Зачет по геометрии
БИЛЕТ 1
1. Сформулируйте основные аксиомы стереометрии, некоторые следствия из них и докажите одно из следствий.
2. Решите задачу:
Треугольники АВС и DСЕ лежат в разных плоскостях и имеют общую вершину С, АВ // DЕ.
Постройте линию пересечения плоскостей АВС и DСЕ. Поясните.
Каково взаимное положение прямых АВ и DF, где F - лежит на стороне CE? Чему равен угол между этими прямыми, если угол FED = 60° и угол DFE = 100°? Поясните.
БИЛЕТ 2
1. Какие прямые в пространстве называются параллельными? Сформулируйте и докажите теорему о параллельных прямых.
2. Решите задачу:
Точки А, С, Е и Р лежат в плоскости а, а точка В α. Постройте точку пересечения прямой ЕР с плоскостью АВС. Поясните.
БИЛЕТ 3
1. Сформулируйте лемму о параллельных прямых. Сформулируйте и докажите теорему о трех параллельных прямых.
2. Решите задачу:
Плоскости α и β пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает прямую т. Каково возможное взаимное положение прямой а и плоскости β? Сделайте рисунок и поясните.
БИЛЕТ 4
1. Какие прямая и плоскость называются параллельными? Сформулируйте и докажите признак параллельности прямой и плоскости. Какие следствия из этой теоремы вы помните?
[pic] 2. Решите задачу:
На рисунке точки Е и F лежат в плоскости β,
а точка М - в плоскости α. Постройте линии пересечения плоскости ЕFМ плоскостями α и β. Поясните.
БИЛЕТ 5
1. Какие прямые называются скрещивающимися? Сформулируйте и докажите признак скрещивающихся прямых.
2. Решите задачу:
Треугольники АВС и АDС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Е лежит на стороне АВ, F - на стороне ВС, причем ЕF параллельна плоскости АDС. Р - середина АD, а К- середина DC.
а) Докажите, что ЕР // РК.
б) Каково взаимное положение прямых РК и АВ? Чему равен угол
между этими прямыми, если АВС = 40° и ВСА = 80°?
БИЛЕТ 6
1. Какие лучи называются сонаправленными? Сформулируйте и докажите теорему об углах с сонаправленными сторонами.
2. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А1, В1 и С1, а другую – в точках А2, В2, и С2. Докажите , что треугольники А1В1С1 и А2В2С2 подобны.
БИЛЕТ 7
1. Какие плоскости называются параллельными? Сформулируйте и докажите признак параллельности плоскостей. Какие свойства параллельных плоскостей вы знаете?
2. Р [pic] ешите задачу:
На рисунке точки А и В лежат в плоскости α, а С - в плоскости β. Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостями α и β. Поясните.
