Тема: Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Цель: изучить понятие линейного уравнения с двумя переменными, научиться решать уравнения ax + by + = c = 0, выполнять построения графика уравнения.
Иметь представление о линейном уравнении с двумя переменными, о решении уравнения ax + by + = c = 0, о графике уравнения.
Уметь:
– определять, является ли пара чисел решением линейного уравнения с двумя неизвестными, строить график уравнения ax + by + c = = 0;
– воспринимать устную речь, участвовать в диалоге,
– находить корень линейного уравнения с двумя переменными, удовлетворяющий заданным условиям.
– находить точку пересечения графиков линейных уравнений без построения, выражать в линейном уравнении одну переменную через другую;
– заполнять и оформлять таблицы, отвечать на вопросы с помощью таблиц
Умение связывать словесную, алгебраическую и геометрическую модели реальной ситуации. Проведение информационно-смыслового анализа текста, выбор главного и основного, приведение примеров, формирование умения работать с чертежными инструментами
Изучение нового материала.
Рассмотрим такую реальную ситуацию.
Из городов A и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?
Составим математическую модель задачи.
Пусть х км/ч — скорость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь bх км. Второй поезд был в пути 3 ч, т.е. прошел путь Зу км. Их встреча произошла в пункте С. На рисунке представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке ее можно описать так: 5х + Зу = 500
[pic]
Или 5х + Зу - 500 = 0. Эту математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у.
Вообще, ах + by + с = 0, где а, b, с — числа, причем [pic] , — линейное уравнение с двумя переменными хну (или с двумя неизвестными х и у).
Вернемся к уравнению 5х + Зу = 500. Замечаем, что если х = 40, у = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел х = 40, у = 100 называют решением уравнения 5х + Зу = 500. Говорят также, что эта пара значений (х; у) удовлетворяет уравнению 5х + Зу = 500.
Является ли это решение единственным? В самом деле, возможен и такой вариант:
х = 64, у = 60; действительно, 5 • 64 + 3 • 60 = 500 — верное равенство.
И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство).
А вот, скажем, пара чисел х = 80, у = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается: [pic]
Вообще, решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.
Замечание. Вернемся еще раз к уравнению 5х + Зу = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений имеются, например, и такие:
х = 100, у = 0 (в самом деле, 5 • 100 + 3 • 0 = 500 — верное числовое равенство); х = 118, у = - 30 (так как 5 • 118 + 3 • (-30) = 500 — верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной (тогда он едет не навстречу другому поезду, как сказано в условии задачи, а в противоположную сторону).
Мы установили, что линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений. Каждое решение записывается в виде (х;у), так же, как и координаты точки в координатной плоскости. Значит, если каждое решение изобразить соответствующей точкой координатной плоскости, то получится линия. Вопрос – какая?
Пример 1. Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у - 3 = 0 точками в координатной плоскости.
РАБОТА ВЕДЕТСЯ У ДОСКИ И В ТЕТРАДЯХ.
Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению х + у - 3 = 0. Для этого преобразуем уравнение к более удобному виду, например, х+у=3. (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).
Построим в координатной плоскости хОу точки А (3; 0), B(2; 1), С (1; 2), D (0; 3), Е (- 2; 5) (рис. 32). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой I, проведем ее.
[pic]
Говорят, что прямая I является графиком уравнения х + у - 3 = 0. Говорят также, что прямая I — геометрическая модель уравнения х + у - 3 = 0 (или х + у = 3).
Итак, если пара чисел (х; у) удовлетворяет уравнению х + у - 3 = 0, то точка М (х; у) принадлежит прямой I; если точка М(х; у) принадлежит прямой I, то пара (х; у) — решение уравнения х + у - 3 = 0. Например, точка Р(6; -3) принадлежит прямой I (рис. 32) и пара (6; -3) — решение уравнения х + у-3 = 0
Подведем итоги:
Линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений.
Каждое решение записывается в виде (х;у), так же, как и координаты точки в координатной плоскости.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая.
Пример 2. Построить график уравнения Зх-2у+6=0.
Решение.
Мы знаем, что графиком линейного уравнения Зx - 2у + 6 = 0 является прямая. Чтобы провести прямую, достаточно указать две ее точки. Через две точки можно провести прямую и притом только одну — этому нас учит геометрия.
Зададим переменной х конкретное значение, например х = 0. Подставив это значение в уравнение Зx - 2у + 6 = 0, получим: 3 • 0 - 2у + 6 = 0, т.е. -2у + 6 = 0. Из этого уравнения находим: у = 3. Значит, если х = 0, то у = 3; пара (0; 3) — решение данного уравнения.
Зададим переменной у конкретное значение, например у = 0. Подставив это значение в уравнение Зх-2у + 6 = 0, получим: 3х – 2*0 + 6 = 0. Из этого уравнения находим х = -2. Значит, если у = 0, то х = -2; пара (- 2; 0) — решение данного уравнения.
Запишем таблицу значений:
Х 0
-2
У
3
0
Построим точки (0; 3), (- 2; 0), на координатной плоскости. Они лежат на одной прямой, проведем ее. Эта прямая и есть график уравнения Зx - 2у + 6 = 0.
[pic]
Сформулируем алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.
1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный отрезок.
2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у.
3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х.
4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у.
5. Составить таблицу значений.
6. Отметить полученные точки на графике. Соединить точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.
Закрепление материала. Работа в группах.
Класс делится на 4 группы. Выдается задание для групп, алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными. Задания оформляются на листах миллиметровой бумаги. Во время групповой работы учащиеся могут воспользоваться подсказкой на слайде с помощью компьютера. По окончании работы решения групп вывешиваются на доску магнитами.
[pic]
Пример 3. Построить график уравнения 4х + 3у- 12 = 0. Решение. Будем действовать по алгоритму
1) Положим х = 0, подставим это значение в уравнение 4х + Зу- 12 = 0, получим: 4 • 0 + Зу -12 = 0, Зу-12 = 0, у = 4.
2) Положим у = 0, подставим это значение в уравнение 4х + Зу - 12 = 0, получим: х=3
3) Составим таблицу значений.
Х 0
3
У
4
0
3) Построим на координатной плоскости хОу две точки: (0; 4) — она найдена на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге.
4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график (рис. 34).
[pic]
Домашнее задание.
1 1. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пар чисел (2;3).
2. Найдите значение у, если х=-5: 11х-13у+16=0
3. Найдите значение х, если у=2 : 6х+3у-2=0
4. В координатной плоскости постройте график уравнения 8х-3у-24=0
5. За 4 часа по течению реки и 6 часов против течения катер проходит 120 км. Чему равна скорость катера по течению и против течения реки? Составьте линейное уравнения с двумя переменными и найдите 2 решения.
№2
1. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пар чисел (-6;-5).
2. Найдите значение у, если х=3: 19х-11у-24=0.
3. Найдите значение х, если у=0,5: 3,5х-5у-1=0.
4. В координатной плоскости постройте график уравнения 5х+3у-15=0
5. Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй 11 дней. Сколько га вспахивал за день каждый тракторист? Составьте линейное уравнения с двумя переменными и найдите 2 решения.
№3
1. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пар чисел (6;-5).
2. Найдите значение у, если х=-8: 3х+2у+30=0,
3. Найдите значение х, если у=-1,5: 4х-2у+11=0,
4. В координатной плоскости постройте график уравнения 6х+3у+18=0
5. На рынке было закуплено 84 кг черешни. Сколько ящиков вишни и черешни закуплено по отдельности , если в 1 ящике черешни 8 кг, а вишни 10 кг? Составьте линейное уравнения с двумя переменными и найдите 2 решения.
Краткий конспект урока.
Организационный этап
Проверка готовности учащихся к уроку, сообщение темы урока, целей и задач.
Постановка учебной задачи
Необходимость составления линейного уравнения для решения задачи с двумя неизвестными.
Задача. Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?
(Составление математической модели к задаче) Демонстрация составления математической модели.
Изучение новой темы
1. Учитель сообщает, что данное уравнение - есть линейное уравнение с двумя переменными.
2.Вводится определение линейного уравнения с двумя переменными.
3. Отработка понятия линейного уравнения на примерах (устная работа)
4. Нахождение коэффициентов линейного уравнения. (устная работа)
5. Далее опять возвращаемся к задаче и учитель ставит вопрос о решении уравнения 5х+3у=500. И приводит примеры
6.Учитель ставит вопрос о единственности решения линейного уравнения. Для этого предлагается проверить является ли решениями этого уравнения пары чисел: (64;60), (70;50), (45;80), (80;60). (устная работа)
7. Вводится определение решения линейного уравнения с двумя переменными.
8.Учитель ставит вопрос: сколько решений имеет линейное уравнение с двумя переменными? Ответ: бесконечно много.
Учитель : как можно найти решения линейного уравнения с двумя переменными? Ответ: подобрать.
Учитель: как легче подобрать решения уравнения? Ответ: подобрать одну переменную, например х , и из уравнения найти другую - у.
9. Учащимся предлагается выполнить задание : изобразите решения уравнения х+у-3=0 точками на координатной плоскости. (самостоятельно).
В процессе выполнения самостоятельной работы у учащихся возникает вопрос: сколько решений показать на координатной плоскости?
Учитель: А сколько вы можете показать? Ответ: 4-5.
Учитель: Мы подобрали несколько целых решений уравнения. А как показать все решения данного уравнения? Ответ может быть таким: если показать не только целые решения, но и рациональные, то точки будут располагаться на одной прямой.
Вводится понятие графика линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: сколько точек необходимо для построения прямой? Ответ: две.
10. Учитель предлагает обсудить придумать построения графика линейного уравнения с двумя переменными. После обсуждения раздает алгоритм.
11. Применение алгоритма (фронтальная работа). Построить график уравнения 4х+3у-12=0. (учащиеся выполняют задания тетради)
4. Применение полученных знаний на практике (работа в группах)
Класс делится на 3 группы. Выдается задание для групп, алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными. Задания оформляются на листах формата А2, при необходимости выдается 2 листа. Во время групповой работы учащиеся могут воспользоваться подсказкой на слайде с помощью компьютера. По окончании работы решения групп проецируются с помощью документ-камеры.
