Учебный лист
по теме «Параллельные прямые. Основное свойство параллельных прямых.
Признаки параллельности прямых»
(3 часа)
УМЕТЬ: - определение параллельных прямых, отрезков;
- виды углов, полученных при пересечении двух прямых третьей;
- признаки параллельности прямых;
- свойства параллельных прямых;
- устанавливать равенство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей;
- доказывать параллельность двух прямых, исходя из равенства углов, образованных при пересечении этих прямых третьей;
- решать задачи на применение признаков и свойств параллельных прямых;
В результате изучения темы нужно:
Литература:
1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012
2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы «Атамұра». 2012
3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы «Атамұра». 2012
4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы «Атамұра». 2012
5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы «Атамұра». 2012
Приобретать знания – храбрость,
Приумножать их – мудрость,
А умело применять их – великое искусство.
Помни, что работать нужно по алгоритму.
Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.
Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.
Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.
Желаю успеха!
ЗАДАНИЕ 1
1) Прочитай определения и выучи их (2б):
Определение 1: «Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются»
Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки.
Определение 2: «Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых»
2) Для обозначения параллельности прямых используется значок ║. Запись a║b читается: «Прямая a параллельна прямой b». Рассмотри рисунок 1 и запиши (2б):
а) параллельные прямые:
б) параллельные отрезки:
[pic] [pic] E
[pic] с
[pic] [pic] [pic] b C
а [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] A
[pic] [pic] K
[pic] [pic] B D
а) б)
Рисунок 1.
3) Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем:
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Выучи основное свойство параллельных прямых и докажи теорему (5б):
Т [pic] [pic] еорема: Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую. (рисунок 2)
[pic] с
А а
b
Рисунок 2.
4) Ответь на вопросы (10 б):
1) Сколько пар параллельных отрезков в слове ТОЧКА? (2б)
2) Через точку, не принадлежащую данной прямой, провели три прямые. Сколько из них могут пересекать данную прямую? Сколько из них могут быть параллельны данной прямой? (2б)
3) Прямые а и b пересекаются в точке О. Можно ли провести третью прямую с, параллельную и прямой а, и прямой b? Если нельзя, то по какой причине? (2б)
4) Прямые а и b параллельны. Прямая с пересекается с прямой а. Пересекает ли прямая с прямую b? Если пересекает то почему? (2б)
5) Параллельны ли прямые а и с, если a||b и с||b? (2б)
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 1
ЗАДАНИЕ 2
1 [pic] ) Рассмотри виды углов, полученных при пересечении двух прямых третьей, запомни их (2б)
Прямая с называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из данных прямых (рис.3). При пересечение прямых a и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
Рисунок 3 внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;
внутренние односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
[pic] внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
2) На рисунке 4 найди и запиши накрест лежащие углы, соответственные
углы, односторонние углы (2б)
Рисунок 4
3) Выучи теоремы и рассмотри их доказательства. Докажи одну теорему на выбор (6 б) или сформулируй теоремы (3б)
Признаки параллельности прямых
Теорема 1 (I признак): Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы
равны, то прямые параллельны.
[pic] Доказательство. Пусть секущая АВ образует с прямыми а и b равные накрест лежащие углы. Докажем, что прямые а и b параллельны.
Если углы 1 и 2 прямые, то каждая из прямых а и b перпендикулярна прямой АВ (рисунок 5). Следовательно, a||b. В этом случае теорема доказана.
Рисунок5
Р [pic] ассмотрим случай, когда углы 1 и 2 непрямые (рисунок 6). Из точки С, которая является серединой отрезка АВ, проведем прямую CD, перпендикулярную прямой а. На прямой b от точки В отложим отрезок ЕВ, равный отрезку АD. Проведем отрезок СЕ. Треугольники АСD и ЕСВ равны по первому признаку равенства треугольников: АС = СВ, АD= ВЕ, [pic] 1 = [pic] 2.
Из равенства треугольников следует: [pic] 3 = [pic] 4, [pic] 5 = [pic] 6.
Рисунок 6 Из равенства [pic] 3 = [pic] 4 следует, что эти углы вертикальные. Значит,
точки D, С, Е лежат на одной прямой.
Из равенства [pic] 5 = [pic] 6 следует, что [pic] 5 = 900, [pic] 6 = 900. Следовательно, ЕD [pic] а, ЕD [pic] b. Значит a||b. Теорема доказана.
Следствие 1: две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Следствие 2: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Теорема 2 (II признак): Если при пересечении двух прямых секущей соответственные
[pic] углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство: Пусть секущая АВ образует с прямыми а и b равные соответственные углы. Пусть [pic] 1 = [pic] 2 (рисунок 7), углы 2 и 3 – вертикальные углы. Значит [pic] 2 = [pic] 3. Из этих двух равенств следует, что [pic] 1 = [pic] 3. Углы 1 и 3 накрест лежащие. Следовательно, a||b. Теорема доказана.
Теорема 3 (III признак): Если при пересечении двух прямых секущей
Рисунок 7 сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.
Доказательство: Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ сумма односторонних углов 1 и 4 равна 1800 (рисунок 7). Углы 3 и 4 смежные, поэтому [pic] 3 + [pic] 4 = 1800. Из этих двух равенств следует, что [pic] 1 = [pic] 3. Углы 1 и 3 – накрест лежащие углы. Поскольку накрест лежащие углы равны, значит a||b. Теорема доказана.
Справедлива и теорема обратная III признаку параллельности прямых: если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рисунок 7).
Выводы. Две прямые а и b параллельны, если при пересечении их секущей:
а) накрест лежащие углы равны;
б) соответственные углы равны;
в) сумма односторонних углов равна 1800.
4) Докажи теорему (5б): Если каждая из двух прямых параллельна третьей прямой, то они взаимно параллельны.
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 2
ЗАДАНИЕ 3
Выбери и реши две задачи:
1 [pic] [pic] ) (2б)
2 [pic] [pic] ) (2б)
3) (3б) Начертите прямоугольник ABCD. Через вершины A, B, C, D проведите прямые, параллельные между собой.
4) (3б) Начертите треугольник АВС. Через вершины А, В, С проведите прямые, параллельные противолежащим сторонам.
5 [pic] ) (4б) Реши задачу по рисунку: [pic] 1 = 400. Вычислите градусные меры внутренних накрест лежащих углов.
6) (4б)Реши задачу по рисунку: [pic] 5 = 950. Вычислите градусные меры внешних накрест лежащих углов.
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ № 3
ЗАДАНИЕ 4
Молодец! Можно приступить к проверочной работе №1.
ЗАДАНИЕ 5
Из каждой группы реши одну задачу на выбор:
Группа 1 (3б):
1) Докажите, что если a||b, е||b, е || l, то a ||l.
2) Даны прямые a, b, с. a||b, а прямые b и с пересекаются. Докажите, что пересекаются и прямые a и с.
3) Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Группа 2 (3б):
[pic]
[pic]
[pic]
2 [pic] )
3 [pic] [pic] )
Группа 3 (3б):
1) Один из накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равен 450.Найдите остальные углы.
2) Прямые а и b параллельны, с – секущая. Один их соответственных углов равен 300. Найдите остальные углы.
3) Сумма двух накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равна 1500. Найдите каждый из этих углов.
Группа 4 (5б)
1) У прямоугольного треугольника с прямым углом В через вершину А проведена прямая AD, параллельная стороне ВС. [pic] САВ = 430. Найдите величину угла DАС.
2) Через точку Р биссектрисы угла АСВ, равного 940, проведена параллельная прямая к АВ, пересекающая в точке К сторону ВС. Найдите углы треугольника ВРК.
3) [pic] AОВ = 520. Через точку D, лежащую внутри [pic] АОВ, проведены прямые параллельные его сторонам. Найдите углы между этими прямыми и углы, образованные этими же прямыми и сторонами угла
ПРОЙДИ ПРОВЕРКУ №5
ЗАДАНИЕ 6
Молодец! Можно приступить к проверочной работе № 2.
РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ
по теме : «Параллельные прямые. Основное свойство параллельных прямых.
Признаки параллельности прямых»
Ф.И. __________________________________________, класс _____
Max баллов Полученный балл
Кто проверил
Кого проверил
оценка
1
2б
2б
5б
10б
2
2б
2б
5б
5б
3
8б
4
10б
5
3б
3б
3б
5б
6
10б
итого
76б
ИТОГО: 74 баллов
«5» - 56 - 74 б;
«4» - 34 - 55 б;
«3» - 19 - 33 б.
Проверочная работа № 1
Выбери четные или нечетные номера теста и реши (5 вопросов, по 2 балла за каждый):
[pic]
[pic]
Оценка:
10 б – «5»
8 б – «4»
6 б – «3»
2 – 4 б. – «2»
Проверочная работа № 2
Реши на выбор один из вариантов (10б)
1.(2б) На рисунке a||b, [pic] 1 = 400. Найдите [pic] 2 [pic] 1. (2б) На рисунке [pic] 1 = 400, m||n. Найдите [pic] 3
[pic]
2. (3б) На рисунке АВ = СD, АС = ВD. Докажите, что a||d.
[pic]
2. (3б) На рисунке PQ = RT, PR = QT. Докажите, что m||n.
[pic]
3. (5б) На рисунке [pic] 1 = 720, [pic] 4 = 980, [pic] 2 = 1080. Найдите [pic] 3.
[pic]
3. (5б) На рисунке [pic] 1 = 880, [pic] 2 = 920, [pic] 3 = 1150. Найдите [pic] 4.
[pic]
«5» - 10 б
«4» - 5 – 9 б.
«3» - 2 – 4 б.
