М [pic] ОУ Дровянинская СОШ
Разработка урока по алгебре в 9 классе
Тема : « Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п –го члена.»
Разработал и провел: учитель математики Голубев А.А.
(1 квалификационная категория)
Дровяная, 2010 г.
Тип урока: урок – лекция.
Цели и задачи урока
Образовательные – ввести способы задания последовательностей; определения арифметической и геометрической прогрессий; вывести формулы п-го члена арифметической и геометрической прогрессий.
Развивающие – развивать логическое мышление, память, внимание, монологическую речь, умение выделять главное; расширить кругозор историческими сведениями;
Воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности; развивать эстетический вкус.
Оборудование
интерактивная доска; 2) обычная школьная доска; 3) компьютерные презентации; 4) карточки со справочным материалом; 5) диск с записью классической музыки
По ходу урока используются презентации по соответствующему блоку.
I этап. Вводно-мотивационный.
Это было в 1786 году. Шел урок математики. Ребятам было по 9 лет. Учитель, занятый проверкой работ другого класса, задал ребятам следующую задачу ( надеясь на неопределенное время их занять): «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно».
Каково же было удивление учителя, когда через минуту мальчик по имени Карл воскликнул: « Я уже решил!». И ответ был верен. Этот мальчик Карл в дальнейшем стал великим математиком. Это был Карл Гаусс (1777 – 1885 г.г.) его решение было очень просто и оригинально. (Слайд с фотографией К. Гаусса)
Но, думаю, что через 1 – 2 урока вы сами найдете способ этого решения!
I I этап. Подведение под понятие.
1. Рассмотрим записанные в порядке возрастая натуральные числа. Говорят – это последовательность чисел или числовая последовательность. Каждый член этой последовательности имеет свой порядковый номер, указывающий на место числа в ряду чисел. Обозначим эту последовательность через (ап). Тогда а1 = 1, а2 = 2 и т.д. чем замечательна эта последовательность? ( сам член равен номеру, т.е. ап = п).
2. Рассмотрим еще одну последовательность – последовательность правильных дробей с числителем 1, записанных в порядке убывания: 1/2, 1/3, 1/4 ….
Как выразить любой член этой последовательности через его номер? ( Знаменатель на 1 больше его номера, т.е. ап = 1/(п +1)).
Сейчас мы рассмотрели один из способов задания последовательностей – формулой п –го члена.
3. Рассмотрим последовательность, в которой первый член равен 3, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, т.е. а1 = 3, ап+1 = (ап)2. с помощью этой формулы можно второй член найти по первому, третий – по второму и т.д. Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие – называют реккурентной ( от латинского слова RECURRO – возвращаться).
III . Блок №1
Понятия арифметической и геометрической прогрессии.
1. Перед вами 5 последовательностей. Ваша задача – продолжить их, дописав еще по 3 члена (выяснив, конечно, по какому правилу (закону) каждая из них составлена).
1) 6; 8; 10; ………
2) 25; 214 17; …….
3) 3; 6; 12; ……
4) -12; -9; -6; …..
5) 4; 4 1/3; 4 2/3; …… (больше на 1/3)
- Назовите последовательность, которая коренным образом отличается от всех остальных! (№3)
- Постарайтесь сформулировать общий закон для всех 4 последовательностей.
- Последовательности такого вида называют арифметическими прогрессиями.
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенного с одним и тем же числом. Число, с которым слаживают, называют разностью.
Все понятно? Вопросов нет? Тогда у меня к вам будет несколько:
1)почему «прогрессия»? (прогресс – движение вперед)
2) почему «арифметическая»? (а попробуйте выразить а2 через а1 и а3 и увидите, что он является средним арифметическим этих чисел).
3) почему «разность»? (находится как разность следующего и предыдущего).
- А по какому закону записана вторая последовательность? ( Каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.)
- Чего-то, по моему, не хватает в этом определении? ( Последовательность чисел, отличных от нуля).
- Последовательности такого типа называют геометрическими прогрессиями.
Попробуйте самостоятельно сформулировать определение геометрической прогрессии, используя в качестве образца определение арифметической прогрессии.
Физкультминутка
(Выключается интерактивная доска. Звучит негромкая классическая музыка. Проводится комплекс упражнений для глаз, кистей рук и т.д., согласно методических рекомендаций школьного фельдшера)
IV. Блок №2
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го члена
Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия
1. определение ( из учебника) 1. определение ( из учебника)
ап+1 = ап + d вп+1 = вп *q
отсюда,
d = ап+1 - ап q = вп+1 / вп
- Какой способ задания последовательностей описан в определениях? (реккурентный)
Задача: в арифметической прогрессии первый член равен -7,5, а разность равна 0,8. найти двадцатый член прогрессии.
- Возникла проблема: мы пока умеем находить член прогрессии через предыдущий!
Житейская мудрость гласит: безвыходных ситуаций не бывает! Существует формула п –го члена. Давайте ее выведем.
По определению арифметической прогрессии имеем: а2 = а1 + d ; а3 = а2 + d = а1 + 2d ; тогда а4 = ……. И т.д. ап = а1 + d(п – 1).
Тогда наша задача решается легко. (заполняем таблицу – левую часть, внося туда формулу).
Для вывода формулы п –го члена мы использовали метод математической индукции: на основе частных утверждений делают некоторое предположение ( гипотезу) о справедливости какого-либо общего утверждения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда – нет. Переход от частных утверждений к общим называют индукцией.
Аналогично выводится формула п-го члена геометрической прогрессии.
V. Обобщающий этап
Итак, мы с вами рассмотрели ……….
VI. этап подачи домашнего задания
Мы с вами не полностью заполнили правую часть таблицы. Это – ваше домашнее задание. ( кто сможет – без учебника.)
Спасибо за урок, дети!
