Методические указания по выполнению контрольных работ по математике студентов заочников 1 курса по специальности Технология машиностроения

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ

ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное бюджетное учреждение

среднего профессионального образования Воронежской области

«Воронежский авиационный техникум имени В.П.Чкалова»

(ГОБУ СПО ВО «ВАТ имени В.П.Чкалова»)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

[link] 3. Математика: Учебное пособие / Сост. И.А.Кочеткова / БОУ ОО СПО «Сибирский профессиональный колледж». Омск, 2010. – 97 с.

Интернет-ресурс.

1. Образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников. [Электронный ресурс]. (Webmath.ru). Дата обращения: 29.09.2014 г.

Практическое занятие №6

по теме: «Геометрические приложения определенного интеграла»

Цель занятия: сформировать навык применения определенного интеграла при решении прикладных задач.

1. Необходимые материалы и литература:

1. Тетрадь для практических занятий.

2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»

3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.

2. Порядок выполнения задания:

1. Повторить тему «Геометрические приложения определенного интеграла»

2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.

3. Оформить отчет о практической работе.

3. Методические указания по выполнению работы.

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [pic] знака функции [pic] , прямыми [pic] и отрезком [pic] . Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле

[pic] . (*)

Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) [pic] ; б) [pic] .

План вычисления площади

Применение

плана

шага

криволинейной трапеции

а) [pic]

б) [pic]

Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией

Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры

[pic]

Находим пределы интегрирования

[pic] [pic] ,

[pic]

[pic] [pic] [pic]

Вычисляем искомую площадь по формуле (*)

[pic]

[pic] [pic] ,

[pic] (кв.ед.)

[pic]

[pic] ,

[pic] (кв.ед.)

Объем тела вращения [pic]

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb (рис.1), ограниченной непрерывной кривой у=f(х), отрезком аb оси Оx и отрезками прямых х=а и x=b, вычисляется по формуле [pic]

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой [pic] ,прямой х=3 и осью Ох.

Решение. Графиком функции [pic] является парабола с осью симметрии, параллельной оси абсцисс и вершиной в точке О(0;0). Определим три различные точки, принадлежащие параболе (рис. 2).

Для построения графика функции удобно выбрать следующие три точки, указанные в таблице ниже.

1/2

[pic]

-1

-2

[pic]

Применяя формулу [pic] , получим

V [pic] | [pic] (куб.ед).

рис.2

4. Отчет о проделанной работе должен содержать:

1. Тема работы.

2. Цель работы.

3. Задание.

4. Решение задач.

5. Вывод по работе.

5. Варианты заданий.

I вариант

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , , , . б) [pic] , .

2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: , , , вокруг оси .

II вариант

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , , , . б) , .

2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: , , , .

6. Контрольные вопросы.

1. Как применяется определенный интеграл при решении прикладных задач?

7. Перечень учебной и специальной литературы.

1. Математика: Учебное пособие / Сост. И.А.Кочеткова / БОУ ОО СПО «Сибирский профессиональный колледж». Омск, 2010. – 97 с.

Интернет-ресурс.

Практическое занятие №7

По теме: «Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными».

Цель занятия: продолжить формирование умений в решении дифференциальных уравнений.

1. Необходимые материалы и литература:

1. Тетрадь для практических занятий.

2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»

3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.

2. Порядок выполнения задания:

1. Повторить тему «Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными»

2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.

3. Оформить отчет о практической работе.

3. Методические указания по выполнению работы.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.

Решение :

; Разделяем переменные .

Интегрируем обе части последнего равенства

В результате получим

Таким образом, получаем общий интеграл

Находим частное решение уравнения. Подставляем начальное условие

1(0 + С) = 1; С = 1

Отсюда получаем частный интеграл

Пример 2.Найти общее решение уравнения

Решение: Разделив переменные имеем

Интегрируем обе части полученного уравнения

Так как произвольная постоянная C может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали . Потенцируя последнее равенство получим .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Пример 3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решение: Разделив переменные, имеем

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

Или

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной C подставим значения в выражение для общего решения:

или .

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

4. Отчет о проделанной работе должен содержать:

1. Тема работы.

2. Цель работы.

3. Задание.

4. Решение задач.

5. Вывод по работе.

5. Варианты заданий

В-I

1. Найти общее решение уравнений:

;

2. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

;

В-II

1. Найти общее решение уравнений:

;

2. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

;

6. Контрольные вопросы.

1. Что такое дифференциальное уравнение?

2. Как находится частное решение дифференциального уравнения?

7. Перечень учебной и специальной литературы.

1. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. Учеб. заведений / Н.Б. Богомолов./10-е изд.,перераб . Москва Высшая школа, 2008. – 495 с.

Интернет-ресурс.

Практическое занятие №8

По теме: «Однородные дифференциальные уравнения первого порядка»

Цель занятия: продолжить формирование умений в решении дифференциальных уравнений.

1. Необходимые материалы и литература:

1. Тетрадь для практических занятий.

2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»

3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.

2. Порядок выполнения задания:

1. Повторить тему «Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными»

2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.

3. Оформить отчет о практической работе.

3. Методические указания по выполнению работы.

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Это уравнение однородное, Полагаем . Тогда . Подставляя в уравнение, получим

Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными

Возвращаясь к старому переменному у, получим . Кроме того, имеется решение x=0, которое было потеряно при делении на х.

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Вводим замену уравнение примет вид . Это уравнение будет однородным в том случае, когда степени всех его членов равны между собой, т.е. Эти равенства удовлетворяются одновременно, если Следовательно, уравнение можно привести к однородному заменой .

4. Отчет о проделанной работе должен содержать:

1. Тема работы.

2. Цель работы.

3. Задание.

4. Решение задач.

5. Вывод по работе.

5. Варианты заданий

B-I

Решите уравнение:

;

B-II

Решите уравнение:

;

6. Контрольные вопросы.

1. Что такое дифференциальное уравнение?

2. Как находится частное решение дифференциального уравнения?

7. Перечень учебной и специальной литературы.

1. М. И. Каченовский, Ю. М. Колягин, A. Д. Кутасов, Г. Л. Луканкин, B. А. Оганесян, Г. Н. Яковлев. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Учебник для средних специальных учебных заведений. Под ред. Г. Н. Яковлева – М.: Наука, 1981. – 336с.

2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-кин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—272 с.

Интернет-ресурс.

Практическое занятие №9

по теме: «Решение задач с применением теорем сложения и умножения вероятности.»

Цель занятия: сформировать навык решения задач на формулы сложения и умножения вероятностей

1. Необходимые материалы и литература:

1. Тетрадь для практических занятий.

2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»

3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.

2. Порядок выполнения задания:

1. Повторить тему «Решение задач с применением теорем сложения и умножения вероятности.»

2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.

3. Оформить отчет о практической работе.

3. Методические указания по выполнению работы.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

P(A+B)=P(A)+P(B).

Теорема называется теоремой сложения несовместных событий.

Следствие 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

P [pic] P [pic] .

Теорема 2. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

P(A1+A2+…+Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему попарно несовместных событий, равна единице.

Теорема 3.Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей событий без вероятности их произведения, т.е.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB)=P(A)P(B).

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности (см. далее).

Пример. Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».

Решение

В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий

А – получение слова «роман»; В1 – извлечение первой карточки с буквой «р»;

В2 – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В1 ^. В2 ^. В3 ^. В4 ^. В5

Р(А)=Р(В1) ^. Р(В2) ^. Р(В3) ^. Р(В4) ^. Р(В5)=

Пример. В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2,

1, 3 бракованных. Наугад из каждого ящика извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что среди них окажутся два качественных и одно бракованное изделия.

Решение

Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий, В1 – извлечение качественного изделия из первого ящика;

В2 – извлечение качественного изделия из второго ящика; В3– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность

4. Отчет о проделанной работе должен содержать:

1. Тема работы.

2. Цель работы.

3. Задание.

4. Решение задач.

5. Вывод по работе.

5. Варианты заданий.

В-I.

1.Вычислите

2. Хоккейная команда состоит из 3 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Сколькими способами можно образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

3. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

В-II

1. Вычислите

2. В турнире участвуют 11 команд. Сколько вариантов распределения призовых мест между ними возможно?

3. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

В-III

1. Вычислите

2. Сколько можно составить вариантов расписания занятий на один день, если всего изучается 12 предметов, а в расписании на день можно включить только 4 из них?

3. Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

В-IV

1.Вычислите

2. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных, если в группе 27 человек?

3. Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.

6. Контрольные вопросы.

1. Какие события называются независимыми?

2. Какие события называются совместными?

7. Перечень учебной и специальной литературы.

Интернет-ресурс.

Практическое занятие №10

по теме: «Вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин»

Цель занятия: сформировать навык нахождения числовых характеристик дискретной случайной величиной.

1. Необходимые материалы и литература:

1. Тетрадь для практических занятий.

2. Методические указания по выполнение практических работ по дисциплине «Математика»

3. Ручка, линейка, карандаш, циркуль.

2. Порядок выполнения задания:

1. Повторить тему «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины, заданной законом распределения»

2. На основе выданного задания выполнить необходимые действия.

3. Оформить отчет о практической работе.

3. Методические указания по выполнению работы.

Случайные величины

Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая величина, которая при осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение. Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости нас интересует число выпавших очков, т.е. величина, которая в зависимости от случая принимала одно из следующих шести значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. При стрельбе по мишени пятью выстрелами мы также имеем дело со случайной величиной (числом попаданий в мишень), которая могла принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Примерами случайных величин могут служит также:

а) количество бракованных изделий в определенной партии;

б) величина надоя молока от одной коровы в течение года;

в) количество солнечных пятен с площадью, большей некоторого определенного значения, зарегистрированных астрономом в течение дня на солнечном диске;

г) число лепестков в цветке сирени;

д) количество дорожно-транспортных происшествий в городе в течение суток.

Для полной характеристики случайной величины необходимо, прежде всего, знать те значения, которые она может принимать. Но этого, разумеется, недостаточно. Помимо этого нужно знать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное значение.

Будем обозначать случайную величину буквой [pic] , ее значения [pic] , а соответствующие вероятности, с которыми эти значения принимаются, буквами [pic] .

Если для случайной величины [pic] известны все значения [pic] , которые она может принимать, и все вероятности [pic] , с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения случайной величины [pic] или просто распределение величины [pic] .

Закон распределения удобно записывать в виде следующей таблицы:

[pic]

…

[pic]

…

[pic]

…

[pic]

…

[pic]

В первой строке таблицы записываются все значения случайной величины, а во второй строке под ними – соответствующие вероятности.

Рассмотрим [pic] случайных событий:

[pic] – случайная величина [pic] приняла значение [pic] ;

……………………………………………………….

[pic] – случайная величина [pic] приняла значение [pic] .

События [pic] несовместны, так как случайная величина при однократном осуществлении опыта может принять только одно из значений [pic] . Очевидно также, что сумма событий [pic] является достоверным событием, т.е.

[pic] ,

Так как одно из значений [pic] случайная величина обязательно принимает.

Поэтому по теореме сложения для несовместных событий получаем

P [pic] P [pic] ,

P [pic] + P [pic] +…+ P [pic]

[pic]

или в сокращенном виде [pic] , т.е. сумма всех чисел, стоящих во второй строке таблицы, дающей закон распределения случайной величины [pic] , должна быть равна единице.

Пример Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

0,5

0,2

0,3

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Для вычисления характеристик случайной величины воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:

4. Отчет о проделанной работе должен содержать:

1. Тема работы.

2. Цель работы.

3. Задание.

4. Решение задач.

5. Вывод по работе.

5. Варианты заданий.

Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Найти: 1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии.

Номер задачи

Условие задачи

0,2

0,3

0,1

0,2

0,3

0,2

0,1

0,2

0,1

0,2

0,1

0,2

0,4

0,2

0,3

0,1

0,2

0,1

0,2

0,1

0,2

0,4

0,3

0,2

0,1

0,2

6. Контрольные вопросы.

1. Что такое случайная величина?

2. Как вычисляется математическое ожидание ДСВ?

3. Как вычисляется дисперсия ДСВ?

7. Перечень учебной и специальной литературы.

Интернет-ресурс.