
Решение: данная зависимость строится по закону геометрической прогрессии. Для вычисления необходимой суммы нужно воспользоваться формулой сложных процентов. Необходимые вычисления в ручную займут много времени, поэтому воспользуемся программой Excel.
В банк «Омега» придётся вернуть 762 939руб, в банк «Дельта»- 1 011 389 руб., в банк «Тета»- 895 795руб. Отсюда вывод: лучше кредит взять в банке «Омега».
Вклады… Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000р.?
(1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)
Таким образом, мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия существуют не только теоретически и знания основ этой темы помогает человеку легко ориентироваться в жизни, не попадая в неприятные ситуации.
Заключение
В процессе исследования я установил, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя точно сказать, кто их открыл.
Убедился в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.
Нашли много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметил, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Пришел к выводу, что всё, что увеличивается в геометрической прогрессии, растёт очень быстро. Говоря об этом, подчёркиваю, что скорость изменения очень велика. Очень наглядными примеры из биологии.
Обнаружил, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).
Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, увидел, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.
В результате изучения арифметической и геометрической прогрессии ещё раз убедился, что математика является помощником человека на пути познания законов природы и человеческого общества и идеи математики способствуют развитию всех наук.
Список литературы:
Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2014.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.
Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.
[link]
13
