Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Школа №77»
Сормовского района г. Нижнего Новгорода
Научное общество учащихся
Графики и их функции
Выполнил: Баканин Тимофей,
ученик 9-А класса
Научный руководитель: Григоренко Л.А.
Г. Нижний Новгород
2016
Содержание
Вступление…………………………………………………………………………………...3
Функциональная зависимость и график функции. Способы задания функции……..4
Простейшие элементарные функции…………………………………………………...5
Линейная функция
Парабола
Гипербола
Степенная функция
у=
3.Геометрические преобразования графиков функции…………………………………..11
4.Построение графиков функции………………………………………………………….12
5.Применение графиков функции к решению задач……………………………………..17
Заключение……………………………………………………………………………...22
Список литературы……………………………………………………………………..23
Вступление.
Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. Существуют различные способы задания функций: аналитический, табличный, словесный, параметрический, а также графический.
Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, график в силу своей наглядности является незаменимым.
Действительно, график функции есть изображение нашего понимания того, как ведет себя функция. Для этого необходимо знать элементарные функции, их свойства и графики, владеть методикой построения графиков.
В технике и физике часто пользуются именно графическим способом задания функции. Ученый-сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер - радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. По мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике.
С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней.
Я выбрал именно эту тему для своей работы, потому что она поможет мне в сдаче экзаменов и интересна сама по себе.
Функциональная зависимость и график функции. Способы задания функции
Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной или функцией.
Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать её аргумент.
Если функция задана формулой, то принято считать, что она определена при всех тех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл, т.е. выполнимы все действия, указанные в выражении, стоящем в правой части формулы.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Способы задания функции:
1)Табличный способ
При этом способе ряд отдельных значений аргумента ,,…, и соответствующий ему ряд отдельных значений функции ,,…, задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между x и y и не является наглядным.
2)Словесный способ
Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле y=D(x): если x-рациональное число, то значение функции D(x) равно 1, а если число x-иррациональное, то значение D(x) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D() при заданном значении x=, необходимо каким-либо способом установить, рационально или иррационально число .
3)Графический способ
Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции y=f(x). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.
4)Аналитический способ
При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента x можно найти соответствующее значение функции y. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения y при любом значении x и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.
Простейшие элементарные функции.
1) Линейная:
Свойства:
1.D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; +∞).
2.Если b = 0, то функция нечетная.
Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная.
3. Если х = 0, то у = b, если у = 0, то х = − .
4. Если k > 0, то функция возрастает при х-любое.
Если k < 0, то функция убывает при х-любое.
Построение линейной функции.
Для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две точки. Построить график функции y=2x+1.
x 0
1
y
1
3
[pic]
2) Квадратичная функция: ; .
Свойства:
1. D(y) = (−∞; +∞).
2. Если a > 0, то E(y) = [ув ; +∞);
Если a < 0, то E(y) = (−∞; ув ].
3.Если b = 0, то функция четная.
Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная.
4.Если х = 0, то у = c, если у = 0, то х1,2 =
5. Если a > 0, то функция возрастает при х[xв ; +∞);
функция убывает при х(−∞; хв ].
Если a < 0, то функция возрастает при х(−∞; хв ];
функция убывает при х[xв ; +∞).
Построение параболы.
Определить направление ветвей параболы.
Если , то ветви направлены вверх,
Если , то ветви направлены вниз.
Найти вершину параболы используя две формулы по очереди: и .
Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Oy.
Найти 4 точки графика путем подстановки значений x под формулу.
По найденным точкам построить график. [pic]
3) Гипербола:
Свойства:
1. D(y) = (−∞; 0)u(0; +∞)
2. E(y) = (−∞; 0)u(0 ; +∞)
3. Функция нечетная.
4. х ≠ 0, у ≠ 0.
5. Если k > 0, то функция убывает
при х(−∞; 0)u(0; +∞).
Если k < 0, то функция возрастает
при х(−∞; 0)u(0; +∞).
Построение гиперболы.
Находим область определения
Функция является нечётной, а значит, гипербола симметрична относительно начала координат.
График функции вида представляют собой две ветви гиперболы.
Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях
Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.
Используем поточечный метод построения, при этом,
значения x выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело.
[pic]
4)Функция с модулем:
Построение функции с модулем.
Рассмотрим простейший случай
Для функция совпадает с функцией, а для х<0 - с функцией .
[pic]
5)Степенная функция:
Свойства:
Если n = 2k, где kЄ Z
1. D(y)=(−∞; +∞).
2. E(y)=[0 ; +∞).
3. Функция четная.
4. Если х = 0, то у = 0.
5. Функция возрастает при хЄ[0; +∞);
И убывает при хЄ (−∞; 0].
Если n = 2k +1, где k Є Z
1. D(y)=(−∞; +∞).
2. E(y)=(−∞; +∞).
3. Функция нечетная.
4. Если х = 0, то у = 0.
5. Функция возрастает при хЄ(−∞; +∞).
Построение кубической параболы.
Кубическая парабола задается функцией
Находим область определения – x-любое действительное число
Область значений функции- y-любое действительное число.
Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат.
Используя поточечный метод построения, делаем чертеж. [pic]
Геометрические преобразования графиков функций.
1)Преобразование вида y = f(x)+ b
Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на b единиц вдоль оси ординат.
Если b > 0, то происходит смещение↑
Если b<0, то происходит смещение↓
2)Преобразование вида y = f(x – a)
Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на a единиц вдоль оси абсцисс
Если а > 0, то происходит смещение →
Если а < 0, то происходит смещение ←
3)Преобразование вида y = kf(x)
Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f(x) вдоль оси ординат.
Если , |k| > 1, то происходит растяжение
Если , |k| < 1, то происходит сжатие
4)Преобразование вида y = f(mx)
Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс
Если , |m|> 1, то происходит сжатие
Если , |m|< 1, то происходит растяжение
5)Преобразование вида y = |f(x)|
Это отображение нижней части
графика функции y = f(x) в верхнюю
полуплоскость относительно оси абсцисс
с сохранением верхней части графика
6)Преобразование вида y = f(|x|)
Это отображение правой части графика функции y = f(x) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика
Построение графиков функций.
1)Построить график функции y=+
y=
x=-1 и x=1 – точки излома
[pic]
2) Построить график функции y=
y=
[pic]
3) Построить график функции y=,
Область определения: x≠0
y=
[pic]
4) Построить график функции y=
Область определения: x≠1
1)≥0 2) <0
≥1 <1
≥1 -1<x<1
x≤-1 , x≥1 y==-x-1
так как x≠1, то x≤-1, x>1
y==x+1
[pic]
5) Построить график функции y=
Область определения: x≠1
=1,5±0,5
=2, =1
1) x-1>0, x>1
y===x-2
y=x-2, x>1
2) x-1<0, x<1
y==-x+2
y=-x+2, x<1
[pic]
6) Построить график функции y=+
y=+=+
x<-2, y=-x+1-x-2=-2x-1
-2≤x≤1, y=-x+1+x+2=3
x≥1, y=x-1+x+2=2x=1
[pic]
7) Построить график функции y=
Область определения: -1≠0, x≠±1
1) x-1>0, x>1, y==
2) x-1<0, x<1, y==
y= (x) =
y=(x) =(x-1) =
y=(x)=(-x)== -
[pic]
8) Построить график функции y=
Область определения: x≠0
Функция нечетная, то ветви графика симметричны относительно начала координат.
[pic]
Применение графиков функций к решению задач.
1)При каких значениях параметра k уравнение
=k имеет два корня?
Решение.
1.k≥0
2.Построим график y=
a) Область определения функции: x≠±1.
б)
[pic]
в) Поскольку функция четная, гипербола симметричная относительно оси Oy.
3.Так как уравнение имеет 2 корня, прямая y=k должна пересекать график в двух точках. Следовательно, 1<k<2. Заметим, что при k=2 будет три корня.
2)При каких значениях параметра k уравнение
=k имеет 4 корня?
Решение.
Правая часть уравнения может быть только неотрицательной, то есть k≥0.
Построим график функции
y=
a)
б)
[pic]
Ответ:
а) Если k=0, то уравнение имеет 4 корня(-4;-2;2;4)
б) Если 1<k<8, то уравнение имеет 4 корня(-5,5;-0,5;0,5;5,5)
3)Решить неравенство
x-1 <
Решение.
1.Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций
y=x-1 и y=.
2.Решим уравнения:
А)x-1=-5x+4 Б)x-1= -(-5x+4)
x-1= -+5x-4
=5, =1 =0
=3, =1.
3.Построим графики функций
y=x-1 и y=
y=
= - = 2,5
=
(2,5;-2,25)-вершина параболы.
y=0: -5x+4=0
=2,5±1,5
=4; =1
y(0)=4
[pic]
Ответ: x<1,1<x<3,x>5.
4) Решить уравнение 1-=.
Решение.
Изобразим в одной системе координат графики функций y=1- и y=
[pic]
Графики пересеклись в точке (-1;2). Следовательно, корень данного уравнения x=-1.
Ответ: x=-1
Постройте график функции
и определите, при каких значениях прямая будет пересекать построенный график в трёх точках.
Решение.
Построим график функции
[pic]
Из графика видно, что прямая у = с будет иметь с графиком ровно три точки пересечения при с принадлежащим множеству: (0;5).
Ответ: (0; 5).
Постройте график функции у = и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у=kх.
Решение.
Область определения: х и х
Преобразуем функцию к виду: у = . График — прямая у = х-3 без двух точек (-3; -6) и (9; 6).
[pic]
Прямая у=kх не будет иметь с построенной прямой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при k=1, и если она будет проходить через выколотые точки. Через первую из этих точек прямая проходит, если k=2, а через вторую — если
k=
Ответ: ; 1;2.
Заключение
Выполнив данную работу, я научился выполнять построение графиков функций при помощи геометрических преобразований. Это поможет мне решать различные типы задач (неравенства, уравнения, задачи с параметром) графическим способом. Таким образом я готовлюсь к успешной сдаче экзамена ОГЭ и ЕГЭ.
Список литературы:
Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Пособие для поступающих в вузы. – М.: АРКТИ, 2001
Дороднов А.М. и др. Графики функции. Учебное пособие для поступающих в вузы. М., «Высш.школа», 1972
Гельфанд И.М., Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль Функции и их графики «Наука» Москва 1971
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: М.: Просвещение , 1985
Открытый банк заданий ФИПИ
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2011
