Опорные конспекты по основным темам математики 6 класса

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: ...

Опорный конспект №1

Д [pic] ЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ.

N [pic]

а [pic] [pic] : ДЕЛИТЕЛЬ

N , на которое делится а………

называется



Примеры:

Г [pic] [pic] ОВОРИМ: Число 12 имеет делители 1; 2;3;4;6;12.

ПИШЕМ: 12 : 1; 2; 3; 4; 6; 12.



1 –ДЕЛИТЕЛЬ ЛЮБОГО НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА а



[pic] [pic] N

К [pic] [pic] РАТНОЕ : а

N

называется

которое делится ……..на а



Примеры :

ГОВОРИМ: Числа 8; 16; 32; 40……. – кратные числа 8.

П [pic] [pic] ИШЕМ: 8; 16; 32; 40… : 8

? [pic]

m : ?

[pic] ? : m ??





Опорный конспект № 2.

[pic]

Примеры:

  1. Число : 2, если ***2 ; или***4, или***6; или ***8 ; или ***0

  2. 477 : 3, если 4+7+7=18 : 3!

  3. Число : 4 , например 45796 : 4, так как 96:4!

  4. Ч [pic] исло : 5, если ****0 ; или ****5!

  5. Число : 6, например 522 : 6, **2 : 2!;

5+2+2=9 : 3!

  1. Число : 7 ; например 532 : 7 ; 53 – 2*2 =49 : 7!

  2. Число : 8; например **000 или ***328 , 328: 8!

  3. 711 : 9, так как 7+1+1=9 : 9!

  4. Число : 10 , если ***0, или ****00; …

  5. Число : 11, например 8261; (8+6) – (2 +1)= 14 – 3 = 11 : 11!

Опорный конспект № 3

Простые и составные числа.

Простым два

N число называется ----------------, если у него--------------------- делителя. С составным более двух

ПРИМЕР:

[pic] [pic]

7 : 1; 7 простое; 9 : 1; 3; 9. составное

[pic] [pic]

Два делителя три делителя


Э [pic] ратосфен - таблица простых чисел

1 : 1

[pic] [pic]


ни простое число ни составное число



Любое составное число можно

разложить на простые множители.


378 2

189 3

63 3

21 3

7 7

1



3 [pic] 78 = 2*3*3*3*7 =2*33 *7


представить в виде произведения простых множителей.


! СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА!

[pic] [pic]

28 : 14;7;4;2;1 , ТАК КАК сумма всех делителей


14+7+4+2+1=28!



НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №4


НОД ( 36; 48)

  1. Р

    2

    азложить на простые множители

3

2

6 2 48 2

1

2

2

8 2 24 2

9 3 12 2

3

3

3 6 2

1

3

3 3

1

  1. Выпиши совпадающие множители.

  2. НОД (36; 48) = 2*2*3 = 12


Н [pic] ОД ( m; n) СОКРАТИТЬ ДРОБЬ m

n

m [pic] [pic] и n называется взаимно простыми , если НОД (m; n)=1

натуральные ( N)


  • Наибольший общий делитель –

наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и в .

Задача: Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?

Решение:

Найди НОД (36,48)!






НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №5

НОК ( 36; 48)

  1. Р

    2

    2

    азложить на простые множители

36 2 48

1

2

2

8 24


9

3

3 12 2

3

3

3 6 2

1 3

1

  1. В

    2

    2

    3

    ыпиши совпадающие множители

НОК (36; 48) = …* * * ……….

  1. Д

    2

    2

    3

    ополни оставшимися множителями

НОК (36; 48) = * * *3 * 2* 2

  1. НОК ( 36; 48) = 144.



Н [pic] ОК ( m; n) приводить дроби к общему знаменателю;

сравнивать дроби;

складывать и вычитать дроби.


[pic] [pic] [pic] и =

m n НОК ( m; n)



!!

НОК – наименьшее натуральное число, которое является кратным m и n!






ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №6


Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить

на одно и тоже число, то получится равная ей дробь.


п [pic] риведение дроби к общему знаменателю

[pic]

2 [pic] [pic] [pic] = 2 * 12 = 24

3 [pic] 3 * 12 36

О. С. Д.

1 [pic] [pic] 5 = 15 : 5 = 3 основное свойство

2 [pic] 0 20 : 5 4 дроби


сокращение дробей


Деление числителя и знаменателя на их общий делитель не равный 1 называется сокращение дроби.


1 [pic] [pic] [pic] [pic] 50 = 150 : НОД ( 150; 225) = 2 несократимая дробь

225 225 : НОД ( 150; 225) 3


П [pic] ишем:

Н [pic] [pic] ОД (150; 225) = 75 ; 1502 = 2

[pic] 2253 3

Говорим: числитель……, знаменатель…….,

сокращаю на…………………..(НОД),

получаю……………., ответ……………




Приведение дроби к общему знаменателю ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №7


@ ЗНАМЕНАТЕЛИ:

  1. Взаимно простые числа (НОД (m; n) =1)

[pic] [pic] [pic] [pic] и =

3 4 3 * 4

  1. К [pic] ратные числа (18: 6 = 3 !)

[pic] [pic] и =

6 18 18

  1. Разные

[pic] [pic] и =

16 24 НОК (16 ; 24)

Чтобы привести дроби к общему знаменателю НАДО:

1.Найти НОВЫЙ знаменатель (см @);

2. Найти ДОПОЛНИТЕЛНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ;

3. Выполнить вычисления.

ПРИМЕРЫ:

[pic] [pic] 7 5

  1. [pic] [pic] 1 и 2 ; 7 и 10

[pic] [pic] [pic] 5 7 35 35

взаимно простые

2 [pic]

  1. [pic] [pic] 4 и 3 ; 8 и 3

[pic] [pic] [pic] 5 10 10 10

кратные

5 [pic] [pic] 3

  1. [pic] [pic] 1 и 4 ; 5 и 12

[pic] [pic] 9 15 45 45

[pic]

Разные



ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №8

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.


Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями НАДО:


1.Привести дроби к общему знаменателю (см @);

2. Найти дополнительный множитель в каждую дробь;

3. Сравнить, сложить или вычесть числители!


ПРИМЕРЫ:

[pic] [pic] 7 5

  1. [pic] [pic] [pic] 1 и 2 ; 7 10

[pic] [pic] [pic] [pic] 5 7 35 35

взаимно простые

2 [pic]

  1. [pic] [pic] 4 - 3 ; 8 - 3 = 5

[pic] [pic] [pic] 5 10 10 10 10

кратные

5 [pic] [pic] 3

  1. [pic] [pic] 1 + 4 ; 5 + 12 = 17

[pic] [pic] 9 15 45 45 45

[pic]

Разные

1 [pic] [pic] 4 9 16

4 [pic] [pic] [pic] 1 + 2 ; 14 + 18 = 32 = 16

[pic] [pic] [pic] [pic] 9 14 126 126 126 63

взаимно простые 63

  1. [pic] 1

5 [pic] [pic] [pic] 4 - 3 ; 8 - 3 = 5 = 1

[pic] [pic] [pic] [pic] 15 30 30 30 30 6

6

кратные

  1. [pic] [pic] 4

6 [pic] [pic] [pic] 1 и 4 ; 5 16

[pic] [pic] [pic] 12 15 60 60

[pic]

Разные




ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №9


Вычитание смешанных чисел.

  • 1 – 1 = 7 __ 1

[pic] 7 7 7



Представить


  • 3 - 1 = 2 6 -- 1 = 2 5

[pic] 6 6 6 6



Представить


  • 3 7 -- 2 =(3 - 2) +7 = 1 7

[pic] 9 9 9


Выполнить вычитание


Выполнить вычитание

[pic]

  • 7 -- 37 = 6 8 -- 3 7 = (6 -3) +(8 -- 7 ) = 3 1

[pic] 8 8 8 8 8 8

[pic]

Представить выполнить вычитание



Выполнить вычитание

[pic] 9 5

  • 3 [pic] [pic] 3 --- 1 2 = ( 3 – 1) + ( 3 -- 2 ) = 2 + 27 - 10 = 2 17

[pic] [pic] 5 9 5 9 45 45


Выполнить вычитание взаимно простые

С [pic] РАВНИТЬ: 3 и 2 ; 27 10

[pic] 5 9 45 45

[pic] взаимно простые


представить

[pic] 1

  • 3 [pic] [pic] 3 --- 14 = 2 13 -- 14 = ( 2 – 1)+ (13 - 8 ) =1+5 = 11

[pic] 10 5 10 5 10 10 2

[pic] Кратные 2


210

10


СРАВНИТЬ:

[pic] 3 и 4 ; 3 8

1 [pic] 0 5 10 10




ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №10

Сложение смешанных чисел



СМЕШАННОЕ ЧИСЛО

[pic] [pic] 6 3

8

ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ ДРОБНАЯ ЧАСТЬ



  • 6 3 = 6 + 3

8 8



  • 12 + 2 = ( 1 + 2) +2 = 3 2

[pic] 3 3 3


Выполнить сложение


5 7

  • 3 [pic] [pic] 2 + 3 = 3 + (2 + 3 ) = 3 10 +21 = 3 31

[pic] 7 5 7 5 35 35

[pic] Взаимно простые


Выполнить сложение



[pic]

  • 6 3 + 9 1 = ( 6 + 9) + (3 + 1 ) = 15 + 9 + 4 = 15 13

8 6 8 6 24 24

[pic] [pic]

Выполнить сложение разные






















Умножение дробей ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №11




ПРАВИЛО: Чтобы умножить дробь на дробь надо,

ЧИСЛИТЕЛЬ УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛИТЕЛЬ,

ЗНАМЕНАТЕЛЬ УМНОЖИТЬ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ,

ЕСЛИ МОЖНО СОКРАТИТЬ!



ПРЕДСТАВИТЬ

[pic]

  1. 3 * 5 = 3 * 5 = 3*5 = 15 = 3 3

4 4 1 4*1 4 4



+ 4

  1. 9 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] 3 * 1 5 = 48 * 17 = 68 = 13 3 ; 68 5

5 12 5 * 12 1 5 5 5 13

× [pic] 18

15

[pic] 3

  1. ( 1 )3 = 1 * 1 * 1 = 1

3 3 * 3 * 3 27





















Нахождение дроби от числа ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №12


Д [pic] РОБЬ ОТ ЧИСЛА ДРОБЬ × ЧИСЛО


Примеры:

5

  1. 3 [pic] ОТ 20 = 3 × 20 = 3 × 20 = 15 = 15

[pic] 4 4 1 1 4× 1 1


  1. 2 ОТ 4 = 2 × 4 = 2 × 4 = 8

3 5 3 5 3 × 5 15


  1. 0,7 ОТ 4,2 = 0,7 × 4,2 =2,94

[pic]

  1. [pic] 45 % ОТ 8 = 45 × 8 = 45 × 8 = 360 = 3,60

100 1 100 × 1 100



ЧИТАЕМ!

  1. В книге 140 страниц. Алеша прочитал 4 этой книги.

5

Сколько прочитал страниц Алеша?


ПИШЕМ!

28

4 [pic] ОТ 140 = 4 × 140 = 132 СТРАНИЦЫ

5 [pic] 1 5 × 1










РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН УМНОЖЕНИЯ.ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №13


Распределительное свойство умножения позволяет

УПРОЩАТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ!


(a + b) × c = a × c + b × c

(a - b) × c = a × c - b × c

Примеры:

  1. 2 [pic] [pic] [pic] [pic] + 5 × 21 = 2 × 21 + 5 × 21 = 6 + 5 = 11

[pic] [pic] [pic] [pic] 7 21 7 1 21 1



кратные

[pic]

2 [pic] . 6 1 × 7 = 6 + 1 × 7 =6 × 7 + 1 × 7 =42 +1 =42 1

[pic] [pic] 14 14 14 2 2

кратные


[pic]

3. 2 3 t - 1 7 t = t × 2 3 - 1 7 = 7 × t

4 8 4 8 8


[pic]

  1. 5 3 × 2 + 1 5 × 2 = 2 × 5 3 + 1 5 = 2 × 7 = 2

8 7 8 7 7 8 8 7









ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №14


ЧИСЛА


[pic] [pic] 7 19

  1. П [pic] РОСТЫЕ 7 ; 19

[pic] [pic] 1 1


[pic] [pic] 9 12

  1. С [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] ОСТАВНЫЕ 9 3 ; 12 6

  1. [pic] [pic] [pic] 4

3

2

1

  1. К [pic] РАТНЫЕ 8 и 4; 8 : 4 (ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА!)

16 и 2; 16 : 2 (ДЕЛИТСЯ БЕЗ ОСТАТКА!)


[pic]

[pic] 5

[pic] 5

1 НЕТ

  1. В [pic] [pic] ЗАИМНО ПРОСТЫЕ 9 ОБЩИХ

[pic] 9 3 ДЕЛИТЕЛЕЙ

[pic] 1





  1. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ


  • 8/15 И 15/8 ( 8/15 * 15/8 = 1)

  • ¼ И 4 ( ¼ * 4 = 1)

  • а/в и в/а ( а/в *в/а = 1)

  • 1 1/3 и ¾ ( 4/3 * ¾ = 1)


Произведение чисел равно 1 , следовательно, эти числа

называются ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ.


Деление. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №15

: заменить *

[pic]

  1. 3/8 : 5/7 = 3 * 7 = 3 * 7 = 21

[pic] 8 5 8 *5 40

дробь заменить обратной


: заменить *

[pic]


  1. 7/8 * 2 = 7 * 1 = 7 * 1 = 7

8 2 8 * 2 16

[pic]


дробь заменить обратной


: заменить *

[pic]

3. 5 : 2/5 = 5 * 5 = 25 = 121/2

[pic] 1 2 2

дробь заменить обратной

: заменить *

[pic] 3

  1. [pic] [pic] 4 1/2 : 11/2 = 9 : 3 = 9 * 2 = 3 = 3

[pic] [pic] [pic] 2 2 2 3 1


дробь заменить обратной

: заменить *

[pic]


  1. m : а = m * 1 = m

[pic] k k a k a



дробь заменить обратной


Чтобы дробь разделить на дробь НАДО:

  1. Первую дробь ПЕРЕПИСАТЬ.

  2. Деление заменить умножением.

  3. Для второй дроби записать ОБРАТНУЮ.


ОТНОШЕНИЯ. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №16



Правило: Отношением двух чисел называют частное этих чисел.


Читаем: Найдите отношение: 2 к 5

Пишем: 2 : 5 = 2

5


  • Отношение показывает:

- во сколько раз первое число больше второго;

- какую часть первое число составляет от второго;

-сколько % составляет первое число от второго.


  • Если две величины измерены одной и той же единицей измерения, то отношение их значений называют также

отношением этих величин.


( отношением масс; отношением длин; отношением площадей)


  • Числа 2/3 и 3/2 взаимно-обратные, поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 называют взаимно обратными.



Читаем: Какую часть число а составляет от числа в.


Пишем: а : в или а

в


Читаем: Сколько процентов число а составляет от числа в.


Пишем: а × 100%

в


Задача: В классе 40 учащихся , из них 8 учащихся учатся на «5».


Какую часть составляют отличники? 8 : 40 = 8/40 =1/5


Сколько процентов составляют отличники? 8 × 100% = 20%

40




ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №17

Пропорции.


РАВЕНСТВО ДВУХ ОТНОШЕНИЙ НАЗЫВАЮТ ПРОПОРЦИЕЙ.


Пример: 3,6 : 1,2 = 6,3 : 2,1 или 3,6 = 6,3

1,2 2,1


С помощью букв пропорцию записывают a : в = с : d

крайние члены

[pic]


a [pic] : в = с : d


средние члены


ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ:

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

a × d = с × в

крайние члены [pic]

П [pic] ример: 0,5 : а = 2 : 13

средние члены

а × 2 = 0,5 × 13

2а = 6,5

а= 3,25.


Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.


Верная пропорция 0,5 : 2= а : 13

0,5 : а = 2 : 13

13: а = 2 : 0,5 !!!!


Координаты на прямой. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №18


I.

  • Числа со знаком «+» (+7 или 7; 2/3= + 2/3; +6,3= 6,3) называются

положительными

  • Числа со знаком «-» ( - 7; - 2/3; - 6,3) называются

отрицательными

  1. –нуль

II.

КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ

А В

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

-3 0 1 2,5

  • Прямая

  • Начало отсчета (нуль)

  • Единичный отрезок

  • Положительное направление


Число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой точки.


А( -3); В (2,5); О (0)

III.


ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПО КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ


[pic] ВПРАВО НА 3 ЕД.ОТ. «+»

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] -4


[pic]

ВЛЕВО НА 4 ЕД. ОТ. «-« 3











Противоположные числа. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №19

  1. [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] -5 0


+ 5

Числа, отличающиеся только ЗНАКОМ, называются

ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ.


ПРИМЕРЫ: 7 и -7; -2,7 и 2,7 ; -3/4 и 3/4


[pic] [pic]

0

[pic] Число а -а противоположное

[pic] -N 0 N

ЦЕЛЫЕ (z)


  1. МОДУЛЬ ЧИСЛА


М(-5) 0 С(3)

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]


5 единичных отрезков 3 един. отрезков


РАССТОЯНИЕ от начала координат до точки –МОДУЛЬ числа.

[pic] [pic]

О [pic] [pic] [pic] [pic] бозначение: а или - а

П [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] римеры: 7 = 7; - 7 = 7 ; 0 = 0.



[pic] [pic] ЧИСЛА = ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО





Сравнение чисел. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №20

-5 -2 0 2 4

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ НУЛЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ


[pic]

  • П [pic] [pic] ОЛОЖ. ЧИСЛА НУЛЬ;

  • О [pic] ТРИЦ. ЧИСЛА НУЛЬ;

  • П [pic] [pic] ОЛОЖ. ЧИСЛА ОТРИЦ. ЧИСЛА;


Из двух отрицательных чисел БОЛЬШЕ то,

[pic] у которого МОДУЛЬ МЕНЬШЕ.

[pic] Из двух отрицательных чисел БОЛЬШЕ то,

которое БЛИЖЕ к НУЛЮ.


П [pic] [pic] [pic] римеры: 1. 9 0;

[pic] 2. 0 -8 ;

[pic] [pic] 3. -15 2;

4 [pic] [pic] [pic] [pic] . - 7 * - 9;

-7 - 9

[pic] [pic]

[pic] [pic] [pic] +7 +9 - 7 - 9.






Раскрытие скобок ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №21

+ [pic] ( -а +в –с) = -а +в -с

Скобки опускаю, знаки в скобках НЕ меняю!


- [pic] ( -а +в –с) = +а - в + с

Скобки опускаю, знаки в скобках МЕНЯЮ!


РЗУ : а ( в – с) = ав - ас

а ( в + с) = ав + ас

Чтобы число умножить на скобку надо, это число умножить на каждое слагаемое!


Примеры:

  1. 3 [pic] ,5 - (2,7 – 4,2) = 3,5 – 2,7 + 4,2 =……….


Скобки опускаю, знаки в скобках МЕНЯЮ!


  1. – [pic] [pic] 2с + ( 4с – 1/3 с ) + с = -2с +4с - 1/3с + с =………

Скобки опускаю, знаки в скобках НЕ меняю!

  1. 0,6 (х +7) – 0,5(х -3) = 0,6х + 4,2 -0,5х +1,5 =……..

Чтобы число умножить на скобку надо, это число умножить на каждое слагаемое!





ПОДСКАЗКА ПО РАБОТЕ С ЧИСЛАМИ. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ №22




  1. ОТРИЦАТЕЛЬ НЫЕ ЧИСЛА



СЛОЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ



1.ПОСТАВЬ ЗНАК «МИНУС» 1.ПОСТАВЬ ЗНАК «ПЛЮС»



2.ВЫПОЛНИ СЛОЖЕНИЕ 2.ВЫПОЛНИ УМНОЖЕНИЕ ИЛИ ДЕЛЕНИЕ



- 8 -17 = - (8+17) = -25 -18× (-20) = 360


-18÷ (-2) = 9




II) ЧИСЛА С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ



СЛОЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ


1. ПОСТАВЬ ЗНАК БОЛЬШЕГО…… 1. ПОСТАВЬ ЗНАК МИНУС

2.ВЫПОЛНИ ВЫЧИТАНИЕ 2. ВЫПОЛНИ УМНОЖЕНИЕ ИЛИ

ДЕЛЕНИЕ


-14 + 89 = + (89-14)= 75 - 5* 36 = - (5* 36)= - 180


67 - 124= - (124 - 67)= - 57 45 : (-9)= - (45:9)= - 5
Читать полностью »