Урок математики в 9 классе Арифметическая прогрессия

Тема урока: «Арифметическая прогрессия»

Образовательные цели: создание условий на уроке для:

 проверки и коррекции знаний, умений и навыков учащихся, связанных с решением задач по теме "Арифметическая прогрессия";

 решения задач с использованием межпредметных связей;

 преодоления в сознании учащихся представлений об оторванности данного материала от жизни и практики.

Развивающие цели: способствовать развитию:

 исследовательских навыков учащихся, умений анализировать полученные данные и делать выводы;

 умений осуществлять самопроверку и взаимопроверку, работу в группах;

 внимания, зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательные цели:

 формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, честность, дисциплинированность;

 воспитание культуры общения, культуры диалога.

Задачи учителя на уроке:

 проконтролировать знания основных формул арифметической прогрессии;

 оценить умения решать ключевые задачи по данной теме;

 проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач;

 развить представления учащихся об использовании арифметической прогрессии в окружающей их жизни;

 продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Задача учащихся на уроке: устранить проблемы в знаниях; подготовиться к успешному решению контрольной работы.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор; кейсы с теоретическим и практическим заданием.

Тип урока: урок проверки, оценки и коррекции знаний, умений и навыков.

Ход урока.

Учитель: Здравствуйте, ребята!

Сегодняшний урок хотелось бы начать словами:

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг «Прогрессия – движение вперёд!

Вместе с вами мы будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка означает движение вперёд.

Перед вами кейс с заданиями, который вы должны решить в течение урока.

I задание. Проверка знания учащимися фактического материала и умение раскрывать связи в предметах и явлениях.

Перед Вами теоретически-практический тест.

Вариант 1

1. Бесконечно упорядоченный набор чисел:

а) порядок б) последовательность в) номер

2. Последовательность обозначается6

а) а n б) аn в) ( аn )

3. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

4. Члены последовательности обозначаются:

а) а 1 , а 2 , а 3 ,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а1, а2,а3,…. 5.

5. Последовательности бывают:

а) параллельные б) конечные в) бесконечные г) колеблющиеся д) постоянные е) квадратные.

6. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) уравнением в) рекуррентный способ г) словесно.

7. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена

хn = 2n – 1:

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …

8. Найдите седьмой член последовательности (аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 ):

а) 5 б) 12 в) 56

9. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn – 1

а) 6 б) 7 в) 8

10. ( аn) – последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 3 её члена. а) 1; 4; 9; … б) 1; 2; 3; …. в) 1; 5; 12.

Вариант 2

1. Способы задания последовательностей:

а) формулой n – го члена б) уравнением в) рекуррентный способ г) словесно.

2. Последовательности бывают:

а) параллельные б) конечные в) бесконечные г) колеблющиеся д) постоянные е) квадратные

3. Члены последовательности обозначаются:

а) а1, а2 , а3 ,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а¹, а²,а³,….

4. Числа, образующие последовательность, называются:

а) членами б) номерами в) числами

5. Последовательность обозначается а) а n б) аn в) (аn)

6. Бесконечно упорядоченный набор чисел:

а) порядок б) последовательность в) номер

7. ( аn) – последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 3 её члена.

а) 1; 4; 9; … б) 1; 2; 3; …. в) 1; 5; 12; …

8. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn – 1:

а) 6 б) 7 в) 8

9. Найдите седьмой член последовательности ( аn), заданной формулой:

аn = n( n + 1 ):

а) 5 б) 12 в) 56

10. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена хn = 2n – 1

а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …

Учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям.

Ответы: В1: 1.б; 2.в; 3.а; 4.в; 5.б,в; 6.а,в,г; 7.б; 8.в; 9б; 10.а

В2: 1.а,в,г; 2.б,в; 3.а; 4.а; 5.в; 6.б; 7.а; 8.б; 9 .в; 10а.

II задание. Обратимся к страницам истории.

“Пусть властно по своей орбите нас ритм сегодняшний кружит – 
Вернее будущее видит лишь тот, кто прошлым дорожит”

Хочу рассказать вам об одном интересном эпизоде из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855).

Когда ему было 9 лет, учитель, стремясь надолго занять детей, задал на уроке следующую задачу.

“Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”

На удивление учителя один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: “Я уже решил”. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Ребятам предлагается решить туже самую задачу, ведь 9 – летний Гаусс с ней справился. Рассуждения Гаусса – как проверка. (Слайд №9)

[pic]

Страницы Российской истории.

В первом учебнике “ Арифметика” Магницкого (конец 18 в.) имеется значительное количество задач на прогрессии. Приведем пример задачи аналогичной тем, что упоминаются в математическом учебнике.

“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”

Решение

а1=10,а2=20, а3=30,…а24=240

Sn=(10+240)/2*24=250*12=3000=30рублей

Эту задачу решаем у доски.

Страницы современной школы.

Задача 1 (физическая). 1 группа  "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".

Решение:

[pic]

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

Задача 2 (от строителя). 2 группа. При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?

[pic]

Решение:

[pic]

Ответ: 78 бревен в одной кладке.

Задача 3 (Задача от будущего медика). 3 группа 

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Решение: 
Имеем арифметическую прогрессию а1=15, d=10, аn=105. Найти n.
Решение:
аn=a1 +(n-1)*d
105=15+(n-1)*10
105=15+10n-10
10n=100
n=10  Ответ: 10 процедур.

Задача 4 (Задача от будущего биолога). 4 группа 

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями 150 метров.

Решение.

Пусть n – количество дней, тогда Sn = .

150=

n = 30

Ответ: 30 дней.

Задача 5 (бытовая) 5 группа.

Бригада маляров красит забор длиной 300 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый день бригада покрасила 20 метров забора. Определите, сколько метров забора покрасила бригада в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.

Решение.

Задачу можно решить задав арифметическую прогрессию (аn), где а1=20; Sn=300; n=6; an=?

Из условия задачи имеем: а1=20; S6=300; a6=?

I способ:

[pic]

II способ:

[pic]

На 12 метров бригада ежедневно увеличивала норму покраски. [pic]

Ответ: 80 метров.

Итоговый тест по теме « Арифметическая прогрессия»

Вариант 1

1. В арифметической прогрессии (аn): 15; 11; 7;… разность d=?

2. а1= - 4; d=3. Найдите а20.

3. а7=21; а9=29. Найдите d; а1.

4. а1= - 3; d=7. Найдите S7.

5. (аn): 5; 2; -1; -4;… арифметическая прогрессия. Найдите S20.

6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного -198, если а1=5; d= - 7?

Вариант 2

1. В арифметической прогрессии (аn): 12; 9; 6;…разность d=?

2. а1=5; d=-7. Найдите а30.

3. а7=22; а9=32. Найдите d; а1.

4 а1= - 2; d=9. Найдите S7.

5. (аn): 7; 5; 3; 1;…арифметическая прогрессия. Найдите S20.

6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного 53, если а1= - 4; d=3?

Ответы к тесту