Тема: Квадратные уравнения.
Цель урока: обобщение и систематизация способов решения квадратных уравнений, формирование умения выбора рационального способа.
Задачи:
Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.
Развивающие: способствовать развитию внимания, развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.
Воспитательные: воспитывать информационную культуру, самостоятельность, умение слушать.
Оборудование: презентации по теме урока, тесты
Ход урока.
Организационное начало урока
Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”.
Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.
2. Сообщение темы и цели урока.
А) постановка проблемы.
- Посмотрите на доску. Это лишь некоторые задания экзаменационной работы 9 класса. На сегодняшний день мы не знаем многих тем и алгоритмов решения некоторых заданий.
Но как вы думаете, что их объединяет?
Для их выполнения нужно уметь решать квадратные уравнения.
Применение тестовой системы приводит к необходимости в быстром решении уравнений. Поэтому мы должны научиться приемам, которые помогут экономить время и эффективно решать квадратные уравнения.
- А что для этого нужно знать? (способы решения квадратных уравнений)
Тема урока «Квадратные уравнения. Способы их решения»
- Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?
- Другими словами обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?
(Для возможности выбора рационального пути решения).
- Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.
- Откройте тетради. Запишите число. Классная работа.
3. Обобщение и систематизация знаний.
а) актуализация знаний учащихся.
- Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения.
- Какое уравнение называется квадратным?
- От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
- По какой формуле вычисляется дискриминант ?
Закончите таблицу (3 ученика к доске)
[pic]
- Понятие Д придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов.
- Проверим составленную таблицу.
- Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта.
Проведем цифровой диктант.
- Вычислим дискриминант.
- Укажите количество корней уравнения 2, 1 или 0.
- Запишите полученное пятизначное число. Проверка 10220 - Можно ли, не решая уравнения, определить, имеет ли оно корни или нет?
(Да, можно. Уравнение всегда имеет корни, если первый коэффициент и свободный член имеют противоположные знаки.)
- А если они одного знака?
-(Тогда надо находить дискриминант)
Имеет ли корни квадратное уравнение 2x2+5x−7=0?
1) применение формул корней квадратного уравнения.
Задание 1. Решите уравнение 2x2+5x−7=0. (самостоятельно)
- К какому виду относится следующее квадратное уравнение x2−7x=8.
(приведенное)
- Какую теорему используют для решении приведенных квадратных уравнений ?
(т. Виета)
- Напомним формулировку теоремы Виета и обратной ей.
- Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603) был по профессии адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришёл к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет.
Виет сделал много открытий, но сам он больше всего ценил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которая теперь называется «теоремой Виета».
«Если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + p x + q = 0».
- Как будем рассуждать при подборе корней этого уравнения x2−7x- 8=0.
2) подбор корней с применением теоремы Виета
Задание 2. Найдите корни квадратного уравнения x2 −7x - 8=0. (
Задание 3. Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2+7х-11=0.
- Не решая уравнения, найдите значение выражения .
- Какую теорему применили?
Задание 4. Работа в группах.
Решить уравнения, составить таблицу.
Таблица 1. (Группа 1,3)
Вывод: Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0 сумма коэффициентов равна нулю (а + в + с = 0), то один из корней равен 1, а другой [pic] . Вывод: Пусть дано квадратное уравнение ах2 + вх +с = 0. Если а – в + с = 0 или в = а + с, то х1 = –1, х2 = – [pic] .
Запись на доске и в тетрадях.
а + b+ с = 0
х1 = 1,
а – b + с = 0
или
b = а + с
х1 = - 1,
Это ещё один способ решения квадратных уравнений
3) применение свойств коэффициентов.
Задание 5. Выберите уравнения, которые можно решить, используя это свойство?
Запишите корни.
203х2+220х+17=0
5x2−9x+4=0.
x2+6x−16=0
25х2 – 20х – 5 = 0
2х2 – 11х + 15 = 0.
Проверка
- Чем удобен это способ?
( позволяет устно найти корни уравнения)
Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.
4) Метод “переброски” старшего коэффициента.
В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax2 + bx + c = 0, а приведенное y2+by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения. [pic] и [pic]
Пример: решите уравнение
2х2 - 9х - 5=0
заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а
[pic]
( D>0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни
[pic]
[pic]
вернемся к корням исходного уравнения
[pic] [pic]
Ответ: 5; -0,5
Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.
Задание 6. Решение одного уравнения разными способами.
Решите уравнение х2 - 4х + 3 = 0 различными методами
- У доски 5 обучающихся. Метод, которым придется решать, написан в произвольно выбираемой карточке: 1) по общей формуле; 2) по формуле с четным вторым коэффициентом; 3) по теореме Виета; 4) по сумме коэффициентов; 5) графическим способом.
- Каким из способов проще и быстрее решить данное уравнение?
Задание 7. Тестирование с самопроверкой.
-Чтобы проверить, как вы умете применять полученные знания выполним тест. (Приложение 1.)
Время выполнения теста 5 - 7 минут. Выпишите буквенный код в тетрадь.
- Свои предварительные результаты вы можете узнать уже сейчас. Проверьте правильность выполнения заданий. Критерии выставлении оценки следующие : Критерии оценки
«5» - 5 заданий
«4» - 4 задания
«3» - 3 задания
«2» - 1 – 2 задания
4. Подведение итогов.
– Какие способы решения квадратных уравнений существуют.
- Это, конечно, далеко не все способы решения квадратных уравнений.
Методы решения квадратных уравнений
Помните, что при решении уравнений, нужно выбирать наиболее рациональный способ решения.
Ф.И. __________________________________________________
Вариант 1.
Какое из чисел -2, -1, 3, 5 является корнем уравнения
4х² – 11х – 3 = 0 ?
А. -1 Б. -2 В. 3 Г. 5
2. Чему равна сумма корней уравнения 7х² - 19х + 4 = 0
А. Б. В. Г.
3. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
А. 4х² – 3х – 4 = 0 В. 9х² + 6х + 1 = 0
Б. х² + 4х + 3 = 0 Г. 5х² – х + 1 = 0
4. Найдите корни квадратного уравнения 2x2−3x+1=0.
А. – 0,5; -1 В. 0,5; 1
Б. 0,5; -1 Г. - 0,5; 1
5.Укажите наибольший корень квадратного уравнения
313х2 – 326х + 13 = 0
А. 1 В. 326
Б. 13 Г. 313
Приложение
Ф.И. __________________________________________________
Вариант 2.
1. Какое из чисел 2, 1, 3, является корнем уравнения
3х² +2х – 1 = 0 ?
А. 1 Б. 2 В. 3 Г.
2. Чему равна сумма корней уравнения 12х² +7х + 1 = 0 ?
А. Б. В. 7 Г. -7
3. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
А. х² – х + 5 = 0 В. 2 х² + 6х + 4,5 = 0
Б. х² + 4х + 3 = 0 Г. 2х² – 3х – 8 = 0
4. Найдите корни квадратного уравнения 5x2−12x+7=0.
А. – 1, 4; -1 В. 1; 1,4
Б. ; 1 Г. 0,5; 1
5.Укажите наибольший корень квадратного уравнения
4271x2 – 4272x + 1 = 0.
А. 1 В. 4271
Б. – 4272 Г. 4272
