Теоремы сложения и умножения вероятностей и их следствия
Цели урока:
Образовательные: введение новых понятий теории вероятностей, ознакомление учащихся с методикой решения не простейших задач теории вероятностей.
Развивающие: Развитие математически грамотной речи у учащихся, алгоритмической культуры, критического мышления
Воспитательные: воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.
Оборудование: мел, доска, мультимедийный проектор.
Ход урока: организационный момент, постановка целей урока
учитель: Здравствуйте, как известно задачи по теории вероятностей уже несколько лет входят как в профильную так и в базовую часть программы единого государственного экзамена по математике. Давайте рассмотрим две задачи, причем эти задачи возьмем из тренировочных вариантов ЕГЭ по математике.
[pic]
( учащимся предлагается решить эту задачу)
Решение: распишем задачу.
В данном случае, испытанием является бросание жребия, а испытанием тот факт, что начинать игру будет Вова. Применяем классическое определение вероятности. Р(А)=m/n. Так как в результате бросания жребия начинать игру может любой из них, то о бщее количество элементарных исходов равно 4, а гарантировать наступление события будет очевидно только 1 исход, так как среди них только один Вова. Поэтому Р(А)=1/4=0,25.
Как мы видим при решении этой задачи нам понадобилось только классическое определение вероятности.
Рассмотрим еще одну задачу:
[pic]
(учитель выбирает учащегося и предлагает решить эту задачу)
Решение: Испытание: выбор одно шара из 30. Поэтому всего исходов будет 30. Событие А- вынутый шар желтый. Здесь всего 9 желтых шаров, поэтому и исходов, благоприятствующих наступлению события А также будет 9. По классическому определению вероятности получим:
Р(А)=9/30=0,3
Видим из решения, что зная только классическое определение мы снова решили задачу.
Теперь рассмотрим еще одну задачу:
[pic]
(учитель предлагает немного порассуждать по поводу решения этой задачи)
Учитель: Как мы видим,задачи теории вероятностей увы не всегда являются легко решаемыми. Например, для решения данной задачи недостаточно знание одно лишь классического определения вероятности, необходимо знать гораздо больше. Нам необходимо расширить знания теории, рассмотреть какие-нибудь свойства вероятности или теоремы, чтобы решить эту задачу. Именно этим мы и займемся сегодня на уроке и в конце урока попробуем решить эту задачу. Итак тема сегодняшнего урока:
[pic]
Учитель: поставим вопрос: так ли необходимы эти теоремы и можно ли обойтись без них при изучении теории вероятностей и подготовки к ЕГЭ? А вот в чем состоит суть этих теорем нам сегодня расскажут ваши одноклассник(ца) )учитель называет фамилию и имя первого докладчика, с которым заранее была проведена соответствующая работа по изучению нового материала)
Докладчик 1: «Здравствуйте, тема моего доклада «Теоремы сложения вероятностей несовместных событий»
Сначала разберемся, что же такое сумма событий
[pic]
Теперь сформулируем правило, по которому можно вычислять вероятности суммы событий
[pic]
Сформулируем следствие из теоремы, которое в практическом содержании будет интересовать нас даже больше, чем сама теорема:
Следствие:
Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1. т.е
(справедливость следствия очевидна, т.к. событие - достоверное, а события А и несовместны.
Рассмотрим пример:
[pic]
Решение: очевидно, что в нашем случае два события
А- Температура воздуха больше 25 град.
- температура воздуха меньше или равна 25 град.
Эти два события противоположны, так как они несовместны и в результате испытания одно из них обязательно наступает. Поэтому
По условию Р(А)=0,32, Тогда , или
На этом мой доклад окончен. Спасибо за внимание.
Учитель: Спасибо. Как мы видим из доклада в вашем арсенале добавились новые понятия и две формулы, по которым вы уже вполне можете решать более сложные задачи теории вероятностей. Давайте теперь послушаем второй доклад, который подготовил( учитель называет фамилию и имя ученика)
Докладчик 2: Здравствуйте. Тема моего доклада «Теоремы умножения вероятностей», но сначала давайте выясним, что понимается под произведением событий и какие события мы будем называть зависимыми, а какие независимыми.
[pic]
[pic]
Поясним на конкретном примере. Пусть в корзине лежат два красных и два синих шара. Из корзины наудачу вынимается один шар. Обозначим событие А – вынутый шар оказался красным. Р(А)=1/2. (2 из 4)
1случай. Пусть вынутый шар обратно положили в урну и снова случайно из корзины взяли шар. Событие В – вынутый шар красный. Очевидно, что Р(В)=1/2(2 из 4). Причем эта вероятность не зависит от того, наступило событие А или нет, так как после первого испытания шар вернули в корзину и количество красных и синих шаров не изменилось, т.е А и В независимые события.
2 случай. Пусть после первого испытания шар обратно в корзину не возвращают и снова из корзины вынимают шар. В – вынутый шар красный. Очевидно, что если первый раз был вынут красный шар, то в корзине остался всего один красный шар(событие А наступило) и еще 2 синих, т.е.всего 3. Таким образом Р(В)=1/3. Если же первый раз был вынут не красный шар, а синий (Событие А не наступило),то в корзине 2 красных шара и 1 синий,т.е всего 3,и Р(В)=2/3. Таким образом, вероятность события В зависит от того, наступило А или нет. Значит А и В зависимые события.
Пусть А и В зависимые события.
Условной вероятностью события В называется вероятность события В, найденная предположении, что событие А уже наступило. В условиях предыдущего примера, =1/3.
Теперь сформулируем правила, с помощью которых можно вычислять вероятности произведения событий:
Теорема:
Вероятность произведения двух зависимых событий, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что второе уже наступило., те.
Р(АВ)=Р(А)
Вероятность произведения двух независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий т.е. Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Теперь рассмотрим задачи:
[pic]
Решение:
Пусть С– нужный товар будет доставлен из магазина А
Д- нужный товар доставлен из магазина В. Очевидно требуется вычислить Р(. По условия С и Д независимые события, значит:
[pic]
Решение: Пусть А – первый вынутый шар синий, В – второй шар синий. Очевидно, необходимо вычислить: Р(АВ). Ясно, что события А и В зависимые, поэтому: Р(АВ)=Р(А) , Р(А)=9/24, =8/23, получаем: Р(АВ)=(9/24)(8/23)=72/552
На этом мой доклад окончен. Спасибо.
Учитель: Спасибо. Теперь заслушаем доклад (учитель называет имя и фамилию ученика)
Докладчик 3: Здравствуйте. А тема моего доклада «Теорема сложения двух совместных событий»
[pic]
Данная теорема широко применяется при решении задач.
Рассмотрим одну из таких задач:
[pic]
Решение: Пусть А – в магазин завезут свежие фрукты, В– в магазин завезут свежие овощи. Р(А)=0,7, Р(В)=0,9, очевидно, что необходимо вычислить Р(А+В). Следует заметить, что А и В совместные, поэтому:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,7+0,9-0,63=1,6-0,63=0,97.
На этом мой доклад окончен. Спасибо.
Учитель: Большое спасибо. Вот теперь вы знакомы с теоремами сложения и умножения вероятностей, что позволяет вам значительно расширить типы решаемых вами задач по теории вероятностей, что позволит улучшить предстоящую подготовку к ЕГЭ. Теперь давайте вернемся к задаче, которая нас и подтолкнула к изучении теорем и попробуем ее решить.
[pic]
Учитель предлагает классу решить эту задачу самостоятельно и сверить результаты.
Решение:
Пусть С – выигрыш А белыми, Д – Выигрыш А черными. Пусть первую партию А играет белыми, тогда вторую – черными. Необходимо вычислить Р(АВ). Ясно, что события А и В независимые, поэтому Р(АВ)=0,45
Сверка ответов.
Учитель:
Теперь давайте ответим на поставленный вопрос. Можно ли в задачах теории вероятности обойтись только одним определением вероятности без теорем сложения и умножения?( учащиеся отвечают) Естественно, этими теоремами теория вероятностей не ограничивается. Существует еще масса теорем и свойств,которые необходимо знать,чтобы решать задачи определенного типа по теории вероятностей. Более того, сегодня мы на уроке охватили далеко не всю практическую составляющую теорем сложения и умножения, поэтому этими вопросами мы продолжим заниматься на последующих уроках, а для этого вам необходимо вдумчиво разобраться в теории. Это и будет вашим домашним заданием. Звпишите дом.задание. всем спасибо за урок.
