Задания для подготовки к ЕГЭ по математике.
Элементы теории вероятностей
В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
1. Сколько существует возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков? 6 * 6 = 36
2. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков.
6 : 36 = 0, 17 Ответ: 0, 17
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.
Всего может быть 8 случаев: орел и решка, орел и орел, решка и решка, решка и орел.(по два раза, тк 2 раза бросают.) из этих случаев орел не выпадает ни разу всего 2 раза. т.е. вероятность того, что орел не выпадет ни разу =2/8=1/4=0,25 Ответ:0,25
В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
70-25-17=28 спортсменок из Канады
28/70=0,4 - вероятность
Ответ: 0,4
В классе 26 семиклассников, среди них два близнеца -Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.
В данной задаче число исходов явно не задано.
Пусть один из близнецов находится в некоторой группе (любой из двух). Вместе с ним в группе может оказаться 12 человек из 25 оставшихся одноклассников.
Таким образом, число всевозможных исходов для второго близнеца равно 25 (он может оказаться среди 12 человек в группе с братом или среди 13 человек в другой группе). Число благоприятных исходов 12 (число человек, которые окажутся в группе с братом). Значит, вероятность этого события равна
12 к 25 или 12:25 = 0,48.
Ответ: 0,48
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании,
6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из дании .
Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Дании, равна вероятности того, что спортсмен, который выступает первым, окажется из Дании - так как мы можем проводить жеребьёвку в любом порядке (с начала или с конца). Эта вероятность равна 3 / (3 + 6 + 4 + 7) = 0,15.
Ответ: 0,15.
В классе 21 шестиклассник, среди них два друга —Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах
Допустим, что Петя попал в одну из трех групп.
В его группе остается еще 6 мест. А еще остается 20 человек без группы,в числе которых и его друг, которому нужно попасть в ту шестёрку. И вот здесь мы благоприятное для нас число(то есть 6) делим на общее число человек(20). Вот и получаем 6/20= 0,3. Ответ:0,3
В ящике находятся чёрные и белые шары, причём чёрных в 4 раза больше, чем белых. Из ящика случайным образом достали один шар. Найдите вероятность того, что он будет белым.
Белых шаров х ( число благоприятных исходов)
чёрных шаров 4х
Всего шаров 5х ( общее число исходов)
Р(А) = х/5x = 1/5 = 0,2 Ответ:0,2
На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Всего учеников: 400
Тех, кто писал олимпиаду в первых двух аудиториях: 130+130=260
Тех, кто писал олимпиаду в запасной аудитории: 400-260=140
140: 400= 0, 35 Ответ:0,35
В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт
в магазин?
Нужно определить, сколько всего возможных вариантов группировки по 2 человека из 8:
1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8 (7 исходов)
2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 2-7, 2-8 (6 исходов)
3-4, 3-5, 3-6, 3-7, 3-8 (5 исходов)
4-5, 4-6, 4-7, 4-8 (4 исхода)
5-6, 5-7, 5-8 (3 исхода)
6-7, 6-8 (2 исхода)
7-8 (1 исход) Всего: 1+2+3+4+5+6+7=28 исходов.
Пусть турист Д = 1, тогда возможных вариантов, в которых он попадает, 7.
Ответ:0,25
Вася, Петя, Олег, Коля и Лёша бросили жребий —кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
Жребий начать игру может выпасть каждому из четырех мальчиков. Вероятность того, что это будет именно Петя, равна одной четвертой. 1:4=0,25 Ответ: 0,25.
Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.
Трехзначное число, значит от 100 до 999.
всего получается 900
27 трехзначных чисел, которые делятся на 33 => 27/900=0,03 Ответ: 0,03
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
A = {выбранная ручка пишет хорошо}. Известна вероятность противоположного события: P(A)= 0,21.
Используем формулу вероятности противоположного события:
P(A) = 1− P(A)= 1− 0,21 = 0,79. Ответ: 0,79.
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б.
с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём
во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Один раз А играет белыми, а другой раз - черными. Белыми он выиграет с вероятностью 0.5, а черными в другой партии 0.32. По формуле перемножения вероятностей независимых событий имеем, что шансы на победу А во всех двух партиях равна 0,5*0,32= 0,16 Ответ: 0,16
Мишень представляет три области. Для данного стрелка вероятность попасть в первую область 0,15, во вторую — 0,25, в третью — 0,4.
а) Какова вероятность стрелку попасть с первого выстрела в какую-нибудь из трех областей?
б) Какова вероятность промазать с первого выстрела?
а) Одновременно попасть в две (три) области при одном выстреле нельзя, т.е. имеем дело с несовместными событиями, поэтому
Р = Р1 + Р2 + Р3 = 0,15 + 0, 25 + 0,4 = 0,8.
0,8.б) Событие «промазать» противоположно событию «попасть куда-нибудь». Поэтому Р = 1 – Рпр = 1 – 0,8 = 0,2. Ответ:0,2
Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпало разное число очков?
.
Общее число элементарных событий 36.
Р(А) = 30/36 = 5/6 Ответ: 5/6
5/6.Бросают две правильные игральные кости. Какова вероятность, что на обеих выпало число очков меньше трех?
Событие А состоит в том, что «на первой кости выпало меньше 3 очков», а событие В, что «на второй кости выпало меньше 3 очков».Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (12 штук) розовым цветом, а В (12 штук) — голубым, а события, благоприятствующие и А и В (4 штуки) - зеленым.
Общее число элементарных событий 36
Р( зеленая+ розовая+ синяя) = 20/36= 5/9. Ответ: 5/9.
5/9.
1/36.Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что на первой кости выпало более трех очков, а на второй — менее трех?
Событие А состоит в том, что «на первой кости выпало более 3 очков», а событие В, что «на второй кости выпало меньше 3 очков».
Р( зеленая) = 6/36 =1/6 Ответ: 1/6
1/6.Какова вероятность выпадения трех шестерок подряд при бросании кости?
Результат первого бросания кости не влияет на результат второго и третьего, поэтому все события независимы. Вероятность выпадения шестерки при одном бросании кости равна 1/6, а вероятность выпадения трех шестерок при трех бросаниях 1/6 · 1/6 · 1/6 = 1/216. Ответ: 1/216.
1/216.Какова вероятность выпадения третьей шестерки при бросании кости, если две шестерки выпали только что?
Вероятность события «выпадение двух шестерок подряд» равна 1/36. Это событие уже осуществилось! Поэтому, чтобы получить три шестерки подряд достаточно одной шестерки. Вероятность этого равна 1/6, а не 1/216. Ответ: 1/6
1/6.Бросают две игральных кости. Какова вероятность, что только на одном из кубиков выпадут шесть очков?
1
2
3
4
5
6
1
1;1
1;2
1;3
1;4
1;5
1;6
2
2;1
2;2
2;3
2;4
2;5
2;6
3
3;1
3;2
3;3
3;4
3;5
3;6
4
4;1
4;2
4;3
4;4
4;5
4;6
5
5;1
5;2
5;3
5;4
5;5
5;6
6
6;1
6;2
6;3
6;4
6;5
6;6
Пусть событие А — «на первой кости выпала шестерка», событие В — «на второй кости выпала шестерка», заметим, что Р(А) = Р(В) = 1/6. Общее число элементарных событий 36. По условию должна выпасть только одна шестерка, значит нам надо исключить выпадение двух шестерок одновременно – событие, являющееся пересечением независимых событий А и В.Р(А В) = Р(А) · Р(В) = 1/6 · 1/6 = 1/36.
Тогда искомая вероятность Р = 1/6 + 1/6 – 1/6 · 1/6 = Ответ: 11/36.
В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см
Закрасим множество точек квадрата, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата равна 16 см2 - 4 см2 = 12 см2. Отсюда искомая вероятность будет Р = 12 / 16 = 0,75. Ответ: 0,75.
Для самостоятельного решения
1. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределяются случайным образом по восьми игровым группам – по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит».
Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе. Ответ: 0,125
2. На столе лежат цветные ручки: синяя, красная, чёрная и зелёная. Петя случайно берёт со стола ручку. С какой вероятностью эта ручка окажется чёрной?
Ответ: 0,25
3. В корзине лежат яблоки разных сортов: 20 красных, 35 жёлтых и 25 зелёных. С какой вероятностью случайно вынутое из корзины яблоко окажется красным?
Ответ: 0,25
4. В каждой связке бананов имеется ровно один банан с наклейкой производителя. Мама купила две связки: в одной 4, а в другой 6 бананов. Ребенок взял первый попавшийся банан из купленных мамой. С какой вероятностью этот банан был с наклейкой производителя?
Ответ: 0,2
5. Петя бросает игральный кубик. С какой вероятностью на верхней грани выпадет четное число?
Ответ: 0,5
6. В конкурсе красоты принимают участие 25 девушек: 6 школьниц, 9 студенток, остальные — аспирантки. Порядок, в котором выступают красавицы, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что девушка, выступающая первой, окажется аспиранткой.
Ответ: 0,4
7. В пекарне, выпекающей булочки с изюмом, в среднем на 100 булочек в 5 булочек забывают положить изюм. Найдите вероятность того, что купленная булочка окажется с изюмом.
Ответ: 0,95
8. Для экзамена по математике есть 30 билетов, в 12 из них встречается вопрос по геометрии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по геометрии.
Ответ: 0,6
9. В корзине лежат 15 мячиков: 5 синих, 7 зелёных, остальные — красные. С какой вероятностью случайно вытащенный мячик окажется красным?
Ответ: 0,2
10. Игральный кубик бросают 2 раза. С какой вероятностью выпавшие числа будут отличаться на 3? Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,17
11. Маша хочет позвонить Кате, но не помнит последнюю цифру номера телефона Кати. С какой вероятностью Маша с первой попытки дозвонится Кате, если она знает, что последняя цифра нечётная?
Ответ: 0,2
12. Почти одновременно 5 человек, в том числе Петя, заказали по телефону пиццы, все разных видов. Оператор перепутал 3 и 4 заказы. С какой вероятностью Пете привезут его пиццу?
Ответ: 0,6
13. В корзине лежат 4 синих, 5 красных и 6 зелёных мячиков. С какой вероятностью случайно вытащенный мячик окажется зелёным?
Ответ: 0,4
14. Петя подкинул три монеты. С какой вероятностью они выпали одной стороной?
Ответ: 0,25
15. Pin-код к банковской карточки содержит 4 цифры. Какова вероятность того, что pin-код состоит из четырех одинаковых цифр?
Ответ: 0,001
16. В турнире по шахматам приняли участие 20 мальчиков. Известно, что троих из них зовут Петр, двоих - Иван, а остальные участники турнира носят другие имена. Какова вероятность того, что победителя турнира зовут Иван или Петр?
Ответ: 0,25
17. В корзине лежат яблоки разных сортов: 20 красных, 35 жёлтых и 25 зелёных; 24 из них червивые. По просьбе папы сын несёт ему яблоко, с какой вероятностью оно не червивое?
Ответ: 0,7
18. Жюри конкурса народной песни собирается прослушать в первые два дня по 15 человек, а в третий день – оставшихся 20. С какой вероятностью артист Петров выступит во второй день, если порядок выступлений участников определяется жребием?
Ответ: 0,3
19. В некоторой социальной сети у Пети есть 150 друзей, среди которых три его однофамильца. Какова вероятность того, что произвольно выбранный друг не является Петиным однофамильцев?
Ответ: 0,98
20. Мама лепит вареники: 15 с вишней и 33 с клубникой. Затем вареники варятся одновременно в одной кастрюле. С какой вероятностью первый вареник, который мама достанет из кастрюли окажется с вишней?
Ответ: 0,3125
21. Учительница разбила класс на 8 групп по 4 человека, выдав каждой группе тему доклада для следующего урока и назначив старшего в группе. Антон - старший в некоторой группе - накануне весь вечер играл в футбол, поэтому его группа доклад не подготовила. Учительница может вызывать для презентации доклада любого учащегося, кроме старших по группам. Какова вероятность, что вызовут школьника из группы Антона?
Ответ: 0,125
22. Из 2000 батареек в среднем 40 штук не работают. Какова вероятность купить качественную батарейку?
Ответ: 0,98
23. В саду 13 сливовых деревьев, 4 вишнёвых и 8 яблоневых. Мимо пролетала сорока и села на одно из деревьев. С какой вероятностью она сидит на яблоне?
Ответ: 0,32
24. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 спортсменов, среди которых 10 участников из России, в том числе Григорий Поддубный. Найдите вероятность того, что в первом туре Григорий Поддубный будет играть с каким-либо спортсменом из России?
Ответ: 0,12
25. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шашистов, среди которых 13 участников из России, в том числе Андрей Фомин. Найдите вероятность того, что в первом туре Андрей Фомин будет играть с каким-либо шашистом из России?
Ответ: 0,16
26. Папа принес домой в одном пакете 15 грейпфрутов, 3 из которых красные, остальные – белые. Двое детей по очереди берут по фрукту, а затем берет мама. С какой вероятностью ей достанется белый грейпфрут, если у обоих детей оказались белые грейпфруты? Ответ округлите до десятых.
Ответ: 0,8
27. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 160 качественных сумок приходится тринадцать сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,92
28. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,17
29. Из 30 огурцов 9 – горькие. С какой вероятностью наугад выбранный огурец горчит?
Ответ: 0,3
30. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 2 прыгуна из Колумбии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что сорок восьмым будет выступать прыгун из Колумбии.
Ответ: 0,04
