Поурочное планирование. Алгебра 8 класс.

У р о к 1
Понятие рациональной дроби

Цели: ввести понятия «дробное выражение» и «рациональная дробь»; формировать умение находить значения рациональных дробей при заданных значениях переменных.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Назовите дробь, соответствующую данному частному:

а) 3 : 7

б) 18 : 5

в) 20 : 30

г) 4 : 12

д) –2 : 9

е) 3 : (–8)

ж) –5 : (–11)

з) –2 : (–4)

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту учебника, обращая внимание на усвоение учащимися основных понятий. Для контроля предложить учащимся задание на распознавание различных рациональных выражений.

З а д а н и е. Какие из следующих рациональных выражений являются целыми, а какие – дробными?

а) [pic] ; д) [pic] ;

б) [pic] ; е) [pic] ;

в) [pic] ; ж) [pic] ;

г) [pic] ; з) [pic] .

– Какие из дробных выражений являются рациональными дробями?

З а м е ч а н и е. Вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в рациональное выражение, целесообразно подробно изучить на следующем уроке.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 1 (устно).

2. № 3, № 4, № 5 (а).

При вычислениях необходимо следить, чтобы учащиеся грамотно и подробно выполняли все записи.

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:

№ 5 (а).

[pic] ; а = –3, b = –1.

[pic] 1,5.

3. № 7 (а), № 8.

В случаях затруднения учащихся при выполнении этих заданий нужно напомнить им, что для выражения переменной из формулы достаточно рассматривать эту переменную как неизвестную величину.

4. № 9, № 16.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое выражение называется целым? дробным?

– Как называются целые и дробные выражения?

– Что такое рациональная дробь?

– Всякая ли рациональная дробь является дробным выражением? Приведите примеры.

– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Домашнее задание: № 2, № 5 (б), № 6, № 7 (б).

У р о к 2
Допустимые значения переменных,
входящих в дробное выражение

Цели: формировать умение находить допустимые значения переменных, входящих в дробные выражения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Подставьте вместо * какое-нибудь число и назовите полученную дробь:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала происходит в т р и э т а п а:

1. Актуализация знаний учащихся.

2. Рассмотрение вопроса о том, всегда ли рациональная дробь имеет смысл.

3. Вывод правила нахождения допустимых значений переменных, входящих в рациональную дробь.

При актуализации знаний учащимся можно задать следующие
в о п р о с ы:

– Какую дробь называют рациональной?

– Всякая ли дробь является дробным выражением?

– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Для выяснения вопроса о допустимых значениях переменных, входящих в рациональную дробь, можно предложить учащимся выполнить задание.

З а д а н и е. Найдите значение дроби при указанных значениях переменной:

[pic] при х = 4; 0; 1.

Выполняя данное задание, учащиеся понимают, что при х = 1 невозможно найти значение дроби. Это позволяет им сделать следующий в ы в о д: в рациональную дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль (этот вывод должен быть сформулирован и произнесён вслух самими учащимися).

После этого учитель сообщает учащимися, что все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Далее ставится вопрос: как находить допустимые значения переменных? При поиске ответа на этот вопрос учащиеся должны сформулировать р я д в о п р о с о в:

1) Если выражение является целым, то все значения входящих в него переменных будут допустимыми.

2) Чтобы найти допустимые значения переменных дробного выражения, нужно проверить, при каких значениях знаменатель обращается в нуль. Найденные числа не будут являться допустимыми значениями.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 10, № 11.

Ответ на вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в дробное выражение, может звучать по-разному. Например, рассматривая рациональную дробь [pic] , можно сказать, что допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме х = 4, или что в допустимые значения переменной не входит число 4, то есть х ≠ 4.

И та и другая формулировки являются верными, главное – следить за правильностью оформления.

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:

№ 11.

г) [pic]

4х (х + 1) = 0

4х = 0 или

х = 0

х + 1 = 0

х = –1

О т в е т: х ≠ 0 и х ≠ 1 (или все числа, кроме 0 и –1).

2. № 13.

3. № 14 (а, в), № 15.

При выполнении этих заданий следует обратить внимание учащихся на необходимость учёта допустимых значений переменных.

№ 15.

г) [pic]

х (х + 3) = 0

х = 0 или

2х + 6 ≠ 0

х = –3 х ≠ –3

О т в е т: х = 0.

4. № 17.

Следить за обоснованием всех рассуждений.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 18 и № 20.

№ 18.

Р е ш е н и е

а) [pic] .

Из всех дробей с одинаковым положительным числителем большей будет та, у которой знаменатель является наименьшим. То есть необходимо найти, при каком значении а выражение а² + 5 принимает наименьшее значение.

Поскольку выражение а² не может быть отрицательным ни при каких значениях а, то выражение а² + 5 будет принимать наименьшее значение при а = 0.

О т в е т: а = 0.

б) [pic] .

Рассуждая аналогично, получим, что необходимо найти то значение а, при котором выражение (а – 3)² + 1 принимает наименьшее значение.

О т в е т: а = 3.

№ 20.

Р е ш е н и е

[pic] .

Для ответа на вопрос предварительно нужно преобразовать выражение, стоящее в знаменателе дроби.

[pic] .

Дробь будет принимать наибольшее значение, если выражение (2х +
+ у)² + 9 принимает наименьшее значение. Поскольку (2х + у)² не может принимать отрицательные значения, то наименьшее значение выражения (2х + у)² + 9 равно 9.

Тогда значение исходной дроби равно [pic] = 2.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие значения называются допустимыми значениями переменных, входящих в выражение?

– Каковы допустимые значения переменных целого выражения?

– Как найти допустимые значения переменных дробного выражения?

– Существуют ли рациональные дроби, для которых все значения переменных являются допустимыми? Приведите примеры таких дробей.

Домашнее задание: № 12, № 14 (б, г), № 212.

У р о к 3
основное свойство дроби

Цели: вывести основное свойство дроби, формировать умение его применять.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Найдите значение дроби [pic] при а = 12, с = –2.

2. Найдите значение переменной, при котором значение дроби [pic] равно нулю. Сделайте проверку.

3. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

В а р и а н т 2

1. Найдите значение дроби [pic] при х = –4, у = –16.

2. Найдите значение переменной, при котором значение дроби [pic] равно нулю. Сделайте проверку.

3. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

В о п р о с ы и з а д а н и я учащимся:

1. Что значит сократить дробь?

– Сократим дробь [pic] . Для этого разделим числитель и знаменатель на их общий множитель.

[pic] .

– Сократите дроби: [pic] .

2. Как привести дробь к новому знаменателю?

– Приведём дробь [pic] к знаменателю 28. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби [pic] на 4:

[pic] .

– Приведите дроби [pic] к знаменателю 60.

3. Каким свойством мы воспользовались при сокращении дробей и приведении дробей к новому знаменателю? Сформулируйте основное свойство дроби.

После этого можно перейти к буквенной записи основного свойства дроби, которая выносится на доску.

Далее необходимо выделить д в а т и п а з а д а н и й, при выполнении которых применяется основное свойство дроби:

– приведение дробей к новому знаменателю;

– сокращение дробей.:

1) пример 1 из учебника (приведение дроби к новому знаменателю);

2) [pic] (сокращение дроби).

IV. Формирование умений и навыков.

1. Умножьте числитель и знаменатель дроби на указанное число.

а) [pic] на 5; б) [pic] на 2; в) [pic] на 6.

2. Разделите числитель и знаменатель дроби на указанное число:

а) [pic] на 2; б) [pic] на 3; в) [pic] на 5.

3. Заполните пустые места так, чтобы равенство было верным:

1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ;

4) [pic] ; 5) [pic] ; 6) [pic] .

4. № 23, № 25(а, в, д), № 26, № 28 (а, б).

5. № 47.

V. Итоги урока.В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чём состоит основное свойство рациональной дроби?

– Что такое тождество?

– Когда применяется основное свойство дроби?

Домашнее задание: № 24, № 25 (б, г, е), № 28 (в, г)

У р о к 4
Сокращение дробей

Цели: формировать умение применять основное свойство дроби при сокращении дробей.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Для успешной работы учащихся на уроке им необходимо не только использовать основное свойство дроби, но и применять ряд других знаний и умений, полученных и сформированных ранее.

Учащиеся должны помнить формулы сокращенного умножения и основные приёмы разложения многочлена на множители. Поэтому начать необходимо с актуализации знаний и умений.

З а д а н и я и в о п р о с ы учащимся:

1. Какие существуют способы разложения многочлена на множители?

2. В чём состоит каждый из этих способов?

3. Разложите на множители многочлен:

а) х²у – 2х; д) х² + 6х + 9;

б) 3a²b – 9ab²; е) а² – 10а + 25;

в) т² – 4п; ж) ax + bx + ay + by.

г) а³ – а; з) ab – b + 3a – 3.

После проведения этой работы следует разобрать пример 3 из учебника и сделать в ы в о д: чтобы сократить рациональную дробь, нужно сначала разложить на множители её числитель и знаменатель.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 29, № 30 (а, в, д), № 32 (а, в).

2. № 31, № 34.

3. № 35 (а, в).

Р е ш е н и е

а) [pic] .

в) [pic] .

Д о п о л н и т е л ь н о можно выполнить № 36 (а).

Р е ш е н и е

[pic]

Областью определения этой функции является множество всех чисел, кроме х = –5. Сократим дробь, задающую функцию:

[pic] .

Графиком функции [pic] является прямая, а графиком функции [pic] – та же прямая, но с «выколотой» точкой (–5; –5).

[pic]

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чём состоит основное свойство дроби?

– Когда применяется основное свойство дроби?

– Что нужно сделать, чтобы сократить рациональную дробь?

– Какие существуют способы разложения многочлена на множители?

Домашнее задание: № 30 (б, г, е), № 32 (б), № 35 (б, г)

У р о к 5
Следствие из основного свойства дроби

Цели: продолжить формирование умения сокращать дроби; вывести следствие из основного свойства дроби и формировать умение его применять при сокращении дробей.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] .

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Приведите дроби к указанному знаменателю:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] .

В а р и а н т 2

1. Приведите дроби к указанному знаменателю:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] .

IV. Объяснение нового материала.

Специальное внимание на этом уроке необходимо уделить следствию из основного свойства дроби.

При объяснении материала следует провести аналогию с обыкновенными дробями. Для этого целесообразно предложить учащимся выполнить з а д а н и е: среди данных дробей найти такие, которые равны [pic] ; ответ объяснить.

[pic] .

Здесь же следует вспомнить, что «минус» перед дробью можно записывать как перед числителем, так и перед знаменателем. Для этого дать учащимся такое задание: среди данных дробей найти такие, которые равны [pic] ; ответ объяснить.

[pic] .

После выполнения этих заданий можно перейти к буквенной записи следствия из основного свойства дроби:

[pic]

Необходимо, чтобы учащиеся знали и осознавали формулировку этого следствия. В случае затруднений можно продемонстрировать практическое применение следствия и дать его более прикладную к задачам формулировку:

1. «Минус» перед дробью можно вносить либо в числитель, либо в знаменатель дроби.

П р и м е р:

[pic] .

2. «Минус» из числителя или знаменателя дроби можно выносить за знак дроби.

П р и м е р:

[pic] .

V. Формирование умений и навыков.

1. № 38, № 39.

2. № 40 (а, в, д, ж), № 41, № 44 (а, в).

При выполнении № 44 учащиеся могут допустить ошибку, вынося за скобки общий множитель. Поэтому следует привести подробную запись преобразований:

а) [pic] .

в) [pic] .

3. № 43.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чём состоит основное свойство дроби?

– Сформулируйте следствие из основного свойства дроби.

– Как применяется это следствие при преобразовании дробей?

Домашнее задание: № 40 (б, г, е, з), № 44 (б, г), № 42.

У р о к 6
Правило сложения и вычитания дробей
с одинаковыми знаменателями

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Устная работа дает возможность актуализировать знания учащихся о сложении и вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

После этой работы следует сообщить учащимся, что рациональные дроби с одинаковыми знаменателями складываются и вычитаются по тем же правилам, которые учащиеся способны сформулировать самостоятельно.

После формулировки правил на доску выносится их буквенная запись:

[pic] и [pic] .

Далее следует рассмотреть примеры 1–3 из учебника. Вопрос о сложении и вычитании дробей с противоположными знаменателями целесообразно рассмотреть на следующем уроке.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 53, № 55, № 57.

При вычитании дробей учащиеся могут допускать распространенную ошибку: не учитывать, что «минус» перед дробью вносится в числитель, и неправильно расставлять знаки.

Поэтому важно следить, чтобы первое время учащиеся вели подробные записи.

№ 57.

в) [pic]

= [pic] .

2. № 58 (а), № 59 (а).

3. № 60.

Р е ш е н и е

[pic]

= [pic] .

При а = –0,8 дробь [pic] равна –4, то есть данное в условии значение b является лишним.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

– Сформулируйте правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Домашнее задание: № 54, № 56, № 59 (б).

У р о к 7
Сложение и вычитание дробей
с противоположными знаменателями

Цели: формировать умение складывать и вычитать рациональные дроби с противоположными знаменателями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; д) [pic] ;

б) [pic] ; е) [pic] ;

в) [pic] ; ж) [pic] ;

г) [pic] ; з) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили следствие из основного свойства дроби, и предложить им выполнить задание, в котором нужно поменять знак числителя или знаменателя рациональной дроби.

а) [pic] ; в) [pic] ;

б) [pic] ; г) [pic] .

Затем продемонстрировать пример 4 из учебника и сделать вывод о том, как сложить или вычесть две рациональные дроби с противоположными знаменателями.

IV. Формирование умений и навыков.

1. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) [pic] ; в) [pic] ;

б) [pic] ; г) [pic] .

2. № 61, № 63.

3. Преобразуйте выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

4. № 66.

5. № 68.

Р е ш е н и е

[pic] .

Полученное выражение принимает натуральные значения, если дробь [pic] является натуральным числом, то есть когда 6 делится на п. Значит, п = 1; 2; 3; 6.

О т в е т: 1; 2; 3; 6.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правило сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

– Как выполнить сложение или вычитание рациональных дробей, знаменатели которых являются противоположными выражениями?

Домашнее задание: № 62, № 64

У р о к 8
Правило сложения и вычитания дробей
с разными знаменателями

Цели: формировать умение приводить рациональные дроби к общему знаменателю и выполнять их сложение и вычитание.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Выполнить сложение и вычитание дробей:

а) [pic] ; г) [pic] ;

б) [pic] ; д) [pic] .

в) [pic] ;

В а р и а н т 2

Выполнить сложение и вычитание дробей:

а) [pic] ; г) [pic] ;

б) [pic] ; д) [pic] .

в) [pic] .

III. Устная работа.

– Найдите наименьший общий знаменатель дробей:

а) [pic] и [pic] ; е) [pic] и [pic] ;

б) [pic] и [pic] ; ж) [pic] и [pic] ;

в) [pic] и [pic] ; з) [pic] и [pic] ;

г) [pic] и [pic] ; и) [pic] и 0,1;

д) [pic] и [pic] ; к) [pic] и [pic] .

IV. Объяснение нового материала.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю зачастую вызывает у учащихся трудности. При объяснении этого вопроса можно использовать аналогию с обыкновенными дробями.

В процессе проведения устной работы у учащихся была возможность вспомнить, как найти общий знаменатель обыкновенных дробей. После устной работы следует выделить три случая, которые возникают при нахождении общего знаменателя, и привести аналогичные примеры с алгебраическими дробями.

С л у ч а й 1. Знаменатели дробей не имеют общих делителей.

В этом случае наименьший общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей.

О б ы к н о в е н н ы е д р о б и:

[pic] .

Р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и:

1) [pic] .

2) [pic]

= [pic] .

С л у ч а й 2. Знаменатель одной из дробей является делителем знаменателя второй дроби.

В этом случае знаменатель, который делится на другой, является наименьшим общим знаменателем дробей.

О б ы к н о в е н н ы е д р о б и:

[pic] .

Р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и:

1) [pic] ;

2) [pic] .

С л у ч а й 3. Знаменатели дробей имеют общие делители, но знаменатель одной из дробей не является делителем знаменателя другой дроби.

В этом случае наименьший знаменатель состоит из нескольких множителей: общего делителя дробей и результатов деления на этот делитель.

О б ы к н о в е н н ы е д р о б и:

[pic] .

Р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и:

1) [pic] ;

2) [pic]

= [pic] .

V. Формирование умений и навыков.

1. № 73, № 75, № 76.

2. № 78 (а, г), № 79 (б, г).

3. № 84 (а, в, д), № 85 (а, в).

При выполнении № 85 учащиеся впервые будут складывать и вычитать дроби, в которых для нахождения общего знаменателя необходимо сначала разложить на множители знаменатели исходных дробей. Важно, чтобы учащиеся осознавали это и использовали в дальнейшем при выполнении действий с рациональными дробями.

№ 85.

в) [pic]

= [pic] .

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как найти общий знаменатель дробей, если их знаменатели не имеют общих делителей?

– Как найти общий знаменатель дробей, если знаменатель одной дроби является делителем знаменателя другой дроби?

– Как найти общий знаменатель дробей, знаменатели которых имеют общий делитель, не совпадающий ни с одним из знаменателей этих дробей?

Домашнее задание: № 74,№ 84 (б, г), № 85 (б, г).

У р о к 9
Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями

Цели: продолжить формирование умения складывать и вычитать рациональные дроби с разными знаменателями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите общий знаменатель дробей:

а) [pic] и [pic] ; е) [pic] и [pic] ;

б) [pic] и [pic] ; ж) [pic] и [pic] ;

в) [pic] и [pic] ; з) [pic] и [pic] ;

г) [pic] и [pic] ; и) [pic] и [pic] ;

д) [pic] и [pic] ; к) [pic] и [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

1. № 86 (а, в), № 87, № 88.

2. № 92, № 93.

3. И г р а «Дешифровщик».

Учитель. Помимо христианства и ислама, существует еще такая религия, как буддизм. Эта религия возникла в Древней Индии в VI–V веках до нашей эры. Сейчас буддизм распространен в Азии, его приверженцами являются несколько сотен миллионов человек.

В отличие от других культов, священнослужителями здесь могут стать и мужчины, и женщины. Если вы верно упростите выражения и замените результаты соответствующими буквами, то узнаете, как называют буддийского священнослужителя.

1) [pic] .

Б. [pic] ; М. [pic] ;

Д. [pic] ; Н. [pic] .

2) [pic] .

А. [pic] ; О. [pic] ;

И. [pic] ; У. [pic] .

3) [pic] .

Д. [pic] ; М. [pic] ;

Н. [pic] ; Р. [pic] .

4) [pic] .

А. [pic] ; З. [pic] ;

И. [pic] ; К. [pic] .

5) [pic] .

А. [pic] ; О. [pic] ;

И. [pic] ; У. [pic] .

О т в е т: БОНЗА.

Некоторым сильным в учебе учащимся можно дать задание по карточкам.

К а р т о ч к а № 1

1. Упростить выражение:

[pic] .

2. Вычислить значение выражения при х = 3,1:

[pic] .

К а р т о ч к а № 2

1. Упростить выражение:

[pic] .

2. Вычислить значение выражения при а = 4,5:

[pic] .

Р е ш е н и е з а д а н и й карточки № 1

1) [pic]

[pic]

[pic] .

2) [pic]

[pic] .

При х = 3,1: [pic] = 10.

Р е ш е н и е з а д а н и й карточки № 2

1) [pic]

[pic]

[pic] .

2) [pic]

[pic]

[pic] .

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Упростить выражение:

а) [pic] ; г) [pic] ;

б) [pic] ; д) [pic] .

в) [pic] ;

В а р и а н т 2

Упростить выражение:

а) [pic] ; г) [pic] ;

б) [pic] ; д) [pic] .

в) [pic] ;

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как найти общий знаменатель двух рациональных дробей?

– Как найти общий знаменатель трёх и более рациональных дробей?

– Как выполнить сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями?

Домашнее задание: № 86 (б, г), № 89, № 94.

У р о к 10
Сложение и вычитание рациональной дроби
и целого выражения

Цели: формировать умение выполнять сложение и вычитание рациональных дробей и целых выражений; продолжить формирование умения преобразовывать рациональные дроби.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; е) [pic] ;

б) [pic] ; ж) [pic] ;

в) [pic] ; з) [pic] ;

г) [pic] ; и) [pic] ;

д) [pic] ; к) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

При объяснении целесообразно использовать аналогию с числовыми выражениями.

Вначале предложить учащимся выполнить сложение:

2 + [pic]

Им известно, что любое целое число может быть представлено в виде дроби со знаменателем 1.

Поэтому [pic] . Очевидно, что общим знаменателем этих дробей будет b.

Имеем: [pic] .

Заметим, что принцип сложения и вычитания рациональной дроби и целого числа учащиеся могли увидеть и при выполнении устной работы.

Далее обратить внимание учащихся, что любой многочлен может быть также представлен в виде рациональной дроби со знаменателем 1. В этом и состоит основная идея сложения и вычитания рациональных дробей и целых выражений.

П р и м е р 1.

[pic] .

П р и м е р 2.

[pic]

[pic] .

После приведения этих примеров предложить учащимся сделать вывод о том, как складываются (вычитаются) рациональные дроби с целыми выражениями.

IV. Формирование умений и навыков.

Все з а д а н и я можно разбить на д в е г р у п п ы:

– задания на сложение (вычитание) рациональных дробей с целыми выражениями;

– задания на различные более сложные преобразования дробно-рациональных выражений.

1-я г р у п п а.

1. № 80, № 82.

2. № 90 (а, в, д).

2-я г р у п п а.

1. № 96 (б, г), № 97 (а, в), № 98 (а).

2. № 91 (а).

Р е ш е н и е

[pic]

[pic] .

3. № 99 (а).

Р е ш е н и е

Чтобы доказать тождественное равенство данных выражений, нужно преобразовать их.

[pic] ;

[pic] .

Значит, данные выражения тождественно равны.

4. Запишите данные дроби в виде суммы целого выражения и дроби.

а) [pic] ; б) [pic] .

Р е ш е н и е

а) [pic] .

б) [pic]

[pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как ищется общий знаменатель рациональных дробей?

– Как выполнить сложение или вычитание двух рациональных дробей с разными знаменателями?

– Как выполнить сложение или вычитание рациональной дроби и целого выражения?

Домашнее задание: п.4; № 83, № 90 (б, г), № 91 (б)

У р о к 11
Контрольная работа № 1

В а р и а н т 1

1. Сократить дробь:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Представить в виде дроби:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

3. Найти значение выражения:

[pic] при а = 0,2; b = –5.

4. Упростить выражение:

[pic] .

5. При каких целых значениях а является целым числом значение выражения [pic] ?

В а р и а н т 2

1. Сократить дробь:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Представить в виде дроби:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

3. Найти значение выражения:

[pic] при х = –8, у = 0,1.

4. Упростить выражение:

[pic] .

5. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения [pic] ?

В а р и а н т 3

1. Сократить дробь:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Представить в виде дроби:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

3. Найти значение выражения:

[pic] при b = 0,5; c = –14.

4. Упростить выражение:

[pic] .

5. При каких целых значениях р является целым числом значение выражения [pic] ?

В а р и а н т 4

1. Сократить дробь:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Представить в виде дроби:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

3. Найти значение выражения:

[pic] при р = –0,35, q = 28.

4. Упростить выражение:

[pic] .

5. При каких целых значениях х является целым числом значение выражения [pic] ?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

2. а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

3. [pic] ,

при а = 0,2, b = –5: [pic] = 25.

4. [pic]

[pic]

[pic] .

5. [pic] .

Чтобы исходное выражение принимало целые значения, нужно, чтобы [pic] было целым числом.

О т в е т: ±1; ±5.

В а р и а н т 2

1. а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

2. а) [pic]

[pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

3. [pic] ,

при х = –8, у = 0,1: [pic] = –40.

4. [pic]

[pic]

[pic] .

5. [pic] .

О т в е т: ±1; ±5.

В а р и а н т 3

1. а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

2. а) [pic]

[pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

3. [pic] ,

при b = 0,5; c = –14: [pic] = 4.

4. [pic]

[pic]

[pic] .

5. [pic]

[pic] .

О т в е т: ±1; ±3.

В а р и а н т 4

1. а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

2. а) [pic]

[pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

3. [pic] ,

при р = –0,35, q = 28: [pic] = 20.

4. [pic]

[pic]

[pic] .

5. [pic] .

О т в е т: ±1; ±7.

У р о к 12
Правила умножения рациональных дробей
и возведения их в степень

Цель: формировать умение умножать рациональные дроби и возводить их в степень.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] ;

е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] ; и) [pic] ; к) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить, используя аналогию с обыкновенными дробями.

В результате учащиеся должны проговаривать правила умножения рациональных дробей и возведения их в степень. Эти правила выносятся на доску.

[pic]

После этого необходимо привести несколько примеров из учебника, показывающих применение данных правил.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 108, № 109, № 111 (а, г).

Важно следить за грамотностью и рациональностью выполнения этих заданий. Необходимо объяснить учащимся, что для простоты преобразования дробных выражений желательно в буквенном выражении на первое место ставить коэффициент и располагать буквы, содержащиеся в числителе и знаменателе дроби, в соответствующем порядке.

№ 109.

б) [pic] .

2. № 115, № 116.

3. № 112, № 114.

Д о п о л н и т е л ь н о можно выполнить № 118.

Р е ш е н и е

– Возведём обе части равенства а – [pic] = 2 в квадрат. Получим:

[pic]

О т в е т: 14.

Некоторым сильным в учебе учащимся можно предложить работу по карточкам.

К а р т о ч к а № 1

1. Выполните умножение:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

[pic] при т = 2, п = –3.

К а р т о ч к а № 2

1. Выполните умножение:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

[pic] при с = 2, х = 6, у = –1.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правило умножения рациональных дробей.

– Сформулируйте правило возведения рациональной дроби в степень.

– Как удобно располагать буквы и числа в числителе и знаменателе перемножаемых дробей?

Домашнее задание: п.5 № 110, № 111 (б, в), № 113(а,г)

У р о к 13
Преобразование дробных выражений,
содержащих действие умножения

Цели: продолжить формирование умения выполнять умножение рациональных дробей.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Выполните действия:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] ;

е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] ; и) [pic] ; к) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

Если на прошлом уроке учащиеся выполняли задания на непосредственное применение правила умножения рациональных дробей, то на этом уроке задания направлены ещё и на сокращение полученных при умножении дробей.

1. № 119 (а, в, д), № 121.

2. № 120 (а, в), № 123, № 125.

Р е ш е н и е

№ 123 (г).

[pic]

[pic] .

№ 125 (б).

[pic]

[pic] .

3. № 127.

Р е ш е н и е

б) [pic]

[pic] .

г) [pic] .

4. Дополнительно.

– Упростите выражение:

а) [pic] , где т и п – натуральные числа.

б) [pic] , где п – натуральное число.

Р е ш е н и е

а) [pic] .

б) [pic]

[pic] .

IV. Самостоятельная работа с последующей проверкой.

Учащиеся выполняют задания, отдельно выписывая ответы. После окончания работы обмениваются вариантами и проверяют работу соседа по парте, сравнивая полученные ответы с верными, которые записаны учителем заранее на откидной части доски.

В а р и а н т 1

Выполнить действия:

1) [pic] ; 6) [pic] ;

2) [pic] ; 7) [pic] ;

3) [pic] ; 8) [pic] ;

4) [pic] ; 9) [pic] ;

5) [pic] ; 10) [pic] .

О т в е т ы:

В а р и а н т 2

Выполнить действия:

1) [pic] ; 6) [pic] ;

2) [pic] ; 7) [pic] ;

3) [pic] ; 8) [pic] ;

4) [pic] ; 9) [pic] ;

5) [pic] ; 10) [pic] .

О т в е т ы:

За каждый верный ответ выставляется 1 балл.

К р и т е р и и о ц е н к и:

«5» – 10 баллов;

«4» – 8, 9 баллов;

«3» – 6, 7 баллов;

«2» – менее 6 баллов.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правило умножения рациональных дробей.

– Какие знания и умения необходимы, чтобы сократить рациональную дробь, полученную в результате умножения?

Домашнее задание: № 119 (б, г), № 120 (б), № 124(а), № 126 (б, ).

У р о к 14
Правило деления рациональных дробей

Цель: изучить правило деления рациональных дробей и формировать умение его применять.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] ;

е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] ; и) [pic] ; к) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить, используя аналогию с обыкновенными дробями. В результате учащиеся должны уметь формулировать правило деления рациональных дробей. Это правило выносится на доску:

[pic]

После этого необходимо привести несколько примеров из учебника, показывающих применение этого правила.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся отрабатывают правило деления рациональных дробей на простых примерах: если числитель и знаменатель делимых дробей являются одночленами.

1. № 132 (а, в, д, ж), № 133.

Как и при умножении дробей, выполняя деление, важно следить за рациональностью проводимых учащимися записей.

№ 133.

а) [pic] .

в) [pic] .

2. № 135.

3. Выполните действия:

а) [pic] ; г) [pic] ;

б) [pic] ; д) [pic] ;

в) [pic] ; е) [pic] .

Сильным в учебе учащимся можно дополнительно предложить выполнить задания по карточкам.

К а р т о ч к а № 1

Выполнить действия:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

К а р т о ч к а № 1

Выполнить действия:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правило деления рациональных дробей.

– Как удобно располагать буквы и числа в числителе и знаменателе делимых дробей?

Домашнее задание: № 132 (б, г, е, з), № 134(а,г), № 136.

У р о к 15
Преобразование дробных выражений,
содержащих действие деления

Цели: продолжить формирование умения выполнять деление рациональных дробей.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] ;

е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] ; и) [pic] ; к) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют деление дробей, у которых числитель и (или) знаменатель являются многочленами, то есть им пригодится умение раскладывать многочлен на множители и сокращать дробь.

1. № 137 (а, в, д, ж), № 138.

2. № 139.

Р е ш е н и е

б) [pic] .

г) [pic] .

3. Выполните деление:

а) [pic] ; в) [pic] ;

б) [pic] ; г) [pic] .

Р е ш е н и е

б) [pic] .

г) [pic]

[pic] .

4. № 142.

Р е ш е н и е

б) [pic]

[pic] .

5. И г р а «Дешифровщик».

Учитель. Когда астрономы начали исследование Вселенной с помощью радиотелескопов, они обнаружили, что многие звёзды меняют интенсивность и частоту излучаемых ими волн.

Однако некоторые из звёзд испускают постоянный поток волн, который меняется только в зависимости от времени. Долгое время ученые не могли объяснить природу этого явления.

Говорили, например, что это – радиостанции, с помощью которых неизвестные нам разумные существа ищут во Вселенной собратьев по разуму.

Но исследования, проведенные с помощью искусственных спутников Земли, показали, что эти звёзды являются просто звёздами огромной величины и состоят из раскаленной материи.

Вы узнаете, как называются эти необычные звёзды, если правильно выполните все задания и составите слово из полученных букв.

Учащиеся выполняют задания по вариантам: первый вариант получает первую, третью, пятую и седьмую буквы данного слова, а второй – вторую, четвёртую, шестую и восьмую.

З а д а н и е: выполните действия.

В а р и а н т 1

1) [pic] .

Д. [pic] ; Н. [pic] ;

К. [pic] ; П. [pic] .

2) [pic] .

З. [pic] ; М. [pic] ;

Л. [pic] ; Р. [pic] .

3) [pic] .

К. [pic] ; С. [pic] ;

М. [pic] ; Т. [pic] .

4) [pic] .

Н. [pic] ; Т. [pic] ;

Р. [pic] ; Х. [pic] .

В а р и а н т 2

1) [pic] .

А. [pic] ; О. [pic] ;

Е. [pic] ; У. [pic] .

2) [pic] .

И. [pic] ; Ь. [pic] ;

У. [pic] ; Ю. [pic] .

3) [pic] .

А. [pic] ; О. [pic] ;

И. [pic] ; У. [pic] .

4) [pic] .

И. [pic] ; С. [pic] ;

Т. [pic] ; Ы. [pic] .

О т в е т: ПУЛЬСАРЫ.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правило деления рациональных дробей.

– Что нужно сделать, чтобы сократить рациональную дробь?

– Какие существуют способы разложения многочлена на множители?

Домашнее задание: № 137 (б, г, е, з), № 140(а), № 141(а)

В а р и а н т 1

1) [pic] .

Д. [pic] ; Н. [pic] ;

К. [pic] ; П. [pic] .

2) [pic] .

З. [pic] ; М. [pic] ;

Л. [pic] ; Р. [pic] .

3) [pic] .

К. [pic] ; С. [pic] ;

М. [pic] ; Т. [pic] .

4) [pic] .

Н. [pic] ; Т. [pic] ;

Р. [pic] ; Х. [pic] .

В а р и а н т 2

1) [pic] .

А. [pic] ; О. [pic] ;

Е. [pic] ; У. [pic] .

2) [pic] .

И. [pic] ; Ь. [pic] ;

У. [pic] ; Ю. [pic] .

3) [pic] .

А. [pic] ; О. [pic] ;

И. [pic] ; У. [pic] .

4) [pic] .

И. [pic] ; С. [pic] ;

Т. [pic] ; Ы. [pic] .

У р о к 16
Совместные действия с рациональными дробями

Цели: формировать умение упрощать выражения, содержащие различные действия с рациональными дробями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 4) [pic] .

В а р и а н т 2

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 3) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Учащиеся к данному моменту должны уметь выполнять все действия с рациональными дробями, поэтому задания на преобразование дробных выражений не должны вызывать у них затруднений.

Необходимо разобрать примеры 1 и 2 из учебника. Вопросы о преобразовании «многоэтажных» дробей и вычислении среднего гармонического ряда целесообразно рассмотреть на следующих уроках.

IV. Формирование умений и навыков.

На первых порах необходимо подсказывать учащимся, как рациональнее выполнять преобразования и как удобнее вести записи.

1. № 148 (а, в), № 149 (а, в), № 150 (а).

Важно, чтобы учащиеся осознали, что преобразования можно выполнять как по действиям, так и «цепочкой». Выбор способа зависит от особенностей дробных выражений, а также от личного желания учащихся.

Н а п р и м е р, выражение из № 148 (а) удобно преобразовывать «цепочкой»:

[pic]

[pic] .

Выражение из № 150 (а) – выполнять по действиям:

[pic] .

1) [pic]

[pic] ;

2) [pic] .

2. № 151 (а), № 152 (а, в).

3. № 153 (а, в).

Р е ш е н и е

а) [pic] .

1) [pic] ;

2) [pic] .

в) [pic] .

1) [pic]

[pic] .

2) [pic] ;

3) [pic] ;

4) [pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как выполнить сложение или вычитание нескольких рациональных дробей?

– Сформулируйте правила умножения и деления рациональных дробей.

– Какими способами можно упрощать выражения, содержащие совместные действия с рациональными дробями?

Домашнее задание: № 148 (б, г), № 149 (б), № 151 (б)

В а р и а н т 1

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 4) [pic] .

В а р и а н т 2

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 3) [pic] .

В а р и а н т 1

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 4) [pic] .

В а р и а н т 2

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 3) [pic] .

В а р и а н т 1

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 4) [pic] .

В а р и а н т 2

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 3) [pic] .

В а р и а н т 1

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 4) [pic] .

В а р и а н т 2

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 3) [pic] .

В а р и а н т 1

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 4) [pic] .

В а р и а н т 2

Выполнить действия:

1) [pic] ; 2) [pic] ;

3) [pic] ; 3) [pic] .

У р о к 17
Совместные действия с рациональными дробями

Цель: продолжить формирование умения выполнять преобразования на совместные действия с дробями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; д) [pic] ;

б) [pic] ; е) [pic] ;

в) [pic] ; ж) [pic] ;

г) [pic] ; з) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

1. № 154 (а, в), № 159.

2. № 155.

Р е ш е н и е

б) [pic] .

1) [pic] ;

2) [pic]

[pic] ;

3) [pic] .

3. № 161.

Р е ш е н и е

б) [pic] .

1) [pic]

[pic] ;

2) [pic] ;

3) [pic] .

Таким образом, исходное выражение принимает значение –1 при любых значениях переменных х и у.

В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить некоторые более сложные задания.

4. № 157.

Р е ш е н и е

– Сначала упростим данное выражение.

[pic] .

1) [pic]

[pic] ;

2) 0,5 (а – 1)² – 18 = 0,5 (а² – 2а + 1) – 18 = 0,5а² – а + 0,5 – 18 =

= 0,5а² – а – 17,5;

3) [pic]

[pic] .

Представим полученный многочлен в виде суммы квадрата двучлена и некоторого числа:

а² – 2а + 37 = а² – 2а + 1 – 1 + 37 = (а – 1)² + 36.

Поскольку выражение (а – 1)² неотрицательно при любом а, то выражение (а – 1)² + 36 принимает наименьшее значение при а = 1, и это значение равно 36.

О т в е т: 36.

5. № 160 (а).

Р е ш е н и е

[pic] .

– Преобразуем выражение, стоящее в левой части равенства:

[pic]

[pic] .

Таким образом, эти выражения тождественно равны.

Некоторым сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать задания по карточкам.

К а р т о ч к а № 1

Упростить выражение:

[pic] .

Р е ш е н и е

1) [pic]

[pic] ;

2) [pic]

[pic] ;

3) [pic]

[pic] .

К а р т о ч к а № 2

Упростить выражение:

[pic] .

Р е ш е н и е

Данное выражение лучше преобразовать «цепочкой», при этом рациональнее будет сначала раскрыть скобки:

[pic]

[pic] .

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как выполнить сложение или вычитание рациональных дробей?

– Сформулируйте правила умножения и деления рациональных дробей.

– Какими способами можно упрощать выражения, содержащие совместные действия с дробями?

Домашнее задание: № 154 (б, г), № 15(а), № 162.

У р о к 18
Преобразование дробных выражений

Цель: формировать умение преобразовывать дроби, числитель и знаменатель которых являются дробными выражениями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] .

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Упростить выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] .

В а р и а н т 2

Упростить выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

IV. Объяснение нового материала.

Учащиеся уже знакомы с аналогом изучаемых дробей – «многоэтажными» числовыми дробями. Они должны знать несколько приёмов упрощения таких выражений. Поэтому достаточно рассмотреть пример 3 из учебника.

V. Формирование умений и навыков.

1. № 163 (а, в).

2. № 164, № 168 (а).

3. № 166.

Р е ш е н и е

а) [pic] ;

б) [pic] .

В классе с высоким уровнем подготовки дополнительно можно выполнить № 169.

Р е ш е н и е

а) [pic] .

Чтобы это выражение имело смысл, необходимо потребовать от всех входящих в его запись знаменателей необращения в нуль, то есть:

1) х – 2 ≠ 0, откуда х ≠ 2;

2) 3 – [pic] ≠ 0

3(х – 2) – 1 ≠ 0

3х – 6 – 1 ≠ 0

3х ≠ 7

х ≠ [pic]

О т в е т: х ≠ 2, х ≠ 2 [pic] .

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правила действий с дробными выражениями.

– Какими способами можно преобразовать дробь, числитель и знаменатель которой является дробными выражениями?

Домашнее задание: № 163 (б, г), № 165(а,б),

В а р и а н т 1

Упростить выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] .

В а р и а н т 2

Упростить выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

В а р и а н т 1

Упростить выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] .

В а р и а н т 2

Упростить выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

В а р и а н т 1

Упростить выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] .

У р о к 19
Нахождение среднего гармонического ряда
положительных чисел

Цели: формировать умение отыскивать среднее гармоническое для ряда положительных чисел; продолжить формирование умения выполнять преобразования дробных выражений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислите:

а) [pic] ; г) [pic] .

б) [pic] ; д) [pic] ;

в) [pic] ; е) [pic] .

2. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 7 и 10; б) 3,5 и 13; в) 0,5 и [pic] ; г) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение лучше начать с задачи на вычисление средней скорости, в которой данные будут числовыми.

З а д а ч а. Одну и ту же дистанцию лыжник прошёл сначала со скоростью 18 км/ч, а затем – со скоростью 20 км/ч. Какова была средняя скорость на всём пути?

Очень часто учащиеся допускают ошибку: находят среднюю скорость как среднее арифметическое данных скоростей. Важно, чтобы они осознали, что так отыскивать среднюю скорость нельзя.

Чтобы найти среднюю скорость, нужно разделить весь пройденный путь на общее время движения на этом пути. Если обозначить длину дистанции за S км, то в первый раз лыжник потратил на её прохождение [pic] ч, а второй – [pic] ч. Получим:

[pic]

– Упростим полученное дробное выражение:

[pic] .

Таким образом, средняя скорость лыжника на всём пути была равна [pic] км/ч.

После того как учащиеся решат эту задачу, привести пример 4 из учебника, в котором показан общий вид решения подобных задач. Далее вводится понятие среднего гармонического ряда положительных чисел.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют задания двух групп. В первой группе будут задачи на нахождение среднего гармонического ряда положительных чисел, а во второй – задания на преобразование дробных выражений.

1-я г р у п п а.

1. № 170 (а, в).

2. № 171, № 172.

3. № 173.

2-я г р у п п а.

1. № 248 (а, в).

2. № 247.

Р е ш е н и е

[pic]

[pic] .

Таким образом, исходное выражение не зависит от значений a и b.

3. № 249 (б).

Р е ш е н и е

Чтобы выражение [pic] имело смысл, необходимо выполнение трёх условий:

1) х ≠ 0;

2) 1 – [pic] ≠ 0

[pic] ≠ 1

х ≠ 1;

3) 1 – [pic] ≠ 0

[pic] ≠ 1

1 – [pic] ≠ 1

[pic] ≠ 0

О т в е т: х ≠ 0; х ≠ 1.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правила действий с дробными выражениями.

– Как найти среднюю скорость движения на определённом участке пути?

– По какой формуле вычисляется среднее гармоническое ряда положительных чисел а1, а2, …, ап?

Домашнее задание: № 170 (б), № 250, № 248 (б).

У р о к 20
Построение графика функции y = [pic]

Цели: ввести понятие функции «обратная пропорциональность»; формировать умение строить график этой функции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Выразите из формулы величину х:

а) y = x · z; г) 3а = сх;

б) а = b · x; д) y = 2xz;

в) t = 7x; е) p² = –4tx.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. В в е д е н и е ф у н к ц и и обратная пропорциональность.

Начать нужно с рассмотрения реальных процессов и ситуаций.

П р и м е р 1. Пешеходу надо пройти 12 км. Если он будет идти со скоростью V км/ч, то зависимость времени t, которое он затратит на весь путь, от скорости движения выражается формулой t = [pic] .

П р и м е р 2. Площадь прямоугольника равна 60 см², а одно из его измерений равно а см. Тогда второе измерение можно найти по формуле b = [pic] .

П р и м е р 3. Количество товара т, которое можно купить на одну и ту же сумму денег в 500 р., зависит от его стоимости Р (в рублях). Эта зависимость выражается формулой т = [pic] .

Полученные в примерах формулы выносятся на доску:

[pic]

Далее спросить учащихся, что общего имеют все данные формулы. После этого записать полученные зависимости в общем виде:

y = [pic]

Заметить, что в данной формуле величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, поэтому функцию y = [pic] называют обратной пропорциональностью.

На доску выносится з а п и с ь:

Полезно предложить учащимся устное задание, проверяющее правильность усвоения новой функции.

З а д а н и е. Укажите, какие из функций являются обратной пропорциональностью.

а) y = [pic] ; д) y = [pic] ;

б) у = 2х – 1; е) y = [pic] ;

в) y = [pic] ; ж) y = [pic] ;

г) y = [pic] x; з) y = [pic] .

2. График функции y = [pic] .

Подробно остановиться на вопросе построения графика функции
y = [pic] . По этому графику описать некоторые свойства функции. Затем построить график функции y = [pic] и сопоставить его с графиком функции y = [pic] .

После этого полезно сделать вывод о расположении гиперболы в зависимости от коэффициента k, то есть выполнить № 192. После его выполнения желательно, чтобы учащиеся занесли в тетрадь следующую иллюстрацию:

Функция y = [pic]

График – гипербола

[pic]

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 179, № 182.

2. Графиком какой из функций y = [pic] x, y = [pic] , y = [pic] является гипербола? Постройте эту гиперболу.

3. № 185.

4. № 181.

Сильным в учебе учащимся можно предложить выполнить дополнительно № 257 (а, д).

Р е ш е н и е

а) Для построения графика функции y = [pic] необходимо рассмотреть два случая. При х > 0 данная функция совпадает с функцией y = [pic] , а при х < 0 – с функцией y = [pic] . Поэтому получим график:

[pic]

д) y = [pic] .

Рассуждая аналогично, получим график:

[pic]

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Функция какого вида называется обратной пропорциональностью?

– Что является графиком функции y = [pic] ?

– В каких координатных четвертях расположен график функции y = [pic] в зависимости от k?

– Какова область определения функции y = [pic] ?

Домашнее задание: № 180, № 184, № 193.

У р о к 2 (21)
Функция y = [pic] и её график в решении
различных задач

Цель: продолжить формирование умения использовать понятие, свойства и график функции y = [pic] при решении различных задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Даны функции:

y = [pic] ; y = [pic] x; y = [pic] ; y = [pic] ;

y = [pic] ; y = [pic] ; y = [pic] ; y = [pic] .

– Какие из них являются обратной пропорциональностью? Среди таких функций найдите те, которые:

а) расположены в I и III координатных четвертях;

б) расположены в II и IV координатных четвертях;

в) положительны на промежутке (0; +∞);

г) отрицательны на промежутке (0; +∞).

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Дана функция y = [pic] .

а) Найдите значение у, соответствующее значению х, равному 2; 8; –1; –7.

б) Найдите значение х, которому соответствует значение у, равное 2; –1; –8.

в) Постройте график этой функции.

г) Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.

В а р и а н т 2

Дана функция y = [pic] .

а) Найдите значение у, соответствующее значению х, равному 2; 8; –3; –9.

б) Найдите значение х, которому соответствует значение у, равное –3; 1; 12.

в) Постройте график этой функции.

г) Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 183, № 190 (в).

2. № 191.

3. № 186 (а), № 187.

В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить несколько дополнительных заданий, связанных с использованием графика функций y = [pic] при решении уравнений.

4. № 188.

Р е ш е н и е

Предложить учащимся проиллюстрировать каждый из случаев.

а) [pic] б) [pic]

одно решение одно решение

в) [pic] г) [pic]

два решения нет решений

5. № 261.

Р е ш е н и е

Если ответ на вопрос будет положительным, то необходимо показать его на рисунке.

а) [pic]

Графики функций y = [pic] и y = kx + b могут пересекаться только в одной точке. В этом случае прямая касается одной из ветвей гиперболы.

б) [pic]

Прямая может пересекать гиперболу в двух точках.

в) Прямая не может пересекать гиперболу в трёх точках. Это утверждение можно доказать, решая соответствующее уравнение: [pic] = ax + b.

Преобразовав это уравнение, получим квадратное уравнение ax² + bx –
– k = 0, которое не может иметь более двух корней.

Значит, графики функций y = [pic] и y = kx + b не могут пересекаться в трёх точках.

Найдите координаты какой-нибудь точки, принадлежащей графику функции y = [pic] и находящейся от оси х на расстоянии меньшем, чем 0,1.

Р е ш е н и е

Сначала необходимо изобразить схематически график функции y = [pic] и прямые у = 0,1 и у = –0,1, поскольку точки, находящиеся от оси х на расстоянии 0,1, лежат на этих прямых.

Прямые у = 0,1 и у = –0,1 пересекут ветви гиперболы в точках А и В, которые находятся от оси х на расстоянии, равном 0,1. Очевидно, что все точки на гиперболе, расположенные правее точки А, будут ближе к оси х, значит, находятся на расстоянии, меньшем 0,1. То же самое можно сказать обо всех точках гиперболы, находящихся левее точки В.

Найдем абсциссу точки А:

0,1 = [pic] , откуда х = 50.

Таким образом, для нахождения искомых точек можно брать те точки, абсциссы которых больше 50. Аналогично получаем, что для левой ветви гиперболы такими точками будут те, абсциссы которых меньше –50.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как называется функция y = [pic] ? Что является ее графиком?

– В каких четвертях расположен график функции y = [pic] ?

– Какова область определения функции y = [pic] ?

Домашнее задание: № 186 (б), № 189, № 190 (б).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 262.

У р о к 22
Контрольная работа № 2

В а р и а н т 1

1. Представьте в виде дроби:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] ; г) [pic] .

2. Постройте график функции y = [pic] . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях b ≠ ±1 значение выражения [pic] не зависит от b.

4. При каких значениях а имеет смысл выражение [pic] ?

В а р и а н т 2

1. Представьте в виде дроби:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] ; г) [pic] .

2. Постройте график функции y = [pic] . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?

3. Докажите, что при всех значениях х ≠ ±2 значение выражения [pic] не зависит от х.

4. При каких значениях b имеет смысл выражение [pic] ?

В а р и а н т 3

1. Представьте в виде дроби:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] ; г) [pic] .

3. Докажите, что при всех значениях y ≠ ±3 значение выражения [pic] не зависит от у.

4. При каких значениях х имеет смысл выражение [pic] ?

В а р и а н т 4

1. Представьте в виде дроби:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] ; г) [pic] .

3. Докажите, что при всех значениях a ≠ ±5 значение выражения [pic] не зависит от а.

4. При каких значениях у имеет смысл выражение [pic] ?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic]

[pic] .

2. y = [pic] .

Область определения функции: (–∞; 0) [pic] (0; +∞).

Функция принимает отрицательные значения при х [pic] (–∞; 0).

3. Упростим данное выражение: [pic] .

1) [pic]

[pic] ;

2) [pic] ;

3) [pic] = 2.

Таким образом, при любом значении b данное выражение равно 2, то есть не зависти от b.

4. Чтобы выражение [pic] имело смысл, должны выполняться два условия:

1) 4а – 6 ≠ 0

2) 3 + [pic] ≠ 0

4а ≠ 6

а ≠ 1,5

12а – 18 + 21 ≠ 0

12а ≠ –3

а ≠ [pic]

О т в е т: а ≠ 1,5; а ≠ [pic] .

В а р и а н т 2

1. а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic]

[pic] .

2. y = [pic] .

Область определения функции: (–∞; 0) [pic] (0; +∞).

Функция принимает положительные значения при х [pic] (–∞; 0).

3. Упростим данное выражение:

[pic] .

1) [pic]

[pic] ;

2) [pic] ;

3) [pic] = 0.

Таким образом, при любом значении х данное выражение равно нулю, то есть не зависит от х.

4. Чтобы выражение [pic] имело смысл, должны выполняться два условия:

1) 3 – 2b ≠ 0

2) 2 – [pic] ≠ 0

2b ≠ 3

b ≠ 1,5

6 – 4b – 4 ≠ 0

4b ≠ 2

b ≠ 0,5

О т в е т: b ≠ 0,5; b ≠ 1,5.

В а р и а н т 3

1. а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic]

[pic] .

2. y = [pic] .

Область определения функции: (–∞; 0) [pic] (0; +∞).

Функция принимает положительные значения при х [pic] (0; +∞).

3. Упростим выражение:

[pic] .

1) [pic]

[pic] ;

2) [pic] ;

3) [pic] = 3.

Таким образом, при любом значении у данное выражение равно 3, то есть не зависит от у.

4. Чтобы выражение [pic] имело смысл, должны выполняться два условия:

1) 10 – 5х ≠ 0

2) 1 – [pic] ≠ 0

5х ≠ 10

х ≠ 2

10 – 5х – 6 ≠ 0

5х ≠ 4

х ≠ [pic]

О т в е т: х ≠ 2; х ≠ [pic] .

В а р и а н т 4

1. а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic]

[pic] .

2. y = [pic] .

Область определения функции: (–∞; 0) [pic] (0; +∞).

Функция принимает отрицательные значения при х [pic] (0; +∞).

3. Упростим данное выражение:

[pic] .

1) [pic]

[pic] .

2) [pic] .

3) [pic] = 2.

Таким образом, при любом значении а данное выражение равно 2, то есть не зависит от a.

4. Чтобы выражение [pic] имело смысл, должны выполняться два условия:

1) 6 + 2у ≠ 0

2) 2 – [pic] ≠ 0

2у ≠ –6

у ≠ –3

12 + 4у – 7 ≠ 0

4у ≠ –5

у ≠ [pic]

О т в е т: у ≠ –3; у ≠ [pic] .

ГЛАВА 2. КВАДРАТНЫЕН КОРНИ 20 ЧАСОВ

У р о к 23
Рациональные числа

Цели: изучить множество рациональных чисел; формировать умение сравнивать рациональные числа и представлять их в виде бесконечных десятичных дробей.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сравните числа:

а) 0,07 и 0,123; г) [pic] и –2,1;

б) 1 [pic] и 1,02; д) 0,913 и 0,91;

в) –3,72 и –3,6; е) 6,7 и 6 [pic] .

2. Переведите обыкновенную дробь в десятичную:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. В в е д е н и е м н о ж е с т в а рациональных чисел.

Рассмотреть, как происходит расширение числовых множеств от натуральных до рациональных чисел. Для наглядности на доске можно изобразить вложение одних множеств в другие.

[pic]

З а д а н и е. Определить, к какому множеству принадлежит каждое из чисел:

7; –5; [pic] ; –6,1; –100; –1 [pic] .

2. П р е д с т а в л е н и е рациональных чисел в виде обыкновенных дробей.

Показать, что любое рациональное число может быть представлено в виде дроби [pic] (m [pic] Z, n [pic] N) различными способами.

3. П р е д с т а в л е н и е рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Показать, как с помощью деления уголком любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 263, № 264.

2. № 265.

3. № 267 (а, в, д, ж, и).

4. № 268 (а, в, д, ж), № 269, № 271.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Принадлежит ли число –2 множеству натуральных чисел? целых чисел? рациональных чисел?

– Какие числа составляют множество рациональных чисел?

– Сколькими способами можно представить рациональное число в виде обыкновенной дроби?

– Как представить рациональное число в виде десятичной дроби?

– Какая десятичная дробь может представлять рациональное число?

Домашнее задание: № 266, № 267 (б, г, е, з, к), № 268 (б, г, е, з),
№ 270.

У р о к 1 (24)
Множество действительных чисел

Цели: изучить множества иррациональных и действительных чисел; формировать умение различать различные множества чисел и сравнивать действительные числа.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Определите, к какому множеству принадлежит каждое из чисел:

–7; 19; [pic] ; –5,7; 235; –90; –1 [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. И з м е р е н и е д л и н отрезков на координатной прямой.

2. П о с т а н о в к а проблемной задачи: как измерить диагональ квадрата со стороной 1.

Можно обратиться к истории этого вопроса.

Математики Древней Греции более двадцати веков тому назад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет!

Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа.

3. В в е д е н и е множества действительных чисел.

Обобщить знания учащихся о различных множествах чисел. На доску вынести рисунок:

[pic]

4. С р а в н е н и е иррациональных чисел.

Привести различные примеры иррациональных чисел и показать, как они сравниваются.

Вопрос о действиях с иррациональными числами целесообразно рассмотреть на следующем уроке.

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут устные задания на определение принадлежности чисел различным числовым множествам. Во второй группе будут задания на сравнение действительных чисел.

1-я г р у п п а.

1. № 276, № 277.

2. Даны числа:

9; 0; – [pic] ; –6(3); 7,020020002…; 1,24(53); 345; π; –7 [pic] .

а) Разделить их на две группы: рациональные и иррациональные.

б) Заполнить таблицу:

3. № 279.

2-я г р у п п а.

1. № 280, № 281 (а, в, д).

2. № 285, № 286.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие числа называются рациональными?

– Какие числа называются иррациональными?

– Из каких чисел состоит множество действительных чисел?

Домашнее задание: № 278, № 281 (б, г, е), № 282.

У р о к 2 (25)
Действия над иррациональными числами

Цели: формировать умение различать рациональные и иррациональные числа и осуществлять действия над ними.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) 0,15 + 1,37; д) –3,8 – 5,7;

б) 1,27 + 3,3; е) 2,9 – 6,3;

в) 6,42 – 3,2; ж) 1,7 – 0,95;

г) –8 + 4,7; з) –1,25 – 5,8.

III. Тест с последующей проверкой.

«+» – согласен с утверждением;

«–» – не согласен с утверждением.

1) Всякое целое число является натуральным.

2) Всякое натуральное число является рациональным.

3) Число –7 является рациональным.

4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

5) Разность двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

6) Произведение двух целых чисел всегда является целым числом.

7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.

8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

9) Частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

10) Всякое иррациональное число является действительным.

11) Действительное число не может быть натуральным.

12) Число 2,7(5) является иррациональным.

13) Число π является действительным.

14) Число 3,1(4) меньше числа π.

15) Число –10 принадлежит одновременно множеству целых, рациональных и действительных чисел.

К л ю ч: – + + + – + – + + + – – + – +

IV. Объяснение нового материала.

Привести примеры из учебника, показывающие, как осуществлять арифметические действия над иррациональными числами.

V. Формирование умений и навыков.

1. № 283, № 284 (а), № 287.

2. № 288, № 290.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно разобрать вопрос о том, каким числом представляется сумма или разность рациональных и иррациональных чисел. Для этого нужно решить ряд задач.

1) № 292.

Р е ш е н и е

– Сложим данные иррациональные числа в столбик:

[pic]

Получили число, дробная часть которого представлена группой цифр, состоящих из одной, двух, трёх и т. д. троек, разделённых шестёрками. Очевидно, что данное число является иррациональным.

2) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть числом рациональным?

Р е ш е н и е

– В предыдущей задаче мы выполнили сложение двух иррациональных чисел и получили в сумме иррациональное число. Но это не означает, что сумма любых двух иррациональных чисел является иррациональным числом.

Нужно подобрать такие два иррациональных числа, которые в сумме дали бы бесконечную десятичную периодическую дробь. В качестве первого слагаемого можно взять число из предыдущей задачи: 1,323223222… Тогда вторым слагаемым может быть число 1,676776777… (группы цифр состоят из одной, двух, трёх и т. д. семёрок, разделённых шестёрками).

[pic]

То есть в сумме получим число 2,(9) или 3.

Значит, можно подобрать два таких иррациональных числа, которые в сумме дают рациональное число.

3) Может ли разность двух иррациональных чисел быть числом рациональным?

4) Если число а – рациональное, а число b – иррациональное, то каким числом будет сумма а + b и разность а – b?

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие множества чисел вы изучили? Как они связаны между собой?

– В виде какой десятичной дроби может быть представлено любое рациональное число?

– Существуют ли иррациональные числа, которые могут быть представлены в виде периодической десятичной дроби?

– В виде каких десятичных дробей представляются иррациональные числа?

Домашнее задание: № 284 (б), № 289, № 291.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 293.

У р о к 1 (26)
Извлечение квадратных корней

Цели: ввести понятия квадратного корня и арифметического квадратного корня; формировать умение извлекать квадратные корни.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) 7²; б) [pic] ; в) 11²; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) 0,2²; ж) [pic] ; з) 0,6².

III. Объяснение нового материала.

Объяснение материала проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. В в е д е н и е п о н я т и я квадратного корня.

Сначала необходимо рассмотреть задачу о нахождении стороны квадрата по его площади.

Затем предложить учащимся следующее з а д а н и е: вписать в пустые клеточки числа, чтобы равенства были верными:

[pic] ² = 16

[pic] ² = [pic]

[pic] ² = 100

После этого дать определение квадратного корня из числа.

Определение: Число b называют квадратным корнем из числа а, если b² = а.

Для первичного усвоения определения можно дать учащимся з а д а-
н и е: выяснить, является ли число п квадратным корнем из числа т, если:

а) п = 5, т = 25; в) п = 0,3, т = 0,9;

б) п = –7, т = 49; г) п = 6, т = –36.

2. В в е д е н и е п о н я т и я арифметического квадратного корня.

Учащиеся должны четко усвоить существенный признак данного понятия – арифметический квадратный корень является неотрицательным числом. То есть необходимо твёрдое знание того, что равенство [pic] = b означает одновременное выполнение двух условий: b² = а и b ≥ 0.

Для усвоения определения предложить учащимся следующее з а д а-
н и е: определить, является ли число п арифметическим квадратным корнем из числа т, если:

а) п = 8, т = 64; в) п = 0,2, т = 0,4;

б) п = –3, т = 9; г) п = 0,4, т = 0,16.

3. И с т о р и ч е с к а я с п р а в к а.

– Обратим внимание на совпадение в терминах – квадратный корень и корень уравнения. Это совпадение не случайно. Уравнения вида х² = а исторически были первыми сложными уравнениями, и их решения были названы корнями по метафоре, что из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. В дальнейшем термин «корень» стал употребляться и для произвольных уравнений.

Название «радикал» тоже связано с термином «корень»: по-латыни корень – radix (он же редис – корнеплод). Также слово «радикальный» в русском языке является синонимом слова «коренной». Происхождение же символа [pic] связывают с написанием латинской буквы r.

4. Основное свойство арифметического квадратного корня.

Предложить учащимся вычислить значения следующих выражений: [pic] .

После этого попросить их сформулировать вывод и вынести его запись на доску:

[pic]

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 298, № 299.

2. № 300.

При вычислении обратить внимание на следующее:

– На первых порах необходимо, чтобы учащиеся проговаривали вслух и объясняли полученный результат. Н а п р и м е р: [pic] = 7, поскольку 7² = 49.

– При нахождении корня из дроби пока нельзя извлекать отдельно корень из числителя и из знаменателя, поскольку соответствующее свойство корней будет рассмотрено позже.

3. № 305, № 306 (а, б).

4. № 309.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется квадратным корнем из числа а?

– Сколько квадратных корней может быть из числа а?

– Что такое арифметический квадратный корень из числа а?

– Имеет ли смысл запись [pic] ? Почему?

– Всегда ли верно равенство [pic] = а?

Домашнее задание: № 301, № 304, № 306 (в, г).

У р о к 2 (27)
Применение понятия квадратного корня
при решении различных задач

Цели: продолжить формирование умения извлекать квадратные корни; формировать умение применять понятие квадратного корня при решении различных задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Найдите значение арифметического квадратного корня:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; в) [pic] ;

б) [pic] – 1; г) [pic] .

В а р и а н т 2

1. Найдите значение арифметического квадратного корня:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; в) [pic] ;

б) [pic] – 2; г) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют задания двух групп. В первую группу входят задания на нахождение значений квадратных корней. Во вторую – задания на решение простейших уравнений с квадратным корнем.

1-я г р у п п а.

1. № 302.

2. № 307.

Р е ш е н и е

а) Чтобы значение выражения [pic] являлось натуральным числом, подкоренное выражение должно быть равно 1, 4 или 9. Получаем три случая:

11 – п = 1

п = 10

11 – п = 4

п = 7

11 – п = 9

п = 2

Эти же значения можно было найти подбором.

О т в е т: 2; 7; 10.

2-я г р у п п а.

1. № 310.

2. № 311, № 312.

3. Найдите значение переменной х, при котором верно равенство:

а) [pic] = 3; б) [pic] = 7; в) [pic] .

Р е ш е н и е

Выполнение этого задания может вызвать затруднения у учащихся. Необходимо добиться, чтобы они выражали в словесной форме, что нужно найти.

а) [pic] = 3.

Нужно найти такое число, корень которого равен 3. Это число 9, то есть:

2х – 1 = 9

2х = 10

х = 5.

Можно предложить учащимся сделать поверку. Нельзя допускать, чтобы учащиеся полагали, что при решении этого уравнения обе части возводятся в квадрат. Иначе, решая в дальнейшем, например, уравнение [pic] = –2, они перейдут к уравнению х + 1 = 4.

б) [pic] = 7

в) [pic]

3 – 5х = 49

5х = –46

х = –9,6.

4x + [pic] = 0

4x = [pic]

x = [pic] .

Д о п о л н и т е л ь н о можно выполнить № 315.

Р е ш е н и е

Чтобы значение выражения [pic] являлось двузначным числом, должны обязательно выполняться два условия:

1) корень из этого выражения должен извлекаться;

2) квадраты числа п и числа п² + 39 должны отличаться на 39.

Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, заметим, что, начиная с 20, квадраты чисел отличаются друг от друга более, чем на 40. Значит, число п нужно искать среди чисел двух первых десятков.

Заметим, что только квадраты чисел 19 и 20 отличаются на 39: 19² = 361 и 20² = 400. Это означает, что п = 19. Получим:

[pic] = 20.

О т в е т: п = 19.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а?

– Может ли подкоренное выражение быть отрицательным?

– Когда уравнение [pic] = a имеет решение? Сколько решений может иметь такое уравнение?

– Как решаются уравнения вида [pic] = a?

Домашнее задание: № 303, № 313, № 314.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 466.

У р о к 1 (28)
Решение уравнений вида х² = а

Цели: рассмотреть вопрос о количестве корней уравнения х² = а и формировать умение решать такие уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] ;

е) [pic] ; ж) 0,3²; з) (–0,3)²; и) [pic] ; к) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно решили вопрос о возможном количестве корней уравнения вида х² = а.

Для этого сначала можно предложить им выполнить следующее задание: какие числа можно вписать в пустые карточки, чтобы равенство было верным?

а) [pic] ² = 25; б) [pic] ² = [pic] ; в) [pic] ² = –9;

г) [pic] ² = [pic] ; д) [pic] ² = 0; е) [pic] ² = [pic] .

Затем перейти к уравнению х² = а и предложить учащимся сформулировать утверждение о различных случаях, возникающих при поиске корней таких уравнений.

На доску можно вынести з а п и с ь:

Уравнение х² = а

1) имеет 2 корня, если а > 0;

2) имеет 1 корень, если а = 0;

3) не имеет корней, если а < 0.

После этого перейти к графической интерпретации решения уравнения х² = а. Сделать вывод, что если а > 0, то корнями уравнения х² = а будут числа [pic] и – [pic] .

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 319, № 320.

2. № 321 (а, в).

3. Даны уравнения:

х² = 16, х² = –100, х² = 5, х² = 0, х² = [pic] .

Выберите из них те, которые:

а) имеют два корня;

б) имеют два рациональных корня;

в) имеют два иррациональных корня;

г) имеют один корень;

д) не имеют корней.

4. № 322.

5. Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее корни:

а) 7 и –7; б) 0,2 и –0,2; в) [pic] и – [pic] .

Необходимо, чтобы учащиеся составили к каждому случаю несколько уравнений. Можно устроить своеобразное соревнование: у кого из них получится больше различных уравнений.

Н а п р и м е р, в первом случае можно составить такие уравнения:

х² = 49, 2х² = 98, х² + 1 = 50, 10 – х² = –39 и т. п.

6. № 324 (а, в).

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:

а) (х – 3)² = 25

х – 3 = 5 или

х = 8

х – 3 = –5

х = –2

О т в е т: –2; 8.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа?

– Может ли в выражении [pic] число а быть отрицательным? Почему?

– Сколько корней может иметь уравнение х² = а? От чего это зависит?

– Какие корни имеет уравнение х² = а, если а > 0? а = 0?

Домашнее задание: № 321 (б, г), № 323, № 324 (б, г).

У р о к 2 (29)
Вычисление значений выражений,
содержащих квадратные корни

Цели: продолжить формирование умений преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Решите уравнение:

а) х² = 16; б) х² = [pic] ; в) х² = 0;

г) х² = [pic] ; д) х² = 0,04; е) х² = [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на нахождение допустимых значений переменных, входящих в выражения с квадратным корнем. Во второй группе будут задания на вычисление значений выражений, содержащих квадратные корни.

1-я г р у п п а.

1. № 325, № 326.

2. Укажите несколько значений переменной х, при которых выражение [pic] имеет смысл.

2-я г р у п п а.

1. № 328.

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

3. № 330, № 332.

4. № 331 (а, в).

Р е ш е н и е

а) [pic] = 9;

б) [pic] = 18.

Некоторым сильным в учебе учащимся можно предложить карточки.

К а р т о ч к а № 1

1. Решите уравнение: [pic] .

2. Из формулы W = [pic] выразите t.

3. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ?

К а р т о ч к а № 2

1. Решите уравнение: [pic] .

2. Из формулы T = 2π [pic] выразите l.

3. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ?

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) х² = 36; г) 3 – х² = 3;

б) х² = [pic] ; д) 2х² + 6 = 0;

в) х² + 1 = 3; е) [pic] .

2. Имеет ли смысл выражение [pic]

а) при х = 2; б) х = 0; в) х = 4; г) х = –1?

3. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; в) [pic] ;

б) [pic] ; г) [pic] .

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) х² = 64; г) 5 – х² = 5;

б) х² = [pic] ; д) 3х² + 12 = 0;

в) х² – 2 = 1; е) [pic] .

2. Имеет ли смысл выражение [pic]

а) при х = 3; б) х = [pic] ; в) х = 7; г) х = –4?

3. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; в) [pic] ;

б) [pic] ; г) [pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сколько корней может иметь уравнение х² = а? От чего это зависит?

– Какие корни имеет уравнение х² = а, если а > 0? а = 0?

– При каких значениях а выражение [pic] имеет смысл?

– При каких значениях b выражение [pic] имеет смысл?

Домашнее задание: № 327, № 329, № 331 (б, г), № 332.

У р о к 30
нахождение приближенных значений квадратного
корня с помощью оценки и на калькуляторе

Цели: формировать умение находить приближенные значения квадратного корня при помощи оценки и на калькуляторе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ; д) [pic] ;

е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] ; и) [pic] ; к) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение материала проводится согласно пункту учебника.

Сначала показать учащимся, как найти приближённое значение квадратного корня, оценивая его. При этом желательно привлекать учащихся к «открытию» этого способа. Затем попросить их сформулировать, как с помощью оценки может быть найдено приближённое значение любого квадратного корня.

После этого объяснить учащимся, как применяется калькулятор для извлечения квадратных корней, приведя несколько примеров.

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания, выполняемые учащимися, можно разбить на две группы: в одну группу войдут задания на нахождение приближенных значений квадратных корней с помощью оценки, а в другую – с помощью калькулятора.

1-я г р у п п а.

1. № 336.

2. Площадь квадрата равна 5 см². Чему равна его сторона? Дайте точный ответ, записав его с помощью знака [pic] , и приближённый, выразив результат десятичной дробью с двумя знаками после запятой.

2-я г р у п п а.

1. № 338 (б).

2. С помощью калькулятора найдите значение [pic] для всех натуральных п от 1 до 10. Заполните таблицу, указывая приближённое значение [pic] с тремя знаками после запятой.

Используя таблицу, сравните [pic] и [pic] , [pic] и [pic] , [pic] и [pic] .

3. № 342, № 343, № 344 (а, в, д).

4. № 345, № 347.

V. Тест с последующей проверкой.

«+» – согласен с утверждением;

«–» – не согласен с утверждением.

Утверждения:

1) [pic] – это иррациональное число;

2) [pic] – это иррациональное число;

3) [pic] – это действительное число;

4) [pic] – это действительное число;

5) [pic] меньше 1;

6) [pic] больше [pic] ;

7) любое иррациональное число заключено между двумя целыми числами;

8) если число стоит под корнем, то оно иррациональное;

9) [pic] меньше, чем – [pic] ;

10) [pic] заключено между числами 7 и 8.

К л ю ч: + – + + – + + – – +

VI. Итоги урока.

Учащиеся, сидящие за одной партой, обмениваются ключами к тесту. Учитель снова читает все десять утверждений, каждое из которых обсуждается. Одновременно учащиеся проверяют свои работы и выставляют друг другу о т м е т к и п о с л е д у ю щ е й ш к а л е:

«5» – все ответы верные;

«4» – одна или две ошибки;

«3» – три или четыре ошибки;

«2» – более четырёх ошибок.

Затем можно ещё задать в о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как найти приближённое значение квадратного корня с помощью метода оценки? с помощью калькулятора?

– Какое из чисел [pic] или [pic] расположено левее на числовой оси? Почему?

Домашнее задание: № 337, № 339, № 334 (б, г, е), № 346.

У р о к 1 (31)
Построение графика функции y = [pic]
и применение её свойств

Цели: изучить функцию y = [pic] , её график и свойства; формировать умение строить график этой функции и применять её свойства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите уравнение:

а) х² = 16; б) х² = [pic] ; в) х² = 0;

г) х² = [pic] ; д) х² = 10; е) х² = [pic] .

2. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится согласно пункту учебника.

1) Рассмотреть, из каких практических ситуаций возникает потребность в изучении функции y = [pic] .

2) Составить таблицу значений функции y = [pic] и построить её график.

3) Перечислить свойства функции y = [pic] .

4) Сопоставить графики функций у = х² и y = [pic] .

IV. Формирование умений и навыков.

Все з а д а н и я, которые должны быть выполнены учащимися на этом уроке, можно условно разбить на т р и г р у п п ы:

 выражение из различных формул зависимости вида y = [pic] ;

 построение графика функции y = [pic] и его «чтение»;

 применение свойства возрастания функции y = [pic] для сравнения квадратных корней.

1-я г р у п п а.

1. № 352.

2. № 354.

Р е ш е н и е

S = 4πR²

R² = [pic]

R = [pic]

2-я г р у п п а.

1. № 355.

2. № 357.

3-я г р у п п а.

1. С помощью графика функции y = [pic] сравните числа:

а) [pic] и 1; в) [pic] и [pic] ;

б) 3 и [pic] ; г) [pic] и [pic] .

2. № 364.

Р е ш е н и е

Учащиеся должны воспользоваться следующим свойством функции y = [pic] : большему значению аргумента соответствуют большие значения функции. При сравнении квадратного корня с рациональным числом можно это число записать в виде корня.

а) [pic] < [pic] ;

б) [pic] < [pic] ;

в) [pic] < [pic] , то есть [pic] < 3;

г) [pic] = [pic] , то есть [pic] = 2,5;

д) [pic] > [pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а?

– Как построить график функции y = [pic] ?

– Какими свойствами обладает функция y = [pic] ?

– Как располагаются относительно друг друга графики функций у = х² и y = [pic] при х ≥ 0?

Домашнее задание: № 353, № 356, № 363.

У р о к 2 (32)
Использование графика и свойств функции y = [pic]
при решении различных задач

Цели: продолжить формирование умения строить график функции y = [pic] и использовать её свойства при решении различных задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Определите, принадлежат ли графику функции y = [pic] следующие точки:

а) А (49; 7); в) С [pic] ;

б) В (–36; 6); г) D [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

1. Сравните числа:

а) [pic] и [pic] ; в) [pic] и [pic] ;

б) [pic] и [pic] ; г) 2,7 и [pic] .

2. Расположите числа в порядке убывания:

а) 5; [pic] ; [pic] ; 7 [pic] ;

б) 0,25; [pic] ; [pic] и [pic] .

3. № 358, № 362 (а).

4. № 359.

Р е ш е н и е

Чтобы доказать, что графики функций y = [pic] и у = х + 0,5 не имеют общих точек, достаточно их построить.

[pic]

Можно эту задачу решить аналитически, показав, что с увеличением значений аргумента значения функции у = х + 0,5 увеличивается быстрее, чем значения функции y = [pic] .

5. № 360 (а, в), № 361.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 475.

Р е ш е н и е

а) Построим график функции y = [pic] и будем относительно него передвигать прямые вида y = x + b. Это параллельные прямые, которые образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

[pic]

Таким образом, очевидно, что уравнение [pic] = x + b может иметь один, два корня, а может и не иметь корней.

б) Прямые вида y = –x + b – это параллельные прямые, которые образуют тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

[pic]

Получаем, что уравнение [pic] = –x + b имеет либо один корень, либо не имеет корней.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Постройте график функции y = [pic] . По графику найдите:

а) значение функции при х = 1; 3; 4; 6;

б) значение аргумента, которому соответствует значение y = [pic] ; 1; 1,8; 3.

2. Принадлежит ли графику функции y = [pic] точка:

а) А (36; 6); б) В (–9; 3); в) С [pic] ?

3. Сравните числа:

а) [pic] и [pic] ; в) 2 и [pic] ;

б) [pic] и [pic] ; г) [pic] и 2.

В а р и а н т 2

1. Постройте график функции y = [pic] . По графику найдите:

а) значение функции при х = 0; 2; 5; 9;

б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 0,49; 1,5; 2 [pic] ; 2,8.

2. Принадлежит ли графику функции y = [pic] точка:

а) А (81; 9); б) В (–16; 4); в) С [pic] ?

3. Сравните числа:

а) [pic] и [pic] ; в) 3 и [pic] ;

б) [pic] и [pic] ; г) [pic] и 4.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какими свойствами обладает функция y = [pic] ?

– Как сравнить два квадратных корня?

– Сколько общих точек могут иметь графики функций y = [pic]
и y = kx + b?

Домашнее задание: № 360 (б, г), № 362 (б), № 365.

У р о к 1 (33)
Вычисление квадратного корня
из произведения и дроби

Цели: выявить и доказать свойства квадратного корня; формировать умение непосредственно применять их при вычислениях.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] ;

и) [pic] ; к) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

При объяснении необходимо показать преимущество, которое дает при вычислениях использование свойств корней. Это будет способствовать созданию у учащихся мотивации к осознанному восприятию материала.

Начать можно с того, что предложить учащимся на калькуляторе вычислить значения нескольких корней:

1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] .

После этого предложить другой способ вычисления без использования калькулятора:

[pic] ;

[pic] .

Предложить учащимся сравнить полученные результаты и сделать предположение.

После того как учащиеся сделают предположение, что такой прием будет справедлив для любых неотрицательных чисел, попросить их сформулировать данное свойство.

Затем учитель четко сам формулирует свойство: корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.

Проводится доказательство свойства, а на доску выносится запись:

Аналогично формулируется второе свойство и выносится на доску его запись: Далее предложить учащимся вычислить [pic] .

Большинство из них догадаются внести множители под общий корень. Учитель сообщает, что использование полученных равенств справа налево дает правила умножения и деления корней:

[pic] , где a ≥ 0 и b ≥ 0.

[pic] , где a ≥ 0 и b > 0.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению изученных свойств квадратных корней при вычислениях.

1. № 369, № 370.

2. № 378, № 379.

3. № 382, № 383.

4. № 385 (а, в, д, ж), № 386.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте свойство вычисления корня из произведения неотрицательных чисел.

– Сформулируйте свойство вычисления корня из частного от деления неотрицательного числа на положительное число.

– Сформулируйте правила умножения и деления корней.

– Как вычислить корень из смешанного числа?

Домашнее задание: № 371, № 384, № 385 (б, г, е, з).

У р о к 2 (34)
Квадратный корень из произведения и дроби
при преобразовании выражений с корнем

Цели: продолжить формирование умения применять свойства квадратного корня при преобразовании выражений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) 2 [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] ;

и) [pic] ; к) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

1. № 372, № 387 (а, в, д, ж).

2. № 374.

Р е ш е н и е

Это задание может вызвать затруднения у учащихся. Раньше им встречались выражения вида [pic] , в которых [pic] и [pic] извлекались. При выполнении данного номера это свойство корней напрямую применять нецелесообразно.

Необходимо подкоренное выражение представить в виде произведения таких множителей, из которых корень извлекается.

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic] ;

д) [pic] ;

е) [pic] ;

ж) [pic] ;

з) [pic] .

3. № 376.

При выполнении этого задания учащиеся довольно часто допускают следующую ошибку: [pic] = 13 – 12 = 1.

В этом случае следует предложить учащимся вычислить значение подкоренного выражения, извлечь корень и сравнить полученные результаты.

Данный пример помогает избежать подобных ошибок в дальнейшем и еще раз заостряет внимание учащихся на свойствах квадратных корней.

Если в примерах а) и б) учащиеся просто могут вычислить значение подкоренного выражения и извлечь корень, то в следующих примерах это можно сделать только при помощи калькулятора. Чтобы учащиеся «увидели» формулу разности квадратов, нужно требовать вычислений без калькулятора.

в) [pic] ;

д) [pic]

[pic] .

4. № 380.

Р е ш е н и е

а) [pic] .

– Преобразуем выражение, стоящее в правой части равенства:

[pic] .

б) [pic] .

[pic] .

Некоторым сильным в учебе учащимся дополнительно можно предложить выполнить задания по карточкам.

К а р т о ч к а № 1

1. Расположите в порядке возрастания числа: [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

3. Известно, что a < 0 и b < 0. Представьте выражение [pic] в виде частного корней.

К а р т о ч к а № 2

1. Расположите в порядке возрастания числа: [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

3. Известно, что a < 0 и b < 0. Представьте выражение [pic] в виде частного корней.

Р е ш е н и е заданий карточки № 1.

1. Все дроби имеют числители, равные 1. Поэтому достаточно сравнить знаменатели дробей. Имеем:

2 [pic] < 3 < [pic] , поэтому [pic] .

2. а) [pic]

= 10 · 11 · 6 = 660;

б) [pic]

[pic]

= 2160;

в) [pic]

[pic] = 8,5.

3. Если a < 0 и b < 0, то [pic] ≠ [pic] ∙ [pic] .

Чтобы подкоренные выражения стали положительными, перед ними нужно поставить «минус». Получим, что [pic] = [pic] .

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте свойство вычисления корня из произведения неотрицательных чисел.

– Сформулируйте правила умножения и деления корней.

– Как преобразовать выражение вида [pic] , если корни из чисел х и у не извлекаются?

Домашнее задание: № 373, № 375, № 377 (б, г, е), № 387 (б, г, е, з).

У р о к 1 (35)
Применение свойства квадратного корня
из степени при вычислениях

Цели: изучить свойство квадратного корня из степени и формировать умение его применять при вычислении выражений с корнем.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Найдите значение корня:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

В а р и а н т 2

1. Найдите значение корня:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно вывели свойство квадратного корня из степени.

Им уже знакомо следующее свойство: [pic] = x. Предварительно можно провести актуализацию знаний учащихся, предложив им вычислить устно:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

Затем попросить учащихся сделать предположение, чему равно значение выражения [pic] . Довольно часто учащиеся говорят, что как [pic] = x, так и [pic] = x.

Чтобы они поняли, в чём состоит их ошибка, нужно взять конкретные значения х и подставить их в выражение [pic] . Н а п р и м е р: x = 5; [pic] ; –1; –3.

Полученные равенства вынести на доску:

[pic] = 5;

[pic] ;

[pic] = 1;

[pic] = 3.

После этого попросить учащихся сформулировать, в чём состояла их ошибка, как её исправить. Они должны осознать, что если х – положительное число, то [pic] = x, а если х – отрицательное число, то [pic] = –x. Поэтому

[pic]

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 393 (а, в, д, ж, и).

На первых порах требовать от учащихся подробных записей:

а) [pic] = | 0,1 | = 0,1;

в) [pic] = | –0,8 | = 0,8.

Это позволит закрепить изученное свойство и избежать в дальнейшем ошибок.

2. № 394 (а, б).

3. № 402.

При выполнении этого номера также необходимо вести подробные записи.

а) [pic] = 121;

в) [pic] = 81;

д) [pic] = 48.

4. № 403.

Р е ш е н и е

а) [pic] = 16 ∙ 9 = 144;

г) [pic] = 25 ∙ 3 ∙ 11 = 825.

Некоторым учащимся дополнительно можно предложить выполнить № 482 (а, в, д, ж).

Р е ш е н и е

а) [pic] = 4 ∙ 2 = 8;

в) [pic] = 256 ∙ 4 = 1024;

д) [pic] = 4 ∙ 9 = 36;

ж) [pic]

[pic] = 25 ∙ 9 ∙ 10 = 2250;

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Чему равно выражение [pic] ?

– Сформулируйте свойство квадратного корня из квадрата.

– Чему равно выражение [pic] , если х > 0? x < 0?

– При каких значениях х верно равенство [pic] = [pic] ?

Домашнее задание: № 393 (б, г, е, з), № 394 (в), № 401, № 404.

У р о к 36
Квадратный корень из степени
при преобразовании различных выражений

Цели: продолжить формирование умения применять свойство квадратного корня из степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют более сложные задания на преобразование корня из степени.

Все задания можно условно разбить на две группы. В первую группу войдут задания, в которых необходимо применить формулу [pic] = | x |, раскрыв знак модуля в зависимости от значения x. Во второй группе будут задания повышенного уровня сложности. Их можно выполнять в классе с высоким уровнем подготовки.

1-я г р у п п а.

1. № 395, № 396 (а, б, г, д, ж).

2. № 484 (устно).

3. № 487 (а, б, г, ж).

Р е ш е н и е

а) [pic] .

Так как а² ≥ 0 при любом а и b² ≥ 0 при любом b, то [pic] и [pic] . Имеем:

[pic] .

б) [pic] .

По условию b ≥ 0, значит [pic] ; с⁴ ≥ 0 при любом с, значит [pic] . Имеем:

[pic] .

г) [pic] .

По условию р ≥ 0, поэтому [pic] = p; у ≤ 0, поэтому [pic] . Имеем:

[pic] .

ж) [pic] .

По условию х < 0, поэтому [pic] ; у < 0, поэтому [pic] . Имеем:

[pic] .

2-я г р у п п а.

1. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] ;

в) [pic] .

2. № 397.

Р е ш е н и е

[pic] .

Если 0 ≤ а < 2, то а – 2 < 0, то есть [pic] = 2 – a.

Если а ≥ 2, то а – 2 ≥ 0, то есть [pic] = a – 2.

3. № 400.

Р е ш е н и е

а) [pic] ;

б) [pic] .

4. № 485 (а, г).

Р е ш е н и е

а) y = [pic] .

Преобразовав выражение [pic] , получим функцию y = [pic] . Для построения её графика нужно раскрыть знак модуля, рассмотрев два случая:

1) если х > 0, то y = [pic] , то есть у = 1;

2) если х < 0, то y = [pic] , то есть у = –1.

Получим такой график:

[pic]

г) y = [pic] .

y = [pic] .

1) если х ≥ 0, то у = –х²;

2) если х < 0, то у = х².

[pic]

5. № 488.

Р е ш е н и е

Преобразуем выражение, стоящее под корнем. Сначала перемножим первый множитель с четвёртым, а второй – с третьим.

[pic] .

Сделаем замену: п² + 3п = т. Получим:

[pic]

[pic] .

Если п – натуральное число, то выражение п² + 3п принимает натуральные значения, то есть число т – натуральное. Это значит, что | m + 1 | =
= m + 1 и это выражение принимает всегда натуральные значения.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Упростите выражение:

а) [pic] , если m > 0; в) [pic] , если n < 0;

б) [pic] , если с < 0; г) [pic] .

3*. Вычислите:

[pic] .

В а р и а н т 2

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Упростите выражение:

а) [pic] , если р < 0; в) [pic] , если с < 0;

б) [pic] , если х > 0; г) [pic] .

3*. Вычислите:

[pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Чему равно выражение [pic] , если х > 0? х < 0?

– При каких значениях а верно равенство [pic] ? [pic] ?

– Может ли выражение [pic] принимать отрицательные значения? Почему?

– Какие значения может принимать выражение [pic] ?

Домашнее задание: № 396 (в, е, з), № 487 (в, д, е, з).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 398, № 485 (б, в).

В а р и а н т 1

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Упростите выражение:

а) [pic] , если m > 0; в) [pic] , если n < 0;

б) [pic] , если с < 0; г) [pic] .

3*. Вычислите:

[pic] .

В а р и а н т 2

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Упростите выражение:

а) [pic] , если р < 0; в) [pic] , если с < 0;

б) [pic] , если х > 0; г) [pic] .

3*. Вычислите:

[pic] .

В а р и а н т 1

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Упростите выражение:

а) [pic] , если m > 0; в) [pic] , если n < 0;

б) [pic] , если с < 0; г) [pic] .

3*. Вычислите:

[pic] .

В а р и а н т 2

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Упростите выражение:

а) [pic] , если р < 0; в) [pic] , если с < 0;

б) [pic] , если х > 0; г) [pic] .

3*. Вычислите

У р о к 37
Контрольная работа № 3

В а р и а н т 1

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] – 1; в) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] .

3. Решите уравнение: а) х² = 0,49; б) х² = 10.

4. Упростите выражение:

а) [pic] , где х ≥ 0; б) [pic] , где b < 0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число [pic] .

6. При каких значениях переменной а имеет смысл выражение [pic] ?

В а р и а н т 2

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] .

3. Решите уравнение: а) х² = 0,64; б) х² = 17.

4. Упростите выражение:

а) [pic] , где у ≥ 0; б) [pic] , где а < 0.

6. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение [pic] ?

В а р и а н т 3

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] .

3. Решите уравнение: а) х² = 0,81; б) х² = 46.

4. Упростите выражение:

а) [pic] , где b ≤ 0; б) [pic] , где х > 0.

6. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение [pic] ?

В а р и а н т 4

1. Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Найдите значение выражения:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] .

3. Решите уравнение: а) х² = 0,09; б) х² = 92.

4. Упростите выражение:

а) [pic] , где х ≥ 0; б) [pic] , где у < 0.

6. При каких значениях переменной у имеет смысл выражение [pic] ?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) [pic] = 0,1 + 2 = 2,1;

б) [pic] – 1 = 1,5;

в) [pic] = 2.

2. а) [pic] = 4;

б) [pic] = 28;

в) [pic] = 2;

г) [pic] = 72.

3. а) х² = 0,49

х = ±0,7;

б) х² = 10

х = ± [pic] .

4. а) [pic] .

Так как х ≥ 0, то | x | = x. Получим:

[pic] .

б) [pic] .

Так как b < 0, то | b | = –b. Получим:

[pic] .

5. 4,1 < [pic] < 4,2.

6. Чтобы выражение [pic] имело смысл, должны выполняться два условия:

1) а ≥ 0;

2) [pic] – 4 ≠ 0

[pic] ≠ 4

a ≠ 16.

О т в е т: а ≥ 0 и a ≠ 16.

В а р и а н т 2

1. а) [pic] = 7 + 0,9 = 7,9;

б) [pic] = 1,5 – 5 = –3,5;

в) [pic] = 6.

2. а) [pic] = 3;

б) [pic] = 12;

в) [pic] = 3;

г) [pic] = 20.

3. а) х² = 0,64

х = ±0,8;

б) х² = 17

х = ± [pic] .

4. а) [pic] .

Так как у ≥ 0, то | y | = y. Получим:

[pic] .

б) [pic] .

Так как а < 0, то | a | = –a. Получим:

[pic] = –28.

5. 6,1 < [pic] < 6,2.

6. Чтобы выражение [pic] имело смысл, должны выполняться два условия:

1) х ≥ 0;

2) [pic] – 5 ≠ 0

[pic] ≠ 5

х ≠ 25.

О т в е т: х ≥ 0 и х ≠ 25.

В а р и а н т 3

1. а) [pic] = 12 – 0,55 = 11,45;

б) [pic] = –0,5;

в) [pic] = 5.

2. а) [pic] = 3,6;

б) [pic] = 60;

в) [pic] = 5;

г) [pic] = 54.

3. а) х² = 0,81

х = ±0,9;

б) х² = 46

х = ± [pic] .

4. а) [pic] .

Так как b ≤ 0, то | b | = –b. Получим:

[pic] .

б) [pic] .

Так как х > 0, то | x | = x. Получим:

[pic] = 14x.

5. 5,2 < [pic] < 5,3.

6. Чтобы выражение [pic] имело смысл, должны выполняться два условия:

1) х ≥ 0;

2) [pic] – 2 ≠ 0

[pic] ≠ 2

х ≠ 4.

О т в е т: х ≥ 0 и х ≠ 4.

В а р и а н т 4

1. а) [pic] = 2 + 0,3 = 2,3;

б) [pic] = 2,1 + 0,9 = 3;

в) [pic] = 0,8.

2. а) [pic] = 3;

б) [pic] = 42;

в) [pic] = 4;

г) [pic] = 56.

3. а) х² = 0,09

х = ±0,3;

б) х² = 92

х = ± [pic] .

4. а) [pic] .

Так как х ≥ 0, то [pic] . Получим:

[pic] .

б) [pic] .

Так как у < 0, то [pic] . Получим:

[pic] .

5. 7,4 < [pic] < 7,5.

6. Чтобы выражение [pic] имело смысл, должны выполняться два условия:

1) у ≥ 0;

2) [pic] + 3 ≠ 0

у – любое.

О т в е т: у ≥ 0.

У р о к 38
Вынесение множителя за знак корня.
Внесение множителя под знак корня

Цели: изучить такие преобразования квадратных корней, как вынесение множителя за знак корня и внесение множителя под знак корня; формировать умение выполнять эти преобразования.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] ;

д) [pic] ; е) [pic] ; ж) [pic] ; з) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение материала проводить согласно пункту учебника, но придать ему больше проблемности и требовать от учащихся самостоятельности при формулировании выводов.

1. Поставить проблему: как сравнить значения выражений [pic] и [pic] .

2. Рассмотреть два способа, которые могут быть использованы для этого.

3. Сделать выводы.

Спросить учащихся, какое действие нужно было выполнить при решении задачи первым способом.

Сообщить им, что такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Аналогично проанализировать действие, выполняемое при решении задачи вторым способом, и сообщить учащимся, что это преобразование называется внесением множителя под знак корня.

После этого можно задать учащимся вопрос: в каких случаях пригодятся умения выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня? Добиться, чтобы учащиеся выделили две основные ситуации, в которых применяются данные умения:

1) Сравнение двух выражений.

2) Преобразование выражений.

IV. Формирование умений и навыков.

З а д а н и я можно разбить на т р и г р у п п ы:

 Вынесение множителя за знак корня.

 Внесение множителя под знак корня.

 Сравнение значений выражений с корнями.

1-я г р у п п а.

№ 407, № 408.

Не все учащиеся могут быстро раскладывать подкоренные выражения на два «удобных» множителя. Некоторые подбирают «очевидные» делители, например 4 или 9. В этом случае не нужно требовать от учащихся, чтобы они отыскивали другое разложение, главное – получение верного результат.

Н а п р и м е р, [pic] .

Этот же результат можно получить по-другому:

[pic] .

2-я г р у п п а.

1. № 410.

2. № 412.

При выполнении этого номера учащиеся могут допустить довольно распространённую ошибку: внести под корень отрицательный множитель:

[pic] .

В этом случае нужно предложить учащимся сравнить с нулем данное и полученное число. Данное число является отрицательным, а после внесения множителя под корень получили положительное число. Учащиеся должны найти ошибку в рассуждениях и сделать выводы.

3-я г р у п п а.

1. № 414, № 417.

2. № 416.

3. № 411.

Р е ш е н и е

Из данных четырёх выражений не имеет смысла то, которое содержит под корнем отрицательное число. Таким образом, нужно сравнить с нулём все подкоренные выражения. А для этого нужно сравнить уменьшаемое и вычитаемое.

1. [pic] имеет смысл, так как [pic] > 4.

2. [pic] имеет смысл, так как [pic] > [pic] .

3. [pic] имеет смысл, так как [pic] > [pic] .

4. [pic] не имеет смысла, так как [pic] < 14.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чём состоит приём вынесения множителя из-под знака корня?

– В чём состоит приём внесения множителя под знак корня?

– Как сравнивать значения выражений, содержащих корни?

– Как сравнивать корень с целым числом?

Домашнее задание: № 409, № 413, № 415.

У р о к 1 (39)
Приведение подобных радикалов
и применение формул сокращённого умножения
при преобразовании выражений с корнями

Цель: формировать умения выделять и приводить подобные радикалы, преобразовывать выражения, содержащие корни, с использованием формул сокращённого умножения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Внесите множитель под знак корня:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

3. Сравните значения выражений:

а) [pic] и [pic] ; б) [pic] и [pic] .

В а р и а н т 2

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Внесите множитель под знак корня:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

3. Сравните значения выражений:

а) [pic] и [pic] ; б) [pic] и [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили все свойства квадратных корней и все виды преобразований выражений с корнями, которые они уже умеют выполнять.

Затем рассмотреть несколько примеров, отражающих другие виды преобразований: приведение подобных радикалов и применение формул сокращённого умножения.

П р и м е р 1 (пример из учебника).

П р и м е р 2. Преобразуйте выражение:

а) [pic] = 20 – 9 = 11;

б) [pic] = 7.

Остальные виды преобразований целесообразно рассмотреть на следующем уроке.

IV. Формирование умений и навыков.

Учащимся уже известно понятие «подобные слагаемые».

На этом уроке вводится понятие «подобные радикалы» и формируется умение упрощать соответствующие выражения.

З а д а н и я, которые должны быть выполнены на этом уроке, можно разбить на д в е г р у п п ы:

1) Выделение и приведение подобных радикалов.

2) Преобразование выражений, содержащих корни, с использованием формул сокращенного умножения.

1-я г р у п п а.

1. Приведите подобные слагаемые.

а) [pic] ; в) [pic] ;

б) [pic] ; г) [pic] .

2. № 421, № 422 (а, в).

2-я г р у п п а.

1. № 423, № 426.

2. № 425.

Р е ш е н и е

а) [pic]

[pic]

= 8 + 6 = 14.

б) [pic]

[pic] = 8.

Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить задания по карточкам.

К а р т о ч к а № 1

1. Упростите выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

2. Докажите, что [pic] = 2.

3. Выберите выражение, равное [pic] :

А. [pic] – 3; Б. [pic] ; В. 3 – [pic] .

К а р т о ч к а № 2

1. Упростите выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

2. Докажите, что [pic] = 33.

3. Выберите выражение, равное [pic] :

А. [pic] – 2; Б. [pic] ; В. [pic] .

Р е ш е н и е з а д а н и й карточки № 1

1. а) [pic]

[pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic]

[pic] .

2. [pic]

[pic]

[pic] = 2.

3. Выражение А является отрицательным, поэтому его можно не проверять. Возведём выражения Б и В в квадрат.

[pic] ;

[pic] .

О т в е т: В.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие существуют виды преобразований квадратных корней?

– Как привести подобные радикалы?

– Рациональным или иррациональным является выражение вида [pic] ?

Домашнее задание: № 422 (б, г, д, е), № 424.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 496.

У р о к 2 (40)
Сокращение дробей, содержащих
квадратные корни, и освобождение
от иррациональности в знаменателе дроби

Цели: продолжить формирование умения преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Приведите подобные радикалы:

а) [pic] ; д) [pic] ;

б) [pic] ; е) [pic] ;

в) [pic] ; ж) [pic] ;

г) [pic] ; з) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

З а д а н и я, выполняемые учащимися на этом уроке, можно разбить на д в е г р у п п ы:

1) Сокращение дробей, содержащих квадратные корни.

2) Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

1-я г р у п п а.

1. № 427, № 428.

2. № 429.

2-я г р у п п а.

1. № 431.

2. № 433 (а, в, д).

Р е ш е н и е

а) [pic] ;

в) [pic] ;

д) [pic]

[pic] .

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить ещё несколько заданий.

1. Сократите дробь:

[pic] .

Р е ш е н и е

[pic]

[pic] .

2. Вычислите:

[pic] .

Р е ш е н и е

[pic]

[pic] .

3. Освободить от иррациональности в знаменателе дроби:

[pic] .

Р е ш е н и е

[pic]

[pic] .

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Упростите выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

2. Выполните действия:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

3. Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) [pic] ; б) [pic] .

В а р и а н т 2

1. Упростите выражение:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

2. Выполните действия:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] .

3. Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Освободить от иррациональности в знаменателе дроби:

а) [pic] ; б) [pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как приводить подобные радикалы?

– Как освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби в различных случаях?

Домашнее задание: № 430, № 432, № 433 (б, г, е).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 503 (а, д), № 507 (а).

У р о к 3 (41)
Решение различных задач,
связанных с преобразованием выражений,
содержащих квадратные корни

Цели: закрепить знания и умения учащихся по преобразованию выражений, содержащих квадратные корни.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Приведите подобные слагаемые:

а) [pic] ; д) [pic] ;

б) [pic] ; е) [pic] ;

в) [pic] ; ж) [pic] ;

г) [pic] ; з) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют более сложные задания на преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Все задания можно разбить на две группы. Во вторую группу войдут задания повышенного уровня сложности, поэтому их можно не выполнять в классе с низким уровнем подготовки.

1-я г р у п п а.

1. № 436 (а, в, д), № 437.

2. № 435 (а, в).

3. № 434.

Р е ш е н и е

а) Преобразуем данное выражение:

[pic] .

Таким образом, значение выражения является рациональным числом.

б) [pic] .

Таким образом, значение выражения является иррациональным числом.

4. № 438.

Р е ш е н и е

Известно, что взаимно-обратные числа в произведении дают единицу, а противоположные числа в сумме дают ноль.

[pic] = 4 – 3 = 1, то есть данные числа являются взаимно-обратными.

[pic]

[pic] = 0, то есть данные числа являются противоположными.

2-я г р у п п а.

1. № 508.

Р е ш е н и е

– Сначала сократим данную дробь:

[pic] .

Так как выражение [pic] положительно при любых х, то дробь [pic] принимает наибольшее значение, когда её знаменатель наименьший. Выражение [pic] принимает наименьшее значение при х = 0.

О т в е т: при х = 0.

2. № 511.

Р е ш е н и е

[pic]

[pic] .

Выражение [pic] + 7 положительно при всех допустимых значениях b, поэтому [pic] .

По условию 0 ≤ b ≤ 49, при таких значениях b выражение [pic] – 7 меньше либо равно нулю, поэтому [pic] .

Таким образом, имеем:

[pic] = 14, то есть исходное выражение не зависит от b.

3. Докажите, что верно равенство:

[pic] – 1.

Р е ш е н и е

– Освободимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби:

[pic] – 1;

[pic] ;

[pic] .

Преобразуем левую часть исходного равенства, подставляя в него полученные выражения:

[pic] – 1

[pic] – 1.

Равенство доказано.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а?

– Сформулируйте все свойства арифметического квадратного корня.

– В чём состоит приём вынесения множителя из-под знака корня? внесения множителя под знак корня? Когда используются эти приёмы?

– Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби?

Домашнее задание: № 435 (б, г), № 436 (б, г, е), № 439.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 506 (в, г).

У р о к 42
Контрольная работа № 4

В а р и а н т 1

1. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Сравните: [pic] и [pic] .

3. Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) [pic] ; б) [pic] .

5. Докажите, что значение выражения [pic] есть число рациональное.

6. При каких значениях а дробь [pic] принимает наибольшее значение?

В а р и а н т 2

1. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Сравните: [pic] и [pic] .

3. Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) [pic] ; б) [pic] .

5. Докажите, что значение выражения [pic] есть число рациональное.

6. При каких значениях х дробь [pic] принимает наибольшее значение?

В а р и а н т 3

1. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Сравните: [pic] и [pic] .

3. Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) [pic] ; б) [pic] .

5. Докажите, что значение выражения [pic] есть число рациональное.

6. При каких значениях х дробь [pic] принимает наибольшее значение?

В а р и а н т 4

1. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] .

2. Сравните: [pic] и [pic] .

3. Сократите дробь:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) [pic] ; б) [pic] .

5. Докажите, что значение выражения [pic] есть число рациональное.

6. При каких значениях р дробь [pic] принимает наибольшее значение?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) [pic]

[pic] ;

б) [pic]

= 10 – 6 = 4;

в) [pic] .

2. [pic] ;

[pic] .

Так как [pic] , то [pic] .

3. а) [pic] ;

б) [pic] .

4. а) [pic] ;

б) [pic]

[pic] .

5. [pic]

[pic] .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. [pic] .

Выражение [pic] принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.

Дробь [pic] будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение [pic] принимает наименьшее значение при а = 0.

О т в е т: при а = 0.

В а р и а н т 2

1. а) [pic]

[pic] = 0;

б) [pic]

= 15 – 10 = 5;

в) [pic]

[pic] .

2. [pic] ;

[pic] .

Так как [pic] , то [pic] .

3. а) [pic] ;

б) [pic] + 2.

4. а) [pic] ;

б) [pic]

[pic] – 6.

5. [pic]

[pic] .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. [pic] .

Выражение [pic] принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.

Дробь [pic] будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение [pic] принимает наименьшее значение при х = 0.

О т в е т: при х = 0.

В а р и а н т 3

1. а) [pic]

[pic] ;

б) [pic]

= 10 – 4 = 6;

в) [pic] .

2. [pic] ,

[pic] .

Так как [pic] , то [pic] .

3. а) [pic] ;

б) [pic] .

4. а) [pic] ;

б) [pic]

[pic] .

5. [pic]

[pic] .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. [pic] .

Выражение [pic] принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.

О т в е т: при х = 0.

В а р и а н т 4

1. а) [pic]

[pic] ;

б) [pic]

= 12 + 9 = 21;

в) [pic]

[pic] .

2. [pic] ;

[pic] .

Так как [pic] , то [pic] .

3. а) [pic] ;

б) [pic] .

4. а) [pic] ;

б) [pic]

[pic] .

5. [pic]

[pic] = –1.

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. [pic] .

Выражение [pic] принимает положительные значения при всех допустимых значениях р.

Дробь [pic] будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение [pic] принимает наименьшее значение при р = 0.

О т в е т: при р = 0.

ГЛАВА 3. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 19 ЧАСОВ

У р о к 1 (43)
Определение квадратного уравнения

Цели: ввести понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения; формировать умения записывать квадратное уравнение в общем виде, различать его коэффициенты.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли число а корнем уравнения:

а) 2х – 7 = 8, а = 7,5;

б) х² – х – 20 = 0, а = 5;

в) (х³ + 12) (х² – 8) = 0, а = [pic] .

2. Найдите корни уравнения:

а) (х – 3 ) (х + 12) = 0;

б) (6х – 5) (х + 5) = 0;

в) (х – 8) (х + 2) (х² + 25) = 0.

III. Объяснение нового материала.

Для введения понятия квадратного уравнения используется задача, при решении которой возникает уравнение, еще не известное учащимся. Возникает проблемная ситуация: мы не можем решить практическую задачу, так как пока не умеем решать уравнения нового вида. На этом уроке можно просто указать, какие корни имеет полученное уравнение и сообщить, что такое уравнение называется квадратным.

На доску выносится запись:

Далее рассматривается вопрос о коэффициентах квадратного уравнения. Число а называется первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом и число с – свободный член. Особое внимание обращаем, что число а не может быть равным нулю, так как в этом случае уравнение примет вид bх + с = 0, а это линейное уравнение.

Числа b и с, в отличие от а, могут быть и равными нулю. Если хотя бы одно из них равно нулю, то уравнение называется неполным. Можно предложить учащимся самостоятельно выписать виды неполных квадратных уравнений:

Уравнение

ах² + с = 0

ах² + bх = 0

ах² = 0

Для усвоения понятия квадратного уравнения и его коэффициентов следует предложить учащимся задание:

– Укажите, какие из данных уравнений являются квадратными, объясните ответ:

а) 2х² + 7х – 3 = 0; д) [pic] х² – 6х + 1 = 0;

б) 5х – 7 = 0; е) 7х² + 5х = 0;

в) –х² – 5х – 1 = 0; ж) 4х² + 1 = 0;

г) [pic] + 3х + 4 = 0; з) х² – [pic] = 0.

Затем определяется, какое квадратное уравнение называется приведенным, приводятся примеры.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить тому, чтобы учащиеся усвоили понятие квадратного уравнения, могли выделять его из множества уравнений, называть коэффициенты, преобразовывать неприведённое квадратное уравнение в приведённое, овладели соответствующей терминологией.

1. Заполните таблицу.

Окончание табл. 2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:

а) а = –4; b = 3; с = 1; в) а = –1; b = [pic] ; с = 0;

б) а = [pic] ; b = 0; с = [pic] ; г) а = 2; b = 0; с = 0.

3. Приведите уравнение к виду ах² + bх + с = 0:

а) –х + 2х² – 4 = 0; г) (х – 3) (х + 3) = 2;

б) 2х² – 3х = 5х – 1; д) (х – 1)² = 2х + 4.

в) (х – 2) (3х – 5) = 0;

4. Какое из чисел 1; –3 является корнем данного уравнения?

а) 2у² – 3у + 1 = 0; б) –х² – 5х – 6 = 0;

в) [pic] t² + t – 1,5 = 0; г) 25z² – 10z + 1 = 0.

5. Какие из данных уравнений являются приведёнными; неполными?

а) х² – 3х + 5 = 0; г) х² – [pic] х = 0;

б) –х² – 7х + 1 = 0; д) [pic] х² = 0;

в) [pic] х² + 5х – 1 = 0; е) х² – 5 = 0.

6. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:

а) –х² + 2х – 5 = 0; г) 3х² + 9х – [pic] = 0;

б) [pic] х² + 3х – 1 = 0; д) –5х² + 10х + 125 = 0;

в) 2х² – 4х = 0; е) 18х² = 0.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется квадратным?

– Может ли коэффициент а в квадратном уравнении быть равным нулю?

– Является ли уравнение 3х² – 7 = 0 квадратным? Назовите коэффициенты этого уравнения.

– Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите примеры.

– Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите примеры.

– Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

Домашнее задание:

1. № 512, № 513.

2. Приведите уравнение к виду ах² + bх + с = 0.

а) (3х – 1) (х + 2) = 0; в) (3 – х) (3 + х) = 2;

б) –3х² + 4х = –8х + 1; г) (х – 2)² = –3х + 5.

У р о к 2 (44)
Решение неполных квадратных уравнений

Цели: формировать умения решать неполные квадратные уравнения различных видов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите корни уравнения:

а) х² = 0; б) х² = 16; в) х² = [pic] ; г) х² = 144;

д) х² = [pic] ; е) х² = [pic] ; ж) х² = 2,56; з) х² = [pic] .

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Составить квадратное уравнение по его коэффициентам и проверить, является ли указанное число х0 корнем этого уравнения:

а) a = 2; b = –3; c = 1; х0 = [pic] ;

б) a = –1; b = 4; c = 0; х0 = 4;

в) a = [pic] ; b = –1; c = [pic] ; х0 = [pic] .

В а р и а н т 2

а) a = 3; b = –2; c = –1; х0 = [pic] ;

б) a = –1; b = 0; c = 9; х0 = 3;

в) a = [pic] ; b = –1; c = [pic] ; х0 = [pic] .

IV. Объяснение нового материала.

Для осознанного восприятия приёмов решения неполных квадратных уравнений объяснение проводим на конкретных примерах с последующим составлением алгоритмов решения.

1. № 514 (устно).

2. [pic]

П р и м е р 1. 3,8х² = 0.

Р е ш е н и е

– Разделим обе части уравнения на 3,8 (число, не равное нулю) и получим уравнение, равносильное исходному:

х² = 0.

Мы знаем, что существует только одно число – нуль, квадрат которого равен нулю, следовательно, уравнение имеет единственный корень х0 = 0.

О т в е т: 0.

В ы в о д: уравнение вида ах² = 0 (а ≠ 0) имеет единственный корень х0 = 0.

3. [pic]

П р и м е р 2. –3х² + 21 = 0.

Р е ш е н и е

– Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на –3:

–3х² = –21;

х² = 7.

Отсюда х = [pic] или х = – [pic] .

О т в е т: х = [pic] ; х = – [pic] .

П р и м е р 3. 4х² + 6 = 0.

Р е ш е н и е

– Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

4х² = –6;

х² = [pic] .

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то уравнение не имеет корней.

О т в е т: нет корней.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах² + с = 0 (с ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Перенесём свободный член с в правую часть уравнения.

2) Делим обе части уравнения на а (с ≠ 0, а ≠ 0), получаем уравнение х² = [pic] .

3) Если [pic] > 0, то уравнение имеет два корня:

[pic] .

Если [pic] < 0, то уравнение не имеет корней.

4. [pic]

П р и м е р 4. 5х² + 7х = 0.

Р е ш е н и е

– Разложим левую часть уравнения на множители:

х (5х + 7) = 0.

Отсюда: х = 0 или 5х + 7 = 0;

5х = –7;

х = [pic] ;

х = –1,4.

О т в е т: 0; –1,4.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах² + bx = 0 (b ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Разложим левую часть уравнения на множители, получим x (ax +
+ b) = 0.

2) Решаем уравнение ах + b = 0; х = [pic] .

3) Уравнение имеет два корня: [pic] .

5. Приведённые примеры показывают учащимся, что неполное квадратное уравнение может иметь один или два корня, а может и не иметь корней. В дальнейшем возможно обобщение этого вывода для любых квадратных уравнений.

Для систематизации знаний, полученных на уроке, можно предложить учащимся составить следующую таблицу:

Коэффициент,

равный нулю

b = 0;
c = 0

b = 0

c = 0

Вид

aх² = 0

aх² + c = 0

aх² + bх = 0

Решение

х² = 0

aх² = –c

х² = [pic]

х (aх + b) = 0

х = 0 или
aх + b = 0

Корни

х = 0

Если [pic] > 0, то х1, 2 = [pic]

Если [pic] < 0, то корней нет

х1 = 0,

х2 = [pic]

V. Формирование умений и навыков.

На первых порах желательно, чтобы учащиеся перед решением неполных квадратных уравнений вслух проговаривали их вид и алгоритм решения, пока не будет сформирован устойчивый навык.

№ 515 (а, в, д), № 517 (а, в, е), № 519 (устно), № 523 (а, в).

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое квадратное уравнение называется неполным?

– Какие существуют виды неполных квадратных уравнений?

– Какие корни имеет уравнение вида ах² = 0?

– Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b = 0, с ≠ 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

– Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b ≠ 0, с = 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

Домашнее задание: № 515 (б, г, е), № 518 (а, г, д, е), № 521 (а, в), № 520, № 522 (а, в).

У р о к 3 (45)
Решение задач с помощью
неполных квадратных уравнений

Цели: продолжить формировать умения решать неполные квадратные уравнения различного вида; формировать умения решать задачи с использованием неполных квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) 0,7 · 8; в) [pic] : 5; г) [pic] ;

д) 6,3 : 7; е) 1,2 · 6; ж) [pic] : 3; з) 0,06 · 7.

III. Математический диктант.

В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [–5], второй коэффициент равен –5 [3]. Свободный член равен нулю.

2. Запишите приведённое квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны –2 [–3].

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен –5 [–3], свободный член равен 7 [5], и решите его.

4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [5], второй коэффициент равен 5 [7], и решите его.

IV. Формирование умений и навыков.

З а д а ч и, решаемые на этом уроке, можно разбить на две группы:

1) Уравнения, сводящиеся к неполным квадратным путём преобразований.

2) Текстовые задачи, решаемые алгебраическим методом с помощью неполных квадратных уравнений.

1-я г р у п п а.

1) [pic] = 2.

Р е ш е н и е

– Умножив обе части уравнения на 4, получим:

(х – 2)² + 2(х + 1)² = 8.

После преобразований имеем уравнение:

3х² – 2 = 0;

х² = [pic] ;

х = [pic] .

О т в е т: [pic] .

2. [pic] .

Р е ш е н и е

– Умножив обе части уравнения на 12, получим:

12х² + 12 – 4 (х² + 3) = 6 (х² + 2) – 3(х² + 4);

12х² + 12 – 4х² – 12 = 6х² + 12 – 3х² – 12;

5х² = 0;

х = 0.

О т в е т: 0.

3. [pic] = (2 – х) (х + 5).

Р е ш е н и е

– Умножив обе части уравнения на 3, получим:

(х – 5)² – 6х + 5 = 3 (2 – х) (х + 5);

х² – 10х + 25 – 6х + 5 = 6х + 30 – 3х² – 15х;

4х² – 7х = 0;

х (4х – 7) = 0;

х = 0 или 4х – 7 = 0;

х = [pic] .

О т в е т: 0; [pic] .

2-я г р у п п а.

Прежде чем перейти к решению задач, необходимо, чтобы учащиеся проговорили, какие этапы включает в себя решение любой задачи алгебраическим методом.

1. № 524.

Р е ш е н и е

– Последовательные целые числа отличаются на единицу (последующее больше предыдущего).

Пусть х – меньшее целое число, тогда (х + 1) – последующее целое число (большее). Произведение этих чисел равно х (х + 1), что составляет х² + х. Зная, что произведение в 1,5 раза больше квадрата меньшего числа, составим уравнение:

х² + х = 1,5х²;

–0,5х² + х = 0;

х (–0,5х + 1) = 0;

х = 0 или –0,5х + 1 = 0;

х = 2.

Очевидно, что х = 0 противоречит условию задачи (произведение чисел будет равно квадрату меньшего числа). Значит, эти числа 2 и 3.

О т в е т: 2; 3.

2. № 526.

Р е ш е н и е

Площадь квадрата составляет 59 + 85 = 144 см². Пусть х см – сторона квадрата, тогда х² см² – его площадь. Получаем уравнение:

х² = 144;

х = ±12.

Так как длина стороны квадрата выражается положительным числом, то х = –12 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 12 см.

3. № 527.

Р е ш е н и е

Пусть t ч – время, через которое расстояние между туристами будет 16 км. За это время один турист прошёл на север 4t км, а второй на запад 5t км. Расстояние между ними равно длине отрезка ЗС и вычисляется по теореме Пифагора: (ЗС)² = (0З)² + (0С)². Зная, что длина отрезка ЗС равна 16 км, составляем уравнение:

(16)² = (5t)² + (4t)²;

256 = 25t² + 16t²;

41t² = 256;

t² = [pic] ;

t = ± [pic] ;

t ≈ ±2,5.

Так как время выражается положительным числом, то t ≈ –2,5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: ≈ 2,5 ч.

4. Для сильных в учебе учащихся можно предложить задачу повышенной сложности.

№ 530.

Согласно условию, отношение длины экрана к его ширине равно 4 : 3, это значит, что можно обозначить 4х и 3х длину и ширину экрана соответственно (в дюймах). Диагональ вычисляется по теореме Пифагора:

(25)² = (4х)² + (3х)²;

625 = 16х² + 9х²;

25х² = 625;

х² = 25;

х = ±5.

х = –5 – не удовлетворяет условию задачи. Длина экрана равна 4 · 5 = 20 дюймов, а ширина равна 3 · 5 = 15 дюймов. В сантиметрах эти величины составляют 20 · 2,54 = 50,8 и 15 · 2,54 = 38,1 соответственно.

О т в е т: 20; 15; 50,8; 38,1.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое квадратное уравнение называется неполным?

– Какие существуют виды неполных квадратных уравнений и как они решаются?

– Какие этапы выделяются при решении задачи алгебраическим методом?

Домашнее задание: № 532 (б, г), № 525, № 528, № 529.

У р о к 1 (46)
Решение квадратного уравнения
выделением квадрата двучлена

Цели: ознакомить учащихся с приемом решения квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 3х² – 17х + 4 = 0; в) [pic] – х² = 0;

б) 2х – х² + 1 = 0; г) х² + 2х = 0.

2. Найдите корни уравнения:

а) х² = 1,21; в) х² = [pic] ;

б) х² = [pic] ; г) х² = 0,0049.

3. Представьте одночлен в виде удвоенного произведения двух множителей:

а) 10х; в) 7а;

б) –8у; г) [pic] .

4. Разложите на множители:

а) х² – 4х + 4; в) [pic] y² + y + 1 ;

б) а² + 6а + 9; г) 3х² – 6х + 3.

III. Объяснение нового материала.

Для осознанного восприятия приёма решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена объяснение следует проводить в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

При решении квадратных уравнений рассматриваемым приёмом учащимся необходимо свободно решать уравнения вида х² = а и (х + k)² = m.

Частично знания учащихся были актуализированы при выполнении устной работы. Чтобы ребята вспомнили, как решаются уравнения вида (х + k)² = m, необходимо им предложить з а д а н и е:

– Решите уравнение:

а) (х + 2)² = 16; г) (2х – 7)² = [pic] ;

б) (х – 3)² = [pic] ; д) (1 – 3х)² = [pic] ;

в) (х + 1)² = 4; е) (2х + 1) = 0.

2. О з н а к о м л е н и е с приёмом решения квадратного уравнения путём выделения квадрата двучлена следует начать с рассмотрения приведённого квадратного уравнения, левая часть которого представляется в виде полного квадрата двучлена:

х² + 10х + 25 = 0;

х² – 6х + 9 = 0;

х² + х + [pic] = 0 и т. п.

После этого появляется возможность подвести учащихся к мысли о том, что для решения квадратного уравнения нужно привести его к виду (х + k)² = m, а сделать это можно путём выделения квадрата двучлена. Сперва рассматриваем приведённое квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм решения квадратных уравнений данным приёмом.

х² – 6х – 7 = 0.

1-й ш а г. Записываем второй коэффициент в виде произведения двойки и некоторого числа: b = 2п.

х² – 6х – 7 = х² – 2 · 3х – 7.

2-й ш а г. Число п представляет собой второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: п = 3. Для того чтобы получить искомый квадрат двучлена (х – n)² = х² – 2 · х · п + n², необходимо прибавить п² и одновременно вычесть его:

х² – 2 · 3х – 7 = х² – 2 · 3х + 9 – 9 – 7.

3-й ш а г. Выделяем квадрат двучлена:

х² – 6х – 7 = х² – 2 · 3х + 9 – 16 = (х – 3)² – 16.

4-й ш а г. Решаем полученное уравнение, равносильное исходному:

(х – 3)² – 16 = 0;

(х – 3)² = 16;

х – 3 = 4 или х – 3 = –4;

х = 7 или х = –1.

О т в е т: –1; 7.

3. Р е ш е н и е неприведённых квадратных уравнений приёмом выделения квадрата двучлена.

Целью рассмотрения приёма решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена является подготовка к осознанному восприятию вывода общей формулы корней. Поэтому не стоит заострять внимание учащихся на технически сложных заданиях. Однако нужно рассмотреть со всем классом пример решения неприведённого квадратного уравнения указанным приёмом (с. 116–117 учебника).

IV. Формирование умений и навыков.

Следующие упражнения представляют собой последовательность квадратных уравнений, решаемых приёмом выделения квадрата двучлена, от простых к более сложным.

1. Решить устно.

а) х² + 12х + 36 = 0;

(х + 6)² = 0;

х = –6.

б) х² – х + [pic] = 0;

[pic] = 0;

х = [pic] .

2. а) х² – 8х + 15 = 0;

(х² – 8х + 16) – 16 + 15 = 0;

(х – 4)² – 1 = 0;

(х – 4)² = 1;

х – 4 = –1 или

х = 3

х – 4 = 1;

х = 5.

О т в е т: 3; 5.

б) х² – 5х – 6 = 0;

(х² – 2 · 2,5х + 6,25) – 6,25 – 6 = 0;

(х – 2,5)² – 12,25 = 0;

(х – 2,5)² = 12,25;

х – 2,5 = 3,5 или

х = 6

х – 2,5 = –3,5;

х = –1.

О т в е т: –1; 6.

в) х² – 6х + 14 = 0;

(х² – 2 · 3х + 9) – 9 + 14 = 0;

(х – 3)² + 5 = 0;

(х – 3)² = –5.

Уравнение не имеет решений.

О т в е т: нет корней.

3. а) 3х² – 4х – 4 = 0;

х² – [pic] = 0;

[pic] = 0;

[pic] ;

х – [pic] или

х = 2

х – [pic] ;

х = [pic] .

О т в е т: [pic] ; 2.

б) 2х² – 9х + 10 = 0;

х² – [pic] х + 5 = 0;

х² – 2 ∙ [pic] х + 5 = 0;

[pic] + 5 = 0;

[pic] – 5;

[pic] ;

х – [pic] или

х = 2,5

х – [pic] ;

х = 2.

О т в е т: 2; 2,5.

4. а) При каком значении а уравнение х² – ах + 9 = 0 имеет один корень?

Р е ш е н и е

– Выделим квадрат двучлена.

х² – ах + 9 = 0;

х² – 2 ∙ [pic] ∙ х + 9 = 0;

[pic] + 9 = 0;

[pic] – 9.

Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если

[pic] – 9 = 0;

[pic] = 9; а² = 36; а = ±6.

О т в е т: при а = ±6.

б) При каком значении т уравнение 3х² – тх – 6 = 0 имеет единственный корень?

Р е ш е н и е

– Выделим квадрат двучлена.

3х² – тх – 6 = 0;

х² – [pic] х – 2 = 0;

х² – 2 ∙ [pic] х – 2 = 0;

[pic] – 2 = 0;

[pic] + 2.

Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если

[pic] + 2 = 0;

[pic] = –2;

т² = –72 – нет корней.

О т в е т: нет решений.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется квадратным?

– Какое квадратное уравнение называется приведённым?

– Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

– В чём заключается приём решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена?

– Любое ли квадратное уравнение может быть решено указанным приёмом?

Домашнее задание.

Решить методом выделения квадрата двучлена:

1. 5х² + 3х – 8 = 0;

2. х² – 8х – 9 = 0.

3. № 534 (б, г, д).

4. При каких значениях п можно представить в виде квадрата двучлена выражение:

а) х² – пх + 16; б) пх² – 12х + 4?

5. № 653 (а).

У р о к 2 (47)
Вывод формулы корней квадратного уравнения

Цели: вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

1. Выпишите коэффициенты a, b, c квадратного уравнения:

В а р и а н т 1

а) х² – 3х + 17 = 0;

б) 3х² = 2;

в) –7х + 16х² = 0;

г) [pic] = 0.

В а р и а н т 2

а) 7х² + 6х – 4 = 0;

б) –х² = 5х;

в) 18 – х² = 0;

г) [pic] – 4 = 0.

2. Найдите корни уравнения:

В а р и а н т 1

а) 2х² – 18 = 0;

б) 4у² + 7у = 0;

в) х² + 16 = 0;

г) (х – 3)² – 9 = 0.

В а р и а н т 2

а) х² = 7;

б) 8у² – 5у = 0;

в) х² + 9 = 0;

г) (х + 3)² – 4 = 0.

3. Решите уравнение приемом выделения квадрата двучлена:

В а р и а н т 1

2х² – 24х + 54 = 0

В а р и а н т 2

3х² + 24х – 27 = 0

III. Объяснение нового материала.

Для мотивации изучения общей формулы корней квадратного уравнения достаточно обратить внимание учащихся на д в а м о м е н т а:

1) решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям;

2) каждый раз, решая квадратное уравнение данным приёмом, мы повторяем одни и те же шаги (алгоритм).

Указанные пункты позволяют предположить, что можно провести рассуждения о решении квадратного уравнения приёмом выделения квадрата двучлена для уравнения общего вида.

Для наглядности и осознанности восприятия можно процесс вывода формулы корней квадратного уравнения разбить на несколько шагов, записывая при этом на доске параллельно решение конкретного уравнения и уравнения общего вида.

[pic]

Ш а г 4. Выделим квадрат двучлена:

[pic]

Ш а г 5. Решим полученное уравнение:

[pic]

Замечаем, что в левой части уравнения находится квадрат выражения (двучлена). Количество корней уравнения зависит от знака правой части уравнения. Более того, 4а² > 0 для любого а ≠ 0, значит, для решения важен только знак выражения b² – 4ac. Так появляется понятие дискриминанта D = b² – 4ac («дискриминант» в переводе с латинского – различитель).

После рассмотрения вопроса о количестве корней квадратного уравнения и вывода их общей формулы полезно вывесить на доску плакат:

Решение квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, a ≠ 0;

D = b² – 4ac.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то x = [pic] .

Если D > 0, то x = [pic] .

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить вопросу определения количества корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Желательно, чтобы учащиеся за урок выучили формулу D = b² – 4ac и хорошо усвоили алгоритм нахождения корней квадратного уравнения.

1. № 533.

2. Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) х² – 5х + 9 = 0;

б) 3х² – 7х + 18 = 0;

в) [pic] t² – 2t + 8 = 0.

3. Убедитесь, что уравнение имеет единственный корень, найдите этот корень:

а) х² – 8х + 16 = 0;

б) [pic] y² – 3y + 9 = 0;

в) 0,04t² – 0,2t + 0,25 = 0.

4. № 534 (а, в), № 535 (а, в, г), № 536 (в, д), № 538 (а).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– На чем основан вывод формулы корней квадратного уравнения?

– Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?

– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

– Как определить количество корней квадратного уравнения?

– Если квадратное уравнение имеет единственный корень, то что можно сказать о трёхчлене, стоящем в левой части уравнения?

Домашнее задание: № 535 (б, д, е), № 536 (б, г, е), № 537 (а, в).

У р о к 3 (48)
Решение квадратных уравнений по формуле

Цели: продолжить формирование умения решать квадратные уравнения по формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

III. Проверочная работа.

– Вычислите дискриминант квадратного уравнения и напишите, сколько корней имеет уравнение:

В а р и а н т 1

а) 5х² – 4х – 1 = 0;

б) х² – 6х + 9 = 0;

в) 3х – х² + 10 = 0;

г) 2х + 3 + 2х² = 0.

В а р и а н т 2

а) 3х² – 5х + 2 = 0;

б) 4х² – 4х + 1 = 0;

в) 2х – х² + 3 = 0;

г) 3х + 1 + 6х² = 0.

О т в е т ы:

В а р и а н т 1

а) D = 36, 2 корня;

б) D = 0, 1 корень;

в) D = 49, 2 корня;

г) D = –20, нет корней.

В а р и а н т 2

а) D = 1, 2 корня;

б) D = 0, 1 корень;

в) D = 16, 2 корня;

г) D = –15, нет корней.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению алгоритма вычисления корней квадратного уравнения по формуле. Важно, чтобы учащиеся запомнили этот алгоритм, а также желательно, чтобы они начали запоминать формулу корней.

Во избежание формального применения алгоритма на этом уроке следует решать упражнения, в которых требуется проводить преобразования квадратного уравнения к общему виду.

Кроме того, следует приучать учащихся преобразовывать даже квадратные уравнения стандартного вида к более «удобным», решение которых будет менее громоздким и трудным, чем решение исходного уравнения. Для этого следует обратить внимание на т р и с л у ч а я, встречающиеся при решении квадратных уравнений:

1) Коэффициент а является отрицательным. Нужно домножить обе части уравнения на –1.

2) Все коэффициенты уравнения имеют общий делитель. Нужно разделить обе части уравнения на этот делитель.

3) Среди коэффициентов уравнения встречаются дробные. Нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, чтобы коэффициенты стали целыми (возможны исключения).

Также на этом уроке следует чередовать полные и неполные квадратные уравнения, чтобы учащиеся осознанно выбирали рациональный способ решения: по общей формуле либо по одному из алгоритмов решения неполного квадратного уравнения.

1. № 541 (а, г, д).

2. № 542 (б, г, ж), № 543 (б, е).

3. № 544 (а, г), № 546 (б), № 547 (б, г).

4. № 549.

№ 544.

Р е ш е н и е

а) [pic] ;

[pic] = 0;

D = [pic] = 225 + 136 = 361; D > 0; 2 корня.

[pic] = 1,7;

[pic] = –0,2.

О т в е т: –0,2; 1,7.

П р и м е ч а н и е. При решении этого квадратного уравнения нецелесообразно домножать обе части уравнения на число, чтобы получить целые коэффициенты. Наоборот, работа с дробным свободным членом позволяет упростить ход вычислений.

г) –x(x + 7) = (x – 2)(x + 2);

–х² – 7x = х² – 4;

–2х² – 7x + 4 = 0;

2х² + 7x – 4 = 0;

D = (7²) – 4 ∙ 2 ∙ (–4) = 49 + 32 = 81; D > 0; 2 корня.

[pic] = 0,5;

[pic] = –4.

О т в е т: –4; 0,5.

№ 546 (б).

Р е ш е н и е

15х² + 17 = 15 (х + 1)²;

15х² + 17 = 15 (х² + 2х + 1);

15х² + 17 = 15х² + 30х + 15;

30х – 2 = 0;

х = [pic] .

О т в е т: [pic] .

№ 549.

х² = 0,5х + 3.

Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е

– Построим график функций у = х² и у = 0,5х + 3.

Абсциссы точек пересечения графиков будут являться решением данного уравнения.

Графиком функции у = х² является парабола, вершина которой находится в начале координат, ветви направлены вверх. Контрольные точки:

Графиком функции у = 0,5х + 3 является прямая, проходящая через точки: х1 ≈ –1; х2 = 2.

А н а л и т и ч е с к о е р е ш е н и е
(с помощью формулы корней)

х² – 0,5х – 3 = 0;

2х² – х – 6 = 0;

D = (–1)² – 4 · 2 · (–6) = 1 + 48 = 49; D > 0; 2 корня.

[pic]

[pic] = –1,5;

[pic] = 2.

О т в е т: –1,5; 2.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как определить количество корней квадратного уравнения?

– Каков алгоритм вычисления корней квадратного уравнения?

– Что нужно сделать, прежде чем применять алгоритм вычисления корней, если коэффициент а квадратного уравнения является отрицательным?

– Что нужно сделать, если все коэффициенты квадратного уравнения имеют общий делитель?

– Что нужно сделать, если хотя бы один коэффициент квадратного уравнения является дробным?

Домашнее задание: № 542 (а, в, е, з), № 543 (г, д), № 544 (в), № 545 (а, г), № 547 (в).

У р о к 4 (49)
Решение квадратных уравнений
с четным вторым коэффициентом

Цели: вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты a, b, c уравнений:

а) 4х² – 5х – 7 = 0; г) 8 – 9х² = 0;

б) х² + 2 – 3х = 0; д) 11х² = 0;

в) 3х² + 2х = 0; е) 17 – х² – х = 0.

2. Решите уравнение:

а) 2х² – 18 = 0; в) х² + 16 = 0;

б) 3х² – 12х = 0; г) 3,6х² = 0.

3. Сколько корней имеет уравнение:

а) 6х² – 5х = 0; в) 3х² – 4 = 0;

б) х² – 4х + 4 = 0; г) 2х² + 7 = 0?

III. Объяснение нового материала.

С о з д а н и е п р о б л е м н о й с и т у а ц и и.

Предложить учащимся для решения квадратное уравнение 15х² – 34х +
+ 15 = 0. Используя формулу нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

D = (–34)² – 4 · 15 · 15 = 1156 – 900 = 256.

[pic] ;

[pic] .

Решая это уравнение, учащиеся вынуждены проводить вычисления достаточно громоздкие, в отличие от ранее решаемых уравнений.

Можно теперь сообщить учащимся, что для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, существует другая формула корней, позволяющая упростить вычисления.

Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника. Причём в сильном классе можно предложить учащимся проделать это самостоятельно, записав только общий вид такого уравнения:

ax² + 2 ∙ k ∙ x + c = 0 (b = 2k).

После вывода формулы возвращаемся к решенному уравнению и применяем новую формулу:

D = (–17)² – 15 · 15 = 289 – 225 = 64;

[pic] ;

[pic] .

Как видим, вычисления можно произвести «в уме», так как все значения квадратов чисел – табличные.

На доску можно вынести п л а к а т:

(обращаем внимание учащихся, что D1 в четыре раза меньше, чем D)

Р е ш е н и е к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я

a² + 2kx + c = 0, a ≠ 0;

D1 = k² – ac.

Если D1 < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D1 = 0, то x = [pic] .

Если D1 > 0, то x = [pic] .

IV. Формирование умений и навыков.

Все у п р а ж н е н и я, решаемые на этом уроке, можно разбить на три группы:

1-я г р у п п а. Упражнения на непосредственное применение формулы (II) корней квадратного уравнения.

2-я г р у п п а. Упражнения с выбором формулы (I или II) корней квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента.

3-я г р у п п а. Упражнения повышенной трудности.

1. № 539 (б, г, ж), № 540 (в, з).

При решении этих упражнений демонстрируем учащимся применение новой формулы для случая, когда корни уравнения являются иррациональными. Для этого вызываем двух учеников к доске и параллельно проводим решение по разным формулам.

№ 539 (ж).

Р е ш е н и е

7z² – 20z + 14 = 0.

D = (–20)² – 4 · 7 · 14 =

= 400 – 392 = 8.

D1 = (–10)² – 7 · 14 =

= 100 – 98 = 2.

(Ещё раз замечаем, что D1 = [pic] .)

x = [pic] .

Вынесем множитель

из-под знака корня:

x = [pic] , то есть

x = [pic] .

Таким образом, получаем такие же корни.

2. № 541 (б, в, ж), № 546 (а, г), № 550 (б), № 552 (а, в), № 553 (а).

3. № 554, № 555.

Эти упражнения можно предложить сильным в учебе учащимся, сократив для них количество заданий из 1-й и 2-й группы.

№ 554.

Р е ш е н и е

а) х² – 5х + 6 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 · 6 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x1 = [pic] = 2; x2 = [pic] = 3.

6х² – 5х + 1 = 0;

D = (–5)² – 4 · 6 · 1 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x1 = [pic] ; x2 = [pic] .

б) 2х² – 13х + 6 = 0;

D = (–13)² – 4 · 2 · 6 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x1 = [pic] ; x2 = [pic] = 6.

6х² – 13х + 2 = 0;

D = (–13)² – 4 · 6 · 2 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x1 = [pic] ; x2 = [pic] = 2.

Можно предположить, что корни уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² +
+ bx + a = 0 являются взаимно-обратными числами. Докажем это.

x1 = [pic] ;

x2 = [pic] .

x3 = [pic] ;

x4 = [pic] .

(Мы предполагаем, что b² – 4ac ≥ 0, то есть корни существуют.)

Вычислим x1 ∙ x4 = [pic] =

[pic] = 1. Значит, х1 и х4 – взаимно-обратные числа.

Аналогично доказывается, что x2 и x3 – взаимно-обратные числа.

№ 555.

Р е ш е н и е

х² – ах + (а – 4) = 0.

D = (–а)² – 4 · 1 · (а – 4) = а² – 4а + 16.

Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:

D = (а² – 2 · 2 · а + 4) + 12 = (а – 2)² + 12.

Дискриминант принимает положительные значения при любом а (точнее D ≥ 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня.

О т в е т: а) нет; б) нет; в) при любом а.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В каких случаях применяется формула II корней квадратного уравнения?

– В каком отношении находятся D1 и D?

– По какой формуле вычисляется D1?

– Можно ли применять формулу I корней квадратного уравнения, если коэффициент b чётный?

– Могут ли получиться разные корни при применении различных формул корней квадратного уравнения?

Домашнее задание: № 539 (в, е, з), № 540 (б, е, ж), № 541 (е, з), № 548 (б, г), № 551 (а, г, д).

У р о к 1 (50)
Квадратное уравнение как математическая
модель текстовой задачи

Цели: ввести понятие «математическая модель», выделить этапы решения задач алгебраическим методом; формировать умение составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:

а) 81 см²; б) 0,49 дм²; в) [pic] м²;

г) [pic] м²; д) 225 см²; е) [pic] м².

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 3х² – 7х = 0; в) 2х² – 1 = 0;

б) х² – 2х + 1 = 0; г) х² + 3х + 3 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5х² + 14х – 3 = 0; в) 7х² + 8х + 1 = 0;

б) х² – 2х + 2 = 0; г) х – 3х² – 2 = 0.

В а р и а н т 2

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 6х² – 5х = 0; в) 3х² – 4 = 0;

б) х² – 4х + 4 = 0; г) х² – 4х + 5 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5х² + 8х – 4 = 0; в) 7х² + 6х – 1 = 0;

б) х² – 6х + 11 = 0; г) 4х – 3х² – 2 = 0.

IV. Развивающее задание.

– Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

а) 1 и 3; б) [pic] и – [pic] ; в) 1 – [pic] ; 1 + [pic] .

V. Объяснение нового материала.

Объяснение следует начать с решения конкретной (с. 124 учебника) задачи. В процессе её решения учащиеся открывают н о в ы й ф а к т: корень уравнения, составленного по условию задачи, может не удовлетворять этому условию. В то же время полученные при решении квадратного уравнения два различных корня могут одновременно отвечать условию задачи. Поэтому возникает необходимость интерпретации полученного решения.

Важно, чтобы учащиеся осознали значимость новой ситуации и вместе с учителем чётко выделили этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели текстовой задачи).

3. Решение уравнения, полученного при построении математической модели.

4. Интерпретация полученного решения.

Четвёртый этап решения задачи алгебраическим методом является принципиально новым для учащихся, поэтому на нём следует заострить внимание. Можно попросить учащихся привести примеры ситуаций, когда полученный корень уравнения может противоречить условию задачи.

В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространённых ситуаций:

1) Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом (н а п р и м е р, длина, площадь, объём и т. п.).

2) Корень уравнения является числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (н а п р и м е р, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах).

3) Несоответствие полученных положительных размеров с реальными (н а п р и м е р, скорость пешехода равна 80 км/ч и т. п.).

При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными.

VI. Формирование умений и навыков.

1. № 559, № 561.

2. № 563.

Р е ш е н и е

Пусть х см – длина одного катета прямоугольного треугольника, тогда (23 – х) см – длина второго катета. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и составляет 60 см², составим уравнение:

[pic] · х · (23 – х) = 60;

х (23 – х) = 120;

23х – х² – 120 = 0;

х² – 23х + 120 = 0;

D = (–23)² – 4 · 1 · 120 = 529 – 480 = 49; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 15;

x2 = [pic] = 8.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 8; 15.

3. № 564.

В задаче встречается понятие «последовательные натуральные числа». Нужно убедиться, что учащиеся понимают, о чём идёт речь.

4. № 566.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

[pic]

Пусть х см – ширина листа картона, тогда длина оставшейся части картона равна (26 – 2х) см, а её площадь равна х (26 – 2х) см². Зная, что площадь оставшейся части картона равна 80 см², составим уравнение:

х (26 – 2х) = 80;

26х – 2х² – 80 = 0;

х² – 13х + 40 = 0;

D = (–13)² – 4 · 1 · 40 = 169 – 160 = 9; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 8;

x2 = [pic] = 5.

И н т е р п р е т а ц и я (чертёж в масштабе 1 : 2).

1-е р е ш е н и е:

[pic]

2-е р е ш е н и е:

[pic]

О т в е т: 5 см; 8 см.

5. № 568 (самостоятельное решение).

Р е ш е н и е

Пусть х – число рядов в кинотеатре, тогда (х + 8) – число мест в ряду. Количество мест в кинотеатре равно х · (х + 8). Зная, что всего в кинотеатре 884 места, составим уравнение:

х · (х + 8) = 884;

х² + 8х – 884 = 0;

D1 = 4² – 1 · (–884) = 16 + 884 = 900; D1 > 0; 2 корня.

x1 = –4 + [pic] = –4 + 30 = 26;

x2 = –4 – [pic] = –4 – 30 = –34 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 26 рядов.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что понимается под математической моделью текстовой задачи?

– Какие этапы решения задачи алгебраическим методом выделяют?

– В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

– Приведите примеры, когда полученное решение противоречит условию задачи.

Домашнее задание: № 560, № 562, № 565, № 567.

У р о к 2 (51)
Решение задач с помощью квадратных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью составления квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение:

а) х² + 8х – 3 = 0; в) х² + 6х + 9 = 0;

б) 2х² – х + 10 = 0; г) 7х² + 2х + 5 = 0.

2. Решите уравнение:

а) х² = 1600; б) х² = 5; в) х² = [pic] ;

г) х² = 1,44; д) х² = 0; е) х² = [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

1. № 570.

Р е ш е н и е

Пусть х – число обезьян в стае, тогда [pic] обезьян спряталось в гроте. Зная, что на виду осталась одна обезьяна, составим уравнение:

[pic] + 1 = х;

[pic] + 9 + 1 – х = 0;

х² – 30х + 250 – 25х = 0;

х² – 55х + 250 = 0;

D = (–55)² – 4 · 1 · 250 = 3025 – 1000 = 2025; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 50;

x2 = [pic] = 5 – не удовлетворяет условию задачи, так как [pic] – 3 в этом случае – отрицательное число.

О т в е т: 50 обезьян.

2. № 571.

Р е ш е н и е

– Пусть х – количество сторон в выпуклом многоугольнике, тогда
(х + 25) – количество диагоналей в нём. Зная, что количество диагоналей (р) связано с количеством сторон (п) по формуле р = [pic] , составим уравнение:

х + 25 = [pic] ;

2х + 50 = х (х – 3);

2х + 50 = х² – 3х;

2х + 50 – х² + 3х = 0;

5х + 50 – х² = 0;

х² – 5х – 50 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 (–50) = 25 + 100 = 125; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 10;

x2 = [pic] = –5.

Так как х выражает число сторон многоугольника, то это не может быть отрицательное число, значит, х2 = –5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: в десятиугольнике.

3. № 573.

При решении этой задачи используются элементы комбинаторики, поэтому следует разобрать её с учителем.

Р е ш е н и е

– Пусть х – количество участников турнира, тогда каждый участник играл с (х – 1) участником. Количество комбинаций равно х (х – 1). Но так как в комбинации участвует два человека, а партия одна, то число партий равно [pic] . Зная, что всего было сыграно 45 партий, составим уравнение:

[pic] = 45;

х · (х – 1) = 90;

х² – х – 90 = 0;

D = (–1)² – 4 · 1 · (–90) = 1 + 360 = 361; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 10;

x2 = [pic] = –9.

Так как х выражает количество участников турнира, то это не может быть отрицательное число, значит, х2 = –9 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 10 участников.

4. № 575.

Р е ш е н и е

– Пусть х, (х + 1), (х + 2) – три последовательных целых числа. Зная, что сумма их квадратов равна 869, составим уравнение:

х² + (х + 1)² + (х + 2)² = 869;

х² + х² + 2х + 1 + х² + 4х + 4 – 869 = 0;

3х² + 6х – 864 = 0;

х² + 2х – 288 = 0;

D1 = (–1)² – 1 · (–288) = 289; D1 > 0; 2 корня.

x1 = –1 + [pic] = –1 + 17 = 16;

x2 = –1 – [pic] = –1 – 17 = –18.

Оба корня удовлетворяют условию задачи, значит, это последовательные числа 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

О т в е т: 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

IV. Проверочная работа.

– Решите задачи:

В а р и а н т 1

1. Два последовательных чётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

2. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см². Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

В а р и а н т 2

1. Два последовательных нечётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

2. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 12 см². Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

П р и м е ч а н и е. В зависимости от уровня подготовки класса можно сократить содержание проверочной работы до одной задачи.

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1. Пусть х и (х + 2) – два последовательных чётных числа. Зная, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа, составим уравнение:

(х + 2)² = 9х;

х² + 4х + 4 – 9х = 0;

х² – 5х + 4 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 · 4 = 25 – 16 = 9; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 4;

x2 = [pic] = 1.

Так как число – чётное, то х2 = 1 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 4; 6.

2. Пусть х см – сторона квадрата, тогда (х – 2) см и (х – 1) см – стороны прямоугольника. Зная, что площадь полученного прямоугольника равна 6 см, составим уравнение:

(х – 2) (х – 1) = 6;

х² – х – 2х + 2 – 6 = 0;

х² – 3х – 4 = 0;

D = (–3)² – 4 · 1 · (–4) = 9 + 16 = 25; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 4;

x2 = [pic] = –1.

Так как сторона квадрата выражается положительным числом, то
х2 = –1 – не удовлетворяет условию задачи.

[pic]

О т в е т: 4 см.

В а р и а н т 2

1. Пусть х и (х + 2) – два последовательных нечётных числа. Зная, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа, составим уравнение:

(х + 2)² = 9х;

х² + 4х + 4 – 9х = 0;

х² – 5х + 4 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 · 4 = 25 – 16 = 9; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 4;

x2 = [pic] = 1.

Так как число – нечётное, то х1 = 4 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 1; 3.

2. Пусть х см – сторона квадрата, тогда (х + 2) см и (х + 1) см – стороны прямоугольника. Зная, что площадь полученного прямоугольника равна 12 см, составим уравнение:

(х + 2) (х + 1) = 12;

х² + х + 2х + 2 – 12 = 0;

х² + 3х – 10 = 0;

D = 3² – 4 · 1 · (–10) = 9 + 40 = 49; D > 0; 2 корня.

x1 = [pic] = 2;

x2 = [pic] = –5.

Так как сторона квадрата выражается положительным числом, то
х2 = –5 – не удовлетворяет условию задачи.

[pic]

О т в е т: 2 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие этапы выделяют при решении задачи алгебраическим методом?

– В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

– Когда полученное решение может противоречить условию задачи?

– Какие решения, полученные на сегодняшнем уроке, вы интерпретировали как противоречащие условию задачи?

Домашнее задание: № 569, № 572, № 574, № 578 (б).

У р о к 1 (52)
Доказательство теоремы Виета и её применение

Цели: изучить теорему Виета; формировать умение применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите полные, неполные и приведённые квадратные уравнения:

а) 3х² – 2х = 0; е) –21х² + 16х = 0;

б) 7х² – 16х + 4 = 0; ж) х² = 0;

в) х² – 3 = 0; з) х² + 4х + 4 = 0;

г) –х² + 2х – 4 = 0; и) х² = 4;

д) 2 – 6х + х² = 0; к) –7х² + 6 = 0.

2. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:

а) 3х² + 6х – 12 = 0; г) [pic] х² + [pic] х – 2 = 0;

б) 2х² = 0; д) 3х² – 7 = 0;

в) –х² – 2х + 16 = 0; е) –5х² + 10х – 2 = 0.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. «О т к р ы т и е» теоремы Виета.

Целесообразно организовать лабораторную исследовательскую работу. Для этого разбить класс на пять групп, каждой из которых дать решить приведённое квадратное уравнение. После его решения один представитель от каждой группы выходит к доске и заполняет соответствующую строку в таблице:

После этого учитель предлагает учащимся сравнить сумму и произведение полученных корней с коэффициентами b и c и выдвинуть гипотезу. Учитель подтверждает сделанное предположение, сообщая, что данное утверждение называется теоремой Виета, обращая внимание учащихся, что эта теорема справедлива для приведенных квадратных уравнений.

Можно привести краткий исторический материал о жизни и деятельности Франсуа Виета.

Рассмотреть доказательство теоремы можно как по учебнику (с. 127– 128), так и привлекая учащихся, поскольку оно не является сложным. После доказательства на доску выносится запись:

Т е о р е м а В и е т а

Если х1, х2 – корни уравнения x² + px + q = 0,

то х1 + х2 = –р; х1 · х2 = q.

Для первичного усвоения теоремы Виета можно предложить учащимся выполнить устно упражнение на нахождение суммы и произведения корней квадратного уравнения:

1) № 580 (а, б, в, г) – устно.

2) х² – [pic] х – 5 = 0.

3) х² + 3х + 5 = 0.

При выполнении этого задания необходимо предотвратить формальное применение теоремы Виета. Нужно убедиться, что квадратное уравнение имеет корни. Если учащиеся сами не выскажут эту мысль, то при решении третьего задания предложить им найти дискриминант уравнения и сделать соответствующий вывод.

2. Т е о р е м а В и е т а для неприведённого квадратного уравнения.

При выполнении устной работы в начале урока учащиеся вспомнили, как преобразовать квадратное уравнение в приведённое. Следует предложить им самостоятельно вывести формулы для неприведённого квадратного уравнения, используя теорему Виета. После этого на доску выносится запись:

Т е о р е м а В и е т а

Если х1, х2 – корни уравнения аx² + bx + c = 0,

то х1 + х2 = [pic] ; х1 ∙ х2 = [pic] .

3. Т е о р е м а, обратная теореме Виета.

Обращаем внимание учащихся, что по теореме Виета мы можем только убедиться в правильности нахождения корней с помощью дискриминанта. Возникает вопрос, а если мы подберем такие числа, которые в сумме будут равны второму коэффициенту с противоположным знаком, а в произведении – свободному члену, то не будут ли они являться корнями уравнения? Подчеркиваем, что мы хотим воспользоваться утверждением, обратным теореме Виета, значит, мы должны его доказать. Работа с теоремой Виета и обратной ей теоремой позволяет формировать элементы математической культуры учащихся.

После рассмотрения (по учебнику) доказательства теоремы привести примеры нахождения корней квадратного уравнения подбором.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, выполняемые на этом уроке, можно разбить на две группы:

1-я г р у п п а. Упражнения на непосредственное применение теоремы Виета.

2-я г р у п п а. Упражнения на нахождение подбором корней приведённого квадратного уравнения.

1. № 580 (д, е, ж, з) – устно.

2. № 581 (а, в), № 582 (а, б, г, д).

3. Решите квадратное уравнение по формуле и сделайте проверку, используя теорему Виета:

а) х² + 7х – 8 = 0; в) х² – 4х – 5 = 0;

б) х² – 5х – 14 = 0; г) х² + 8х + 15 = 0.

4. № 583 (а, в).

5. Найдите подбором корни уравнения:

а) х² – 11х + 28 = 0; г) х² + 3х – 28 = 0;

б) х² + 11х + 28 = 0; д) х² + 20х + 36 = 0;

в) х² – 3х – 28 = 0; е) х² + 37х + 36 = 0.

V. Проверочная работа.

Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х1 и х2. Не находя их, найдите значение выражений х1 + х2 и х1 · х2:

В а р и а н т 1

а) х² – 7х – 9 = 0; в) 5х² – 7х = 0;

б) 2х² + 8х – 19 = 0; г) 13х² – 25 = 0.

В а р и а н т 2

а) х² + 8х – 11 = 0; в) 4х² + 9х =0;

б) 3х² – 7х – 12 = 0; г) 17х² – 50 = 0.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте теорему Виета.

– Что необходимо проверить, прежде чем находить сумму и произведение корней приведённого квадратного уравнения?

– Как можно применить теорему Виета для неприведённого квадратного уравнения?

– В чём состоит теорема, обратная теореме Виета? Когда она применяется?

Домашнее задание: № 581 (б, г), № 582 (в, е), № 583 (б, г), № 584.

Д о п о л н и т е л ь н о: найти подбором корни уравнения:

а) х² – 12х + 27 = 0; в) х² + 9х – 36 = 0;

б) х² + 6х – 27 = 0; г) х² – 35х – 36 = 0.

У р о к 2 (53)
Применение теоремы Виета
и обратной ей теоремы

Цели: продолжить формирование умения применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых и неприведённых квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Убедитесь, что уравнение имеет корни и назовите их сумму и произведение:

а) х² – 12х – 45 = 0; д) х² – 27х = 0;

б) у² + 17у + 60 = 0; е) 60z + z² = 0;

в) 3у – 40 + у² = 0; ж) 3х² – 15х + 18 = 0;

г) х² – 2х + 16 = 0; з) х² + х + 8 = 0.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х² – 3х – 18 = 0; х1 = –3;

б) 2х² – 5х + 2 = 0; х1 = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х² – ах + 6 = 0 были бы числа 2 и 3?

В а р и а н т 2

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х² – 4х – 21 = 0; х1 = –3;

б) 2х² – 7х + 6 = 0; х1 = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х² – 5х + а = 0 были бы числа 2 и 3?

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

На первых порах учащимся может быть трудно подбирать корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни уравнения и записывать соответствующие равенства.

Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем с оценивания произведения корней, то есть находим делители свободного члена квадратного уравнения.

1. № 586.

Р е ш е н и е

Пусть х1 = 12,5 и х2 – корни уравнения х² – 13х + q = 0,

тогда х1 + х2 = 13 и х1 · х2 = q.

Имеем 12,5 + х2 = 13, значит, х2 = 13 – 12,5, х2 = 0,5.

Тогда 12,5 · 0,5 = q, q = 25.

О т в е т: х2 = 0,5; q = 25.

2. № 587.

Р е ш е н и е

Пусть х1 = 8 и х2 – корни уравнения 5х² + bx + 24 = 0,

тогда х1 + х2 = – [pic] , х1 ∙ х2 = [pic] .

Имеем 8 ∙ х2 = [pic] , значит, х2 = [pic] .

Тогда 8 + [pic] = – [pic] , 8,6 = –0,2 ∙ b, b = –43.

О т в е т: х2 = 0,6; b = –43.

3. № 589, № 590 – самостоятельно.

4. № 593 (а), № 594 (а, д, е), № 595 (б, д, е).

5. № 675.

После выполнения этого упражнения можно рассмотреть с учащимися два способа нахождения корней квадратного уравнения, вытекающие из теоремы Виета.

1-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х1 = 1, х2 = [pic] .

2-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту b, то х1 = –1, х2 = – [pic] .

В буквенном виде это может быть записано так:

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задачи повышенной трудности.

№ 591.

Р е ш е н и е

Пусть х1, х2 – корни уравнения х² + 2х + q = 0.

По теореме Виета: х1 + х2 = –2 (1) и х1 · х2 = q (2).

По условию [pic] = 12. (Через х1 обозначим больший корень.) Значит, по формуле сокращенного умножения:

(х1 – х2) (х1 + х2) = 12;

(х1 – х2) · (–2) = 12;

х1 – х2 = –6;

х1 = х2 – 6.

Подставим в первое равенство вместо х1 его значение:

х2 – 6 + х2 = –2;

2х2 = 4;

х2 = 2.

Вычислим х1 = 2 – 6 = –4.

Из второго равенства найдём q = –4 · 2, q = 8.

О т в е т: q = 8.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему.

– Если коэффициент с квадратного уравнения является положительным числом, то какими по знаку могут быть его корни? А если с – отрицательное число?

– Какие корни имеет квадратное уравнение, если сумма его коэффициентов равна нулю? а + с = b?

Домашнее задание: № 585, № 588, № 594 (б, в, г), № 595 (а, в, г), № 592*.

У р о к 54
Контрольная работа № 5

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) 2х² + 7х – 9 = 0; в) 100х² – 16 = 0;

б) 3х² = 18х; г) х² – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

3. В уравнении х² + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) 3х² + 13х – 10 = 0; в) 16х² = 49;

б) 2х² – 3х = 0; г) х² – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

3. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.

В а р и а н т 3

1. Решите уравнение:

а) 7х² – 9х + 2 = 0; в) 7х² – 28 = 0;

б) 5х² = 12х; г) х² + 20х + 91 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + рх + 56 = 0 один из его корней равен –4. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т 4

1. Решите уравнение:

а) 9х² – 7х – 2 = 0; в) 5х² = 45;

б) 4х² – х = 0; г) х² + 18х – 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² – 7х + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) 2х² + 7х – 9 = 0.

1-й с п о с о б. D = 7² – 4 · 2 · (–9) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 1;

x2 = [pic] = –4,5.

2-й с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х1 = 1, х2 = [pic] , то есть х1 = 1,

х2 = [pic] = –4,5.

б) 3х² = 18х;

3х² – 18х = 0;

3х (х – 6) = 0;

х = 0 или х = 6.

в) 100х² – 16 = 0;

100х² = 16;

х² = [pic] ;

х = [pic] ;

х = ±0,4.

г) х² – 16х + 63 = 0.

1-й с п о с о б. D1 = (–8)² – 63 = 64 – 63 = 1, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 8 + [pic] = 9; x2 = 8 – [pic] = 7.

2-й с п о с о б. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

х1 + х2 = 16, х1 · х2 = 63. Подбором получаем: х1 = 9, х2 = 7.

О т в е т: а) –4,5; 1; б) 0; 6; в) ±0,4; г) 7; 9.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона [pic] см, что составляет (10 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см², составим уравнение:

х (10 – х) = 24;

10х – х² – 24 = 0;

х² – 10х + 24 = 0;

D1 = (–5)² – 1 · 24 = 25 – 24 = 1, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 5 + [pic] = 6; x2 = 5 – [pic] = 4. Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 6 см.

3. Пусть х1 = –9 и х2 – корни уравнения х² + рх – 18 = 0, тогда по теореме Виета: –9 + х2 = –р и –9 · х2 = –18.

Имеем: х2 = [pic] ; х2 = 2 и –9 + х2 = –р, отсюда р = 7.

О т в е т: х2 = 2; р = 7.

В а р и а н т 2

1. а) 3х² + 13х – 10 = 0.

D = 13² – 4 · 3 · (–10) = 169 + 120 = 289, D > 0, 2 корня.

х1 = [pic] ;

х2 = [pic] = –5.

б) 2х² – 3х = 0;

х (2х – 3) = 0;

х = 0 или 2х – 3 = 0;

х = [pic] ;

х = 1,5.

в) 16х² = 49.

х² = [pic] ;

х = ± [pic] ;

х = ±1,75.

г) х² – 2х – 35 = 0.

D1 = (–1)² – 1 · (–35) = 1 + 35 = 36, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 1 + [pic] = 1 + 6 = 7;

x2 = 1 – [pic] = 1 – 6 = –5.

О т в е т: а) –5; [pic] ; б) 0; 1,5; в) ±1,75; г) –5; 7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона [pic] см, что составляет (15 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 56 см², составим уравнение:

х (15 – х) = 56;

15х – х² – 56 = 0;

х² – 15х + 56 = 0;

D = (–15)² – 4 · 1 · 56 = 225 – 224 = 1, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 8; x2 = [pic] = 7.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 7 см; 8 см.

3. Пусть х1 = –7 и х2 – корни уравнения х² + 11х + q = 0, тогда по теореме Виета: –7 + х2 = –11 и –7 · х2 = q.

Имеем: х2 = –11 + 7, х2 = –4 и –7 · (–4) = q, отсюда q = 28.

О т в е т: х2 = –4; q = 28.

В а р и а н т 3

1. а) 7х² – 9х + 2 = 0.

1-й с п о с о б. D = (–9)² – 4 · 7 · 2 = 81 – 56 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 = [pic] = 1;

х2 = [pic] .

2-й с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х1 = 1, х2 = [pic] , то есть х1 = 1,

х2 = [pic] .

б) 5х² = 12х.

5х² – 12х = 0;

х (5х – 12) = 0;

х = 0 или 5х – 12 = 0;

5х = 12;

х = [pic] ;

х = 2,4.

в) 7х² – 28 = 0.

7х² = 28;

х² = 4;

х = ± [pic] ;

х = ±2.

г) х² + 20х + 91 = 0.

D1 = 10² – 1 · 91 = 100 – 91 = 9, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –10 + [pic] = –10 + 3 = –7;

x2 = –10 – [pic] = –10 – 3 = –13.

О т в е т: а) 1; [pic] ; б) 0; 2,4; в) ±2; г) –13; –7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона [pic] см, что составляет (13 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 36 см², составим уравнение:

х (13 – х) = 36;

13х – х² – 36 = 0;

х² – 13х + 36 = 0;

D = (–13)² – 4 · 1 · 36 = 169 – 144 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 = [pic] = 9; х2 = [pic] = 4.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 9 см.

3. Пусть х1 = –4 и х2 – корни уравнения х² + рх + 56 = 0, тогда по теореме Виета: –4 + х2 = –р и –4 · х2 = 56.

Имеем: х2 = [pic] ; х2 = –14 и –4 + (–14) = –р, отсюда р = 18.

О т в е т: х2 = –14; р = 18.

В а р и а н т 4

1. а) 9х² – 7х – 2 = 0.

1-й с п о с о б. D = (–7)² – 4 · 9 · (–2) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

х1 = [pic] = 1;

х2 = [pic] .

2-й с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х1 = 1, х2 = [pic] , то есть х1 = 1,
х2 = [pic] .

б) 4х² – х = 0.

х (4х – 1) = 0;

х = 0 или 5х – 12 = 0;

4х – 1 = 0;

4х = 1;

х = [pic] ;

х = 0,25.

в) 5х² = 45.

х² = [pic] ;

х² = 9;

х = ± [pic] ;

х = ±3.

г) х² + 18х – 63 = 0.

D1 = 9² – 1 · (–63) = 81 + 63 = 144, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –9 + [pic] = –9 + 12 = 3;

x2 = –9 – [pic] = –9 – 12 = –21.

О т в е т: а) [pic] ; 1; б) 0; 0,25; в) ±3; г) –21; 3.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона [pic] см, что составляет (11 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см², составим уравнение:

х (11 – х) = 24;

11х – х² – 24 = 0;

х² – 11х + 24 = 0;

D = (–11)² – 4 · 1 · 24 = 121 – 96 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 = [pic] = 8; х2 = [pic] = 3.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 3 см; 8 см.

3. Пусть х1 = 13 и х2 – корни уравнения х² – 7х + q = 0, тогда по теореме Виета: 13 + х2 = 7 и 13 · х2 = q.

Имеем: х2 = 7 – 13, х2 = –6 и 13 · (–6) = q, отсюда q = –78.

О т в е т: х2 = –6; q = –78.

У р о к 1 (55)
Понятие дробного рационального уравнения

Цели: ввести понятие дробного рационального уравнения, формировать умение применять алгоритм решения дробного рационального уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

Проанализировать и исправить ошибки, допущенные учащимися при решении контрольной работы. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

III. Устная работа.

1. Какие из выражений являются целыми, какие – дробными?

а) [pic] ; б) (а – b)² – 3ab; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

2. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) 2х² – 8; б) [pic] ; в) [pic] ;

г) [pic] ; д) [pic] ; е) [pic] .

IV. Объяснение нового материала.

Объяснение следует проводить в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. В в е д е н и е п о н я т и я дробного рационального уравнения.

Во время проведения устной работы были актуализированы следующие знания учащихся: целые выражения, дробные выражения, рациональные выражения, допустимые значения переменных. Целесообразно предложить учащимся самим сформулировать понятие дробного рационального уравнения. Следует акцентировать их внимание на то, что наличие дроби в выражении не свидетельствует о том, что это дробное выражение (уравнение), необходимо присутствие переменной в знаменателе дроби.

2. Р а с с м о т р е н и е а л г о р и т м а решения дробного рационального уравнения.

Рассматривая способ решения дробного рационального уравнения, учащиеся используют приём аналогии: решая целое уравнение с числом в знаменателе, они умножают обе части уравнения на общий знаменатель, что позволяет избавиться от дробей. Возникает идея применить этот приём для нового вида уравнений. После домножения обеих частей уравнения на общий знаменатель, следует спросить учащихся, что произошло с областью допустимых значений уравнения? Она «расширилась» и теперь допустимыми стали любые значения переменных, то есть полученное уравнение не равносильно исходному. Следует задать вопрос: как же следует поступить в этом случае? Затем формулируется алгоритм решения дробного рационального уравнения:

1) Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль

общий знаменатель.

V. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатывается применение алгоритма решения дробных рациональных уравнений. Не следует предлагать для решения упражнения, требующие преобразования знаменателей по формулам сокращенного умножения перед нахождением общего знаменателя.

1. № 600 (а, в, д, и).

Р е ш е н и е

а) [pic] . Общий знаменатель (у + 3).

Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

у² = у;

у² – у = 0;

у (у – 1) = 0;

у = 0 или у – 1 = 0;

у = 1.

При обоих значениях у знаменатель не обращается в нуль.

в) [pic] ;

[pic] ;

[pic] . Общий знаменатель дробей (х – 2).

Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

2х² = 7х – 6;

2х² – 7х + 6 = 0,

D = (–7)² – 4 · 2 · 6 = 49 – 48 = 1, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 2; x2 = [pic] = 1,5.

Если х = 2, то х – 2 = 0.

Если х = 1,5, то х – 2 ≠ 0.

д) [pic] . Общий знаменатель дробей (х + 7)(х – 1).

Умножим обе части на общий знаменатель

(2х – 1) (х – 1) = (3х + 4)(х + 7);

2х² – 2х – х + 1 = 3х² + 21х + 4х + 28 = 0;

2х² – 2х – х + 1 – 3х² – 21х – 4х – 28 = 0;

–х² – 28х – 27 = 0;

х² + 28х + 27 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –27, х2 = –1.

Если х = –27, то (х + 7)(х – 1) ≠ 0.

Если х = –1, то (х + 7)(х – 1) ≠ 0.

и) [pic] = 0;

[pic] . Общий знаменатель дробей (2х + 3) (3 – 2х).

Умножим обе части на общий знаменатель.

(х – 1) (3 – 2х) = (2х – 1) (2х + 3);

3х – 2х² – 3 + 2х = 4х² + 6х – 2х – 3;

3х – 2х² – 3 + 2х – 4х² – 6х + 2х + 3 = 0;

–6х² + х = 0;

6х² – х = 0;

х (6х – 1) = 0;

х = 0 или 6х – 1 = 0;

6х = 1;

х = [pic] .

Если х = 0, то (2х + 3) (3 – 2х) ≠ 0.

Если х = [pic] , то (2х + 3) (3 – 2х) ≠ 0.

О т в е т: а) 0; 1; в) 1,5; д) –27; –1; и) 0; [pic] .

2. № 601 (а, в, г).

Можно предложить учащимся другой способ исключения посторонних корней. Как уже говорилось, при домножении обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей, мы изменяем область допустимых значений выражений, входящих в запись уравнения. Можно тогда сперва определить ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль), а в конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

Р е ш е н и е

№ 601.

а) [pic] – 4 = 0; ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

2х – 5 – 4 (х + 5) = 0;

2х – 5 – 4х – 20 = 0;

–2х – 25 = 0;

–2х = 25;

х = –12,5.

в) [pic] ; ОДЗ: х  0.

х² – 4 = 2 (3х – 2);

х² – 4 = 6х – 4;

х² – 6х = 0;

х (х – 6) = 0;

х = 0 или х – 6 = 0;

х = 6.

г) [pic] = х – 1; ОДЗ: 2х – 3 ≠ 0,

х ≠ 1,5.

10 = (х – 1) (2х – 3);

10 = 2х² – 3х – 2х + 3;

10 – 2х² + 3х + 2х – 3 = 0;

–2х² + 5х + 7 = 0;

2х² – 5х – 7 = 0;

a + c = b, значит, х1 = –1; х2 = – [pic] , то есть х1 = –1; х2 = [pic] = 3,5.

О т в е т: а) –12,5; в) 6; г) –1; 3,5.

3. № 602 (а, е).

а) [pic] ; ОДЗ: х² + 1 ≠ 0,

х – любое.

х² = 7х;

х² – 7х = 0;

х (х – 7) = 0;

х = 0 или х – 7 = 0;

х = 7.

е) [pic] ; ОДЗ: х ≠ 0.

3х = х² + 2;

3х – х² – 2 = 0;

х² – 3х + 2 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 2; х2 = 1.

О т в е т: а) 0; 7; е) 1; 2.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется дробно-рациональным?

– Приведите примеры целого и дробного уравнения.

– Сформулируйте алгоритм решения дробного рационального уравнения.

– Какими способами можно исключить «посторонние» корни дробного рационального уравнения?

Домашнее задание: № 600 (б, г, е), № 601 (б, е, з), № 602 (в, д, ж).

У р о к 2 (56)
Решение дробных рациональных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Разложите на множители:

а) а² – 9; г) 2х³ – 8х;

б) х² + 2х + 1; д) 9у² – 1;

в) 3х² – 6х; е) –х² + 6х – 9.

2. Решите уравнение:

а) [pic] = 0; в) [pic] ;

б) [pic] = 0; г) [pic] .

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решить уравнения:

1) [pic] = x; 2) [pic] ;

3) [pic] .

В а р и а н т 2

Решить уравнения:

1) [pic] = 2x; 2) [pic] ;

3) [pic] .

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатывается умение находить общий знаменатель дробей, выполнив предварительно разложение знаменателей дробей, входящих в уравнение, вынесением общего множителя либо по формулам сокращенного умножения.

1. № 603 (а, в, г), № 605 (б, е).

Р е ш е н и е

№ 603.

а) [pic] = 1; ОДЗ: х  –2;

х  2.

(3х + 1) (х – 2) – (х – 1) (х + 2) = 1 · (х + 2) (х – 2);

3х² – 6х + х – 2 – х² – 2х + х + 2 = х² – 4;

3х² – 6х + х – 2 – х² – 2х + х + 2 – х² + 4 = 0;

х² – 6х + 4 = 0.

D1 = (–3)² – 1 · 4 = 9 – 4 = 5, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 3 + [pic] ; x2 = 3 – [pic] .

в) [pic] .

[pic] ; ОДЗ: y ≠ – [pic] ;

y ≠ [pic] .

4 – 4 (3у – 1) = –5 (3у + 1);

4 –12у + 4 = –15у – 5;

3у = –13;

у = – [pic] ;

у = –4 [pic] .

г) [pic] – 1;

[pic] + 1 = 0; ОДЗ: х ≠ –3; х ≠ 3.

[pic] + 1 = 0;

4 (х – 3) + 4 (х + 3) + (х + 3) (х – 3) = 0;

4х – 12 + 4х + 12 + х² – 9 = 0;

х² + 8х – 9 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –9, х2 = 1.

О т в е т: а) 3 – [pic] ; 3 + [pic] ; в) –4 [pic] ; г) –9; 1.

№ 605.

б) [pic] .

[pic] = 0;

[pic] = 0; ОДЗ: х ≠ 2; х ≠ –2.

–2 · 3 · (х + 2) – 1 · 3 · (х – 2) (х + 2) + 6 – х = 0;

–6х – 12 – 3х² + 12 + 6 – х = 0;

–3х² – 7х + 6 = 0;

3х² + 7х – 6 = 0;

D = 7² – 4 · 3 · (–6) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] ; x2 = [pic] = –3.

е) [pic] .

[pic] ; ОДЗ: х ≠ 2; х ≠ –2.

3 (5х + 7) (х + 2) – 3 (2х + 21) (х – 2) = 26 (х – 2) (х + 2);

3 (5х² + 10х + 7х + 14) – 3 (2х² – 4х + 21х – 42) – 26 (х² – 4) = 0;

15х² + 51х + 42 – 6х² – 51х + 126 – 26х² + 104 = 0;

–17х² + 272 = 0;

х² = 16;

х = ±4.

О т в е т: б) –3; [pic] ; е) ±4.

2. № 604 (б), № 606 (б, в).

Р е ш е н и е

№ 604 (б).

1) [pic] = –10; ОДЗ: х ≠ –3.

х² + х – 2 = –10 (х + 3);

х² + х – 2 = –10х – 30;

х² + 11х + 28 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –4; х2 = –7.

2) [pic] = 0;

х² + х – 2 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –2; х2 = 1.

3) [pic] = –5;

х² + х – 2 = –5 (х + 3);

х² + х – 2 + 5х + 15 = 0;

х² + 6х + 13 = 0.

D1 = 3² – 1 · 13 = 9 – 13 = –4, D1 < 0, нет корней.

О т в е т: 1) при х = –4 или х = –7; 2) при х = –2 или х = 1; 3) нет решений.

№ 606.

б) [pic] = 3; ОДЗ: у ≠ [pic] ;

у ≠ [pic] .

(5у + 13) (3у – 1) – (4 – 6у) (5у + 4) = 3 (5у + 4) (3у – 1);

15у² – 5у + 39у – 13 – 20у – 16 + 30у² + 24у = 3 (15у² – 5у + 12у – 4);

17у = 17;

у = 1.

в) [pic] ; ОДЗ: у ≠ 5;

у ≠ –5.

(у + 1)(у + 5) + 10(у – 5) = 10(у + 1);

у² + 6у + 5 + 10у – 50 – 10у – 10 = 0;

у² + 6у – 55 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, у1 = 5; у2 = –11.

О т в е т: б) 1; в) –11.

3. № 607 (г, д).

Р е ш е н и е

г) [pic] .

[pic] = 0;

[pic] = 0; ОДЗ: у ≠ 0; у ≠ 1;

у ≠ –1.

10 – (у + 1) – у(у – 1) = 0;

10 – у – 1 – у² + у = 0;

9 – у² = 0;

у² = 9;

у = ±3.

д) 1 + [pic] .

1 + [pic] = 0; ОДЗ: х ≠ 4.

x² – 8x + 16 + 45 – 14(x – 4) = 0;

x² – 22x + 117 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 9, х2 = 13.

О т в е т: г) ±3; д) 9; 13.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте алгоритм решения дробного рационального уравнения.

– Как найти общий знаменатель дробей, входящих в запись дробно-рационального уравнения?

– Какими способами можно исключить «посторонние» корни дробного уравнения?

Домашнее задание: № 603 (б, е), № 605 (в, г), № 606 (а, г), № 607 (в, е).

У р о к 3 (57)
Решение дробных рациональных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите подбором корни уравнения:

а) х² – 2х – 15 = 0; г) х² – 29х + 100 = 0;

б) х² + 5х + 6 = 0; д) х² – 6х + 8 = 0;

в) х² + 7х – 8 = 0; е) х² + 15х + 36 = 0.

2. Решите уравнение:

а) [pic] = 0; в) [pic] = 0;

б) [pic] = 0; г) [pic] = 0.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на закрепление умения решать дробные уравнения по алгоритму, а также некоторые представляют собой задания повышенной трудности.

1. № 608 (б, г), № 609 (а, б).

Р е ш е н и е

№ 608.

б) [pic] ; ОДЗ: х ≠ 3; х ≠ –4.

17 – (х + 4) – х (х – 3);

17 – х – 4 – х² + 3х = 0;

–х² + 2х + 13 = 0.

D1 = 1 + 13 = 14, D1 > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 1 + [pic] ; x2 = [pic] = 1 – [pic] .

г) [pic] .

[pic] ; ОДЗ: x ≠ [pic] ;

x ≠ – [pic] .

Общий знаменатель дробей x(3x – 1)²(3x + 1).

4x(3x – 1) + (3x – 1)(3x + 1) = 4x(3x + 1);

12х² – 4x + 9х² – 1 = 12х² + 4x;

9х² – 8х – 1 = 0.

a + b + c = 0, значит, x1 = 1, x2 = [pic] , то есть x1 = 1, x2 = [pic] .

О т в е т: б) 1 – [pic] ; 1 + [pic] ; г) [pic] ; 1.

На этом примере наглядно демонстрируем учащимся необходимость разложения знаменателей на множители для последующего «составления» общего знаменателя.

№ 609.

а) [pic] ; ОДЗ: х ≠ –1; х ≠ 0; х ≠ 2.

21х(х – 2) = 16х(х + 1) – 6(х + 1)(х – 2);

21х² – 42х = 16х² + 16х – 6х² + 6х + 12;

21х² – 42х – 16х² – 16х + 6х² – 6х – 12 = 0;

11х² – 64х – 12 = 0;

D1 = (32)² – 11 · (–12) = 1024 + 132 = 1156; D1 > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 6;

x2 = [pic] .

б) [pic] .

[pic] ; ОДЗ: у ≠ 0; у ≠ 3;

у ≠ –3.

2(у + 3) – у(у + 3) – 5 = 0;

2у + 5 – у² – 3у – 5 = 0;

–у² – у = 0;

у² + у = 0;

у (у + 1) = 0;

у = 0 или у = –1.

О т в е т: а) [pic] ; 6; б) –1.

2. [pic] .

[pic] = 0; ОДЗ: а ≠ –3.

7а – 6 – (а + 3) + а² – 3а + 9 = 0;

7а – 6 – а – 3 + а² – 3а + 9 = 0;

а² + 3а = 0;

а (а + 3) = 0;

а = 0 или а = –3.

О т в е т: 0.

3. [pic] = 0.

[pic] = 0.

Общий знаменатель дробей х(х² – 1)(х² + 1).

Домножим обе части уравнения на общий знаменатель:

х² + 1 + х² – 1 – 2х = 0;

2х² – 2х = 0;

2х (х – 1) = 0;

х = 0 или х = 1.

Если х = 0, то х(х² – 1)(х² + 1) = 0.

Если х = 1, то х(х² – 1)(х² + 1) = 0.

О т в е т: нет решений.

4. № 611 (б).

Р е ш е н и е

Графиком функции у = [pic] является гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Запишем координаты контрольных точек:

Графиком функции у = –х + 6 является прямая, проходящая через точки (0; 6), (6; 0).

[pic]

О т в е т: х1 ≈ 1,3; х2 ≈ 4,7.

5. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задания повышенной трудности.

№ 610 (а), № 612.

Р е ш е н и е

№ 610.

а) [pic] .

[pic]

24(–9х² + 49) = 31(–7х² + 38),

–216х² + 1176 + 217х² – 1178 = 0,

х² = 2,

х = ± [pic] .

Оба корня удовлетворяют уравнению.

О т в е т: ± [pic] .

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие уравнения называются дробными рациональными?

– Каков алгоритм решения дробных уравнений?

– Как определить общий знаменатель дробей, входящих в уравнение?

– Каким способом можно исключить «посторонние» корни дробного рационального уравнения?

Домашнее задание: № 608 (а, в), № 609 (в), № 611 (а), № 695 (д, з).

У р о к 1 (58)
Составление дробного рационального
уравнения по условию задачи

Цели: формировать умение составлять дробное рациональное уравнение по условию текстовой задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите уравнение:

а) х² – 4х + 4 = 0; г) у² + 13х + 22 = 0;

б) 3х² + 6 = 0; д) [pic] ;

в) –2х² – 8х = 0; е) [pic] .

2. Заполните таблицу.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Найти корни уравнений:

1) [pic] = 3; 2) [pic] .

В а р и а н т 2

Найти корни уравнений:

1) [pic] = 2; 2) [pic] .

IV. Объяснение нового материала.

Учащиеся уже знакомы с алгебраическим методом решения текстовых задач. Единственное отличие от ранее решаемых задач состоит в том, что математической моделью будет являться дробное рациональное уравнение. Это можно продемонстрировать, используя примеры, разобранные в учебнике. При этом основное внимание следует уделять процессу перевода условия задачи на математический язык.

Затем следует ещё раз напомнить учащимся о с н о в н ы е э т а п ы решения текстовой задачи алгебраическим методом:

1-й э т а п. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2-й э т а п. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели: введение переменной и составление дробного рационального уравнения).

3-й э т а п. Решение полученного уравнения.

4-й э т а п. Интерпретация полученного результата.

Первые два этапа являются для учащихся наиболее сложными, поэтому на этом уроке основной целью является формирование у учащихся умения составлять дробное рациональное уравнение по условию задачи.

V. Формирование умений и навыков.

Большая часть урока должна быть посвящена анализу условий задач, их схематичной записи, обоснованию выбора переменной и составлению уравнений. Решение самих уравнений можно также предлагать учащимся для самостоятельной работы.

1. № 617.

Р е ш е н и е

А н а л и з: [pic] < [pic] на [pic] .

Пусть х – числитель обыкновенной дроби, тогда (х + 3) – её знаменатель. Увеличив числитель на 7, а знаменатель на 5, мы получили дробь [pic] . Зная, что дробь увеличилась на [pic] , составим уравнение:

[pic] ; ОДЗ: х ≠ –3; х ≠ –8.

Общий знаменатель 2(х + 3)(х + 8).

2х(х + 8) = 2(х + 7)(х + 3) – (х + 3)(х + 8);

2х² + 16х = 2х² + 20х + 42 – х² – 11х – 24;

х² + 7х – 18 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 2, х2 = –9. Смыслу задачи удовлетворяет только х = 2, тогда дробь равна [pic] .

О т в е т: [pic] .

Обращаем внимание учащихся, что уравнение исходное можно было записать и по-другому:

[pic] (из большего значения вычитаем меньшее и получаем разницу) или [pic] .

2. № 619.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

V1 = х км/ч

[pic]

t1 = [pic] ч

[pic]

на 20 мин меньше

[pic]

20 км

[pic]

V2 = (х + 2) км/ч

t2 = [pic] ч

Пусть х км/ч – скорость лыжника, тогда (х + 2) км/ч – скорость второго лыжника. Первый лыжник затратил времени [pic] ч, второй – [pic] ч. Зная, что второй лыжник затратил на 20 мин, или [pic] ч, меньше первого, составим уравнение:

[pic] ; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –2.

3х(х + 2) – общий знаменатель.

60(х + 2) – 60х = х(х + 2);

60х + 120 – 60х – х² – 2х = 0;

–х² – 2х + 120 = 0;

х² + 2х – 120 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –12, х2 = 10. Корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи. Значит, 10 км/ч – скорость второго лыжника.

О т в е т: 10 км/ч; 12 км/ч.

3. № 621.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х км/ч – скорость поезда по расписанию, тогда (х + 10) км/ч – действительная скорость поезда. [pic] ч – время, которое должен был идти поезд по расписанию, а [pic] ч – время, затраченное поездом в действительности. Зная, что поезд затратил на 1 ч меньше, чем должен был по расписанию, составим уравнение:

[pic] = 1; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –10.

720(х + 10) – 720х = х(х + 10);

720х + 7200 – 720х – х² – 10х = 0;

х² + 10х – 7200 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –90, х2 = 80. Корень х = –90 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 80 км/ч.

4. № 623.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х р. – цена лотерейного билета «Надежда», тогда (х – 5) р. – цена лотерейного билета «Удача». [pic] билетов лотереи «Надежда» купил Андрей, и [pic] билетов лотереи «Удача» мог бы купить Андрей. Зная, что Андрей мог бы купить на 4 билета лотереи «Удача» больше, составим уравнение:

[pic] = 4; ОДЗ: х ≠ 5; х ≠ 0.

240х – 240(х – 5) = 4х(х – 5);

60х – 60х + 300 – х² + 5х = 0;

х² – 5х – 300 = 0;

D = (–5)² – 4 · 1 · (–300) = 1225, D > 0, 2 корня.

х1 = [pic] = 20;

х2 = [pic] = –15 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 20 р.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Каковы этапы решения задач на составление дробного рационального уравнения.

– Каков алгоритм решения дробного рационального уравнения?

– Как проводится интерпретация полученных решений?
– В каких случаях полученные корни уравнения могут не удовлетворять условию задачи?

Домашнее задание: № 618, № 620, № 624, № 639.

У р о к 2 (59)
Решение задач с помощью
дробных рациональных уравнений

Цели: формировать умение решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите:

а) 50 % от 42; е) 20 % от 55;

б) 1 % от 300; ж) 50 % от 31;

в) 2 % от 200; з) 3 % от 90;

г) 10 % от 35; и) 10 % от 7;

д) 25 % от 280; к) 25 % от 84.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на [pic] . Найдите эту дробь.

В а р и а н т 2

Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на [pic] . Найдите эту дробь.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке следует разнообразить содержание текстовых задач. Следует прорешать задачи на движение, на работу, на концентрацию. Учащимся необходимо продемонстрировать важность этапа анализа условия задачи, удобство и универсальность таблиц и схем для записи связи исходных и требуемых величин.

1. № 622.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию [pic] меньше [pic] на 0,4 га.

Пусть х ц/га – урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году, тогда (х + 2) ц/га – урожайность пшеницы в этом году. В прошлом году под пшеницу занято [pic] га, в этом [pic] га. Зная, что в этом году эта площадь была меньше на 0,4 га, составим уравнение:

[pic] = 0,4; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –2.

192(х + 2) – 192х = 0,4х(х + 2);

384 – 0,4х² – 0,8х = 0;

х² + 2х – 960 = 0;

D1 = 1 + 960 = 961, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –1 + [pic] = –1 + 31 = 30;

x2 = –1 – [pic] = –1 – 31 = –32 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 30 ц/га.

2. № 625.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

В действительности [pic] больше [pic] на 10 шиллингов.

Пусть х человек обедало, тогда (х – 2) человек оплачивали поровну весь обед. [pic] шиллингов заплатил бы один человек, если бы деньги были у всех едоков, а [pic] шиллингов заплатил каждый человек с деньгами в действительности. Зная, что каждому пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, составим уравнение:

[pic] = 10; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 2.

175х – 175(х – 2) = 10х(х – 2);

350 – 10х² + 20х = 0;

х² – 2х – 35 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 7, х2 = –5 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 7 человек.

3. № 630.

Перед решением задачи необходимо вспомнить, что такое концентрация вещества в растворе (сплаве, слитке, смеси и т. п.).

[pic] , где k – концентрация вещества в процентах, т1 – масса вещества, т – общая масса.

Также необходимо вспомнить, что для содержащегося вещества мы можем указывать как его относительное содержание в растворе (в процентах или в долях), так и абсолютное содержание (в граммах, тоннах, литрах и т. п.). Как правило, в текстовых задачах на концентрацию мы составляем уравнение по зависимости между абсолютным и относительным количеством вещества.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию [pic] ∙ 100 % меньше [pic] ∙ 100 % на 1 %.

Пусть х г – первоначальная масса раствора, тогда (х + 100) г – масса нового раствора. Концентрация соли первоначально составляла [pic] ∙ 100 % , затем стала [pic] ∙ 100 %. Зная, что концентрация соли снизилась на 1 %, составим уравнение:

[pic] ∙ 100 – [pic] ∙ 100 = 1; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –100.

30(х + 100) – 30х = 0,01х(х + 100);

3000 = 0,01х² + х;

0,01х² + х – 3000 = 0;

D = 1 + 4 · 0,01 · 3000 = 121, D > 0, 2 корня.

х1 = [pic] = 500;

х2 = [pic] = –600 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 500 г.

4. № 627, № 629. В классе только проанализировать условие и составить уравнение. Уравнения дорешать дома.

Перед решением задач нужно вынести на доску табличку:

Р е ш е н и е

№ 627.

А н а л и з:

По условию [pic] больше [pic] на 1 час.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, тогда (х – 2) км/ч – скорость лодки при движении против течения. [pic] ч турист плыл на лодке против течения, а [pic] ч – он плыл на лодке по озеру. Зная, что на путь по озеру он затратил на 1 час больше, составим уравнение:

[pic] – [pic] = 1; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 2.

15(х – 2) – 6х = х(х – 2);

15х – 30 – 6х – х² + 2х = 0;

х² – 11х + 30 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5, х2 = 6. Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 5 км/ч или 6 км/ч.

№ 629.

А н а л и з:

V1 = 20 – Vтеч (км/ч)

[pic]

t1 = [pic] ч

36 км

[pic]

22 км

[pic]

V2 = 20 + Vтеч (км/ч)

t2 = [pic] ч

По условию t1 + t2 = 3 ч.

Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда против течения катер шёл со скоростью (20 – х) км/ч, а по течению – (20 + х) км/ч. Против течения он шел [pic] ч, а по течению [pic] ч. Зная, что на весь путь катер затратил 3 часа, составим уравнение:

[pic] + [pic] = 3; ОДЗ: х ≠ 20, х ≠ –20.

36(20 + х) + 22(20 – х) = 3(20 – х)(20 + х);

720 + 36х + 440 – 22х = 1200 – 3х²;

3х² + 14х – 40 = 0;

D1 = 7² + 3 · 40 49 + 120 = 169, D1 > 0, 2 корня.

х1 = [pic] = 2;

х2 = [pic] – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 2 км/ч.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Назовите основные этапы решения текстовой задачи алгебраическим методом.

– Какие способы схематичной записи условия задачи вы знаете?

– В чём особенности решения задач на концентрацию?

– В чём особенности решения задач на движение, если в тексте идёт речь о движении по реке?

Домашнее задание: № 626, № 628, № 627 (дорешать уравнение),
№ 629 (дорешать уравнение).

У р о к 3 (60)
Решение задач на совместную работу
и задач повышенной сложности

Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений; формировать умение решать задачи на совместную работу и задачи повышенной сложности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

В а р и а н т 2

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

III. Формирование умений и навыков.

Все задачи, решаемые на этом уроке, можно разбить на т р и группы:

1) Задачи на конкретную работу.

2) Задачи на абстрактную работу.

3) Задачи повышенной трудности.

В задачах на работу фигурируют величины: производительность (р), время (t) и работа (А), связанные формулой A = p · t. Причём в задачах на конкретную работу мы за А принимаем конкретное число (количество выточенных деталей, количество напечатанных страниц и т. п.), а в задачах на абстрактную работу принимаем значение А, равное 1 (заполнен водой бассейн, вспахано поле и т. д.).

Необходимо разъяснить учащимся, что это не искусственный приём. Каждый участник выполняет часть работы: [pic] и т. д.

1. Две мастерские должны были пошить по 96 курток. Первая мастерская шила в день на 4 куртки больше, чем вторая, и потому выполнила заказ на 2 дня раньше. Сколько курток шила в день каждая мастерская?

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию [pic] больше [pic] на 2 дня.

Пусть 2-я мастерская шьёт в день х курток, тогда 1-я мастерская в день шьёт (х + 4) куртки. Первая мастерская выполнит заказ за [pic] дня, а вторая – за [pic] дня. Зная, что первая мастерская шила на 2 дня меньше, составим уравнение:

[pic] – [pic] = 2; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –4.

96(х + 4) – 96х = 2х(х + 4);

384 – 2х² – 8х = 0;

х² + 4х – 192 = 0;

D1 = 2² + 192 = 196, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –2 + [pic] = –2 + 14 = 12;

x2 = –2 – [pic] = –2 – 14 = –16 – не удовлетворяет условию задачи. Значит, вторая мастерская в день шила 12 курток, а первая 16.

О т в е т: 16 курток, 12 курток.

2. № 632.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию задачи [pic] больше 1 : [pic] на 5 часов.

Пусть х – производительность первого крана, тогда [pic] – производительность второго крана. На разгрузку баржи первый кран затратил [pic] часов, второй 1 : [pic] . Зная, что первому крану потребовалось на 5 часов больше, составим уравнение:

[pic] – [pic] = 5;

[pic] = 5;

[pic] = 5; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ [pic] .

1 – 6х – 6х = 5х(1 – 6х);

1 – 12х – 5х + 30х² = 0;

30х² – 17х + 1 = 0;

D = (–17)² – 4 · 30 = 289 – 120 = 169, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] ;

x2 = [pic] .

x1 = [pic] не удовлетворяет условию задачи, так как первый кран в этом случае разгрузит баржу за 2 часа.

Имеем: первый кран разгрузит баржу за 15 часов, а второй – за 10 часов.

О т в е т: 15 часов, 10 часов.

3. Слесарь может выполнить заказ за то же время, что и два ученика, работая вместе. За сколько часов может выполнить заказ слесарь и каждый из учеников, если слесарь может выполнить его на 2 часа скорее, чем один первый ученик, и на 8 часов скорее, чем один второй?

4. Если останется на уроке время и для сильных в учебе учеников, можно предложить для решения задачу повышенной трудности.

№ 634*.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

V1 = х (км/ч)

[pic]

П [pic] С

V2 = х + 5 (км/ч)

[pic]

Пусть х км/ч – скорость велосипедиста от посёлка до станции. Обозначим этот путь за 1. Тогда от посёлка до станции велосипедист ехал [pic] , а от станции до посёлка [pic] часов, значит, всего в пути он был [pic] часов, а весь путь составил 2. Зная, что средняя скорость на всем пути следования составляла 12 км/ч, получим уравнение:

12 · [pic] = 2;

[pic] = 1; ОДЗ: х ≠ 0; х ≠ –5.

6(х + 5) + 6х = х(х + 5);

6х + 30 + 6х – х² – 5х = 0;

–х² + 7х + 30 = 0;

х² – 7х – 30 = 0.

По теореме, обратно теореме Виета, х1 = 10; х2 = –3 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 10 км.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Назовите основные этапы решения задачи алгебраическим методом.

– Какие виды задач на работу вы знаете?

– В чём отличие решения задач на конкретную и абстрактную работу?

Домашнее задание: № 633, № 695 (а, е), № 702.

У р о к 61
Контрольная работа № 6

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) [pic] ; б) [pic] = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) [pic] ; б) [pic] = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

В а р и а н т 3

1. Решите уравнение:

а) [pic] ; б) [pic] = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

В а р и а н т 4

1. Решите уравнение:

а) [pic] ; б) [pic] = 2.

2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) [pic] . Общий знаменатель х² – 9.

х² = 12 – х;

х² + х – 12 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 3; х2 = –4.

Если х = 3, то х² – 9 = 0.

Если х = –4, то х² – 9 ≠ 0.

б) [pic] = 3. Общий знаменатель х (х – 2).

6х + 5(х – 2) = 3х(х – 2);

6х + 5х – 10 – 3х² + 6х = 0;

–3х² + 17х – 10 = 0;

3х² – 17х + 10 = 0.

D = (–17)² – 4 · 3 · 10 = 289 – 120 = 169, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 5;

x2 = [pic] .

Если х = 5, то х (х – 2) ≠ 0.

Если х = [pic] , то х (х – 2) ≠ 0.

О т в е т: а) –4; б) [pic] ; 5.

2. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, с которой он ехал из А в В, тогда (х – 3) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил [pic] ч, а обратно [pic] ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 10 мин ( [pic] часа) меньше, составим уравнение:

[pic] – [pic] = [pic] . Общий знаменатель 6х (х – 3).

162(х – 3) – 120х – х(х – 3) = 0;

162х – 486 – 120х – х² + 3х = 0;

х² – 45х + 486 = 0.

D = (–45)² – 4 · 486 = 81, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 27;

x2 = [pic] = 18.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = 27 не удовлетворяет условию задачи (слишком большая скорость для велосипедиста).

О т в е т: 18 км/ч.

В а р и а н т 2

1. а) [pic] . Общий знаменатель х² – 16.

3х + 4 = х²;

х² – 3х – 4 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета х1 = 4; х2 = –1.

Если х = 4, то х² – 16 = 0.

Если х = – 1, то х² – 16 ≠ 0.

б) [pic] = 2. Общий знаменатель х (х – 5).

3х + 8(х – 5) = 2х(х – 5);

3х + 8х – 40 – 2х² + 10х = 0;

–2х² + 21х – 40 = 0;

2х² – 21х + 40 = 0.

D = (–21)² – 4 · 2 · 40 = 441 – 320 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 8;

x2 = [pic] = 2,5.

Если х = 8, то х (х – 5) ≠ 0.

Если х = 2,5, то х (х – 5) ≠ 0.

О т в е т: а) –1; б) 2,5; 8.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл со скоростью (х – 3) км/ч, по течению – (х + 3) км/ч и по озеру – х км/ч. Против течения он шёл [pic] ч, по течению [pic] ч, а по озеру он шёл бы [pic] ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

[pic] + [pic] = [pic] . Общий знаменатель х (х – 3)(х + 3).

12х(х + 3) + 5х(х – 3) = 18(х – 3)(х + 3);

12х² + 36х + 5х² – 15х – 18х² + 162 = 0;

х² – 21х – 162 = 0.

D = (–21)² – 4 · 162 = 441 + 648 = 1089, D > 0, 2 корня.

x1 = [pic] = 27;

x2 = [pic] = –6.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но х = –6 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 27 км/ч.

В а р и а н т 3

1. а) [pic] . Общий знаменатель х² – 1.

х² = 4х + 5;

х² – 4х – 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5; х2 = –1.

Если х = 5, то х² – 1 ≠ 0.

Если х = –1, то х² – 1 = 0.

б) [pic] = 3. Общий знаменатель х (х – 3).

5х – 8(х – 3) = 3х(х – 3);

5х – 8х + 24 – 3х² + 9х = 0;

3х² – 6х – 24 = 0;

х² – 2х – 8 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 4; х2 = –2.

Если х = 4, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –2, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 5; б) –2; 4.

2. Пусть х км/ч – скорость, с которой велосипедист ехал из А в В, тогда (х + 4) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил [pic] ч, а обратно [pic] ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 1 ч меньше, составим уравнение:

[pic] – [pic] = 1. Общий знаменатель х (х + 4).

48(х + 4) – 40х – х(х + 4) = 0;

48х + 192 – 40х – х² – 4х = 0;

х² – 4х – 192 = 0.

D1 = (–2)² + 192 = 196, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 2 + [pic] = 2 + 14 = 16;

x2 = 2 – [pic] = 2 – 14 = –12.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 16 км/ч.

В а р и а н т 4

1. а) [pic] . Общий знаменатель х² – 4.

5х + 14 = х²;

х² – 5х – 14 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 7; х2 = –2.

Если х = 7, то х² – 4 ≠ 0.

Если х = –2, то х² – 4 = 0.

б) [pic] = 2. Общий знаменатель х (х – 3).

8х – 10(х – 3) – 2х(х – 3) = 0;

8х – 10х + 30 – 2х² + 6х = 0;

2х² – 4х – 30 = 0;

х² – 2х – 15 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5; х2 = –3.

Если х = 5, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –3, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 7; б) –3; 5.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл со скоростью (х – 2) км/ч, по течению – (х + 2) км/ч и по озеру – х км/ч. Против течения он шёл [pic] ч, по течению [pic] ч, а по озеру он шёл бы [pic] ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

[pic] + [pic] = [pic] . Общий знаменатель х (х – 2)(х + 2).

15х(х + 2) + 6х(х – 2) – 22(х – 2)(х + 2) = 0;

15х² + 30х + 6х² – 12х – 22х² + 88 = 0;

х² – 18х – 8 = 0.

D1 = (–9)² + 88 = 169, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 9 + [pic] = 9 + 13 = 22;

x2 = 9 – [pic] = 9 – 13 = –4.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –4 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 22 км/ч.

ГЛАВА 4 НЕРАВЕНСТВА 21 ЧАС

У р о к 1 (62)
Определение числового неравенства

Цели: повторить правила сравнения чисел; ввести определение понятия числового неравенства; формировать умение использовать данное определение для сравнения чисел и доказательства неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

1. Объявить результаты контрольной работы, выделить типичные ошибки, допущенные учащимися при её выполнении.

2. Вынести на доску решение заданий, с которыми учащиеся не справились.

III. Актуализация знаний.

Необходимо вспомнить с учащимися материал о сравнении действительных чисел. Напоминаем, что геометрически определению понятий «больше» и «меньше» соответствует взаимное расположение точек на координатной прямой: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, и меньше то, которое расположено левее. Используя координатную прямую, учащимся следует помнить, что всякое отрицательное число меньше нуля. Затем повторяем правила сравнения чисел:

1. Всякое отрицательное число меньше любого положительного числа.

2. Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель.

Отсюда следует, что для сравнения обыкновенных дробей, необходимо сперва привести их к общему знаменателю.

3. Из десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть. Если целые части совпадают, то сравниваем в разрядах десятых, сотых, тысячных и т. д., пока не «увидим» большую цифру в разряде.

4. Чтобы сравнить обыкновенную и десятичную дроби, приведём обыкновенную дробь к десятичной и сравним две десятичные дроби.

5. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

IV. Устная работа.

1. Поставьте вместо * знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:

а) –15 * 0; б) 3 [pic] * 0; в) [pic] * 2;

г) [pic] * [pic] ; д) 1,25 * 1 [pic] ; е) 0,6 * [pic] ;

ж) [pic] * [pic] ; з) –0,07 * [pic] ; и) –5,6786 * –5,679.

2. Сравните с нулём значение выражения:

а) (–6,3)³; б) (–2,1)⁴; в) 0⁵; г) [pic] ; д) [pic] .

V. Объяснение нового материала.

1. После актуализации знаний возникает потребность в таком способе сравнения, который позволил бы охватить все рассмотренные числа. Удобнее и проще всего проводить сравнение числа с нулём, поэтому вводится следующее о п р е д е л е н и е: число а больше числа b, если разность а – b – положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b – отрицательное число.

Замечаем, что если разность а – b равна нулю, то числа а и b равны.

2. Рассматриваем рис. 22 на с. 153 ученика и получаем геометрическую интерпретацию нового определения.

3. Разбираем пример № 1 на с. 153 учебника. Можно предложить учащимся составить другую разность – между правой и левой частями неравенства. После преобразования получится положительное число. Просим учащихся сделать соответствующий вывод.

VI. Формирование умений и навыков.

Все у п р а ж н е н и я, решаемые на этом уроке, можно разделить на д в е г р у п п ы:

1) на непосредственное применение определения числового неравенства (сравнение чисел);

2) на доказательство числовых неравенств (определение верности неравенства при любом значении, входящей в его запись буквы).

1. № 724, № 725 (устно).

2. № 726.

Р е ш е н и е

При а = –5

3а(а + 6) = 3 · (–5) (–5 + 6) = –15,

(3а + 6)(а + 4) = (3 ·(–5) + 6)(–5 + 4) = –9;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

При а = 0

3а (а + 6) = 3 · 0 (0 + 6) = 0,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 0 + 6) (0 + 4) = 24;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

При а = 40

3а (а + 6) = 3 · 40 (40 + 6) = 5520,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 40 + 6) (40 + 4) = 5544;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

Докажем, что 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4) при любом значении а. Составим разность выражений:

3а(а + 6) – (3а + 6)(а + 4) = 3а² + 18а – 3а² – 12а – 6а – 24 = –24.

При любом а рассматриваемая разность отрицательна, значит, 3а(а +
+ 6) < (3а + 6)(а + 4).

3. № 728 (а, б), № 729 (а, г), № 730 (а, в).

Р е ш е н и е

№ 728.

а) 3(а + 1) + а – 4(2 + а) = 3а + 3 + а – 8 – 4а = –5 < 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) (7p – 1)(7p + 1) – 49² = 49p² – 1 – 49p² = –1 < 0, значит, неравенство верно при любом значении р.

№ 729.

а) 2b² – 6b + 1 – 2b(b – 3) = 2b² – 6b + 1 – 2b² + 6b = 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении b.

г) 8y(3y – 10) – (5y – 8)² = 24y² – 80y – 25y² + 80y – 64 = –y² – 64 = –(y² +
+ 64) < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

Надо обратить внимание учащихся, что если у² + 64 > 0 для любого у, то противоположное ему по значению выражение –(у² + 64) < 0.

№ 730.

а) 4x(x + 0,25) – (2x + 3)(2x – 3) = 4x² + x – 4x² + 9 = x + 9.

Выражение может быть как положительным, так и отрицательным, а также равным нулю в зависимости от х, значит, неравенство не верно при любых х.

в) (3x + 8)² – 3x(x + 16) = 9x² + 48x + 64 – 3x² – 48x = 6x² + 64 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

4. № 732 (а, б).

Р е ш е н и е

а) 10а² – 5а + 1 – а² – а = 9а² – 6а + 1 = (3а – 1)² ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) 50а² – 15а + 1 – а² + а = 49а² – 14а + 1 = (7а – 1)² ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правила сравнения положительных чисел, отрицательных, разного знака.

– Сформулируйте правила сравнения обыкновенных дробей, десятичных.

– Сформулируйте универсальный способ сравнения чисел. Приведите геометрическую интерпретацию.

Домашнее задание: № 727, № 728 (в, г), № 729 (б, в), № 730 (б, г), № 745 (а).

У р о к 2 (63)
Доказательство числовых неравенств

Цели: продолжить формирование умения доказывать числовое неравенство по его определению; формировать умение решать задачи на составление и доказательство числового неравенства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сравните числа a и b, если a – b равно:

а) –3; б) 0,2; в) 0; г) (–3)⁶; д) b – а; е) 2 [pic] – 3.

2. Расположите в порядке возрастания числа:

1,2; 1 [pic] ; 1 [pic] ; 1,4; 1 [pic] .

3. Сравните числа:

а) [pic] и 6 [pic] ; в) [pic] и [pic] ;

б) 3 [pic] и [pic] ; г) [pic] и 14 [pic] .

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Доказать неравенство:

1) (6y – 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1);

2) 4(x + 2) < (x + 3)² – 2x.

В а р и а н т 2

Доказать неравенство:

1) (3y – 1)(2y + 1) > (2y – 1)(2 + 3y);

2) (x – 5)² + 3x > 7(1 – x).

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1) (6y – 1)(y + 2) – (3y + 4)(2y + 1) = 6y² + 12y – y – 2 – 6y² – 3y – 8y – 4 =
= –6 < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) 4(x + 2) – (x + 3)² + 2x = 4x + 8 – x² – 6x – 9 + 2x = –x² – 1 =
= –(x² + 1) < 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

В а р и а н т 2

1) (3y – 1)(2y + 1) – (2y – 1)(2 + 3y) = 6y² + y – 2y – 1 – 4y – 6y² + 2 + 3y =
= 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) (x – 5)² + 3x – 7(1 – x) = x² – 10x + 25 + 3x – 7 + 7x = x² + 18 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

IV. Формирование умений и навыков.

1. Разобрать пример 2 со с. 153–154 учебника.

2. № 731 (а, в).

Р е ш е н и е

а) a(a + b) – ab = a² + ab – ab = a² ≥ 0 при любом значении а, значит, неравенство верное.

в) 2bc – b² – c² = –(b² – 2bc + c²) = –(b – c)² ≤ 0 при любых значениях b и c, значит, неравенство верное.

3. № 733.

Р е ш е н и е

[pic]

[pic] ≥ 0
при а > 0 (так как (а – 2)² ≥ 0 и а > 0), значит, неравенство верное при любом положительном а.

4. № 735 (б), № 736 (а), № 737.

Р е ш е н и е

№ 735.

б) [pic] ≤ 0
(так как (с – 1)²  0, с² + 1 > 0), значит, неравенство верное при любом значении с.

№ 736.

а) а² – 6а + 14 = а² – 2 ∙ 3 ∙ а + 9 + 5 = (а – 3)² + 5 > 0 при любом значении а.

№ 737. Предложить выполнить по вариантам (4 варианта) и дать общий ответ.

1) а² – 2а + 3 = а² – 2 ∙ 1 ∙ а + 1 + 2 = (а – 1)² + 2 > 0 при любых значениях а.

2) а² + 6 – 4а = а² – 2 ∙ 2 ∙ а + 4 + 2 = (а – 2)² + 2 > 0 при любых значениях а.

3) 4а – 4 – а² = –(а² – 2 ∙ 2 ∙ а + 4) = –(а – 2)² ≤ 0, значит, не является верным при любом значении а.

4) 8а – 70 – а² = –(а² – 2 ∙ 4 ∙ а + 16 + 54) = –((а – 3)² + 54) < 0 при любых значениях а.

О т в е т: 3.

5. № 738 (а, в), № 739, № 741.

Предлагаемые упражнения достаточно сложные и предполагают осознанное применение правила сравнения чисел.

Р е ш е н и е

№ 738.

Пусть a и b – положительные числа и а² > b².

По определению а² – b² > 0. Разложим левую часть неравенства на множители: (а – b)(а + b) > 0.

Сомножитель a + b > 0 (так как a > 0 и b > 0), значит, и сомножитель a – b > 0, то есть a > b, что и требовалось доказать.

а) Составим разность квадратов чисел:

( [pic] + [pic] )² – ( [pic] + [pic] )² = 6 + 2 [pic] + 3 – 7 – 2 [pic] – 2 =
= 2( [pic] – [pic] ) > 0.

Значит, по доказанному выше свойству: [pic] + [pic] > [pic] + [pic] .

в) ( [pic] – 2)² – ( [pic] – [pic] )² = 5 – 4 [pic] + 4 – 6 + 2 [pic] – 3 = 2 [pic] –
– 2 [pic] = 2( [pic] – [pic] ) < 0.

Значит, по доказанному выше свойству: [pic] – 2 < [pic] – [pic] .

№ 739. Это упражнение является продолжением предыдущего. Учащиеся могут сперва попытаться составить разность левой и правой части неравенства и определить её знак. Возникает проблемная ситуация. Затем можно предложить воспользоваться результатами решения предыдущей задачи, также следует задать учащимся вопрос о различиях в заданных ситуациях.

Составим разность квадратов выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства

[pic]

[pic] ≤ 0 при любых a ≥ 0 и b ≥ 0. Значит, неравенство верно [pic] ≤ [pic] и верно [pic] ≤ [pic] для любых a ≥ 0 и b ≥ 0.

№ 741.

Даны числа 0; 1; 2; 3. Получили числа k; k + 1; k + 2; k + 3. Сравним произведения k · (k + 3) и (k + 1)(k + 2). Составим разность этих выражений:

k(k + 3) – (k + 1)(k + 2) = k² + 3k – k² – 2k – k – 2 = –2 < 0, значит, k · (k +
+ 3) < (k + 1)(k + 2) при любом значении k.

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения в классе или дома задачу повышенной трудности.

№ 742.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Сравним время, затраченное Колей и Мишей на путь от посёлка до станции. Составим разность tК – tМ = [pic] < 0. Значит, Коля затратил на путь меньше времени и пришёл на станцию раньше.

О т в е т: Коля.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Дайте определение числового неравенства.

– Сформулируйте универсальное правило сравнения двух чисел.

– Какие выражения называются средним арифметическим, средним геометрическим, средним гармоническим двух чисел? Каким соотношением они связаны?

Домашнее задание: № 735 (а), № 736 (б), № 738 (б, г), № 740.

У р о к 1 (64)
Теоремы, выражающие свойства
числовых неравенств

Цели: изучить теоремы, выражающие свойства числовых неравенств; формировать умения применять теоремы-свойства при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сравните числа:

а) [pic] и [pic] ; в) [pic] и [pic] ;

б) 0,4 и [pic] ; г) [pic] и –0,75.

2. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) 1547 ∙ [pic] и 1547 ∙ [pic] ; в) 289 ∙ 17 и 289 : [pic] ;

б) 2187 : [pic] и 2187 ∙ [pic] ; г) 156,4 : 0,2 и 156,4 · 0,2.

3. Сравните выражения:

а) а² + 25 и 10а; б) b² + 5 и 2b + 3.

III. Объяснение нового материала.

1. «Открытие» свойств числовых неравенств.

На этом этапе можно организовать работу учащихся в группах (лабораторная работа).

1-я г р у п п а – арифметический блок.

З а д а н и е 1. Сравните числа:

а) 5,1 и 2,5; 2,5 и 5,1;

б) – 3 и 2; 2 и –3;

в) 1,05 и 1,005; 1,005 и 1,05.

В ы в о д:

Если а > b, то b … а.

Если а < b, то b … а.

З а д а н и е 2. Сравните числа:

а) 2,3 и 7,6; 7,6 и 8,7; 2,3 и 8,7;

б) –1,5 и –1,25; –1,25 и –1; – 1,5 и –1;

в) –0,7 и 2; 2 и 2,1; –0,7 и 2,1.

В ы в о д:

Если а < b и b < с, то а … с.

З а д а н и е 3. Сравните:

а) 2,3 и 3,6; 2,3 + 2 и 3,6 + 2;

б) 1,6 и 2,07; 1,6 – 11 и 2,07 – 11;

в) –4 и –3; –4 + [pic] и –3 + [pic] .

В ы в о д:

Если а < b, то а + с … b + с.

З а д а н и е 4. Сравните:

а) 11,1 и 12,1; 11,1 ∙ 3 и 12,1 ∙ 3;

б) 0,7 и 1; 0,7 ∙ 1,1 и 1 ∙ 1,1;

в) 0,01 и 0,001; 0,01 ∙ 10 и 0,001 ∙ 10.

В ы в о д:

Если а < b и с > 0, то ab … bc.

Сравните:

а) 11,1 и 12,1; 11,1 ∙ (–3) и 12,1 ∙ (–3);

б) 0,7 и 1; 0,7 ∙ (–1,1) и 1 ∙ (–1,1);

в) 0,01 и 0,001; 0,01 ∙ (–10) и 0,001 ∙ (–10).

В ы в о д:

Если а < b и с < 0, то ab … bc.

2-я г р у п п а – геометрический блок.

З а д а н и е 1. Если а правее b, то b … а (а > b, то b … а).

[pic]

З а д а н и е 2. Если а левее b и b левее с, то а … с.

[pic]

З а д а н и е 3. Если а левее b и с – любое число, то а + с … b + c.

[pic]

З а д а н и е 4. Если а левее b и с – положительное число, то ас … bc.

[pic]

Используя рисунок, заполните пропуски так, чтобы получились верные утверждения.

Так как 2 < 3, то 2 · 100 … 3 · 100.

Так как 2 < 3, то 2 · 0,01 … 3 · 0,01.

[pic]

3-я г р у п п а – практический блок.

З а д а н и е 1. Если а тяжелее b, то b … а (а > b, то b … а).

[pic]

З а д а н и е 2. Если а легче b и b легче с, то а … с.

[pic]

З а д а н и е 3. Если а легче b и с – любое число, то а + с … b + c.

[pic]

З а д а н и е 4. Если а легче b и с – положительное число, то ас … bc.

[pic]

2. Формулировка и доказательство теорем, выражающих свойства числовых неравенств.

Разобрать доказательство четырёх теорем согласно пункту учебника.

3. Прочитать правило (формулировка теоремы 4) на с. 158 учебника. Обратить внимание на важность знания этой теоремы для решения неравенств с одной переменной.

4. Рассмотреть на конкретном примере следствие из теоремы 4 на с. 158.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 746, № 748.

Эти упражнения на применение теорем 1 и 2. При решении следует выполнять как построение координатной прямой с точками (геометрическая интерпретация), так и запись соответствующих числовых неравенств.

2. № 749 (а, в), № 750 (б, г), № 751 (а, в, е).

Р е ш е н и е

№ 749.

а) a – 3 > b – 3; a – 3 + 3 > b – 3 + 3; a > b (по Т3).

a > b и b > 4, то a > 4 (по Т2). Значит, a и b – положительные числа.

в) 7a > 7b; 7a : 7 > 7b : 7; a > b (по Т4).

a > b и b > [pic] , то a > [pic] (по Т2). Значит, a и b – положительные числа.

№ 750.

б) 5 > –3; 5 – 2 > –3 – 2; 3 > –5.

5 > –3; 5 – 12 > –3 – 12; –7 > –15.

5 > –3; 5 – (–5) > –3 – (–5); 10 > 2.

г) 15 > –6; 15 : 3 > –6 : 3; 5 > –2.

15 > –6; 15 : (–3) < –6 : (–3); –5 < 2.

15 > –6; 15 : (–1) < –6 : (–1); –15 < 6.

№ 751.

а) a < b; a + 4 < b + 4;

в) a < b; 8a < 8b;

е) a < b; a : (–1) > b : (–1); –a > –b.

3. № 752 (устно), № 753 (устно).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.

– Если к обеим частям верного неравенства прибавить отрицательное число, то получится ли верное неравенство?

– Можно ли обе части верного неравенства домножить на отрицательное число, чтобы получилось верное неравенство? Какое ещё условие необходимо соблюсти?

– Если a < b и b > 4. Можно ли утверждать, что a > 4?

Домашнее задание: № 747, № 749 (б, г), № 750 (а, в), № 751 (б, г, д), № 764 (а, в).

У р о к 2 (65)
Использование свойств числовых
неравенств при оценке значения выражения

Цели: закрепить знание теорем, выражающих основные свойства числовых неравенств; формировать умение применять изученные свойства при оценке значения выражения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств. Для каждой теоремы приведите примеры.

2. На основании какого свойства можно утверждать, что если x < y, то:

а) x + 20 < y + 20; б) x – 20 < y; в) y > x;

г) [pic] x < [pic] y; д) –3x > –3y; е) [pic] .

3. Каков знак числа а, если:

а) 7a > 2a; б) –5a < –3a; в) 5a < 4a.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Зная, что b > a, c < a и d > b, сравните числа a и d; b и c.

2. Сравните с нулём числа a и b, если известно, что:

а) a + 5 > b + 5 и b > 0,5; б) –12a > –12b и b < –1.

В а р и а н т 2

1. Известно, что d > b, c < a и b > a. Расположите числа a, b, c, d в порядке возрастания.

2. Сравните с нулём числа a и b, если известно, что:

а) a + 1,2 > b + 1,2 и b > 3; б) –4a < –4b и b > 1.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 754 устно.

2. № 755.

Р е ш е н и е

a, b, c, d – положительные числа, значит, если:

1) a > b, то [pic] ;

2) d < b, то [pic] ;

3) c > a, то [pic] .

Имеем: [pic] .

О т в е т: [pic] .

3. Известно, что a > b. Расположите в порядке возрастания числа:
a + 2; b – 8; a + 11; b; b – 6; a.

Р е ш е н и е

a + 2 > a, так как a + 2 – а = 2 > 0;

a + 11 > a + 2, так как a + 11 – (a + 2) = a + 11 – а – 2 = 9 > 0;

b – 6 < b, так как b – 6 – b = –6 < 0;

b – 8 < b – 6, так как b – 8 – (b – 6) = b – 8 – b + 6 = –2 < 0.

Имеем: a + 11 > a + 2; a + 2 > a; a > b; b > b – 6; b – 6 > b – 8.

О т в е т: b – 8; b – 6; b; а; a + 2; a + 11.

4. Перед выполнением следующих заданий следует напомнить учащимся, что неравенства одного знака a < b и b < c можно записать в виде двойного неравенства a < b < c.

Следует проанализировать, как можно преобразовать двойное числовое неравенство, используя свойства числовых неравенств. Особое внимание уделить видоизменению неравенства при умножении на отрицательное число («переворачиваем» неравенство).

Метод оценивания значения числового выражения следует разобрать на примере со с. 158 учебника.

№ 757.

Р е ш е н и е

3 < a < 4.

а) 3 ∙ 5 < a ∙ 5 < 4 ∙ 5; 15 < 5a < 20.

б) 3 ∙ (–1) < a ∙ (–1) < 4 ∙ (–1); –4 < –a < –3.

в) 3 + 2 < a + 2 < 4 + 2; 5 < a + 2 < 6.

г) 5 – а = –1 · а + 5, значит, –4 + 5 < –а + 5 < –3 + 5; 1 < 5 – a < 2.

д) 3 ∙ 0,2 < 0,2а < 4 ∙ 0,2; 0,6 + 3 < 0,2а + 3 < 0,8 + 3; 3,6 < 0,2 + 3 < 3,8.

№ 759.

Р е ш е н и е

1,4 < [pic] < 1,5.

а) 1,4 + 1 < [pic] + 1 < 1,5 + 1; 2,4 < [pic] + 1 < 2,5.

б) 1,4 – 1 < [pic] – 1 < 1,5 – 1; 0,4 < [pic] – 1 < 0,5.

в) 2 – [pic] = (–1) · [pic] + 2; 1,4 · (–1) > (–1) · [pic] > 1,5 · (–1);

–1,5 < – [pic] < –1,4; –1,5 + 2 < – [pic] + 2 < –1,4 + 2; 0,5 < 2 – [pic] < 0,6.

№ 762.

При выполнении этого упражнения используем следствие теоремы 4. Обращаем особое внимание учащихся, что утверждение справедливо только для положительных чисел.

Р е ш е н и е

а) 5 < y < 8, значит, [pic] , то есть [pic] .

б) 0,125 < y < 0,25, [pic] < y < [pic] , значит, 8 > [pic] > 4, то есть 4 < [pic] < 8.

5. № 761.

В этом упражнении демонстрируется практическое применение свойств числовых неравенств.

Р е ш е н и е

а) Пусть а см – сторона квадрата, тогда Р = 4а см – периметр квадрата.

5,1 ≤ а ≤ 5,2; 5,1 · 4 ≤ 4а ≤ 5,2 · 4; 20,4 ≤ 4а ≤ 20,8.

б) Пусть Р см – периметр квадрата, тогда а = [pic] см – сторона квадрата.

15,6 ≤ Р ≤ 15,8; 15,6 : 4 ≤ [pic] ≤ 15,8 : 4; 3,85 ≤ а ≤ 3,95.

О т в е т: а) 20,4 ≤ 4а ≤ 20,8; б) 3,85 ≤ а ≤ 3,95.

6. Данное упражнение более сложное по сравнению с предыдущим и носит развивающий характер.

Пусть а и b – отрицательные числа. Верно ли, что:

а) если a < b, то а² < b²;

б) если а² < b², то а < b?

Р е ш е н и е

а) Если a < b, то а – b < 0 (I). Так как а и b – отрицательные числа, то (а + b) – отрицательное число, то есть а + b < 0. Домножим обе части неравенства I на (а + b), поменяв знак неравенства:

(а – b)(а + b) > 0 · (а + b);

(а – b)(а + b) > 0;

а² – b² > 0, значит, а² > b², то есть утверждение неверное.

б) а² < b², значит, а² – b² < 0; (а – b)(а + b) < 0. Разделим обе части неравенства на отрицательное число (а + b). Получаем а – b > 0; а > b,то есть утверждение – неверное.

О т в е т: а) нет; б) нет.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.

– В каком случае целесообразно записать неравенства в виде одного двойного неравенства?

– Каким образом используют основные свойства числовых неравенств при оценке значения выражения?

Домашнее задание.

1. № 758, № 760.

2. Известно, что а > b > 0. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство:

а) 8а * 6b; в) –6а * –4b;

б) 12а * b; г) –11а * –3b.

3. Известно, что а < b. Расположите в порядке возрастания числа:
а – 2; b + 3; а – 17; а; b + 23; b.

Д о п о л н и т е л ь н о е з а д а н и е № 756*.

У р о к 1 (66)
Теоремы о почленном сложении
и умножении неравенств

Цели: изучить формулировки и доказательства теорем о почленном сложении и умножении неравенств; формировать умения применять данные теоремы при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Известно, что 10 < a < 16. Оцените значение выражения:

а) [pic] a; б) –3а; в) а – 16.

2. Известно, что 2,2 < [pic] < 2,3. Оцените значение выражения:

а) 5 [pic] ; б) – [pic] ; в) 3 + [pic] ; г) 3 – [pic] .

В а р и а н т 2

1. Известно, что 5 < m < 15. Оцените значение выражения:

а) [pic] т; б) –2т; в) т – 6.

2. Известно, что 2,6 < [pic] < 2,7. Оцените значение выражения:

а) 2 [pic] ; б) – [pic] ; в) 2 + [pic] ; г) 3 – [pic] .

В а р и а н т 3

1. Известно, что 15 < х < 20. Оцените значение выражения:

а) [pic] х; б) [pic] ; в) 3х + 10.

2. Известно, что 3,31 < [pic] < 3,32. Оцените значение выражения:

а) 3 [pic] ; б) – [pic] [pic] ; в) [pic] + 1,8; г) 4,53 – [pic] .

В а р и а н т 4

1. Известно, что 6 < у < 9. Оцените значение выражения:

а) у + 5; б) [pic] у; в) [pic] у – 3.

2. Известно, что 4,12 < [pic] < 4,13. Оцените значение выражения:

а) [pic] [pic] ; б) –3 [pic] ; в) [pic] + 0,5; г) 2,7 – [pic] .

III. Объяснение нового материала.

1. Для мотивации изучения теорем о сложении и умножении числовых неравенств следует предложить учащимся для решения задачи практического характера.

З а д а ч а 1. Длина прямоугольника больше 12 см, а его ширина больше 3 см. Можно ли утверждать, что периметр этого прямоугольника больше 30 см?

Р е ш е н и е

Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника соответственно, тогда периметр равен 2a + 2b.

a> 12; 2a > 24;

b > 3; 2b > 6.

Доказать, что 2a + 2b > 30.

Учащиеся могут интуитивно сложить почленно неравенства и получить следующий результат:

2a + 2b > 24 + 6;

2a + 2b > 30.

Следует отметить, что так можно поступать, но необходимо провести доказательство, используя известные теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.

[pic] : 2a > 24; 2a + 2b > 24 + 2b. (1).

2b > 6; 2b + 24 > 6 + 24; 24 + 2b > 30. (2).

Из неравенств (1)и (2) по теореме 2 следует, что 2a + 2b > 30. [pic]

Далее просим учащихся сформулировать «открытое» ими утверждение в общем виде и записать его аналитическую модель:

Доказательство теоремы можно разобрать по учебнику, так как в нём повторяется ход рассуждений для решения задачи 1.

З а д а ч а 2. Длина прямоугольника больше 15 дм, а его ширина больше 6 дм. Можно ли утверждать, что его площадь больше 90 дм²?

Р е ш е н и е

Можно предложить учащимся провести доказательство утверждения самостоятельно по аналогии с предыдущей задачей.

Пусть a и b – длина и сторона прямоугольника, тогда его площадь равна a · b.

a > 15;

b > 6.

Доказать, что ab > 90.

[pic] : a > 15; b > 0, значит, a · b > 15 · b. (1).

b > 6; b · 15 > 6 · 15; 15b > 90. (2).

Из неравенств (1) и (2) по теореме 2 следует, что ab > 90. [pic]

Просим учащихся дать общую формулировку утверждения. Замечаем, что теорема о почленном умножении неравенств справедлива для положительных чисел. Если среди чисел есть отрицательные, то при почленном умножении неравенств может получиться неверное неравенство. Просим учащихся привести контрпримеры. На доску выносится запись:

Доказательство разбираем по учебнику.

2. Следствие из теоремы 6 также разбираем по учебнику.

IV. Формирование умений и навыков.

Обращаем внимание учащихся, что для почленного сложения или умножения неравенств удобнее их записывать друг под другом.

1. № 765, № 766.

2. № 767 (а); № 768.

Р е ш е н и е

№ 767.

а) а² > b², значит, а² – b² > 0; (a – b)(a + b) > 0.

a и b – положительные числа, значит, a + b > 0. Разделим обе части неравенства на a + b, получим a – b > 0, значит, a > b.

Имеем:

а² > b²

a > b

а² · а > b² · b, то есть а³ > b³.

№ 768.

а) 3 < a < 4

4 < b < 5

7 < a + b < 9

в) 3 < a < 4

4 < b < 5

12 < ab < 20

б) a – b = а + (–1) · b

4 < b < 5

–5 < –b < –4

3 < а < 4

3 + (–5) < а + (–b) < 4 + (–4);

–2 < а – b < 0.

г) [pic]

4 < b < 5

[pic]

3 < а < 4

[pic]

3. № 776. Задание повышенной сложности на «прямое» применение теорем 5 и 6.;

Р е ш е н и е

Запишем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для всех пар чисел:

2 [pic] ≤ а + b

2 [pic] ≤ b + c

2 [pic] ≤ а + c

[pic]

2 [pic] ∙ 2 [pic] ∙ 2 [pic] ≤ (а + b)(b + c)(а + c);

8 [pic] ≤ (а + b)(b + c)(а + c);

8 ∙ | abc | ≤ (а + b)(b + c)(а + c).

Так как а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то | abc | = abc, значит,

8abc ≤ (а + b)(b + c)(а + c), то есть (а + b)(b + c)(а + c) ≤ 8abc.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.

– Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств. Какие ограничения накладываются на числа?

– Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств.

– Можно ли применить данные теоремы к более чем двум неравенствам указанного вида?

Домашнее задание.

1. № 767 (б), № 769.

2. Докажите, что если а > 5 и b > 6, то

а) 2a + b > 15; б) 12a >4b  80.

3. Докажите, что если а > 6 и b < –1, то

а) 3a – b > 16; б) b – 12а < –50.

4. № 776 (б)* (дополнительное задание).

У р о к 2 (67)
Использование теорем о почленном
умножении и сложении неравенств
при оценке значения выражения

Цели: закрепить знание теорем о почленном сложении и умножении неравенств; формировать умение применять данные теоремы для оценки значения выражения; формировать умение решать задачи повышенной трудности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Известно, что –5 < а < 9. Оцените значение выражения:

а) 2а; б) –4а; в) [pic] ; г) –а; д) а + 4; е) 3 – а.

2. Пусть b – произвольное число, сравните с нулём значение выражения:

а) – b² – 16; г) (b – 2)² + 16;

б) 13 + b²; д) (15b – 127)² + (1 – b)².

3. Известно, что х > 5, у > 15. Оцените значение выражения:

а) х + у; б) х · у; в) 2х + у;

г) [pic] ; д) –2ху; е) х² – 25.

III. Формирование умений и навыков.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

При выполнении устной работы учащиеся использовали теоремы о почленном сложении и умножении неравенств и следствие. Просим их сформулировать данные теоремы.

2. Р а б о т а п о у ч е б н и к у.

Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств используются для оценки суммы, разности, произведения и частного. Разбираем примеры 1–4 на с. 162–163 учебника. Еще раз обращаем внимание на удобную запись неравенств (одного под другим) при выполнении почленного сложения либо умножения.

3. № 770.

4. Докажите, что если 0 < а < 7 и 0 < b < 3, то:

а) 5а + 11b < 70; в) аb + 4 < 30.

Р е ш е н и е

а) 0 < а < 7; 0 < 5а < 35

0 < b < 3; 0 < 11b < 33

0 < 5а + 11b < 68

Так как 68 < 70, то 0 < 5а + 11b < 70.

б) 0 < а < 7;

0 < b < 3;

0 < аb < 21; 4 < аb + 4 < 25

Так как 25 < 30, то 4 < аb + 4 < 30.

5. В этих упражнениях демонстрируется практическое применение теорем о почленном сложении и умножении неравенств.

№ 772.

Р е ш е н и е

Пусть а – основание, b – боковая сторона равнобедренного треугольника, тогда Р = а + 2b – периметр этого треугольника.

41 ≤ b ≤ 43; 82 ≤ 2b ≤ 86

26 ≤ а ≤ 28

108 ≤ а + 2b ≤ 114.

О т в е т: 108 ≤ Р ≤ 114.

№ 774.

Р е ш е н и е

Пусть а и b – длина и ширина прямоугольной комнаты, тогда её площадь равна аb.

7,5 ≤ а ≤ 7,6

5,4 ≤ b ≤ 5,5

40,5 ≤ а · b ≤ 41,8.

Так как требуется комната площадью не менее 40 м² (то есть S ≥ 40), то данное помещение подойдёт для библиотеки.

О т в е т: да.

№ 775.

Пусть α, β – углы треугольника, тогда третий угол γ по теореме о сумме углов треугольника равен 180 ° – α – β.

58° ≤ α ≤ 59°; –59° ≤ –α ≤ –58°

102° ≤ β ≤ 103°; –103° ≤ –β ≤ –102°

180° – 59° – 103° ≤ 180° – α – β ≤ 180° – 58° – 102°

18° ≤ 180° – α – β ≤ 20 °.

О т в е т: 18° ≤ γ ≤ 20°.

6. Задания повышенной трудности можно предложить сильным в учебе учащимся или решать с классом, если останется время.

№ 777.

Р е ш е н и е

Пусть ABCD – выпуклый четырёхугольник, тогда его диагонали пересекаются в т. О.

Докажем, что AB + DC < AC + BD и BC + AD < AC + BD.

[pic] :

[pic]

Воспользуемся неравенством треугольника (каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон).

1) AB < AО + BО

DC < ОD + ОС

AB + DC < AО + BО + DО + ОС;

AB + DC < (AО + ОС) + (BО + ОD);

AB + DC < AC + BD.

2) BC < BО + СО

AD < OA + OD

BC + AD < BО + CO + OA + ОD;

BC + AD < (BО + ОD) + (CO + OA)

BC + AD < BD + AC. [pic]

№ 778.

Р е ш е н и е

Медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке О. Обозначим длины сторон треугольника a, b, c. АА1, ВВ1, СС1 – медианы.

[pic]

1) Докажем, что сумма длин медиан треугольника больше его полупериметра.

[pic] : воспользуемся неравенством треугольника.

ВO + OA1 > [pic]

CO + OB1 > [pic]

AO + OC1 > [pic]

[pic] ВO + OA1 + CO + OB1 + AO + OC1 > [pic]

(BO + OB1) + (AO + OA1) + (CO + OC1) > [pic]

ВB1 + AA1 + CC1 > [pic] . [pic]

2) Докажем, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.

Предлагаем учащимся решить самостоятельно (можно дать в качестве домашнего задания).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.

– Сформулируйте теоремы о сложении и умножении числовых неравенств.

– Каким образом используют теоремы о сложении и умножении числовых неравенств при оценке значения выражения?

Домашнее задание.

1. № 771, № 773.

2. Верно ли, что:

а) если а > 4 и b > 6, то 2a + b > 45;

б) если a > 3 и b > 9, то 3ab > 30.

3. Сравните, если возможно:

а) 3а + 2b и 16, если а > 4 и b > 8;

б) 5а – b и 20, если а > 4 и b < –3.

4. № 776 (б)*.

У р о к 1 (68)
Абсолютная погрешность
приближенного значения

Цели: ввести понятие абсолютной погрешности приближенного значения; формировать умение находить абсолютную погрешность приближенного значения и значение величины по точности её измерения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Пусть 2 < a < 3 и 1 < b < 2. Оцените значение выражения:

а) a + b; б) a – b; в) ab; г) [pic] .

2. Зная, что 1,7 < [pic] < 1,8 и 2,4 < [pic] < 2,5, оцените значение выражения:

а) [pic] + [pic] ; б) [pic] – [pic] .

В а р и а н т 2

1. Известно, что 5 < х < 6 и 2 < у < 3. Оцените значение выражения:

а) х + у; б) х – у; в) ху; г) [pic] .

2. Зная, что 1,4 < [pic] < 1,5 и 2,2 < [pic] < 2,3, оцените значение выражения:

а) [pic] + [pic] ; б) [pic] – [pic] .

В а р и а н т 3

1. Известно, что 8 <a < 10 и 1 < b < 2. Оцените значение выражения:

а) a + b; б) a – b; в) ab; г) [pic] .

2. Зная, что 2,4 < [pic] < 2,5 и 3,1 < [pic] < 3,2, оцените значение выражения:

а) [pic] + [pic] ; б) [pic] – [pic] .

III. Устная работа.

1. Округлите число:

а) 35,7 до единиц; г) 0,53748 до тысячных;

б) 289 до десятков; д) 3847,5 до сотен;

в) 82,3591 до десятых; е) 1,384795 до десятитысячных.

2. a < b и b 0, найдите значение выражения:

а) | a + b | = *; в) | b – a | = *;

б) | a | + | b | = *; г) | a ∙ b | = *.

3. Представьте в виде десятичной дроби.

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] .

IV. Объяснение нового материала.

1. М о т и в а ц и я и з у ч е н и я.

Многочисленные приложения математических методов в различных областях знаний и жизненной практике часто осуществляются в форме решения задач на вычисление. Значения таких непрерывных величин как расстояние, скорость, стоимость, сила тока и др. обязательно являются приближенными числами, так как точные измерения таких величин принципиально невозможны. Это связано с особенностями как самих измерительных приборов, так и с погрешностями, которые допускает человек, пользующийся этими приборами.

Практическое использование полученного приближенного числа без оценки его погрешности может оказаться опасным. Например, изготовление хотя бы одной детали самолёта по расчётным данным, точность которых неизвестна, может обернуться катастрофой.

2. В в е д е н и е п о н я т и я абсолютной погрешности.

Объяснение проводить в соответствии с пунктом учебника. На доску выносится запись:

Обращаем внимание учащихся, что абсолютная погрешность показывает разницу между точным и приближённым значением в абсолютном выражении, не указывая, в какую сторону ошиблись при вычислении – увеличения или уменьшения числа.

3. Для первичного закрепления понятия абсолютной погрешности выполним упражнения из учебника № 782 и № 783 (а, б).

Р е ш е н и е

№ 782.

1) 17,26 ≈ 17,3.

Абсолютная погрешность равна | 17,26 – 17,3 | = | –0,04 | = 0,04.

2) 12,034 ≈ 12,0.

Абсолютная погрешность равна | 12,034 – 12,0 | = | 0,034 | = 0,034.

3) 8,654 ≈ 8,7.

Абсолютная погрешность равна | 8,654 – 8,7 | = | –0,046 | = 0,046.

№ 783.

а) 9,87 ≈ 10.

Абсолютная погрешность равна | 9,87 – 10 | = | –0,13 | = 0,13.

б) 124 ≈ 120.

Абсолютная погрешность равна | 124 – 120 | = | 4 | = 4.

4. Рассматриваем случаи, когда абсолютную погрешность найти невозможно (мы не знаем точного значения). В подобных ситуациях мы указываем число, больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Вообще, если х ≈ а и абсолютная погрешность этого приближённого значения не превосходит некоторого числа h, то число а называют приближённым значением х с точностью до h.

На доску выносим соответствующую запись:

или Просим ребят привести примеры, где они встречали подобную запись (надпись на рулоне обоев: 18 ± 0,3 м; надпись на коробке с конфетами: 300 ± 5 г; надпись на упаковке с замороженными продуктами: –20 ± 2 °С).

V. Формирование умений и навыков.

1. № 784, № 785 (а).

Р е ш е н и е

№ 784.

[pic] ≈ 0,14. Абсолютная погрешность равна

[pic] .

№ 785 (а).

у = 6,5 ± 0,1, значит, 6,5 – 0,1 ≤ у ≤ 6,5 + 0,1;

6,4 ≤ у ≤ 6,6.

2. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите до тысячных. Найдите абсолютную погрешность приближения:

а) [pic] ; б) 1 [pic] .

Р е ш е н и е

а) [pic] = 0,8(3) = 0,83333... ≈ 0,833. Абсолютная погрешность равна

[pic] .

б) 1 [pic] = [pic] = 1,(45) = 1,4545... ≈ 1,455.

Абсолютная погрешность равна

[pic] .

3. № 787, № 789.

Р е ш е н и е

№ 787.

а = 420 г ± 3 %, значит, 420 – 3 % ≤ а ≤ 420 + 3 %.

[pic] ∙ 3 = 12,6; 420 – 12,6 ≤ а ≤ 420 + 12,6;

407,4 ≤ а ≤ 432,6.

О т в е т: 407,4 ≤ а ≤ 432,6.

№ 789.

Масса мешка картофеля равна 32 ± 1 кг, то есть 32 – 1 ≤ т ≤ 32 + 1;
31 ≤ т ≤ 33.

Пусть а – приближённое значение массы мешка картофеля с точностью до 0,1 кг, тогда

а – 0,1 ≤ т ≤ а + 0,1.

а) Если а = 31,4, то 31,3 ≤ т ≤ 31,5.

31,3 > 31 и 31,5 < 33, значит, масса может оказаться равной 31,4 кг.

б) Если а = 32,5, то 32,4 ≤ т ≤ 32,6.

32,4 > 31 и 32,6 < 33, значит, масса может оказаться равной 32,5 кг.

в) Если а = 33,2, то 33,1 ≤ т ≤ 33,3.

33,1 > 33, значит, масса не может оказаться равной 33,2 кг.

г) Если а = 30,7, то 30,6 ≤ т ≤ 30,8.

30,8 < 31, значит, масса не может оказаться равной 30,7 кг.

О т в е т: а) Да. б) Да. в) Нет. г) Нет.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правило округления чисел.

– Что называют абсолютной погрешностью приближенного значения?

– Объясните смысл записи х = а ± h.

– От чего зависит точность приближённого значения?

Домашнее задание: № 783 (в, г), № 785 (б), № 786, № 788.

У р о к 2 (69)
Относительная погрешность
приближённого значения

Цели: ввести понятие относительной погрешности приближённого значения; формировать умение оценивать качество измерения с помощью относительной погрешности.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Приближённое значение числа х равна а. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:

а) х = 2,85, а = 2,9; в) х = 18,65, а = 19;

б) х = 26,3, а = 26; г) х = 686, а = 690.

2. Оцените точное значение b, если:

а) b = 6 ± 1; в) b = 14,568 ± 0,001;

б) b = 15 ± 0,1; г) b = 120 ± 10.

При проведении устной работы одновременно актуализируем определение абсолютной погрешности приближённого значения.

II. Объяснение нового материала.

1. М о т и в а ц и я и з у ч е н и я.

Предлагаем учащимся для рассмотрения следующую ситуацию. Марина, измеряя длину детали, имеющую истинную длину 10 см, допустила абсолютную погрешность, равную 1 см. Сергей, измеряя длину комнаты, истинная длина которой 5 м, также допустил абсолютную погрешность, равную 1 см. В о п р о с: кто из ребят выполнил измерение более точно (качественно)?

Учащиеся интуитивно понимают, что Сергей более качественно выполнил работу, так как относительно размера комнаты эта абсолютная погрешность не столь существенна, как относительно размера детали.

2. С о о б щ а е м у ч е н и к а м, что точность приближения или его качество, как правило, характеризуется не абсолютной его погрешностью, а относительной. Выносим на доску запись:

В рассмотренной выше ситуации при измерении (в сантиметрах) детали и длины комнаты получены результаты:

а = 10 ± 1 (длина детали);

b = 500 ± 1 (длина комнаты).

В первом случае относительная погрешность составляет [pic] , во втором [pic] . Выразив относительную погрешность в процентах, получим 10 % и 0,2 %.

В ы в о д: чем меньше относительная погрешность приближения, тем приближение считается более точным.

3. Используя пример со с. 166–167 учебника, разбираем способ оценки относительной погрешности в случае, когда абсолютная погрешность не известна, а известна только точность приближённого значения.

Пусть а – приближённое значение х с точностью до h, тогда х = а ± h. Значит, относительная погрешность не превосходит [pic] ∙ 100 %. Иными словами, приближение выполнено с точностью до [pic] ∙ 100 %.

III. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, которые учащиеся должны выполнить на этом уроке, можно разбить на т р и г р у п п ы:

1) Определение точности измерения.

2) Вычисление относительной погрешности приближённого значения по абсолютной погрешности.

3) Оценка относительной погрешности приближённого значения по его точности.

1. № 790, № 791.

Р е ш е н и е

№ 791.

17,9 мм – получено штангенциркулем;

18 мм – получено линейкой;

17,86 мм – получено микрометром.

И з м е р е н и е:

– линейкой с точность до 1 мм;

– штангенциркулем с точностью до 0,1 мм;

– микрометром с точностью до 0,01 мм.

2. Округлите число единиц и найдите относительную погрешность округления:

а) 1,7; б) 5,314.

Р е ш е н и е

а) 1,7 ≈ 2.

Абсолютная погрешность равна | 1,7 – 2 | = 0,3.

Относительная погрешность равна [pic] ∙ 100 % = 15 %.

б) 5,314 ≈ 5.

Абсолютная погрешность равна | 5,314 – 5 | = 0,314.

Относительная погрешность равна [pic] ∙ 100 % = 6,28 %.

О т в е т: 15 %; б) 6,28 %.

3. № 793.

Р е ш е н и е

ρ = 7,8 г/см³ – табличное значение плотности железа.

7,6 г/см³ – приближённое значение.

Абсолютная погрешность составляет | 7,8 – 7,6 | = 0,2.

Относительная погрешность равна [pic] ∙ 100 % ≈ 2,6 %.

О т в е т: ≈ 2,6 %.

4. № 795.

Р е ш е н и е

d = 0,15 ± 0,01 мм;

l = 384000 ± 500 км.

Относительная погрешность измерения толщины волоса не превышает [pic] ∙ 100 %, то есть ≈ 6,7 %.

Относительная погрешность измерения расстояния от Земли до Луны не превышает [pic] ∙ 100 %, то есть 0,1 %.

6,7 % > 0,1 %, значит, измерение расстояния от Земли до Луны произведено более качественно (с большей точностью).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Почему по абсолютной погрешности приближённого значения нельзя судить о качестве приближения (измерения)? Приведите пример.

– Что называется относительной погрешностью приближённого значения?

– Каким образом можно оценить относительную погрешность приближённого значения, если абсолютная погрешность неизвестна?

Домашнее задание.

1. № 792, № 794.

2. Сравните качества измерения массы М электровоза и массы т таблетки лекарства, если М ≈ 184т (с точностью до 0,5т) и т ≈ 0,25 г (с точностью до 0,01 г).

3. Подготовка к контрольной работе, повторить п. 28–30.

№ 797 (а), № 930 (а), № 932.

У р о к 70
Контрольная работа № 7

Р е к о м е н д а ц и и п о о ц е н и в а н и ю.

Для получения отметки «3» достаточно выполнить первые два задания. Для получения отметки «5» необходимо выполнить любые четыре задания. Если выполнены все пять заданий, учащийся может получить дополнительную оценку.

В а р и а н т 1

1. Докажите неравенство:

а) (x – 2)² > x(x – 4); б) a² + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. Известно, что а < b. Сравните:

а) 21а и 21b; б) –3,2а и –3,2b; в) 1,5b и 1,5а.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 2,6 < [pic] < 2,7. Оцените:

а) 2 [pic] ; б) – [pic] .

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 2,6 < а < 2,7, 1,2 < b < 1,3.

5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

В а р и а н т 2

1. Докажите неравенство:

а) (x + 7)² > x(x + 14); б) b² + 5 ≥ 10(b – 2).

2. Известно, что а > b. Сравните:

а) 18а и 18b; б) –6,7а и –6,7b; в) –3,7b и –3,7а.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,1 < [pic] < 3,2. Оцените:

а) 3 [pic] ; б) – [pic] .

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 1,5 < а < 1,6, 3,2 < b < 3,3.

5. Даны четыре последовательных натуральных числа. Сравните произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.

В а р и а н т 3

1. Докажите неравенство:

а) (x – 3)² > x(x – 6); б) у² + 1 ≥ 2(5у – 12).

2. Известно, что х < у. Сравните:

а) 8х и 8у; б) –1,4х и –1,4у; в) –5,6у и –5,6х.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,6 < [pic] < 3,7. Оцените:

а) 3 [pic] ; б) –2 [pic] .

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если известно, что 1,1 < х< 1,2, 1,5 < у < 1,6.

5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.

В а р и а н т 4

1. Докажите неравенство:

а) (x + 1)² > x(x + 2); б) a² + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. Известно, что х > у. Сравните:

а) 13х и 13у; б) –5,1х и –5,1у; в) 2,6у и 2,6х.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,3 < [pic] < 3,4. Оцените:

а) 5 [pic] ; б) –2 [pic] .

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами с см и b см, если известно, что 4,6 < с < 4,7, 6,1 < b < 6,2.

5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же число т. Сравните произведение средних членов получившейся последовательности с произведением крайних членов.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) (x – 2)² – x(x – 4) = x² – 4x + 4 – x² + 4x = 4 > 0, значит,

(x – 2)² > x(x – 4).

б) a² + 1 – 2(3a – 4) = a² + 1 – 6a + 8 = a² – 6a + 9 = (a – 3)² ≥ 0,

значит, a² + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. а) а < b;

21а < 21b;

б) а < b;

–3,2а > –3,2b;

в) а < b;

b > a;

1,5b > 1,5а.

О т в е т: а) 21а < 21b; б) –3,2а > –3,2b; в) 1,5b > 1,5а.

3. а) 2,6 < [pic] < 2,7; б) 2,6 < [pic] < 2,7

5,2 < 2 [pic] < 5,4; –2,7 < – [pic] < –2,6.

О т в е т: а) 5,2 < 2 [pic] < 5,4; б) –2,7 < – [pic] < –2,6.

4. S = a ∙ b см²; P = 2(a + b) см;

2,6 < а < 2,7 2,6 < а < 2,7

1,2 < b < 1,3 1,2 < b < 1,3

2,6 · 1,2 < a · b < 2,7 · 1,3 2,6 + 1,2 < a + b < 2,7 + 1,3

3,12 < ab < 3,51 2 · 3,8 < 2(a + b) < 2 · 4

3,12 < S < 3,51 7,6 < 2(a + b) < 8,0

7,6 < Р < 8,0

О т в е т: 3,12 < S < 3,51; 7,6 < Р < 8,0.

5. Пусть 2 + а, 3 + а, 4 + а, 5 + а – полученная последовательность.

(2 + а)(5 + а) – (3 + а)(4 + а) = 10 + 2а + 5а + а² – 12 – 3а – 4а – а² =
= –2 < 0, значит, произведение крайних членов последовательности меньше произведения её средних членов.

В а р и а н т 2

1. а) (x + 7)² – x(x + 14) = x² + 14x + 49 – x² – 14x = 49 > 0,

значит, (x + 7)² > x(x + 14).

б) b² + 5 – 10(b – 2) = b² + 5 – 10b + 20 = b² – 10b + 25 = (b – 5)² ≥ 0,

значит, b² + 5 ≥ 10(b – 2).

2. а) а > b;

18а > 18b;

б) а > b;

–6,7а < –6,7b;

в) а > b;

b < a;

–3,7b > –3,7а.

О т в е т: а) 18а > 18b; б) –6,7а < –6,7b; в) –3,7b > –3,7а.

3. а) 3,1 < [pic] < 3,2 б) 3,1 < [pic] < 3,2

9,3 < [pic] < 9,6; –3,2 < – [pic] < –3,1.

О т в е т: а) 9,3 < [pic] < 9,6; б) –3,2 < – [pic] < –3,1.

4. S = a ∙ b см² P = 2(a + b) см.

1,5 < а < 1,6 1,5 < а < 1,6

3,2 < b < 3,3 3,2 < b < 3,3

4,80 < ab < 5,28 1,5 + 3,2 < a + b < 1,6 + 3,3

4,80 < S < 5,28. 2 · 4,7 < 2(a + b) < 2 · 4,9

9,4 < 2(a + b) < 9,8

9,4 < Р < 9,8.

О т в е т: 4,80 < S < 5,28; 9,4 < Р < 9,8.

5. п, п + 1, п + 2, п + 3 – последовательные натуральные числа.

п (п + 3) – (п + 1) (п + 2) = п² + 3п – п² – 2п – п –2 = –2 < 0, значит, произведение первого и последнего числа меньше произведения двух средних чисел.

В а р и а н т 3

1. а) (x – 3)² – x(x – 6) = x² – 6x + 9 – x² + 6x = 9 > 0,

значит, (x – 3)² > x(x – 6).

б) у² + 1 – 2(5у – 12) = у² + 1 – 10у + 24 = у² – 10у + 25 = (у – 5)² ≥ 0,

значит, у² + 1 ≥ 2(5у – 12).

2. а) х < у;

8х < 8у;

б) х < у;

–1,4х > –1,4у;

в) х < у;

y > x;

–5,6у < –5,6х.

О т в е т: а) 8х < 8у; б) –1,4х > –1,4у; в) –5,6у < –5,6х.

3. а) 3,6 < [pic] < 3,7 б) 3,6 < [pic] < 3,7

10,8 < 3 [pic] < 11,1. 7,2 < 2 [pic] < 7,4

–7,4 < –2 [pic] < –7,2.

О т в е т: а) 10,8 < 3 [pic] < 11,1; б) –7,4 < –2 [pic] < –7,2.

4. S = х ∙ у см² P = (х + у) см.

1,1 < х < 1,2 1,1 < х < 1,2

1,5 < у < 1,6 1,5 < у < 1,6

1,1 · 1,5 < ху < 1,2 · 1,6 1,1 + 1,5 < х + у < 1,2 + 1,6

1,65 < ху < 1,92 2 · 2,6 < 2(х + у) < 2 · 2,8

1,65 < S < 1,92. 5,2 < 2(х + у) < 5,6.

5,2 < Р < 5,6.

О т в е т: 1,65 < S < 1,92; 5,2 < Р < 5,6.

5. п, п + 1, п + 2 – последовательные натуральные числа.

(п + 1)² – п (п + 2) = п² + 2п + 1 – п² – 2п = 1 > 0, значит, квадрат среднего числа больше произведения двух других чисел.

В а р и а н т 4

1. а) (x + 1)² – x(x + 2) = x² + 2x + 1 – x² – 2x = 1 > 0,

значит, (x + 1)² > x(x + 2).

б) a² + 1 – 2(3a – 4) = a² + 1 – 6a + 8 = a² – 6a + 9 = (a – 3)² ≥ 0,

значит, a² + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. а) х > у;

13х > 13у;

б) х > у;

–5,1х < –5,1у;

в) х > у;

y > x;

2,6у < 2,6х.

О т в е т: а) 13х > 13у; б) –5,1х < –5,1у; в) 2,6у < 2,6х.

3. а) 3,3 < [pic] < 3,4 б) 3,3 < [pic] < 3,4

16,5 < 5 [pic] < 17,0; –6,6 > –2 [pic] > –6,8;

–6,8 < –2 [pic] < –6,6.

О т в е т: а) 16,5 < 5 [pic] < 17,0; б) –6,8 < –2 [pic] < –6,6.

4. S = с ∙ b см² P = 2(с + b) см

4,6 < с < 4,7 4,6 < с < 4,7

6,1 < b < 6,2 6,1 < b < 6,2

4,6 · 6,1 < с · b < 4,7 · 6,2 4,6 + 6,1 < с + b < 4,7 + 6,2

28,06 < сb < 29,14 2 · 10,7 < 2(с + b) < 2 · 10,9

28,06 < S < 29,14. 21,4 < 2(с + b) < 21,8

21,4 < Р < 21,8.

О т в е т: 28,06 < S < 29,14; 21,4 < Р < 21,8.

5. 6 + т, 5 + т, 4 + т, 3 + т – полученная последовательность.

(5 + т)( 4 + т) – (6 + т)(3 + т) = 20 + 5т + 4т + т² – 18 – 6т – 3т –
– т² = 2 > 0, значит, произведение средних членов последовательности больше произведения её крайних членов.

У р о к 1 (71)
Основные понятия теории множеств.
Пересечение и объединение множеств

Цели: ознакомить учащихся с основными понятиями теории множеств, операциями над множествами (пересечение и объединение множеств); формировать умения задавать множества и проводить над ними основные операции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Запишите в виде двойного неравенства b = 5,82 ± 0,01.

2. Представьте каждое из чисел 2 [pic] и 14 [pic] в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до сотых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

В а р и а н т 2

1. Запишите в виде двойного неравенства u = 6,75 ± 0,01.

2. Представьте каждое из чисел 6 [pic] и 18 [pic] в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

III. Объяснение нового материала.

Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащихся с теоретико-множественными понятиями является введение неопределяемых понятий множества, его элемента и принадлежности.

I б л о к.

1. О с н о в н ы е п о н я т и я.

Одно из основных понятий современной математики – множество. Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не определяется через другие.

Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек, функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое – множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое».

Множество – это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.

Слово «множество» в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом «множество деревьев».

Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать и «множества», содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже «множество», не содержащее ни одного предмета (пустое множество). Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаем, сколько оно имеет решений.

Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С, ... Пустое множество, то есть множество, которое не имеет элементов, обозначается символом [pic] .

О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами а, b, с, ... или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а1, а2, ... , ап.

Предложение «предмет а принадлежит множеству А», или «предмет а – элемент множества А», обозначают символом а [pic] А.

2. С п о с о б ы з а д а н и я м н о ж е с т в:

1) Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются в фигурные скобки.

Н а п р и м е р: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления.

Необходимо различать объекты, обозначаемые символами а и {а}. Символом а означается предмет, символом {а} – множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество). Перечислением всех элементов можно задать лишь конечное множество. Такие множества, как, например, множество всех натуральных (N) или всех целых чисел (Z), нельзя задать таким способом, так как мы не можем перечислить все N и все Z – таких чисел бесконечное множество.

2) Имеется другой (универсальный) способ задания множества в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество. Множество может быть задано указанием характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.

Н а п р и м е р: {x | x – делятся на 10};

A = {a | a – число, которое меньше, чем 100}.

3. У п р а ж н е н и я:

а) Назовите известные вам множества людей (например, команда).

б) Запишите множества, элементами которых являются:

1) планеты Солнечной системы;

2) столицы государств;

3) все двузначные числа;

4) числа, делящиеся на 7.

в) Пусть А – множество чисел, на которые делится 100 без остатка. Верна ли запись:

1) 5 [pic] А; 2) 12 [pic] А; 3) 7 [pic] А; 4) 4 [pic] А?

г) Пусть даны множества А = {а  а – число, кратное двум} и В =
= {b  b – число, кратное шести}.

В ы п и ш и т е:

1) два элемента, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В;

2) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множеству В;

3) два элемента не принадлежащих ни множеству А, ни множеству В.

II б л о к.

1. Р а в е н с т в о м н о ж е с т в.

Очень важной особенностью множества является то, что в нём нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколько угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим, что мы записали множество {7, 9, 7, 11, 7}. В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет {7, 9, 11}.

Рассмотрим два множества: {а, b, с} и {b, а, с}. Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они записаны в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак, два множества равны, если содержат одни и те же элементы.

2. П е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в.

Рассмотрим два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим новое множество С, в которое запишем общие элементы А и В. Общими у них являются элементы 5 и 6, значит, С = {5, 6}. Множество С является пересечением множеств А и В, обозначается так:

[pic]

О п р е д е л е н и е: Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

3. О б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в.

Возьмём те же два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим теперь множество D таким образом, чтобы в него вошли все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Здесь следует ознакомить учащихся с приёмом задания объединения множеств: сперва мы выписываем все элементы множества А, а затем те элементы множества В, которые не принадлежат множеству А. Получим: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множество D является объединением множеств А и В, обозначается так:

[pic]

О п р е д е л е н и е: Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

4. У п р а ж н е н и я:

а) Верна ли запись:

1) {8, 12, 16, 20} = {12, 20, 16, 18};

2) {m, n, p, q} = {p, m, q, n};

3) {3, 4, 3, 5} = {3, 4, 5}?

б) Запишите множества, равные:

1) {2, 3, 2, 4, 2, 5}; 2) {f, f, f, m, m, m}.

в) Даны множества А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8} и K = {1, 3, 5, 7}. Найдите:

1) А [pic] K; 5) А [pic] K;

2) А [pic] С; 6) А [pic] С;

3) А [pic] В; 7) А [pic] В;

4) А [pic] K [pic] В; 8) А [pic] K [pic] В.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатываются умения задавать множества, правильно оформляя запись, а также находить пересечение и объединение множеств, пользуясь введенными определениями.

1. № 799.

Р е ш е н и е

х = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};

у = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

х [pic] у = {11, 13, 17, 19};

х [pic] у = {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

2. Найдите пересечение и объединение множеств букв, которые используются при записи слов «типография» и «фотография».

Р е ш е н и е

А = {т, и, п, о, г, р, а, ф, я} – множество букв, используемых в записи слова «типография»;

В = {ф, о, т, г, р, а, и, я} – множество букв, используемых в записи слова «фотография».

А [pic] В = {т, и, о, г, р, а, ф, я},

А [pic] В = {т, и, п, о, г, р, а, ф, я}.

П р и м е ч а н и е. Обращаем внимание учащихся, что в этом случае А [pic] В = А.

3. № 801 (а).

Р е ш е н и е

х = {1, 2, 3, 4}; у = {1, 2, 3, 6}.

х [pic] у = {1, 2, 3}; х [pic] у = {1, 2, 3, 4, 6}.

П р и м е ч а н и е. Подчёркиваем необходимость «упорядоченной» записи множеств, так как в этом случае будет удобнее отыскивать общие элементы множеств.

4. № 802 (а).

Р е ш е н и е

а) Чтобы число принадлежало пересечению множеств А и В, оно должно являться одновременно квадратом натурального числа и кубом натурального числа.

1= 1²; 1 = 1³, значит, 1 [pic] А [pic] В;

4 = 2², но не является кубом натурального числа, значит, 4 [pic] А [pic] В.

64 = 8², 64 = 4³, значит, 64 [pic] А [pic] В.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы задания множеств существуют?

– Какие два множества являются равными?

– Как называется множество, в котором нет ни одного элемента?

– Что называется пересечением двух множеств?

– Что называется объединением двух множеств?

Домашнее задание.

1. № 800, № 801 (б), № 802 (б).

2. Укажите наибольший и наименьший элементы пересечения множества двузначных чисел, кратных 9, и множества нечётных двузначных чисел.

У р о к 2 (72)
Круги Эйлера

Цели: ознакомить учащихся с возможностями иллюстрации соотношения между множествами с помощью кругов Эйлера; продолжить формировать умения находить объединение и пересечение множеств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Пусть даны множества А = {х | х – имя девочки} и В = {х | х – имя мальчика}. Выпишите:

а) два элемента, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В;

б) два элемента, принадлежащих множеству В, но не принадлежащих множеству А;

в) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множеству В;

г) два элемента, не принадлежащих ни множеству А, ни множеству В.

2. Найдите А [pic] В, если:

а) А = {0, 1, 2, 3, 4} и В = {1, 2, 3, 4, 5};

б) А = {х | х – двузначное число} и В = {х | х – число, меньше 75}.

3. Найдите А [pic] В, если:

а) А = {17, 18, 19} и В = {3};

б) А = {у | у – число, меньшее 32} и В = {у | у – число, большее 7, но меньшее 45}.

III. Объяснение нового материала.

1. М о т и в а ц и я и з у ч е н и я.

Предложим учащимся для решения задачу, которую достаточно трудно решить без наглядного представления информации.

З а д а ч а. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Р е ш е н и е

Изобразим различные множества учащихся в виде кругов. Большой круг будет изображать всех учащихся класса. В этот круг поместим два поменьше. Один обозначим буквой М, и он будет изображать математиков класса. Другой круг обозначим Б – биологи класса. Очевидно, в общей части кругов, обозначенной МБ, окажутся те самые биологи-математики, которые нас интересуют. Теперь посчитаем: всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших 35 – 10 = 25 ребят. Внутри «математического» круга М находятся 20 ребят, значит, в той части «биологического» круга, которая расположена вне круга М, находятся 25 – 20 = 5 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 11 – 5 = 6 человек, находятся в общей части кругов МБ. Там образом, 6 биологов увлекаются математикой.

[pic]

О т в е т: 6 биологов увлекаются математикой.

2. С о о б щ а е м у ч а щ и м с я, что эти круги называются кругами Эйлера.

Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707–1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами. Можно рисовать не только круги, но и овалы, прямоугольники и другие геометрические фигуры.

В учебнике на с. 169–170 рассматриваем иллюстрацию пересечения и объединения двух множеств с помощью кругов Эйлера.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся решают качественно новые упражнения, в которых необходимо рассматривать множества различной природы, а не только числовые. Востребуются знания из других разделов математики.

1. № 803.

2. Известно, что точки A, B, C и D расположены на одной прямой, причём пересечением множеств точек отрезков AB и CD являются:

а) отрезок CD; б) отрезок СВ.

Для каждого случая сделайте чертёж.

Р е ш е н и е

а) [pic]

б) [pic]

3. № 804 (а).

Р е ш е н и е

– Вспомним определения.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого есть прямой угол.

Ромбом называется параллелограмм, у которого смежные стороны равны.

Изобразим соотношение множества этих фигур с помощью кругов Эйлера.

Пересечением двух множеств будет множество параллелограммов, у которых есть прямой угол и равны смежные стороны. Это множество квадратов.

О т в е т: множество квадратов.

4. № 805.

Р е ш е н и е

[pic]

Из темы «Действительные числа» учащиеcя знают, что N [pic] Z [pic] Q [pic] R.

а) N [pic] Z = N; N [pic] Z = Z;

б) Z [pic] Q = Z; Z [pic] Q = Q;

в) Q [pic] I = [pic] ; Q [pic] I = R.

5. № 806.

Р е ш е н и е

А = {х | х – кратное 4},

В = {у | у – кратное 3}.

[pic]

А [pic] В – множество чисел, которые одновременно делятся на 3 и на 4, значит, это множество чисел, кратных 12.

О т в е т: А [pic] В = {z | z – кратное 12}.

6. № 808 (а).

Р е ш е н и е

Х [pic] У = [pic] ;

Х [pic] У = N \ {1}.

Так как по определению:

– натуральное число называется простым, если оно имеет только два различных делителя: 1 и само это число;

– число, имеющее более двух делителей, называется составным;

– число 1 не относится ни к простым, ни к составным, так как имеет только один делитель.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Для чего служат круги Эйлера?

– Как с помощью кругов Эйлера изобразить пересечение множеств? объединение множеств?

Домашнее задание.

1. № 804 (б), № 807, № 808 (б).

2. № 937.

У р о к 1 (73)
Аналитическая и геометрическая модели
числового промежутка

Цели: ввести понятие числового промежутка как геометрической модели числового неравенства; рассмотреть различные виды числовых промежутков; формировать умения изображать на координатной прямой числовой промежуток и множество чисел, удовлетворяющих неравенству.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите верное неравенство, которое получится, если:

а) к обеим частям неравенства –1 < 3 прибавить число 4; число –2;

б) из обеих частей неравенства –15 < –2 вычесть число 3; число –5;

в) обе части неравенства 6 > –1 умножить на 8; на –5;

г) обе части неравенства 9 < 27 разделить на 9; на –3; на –1.

2. Заполните пустые квадратики:

а) [pic] б) [pic] в) [pic]

А [pic] В = [pic] А [pic] В = [pic] А [pic] В = [pic]

III. Объяснение нового материала.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

Напоминаем учащимся, что алгебра, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.

Математические модели бывают не только алгебраические (в виде числового равенства, уравнения, неравенства), но и словесные (в виде словесного описания реальной ситуации), графические (в виде схемы, графика, чертежа). Учащиеся уже знакомы со всеми этими видами моделей. Напоминаем, что алгебраическую модель ещё называют аналитической, а графическую – геометрической. Чтобы свободно оперировать любыми видами математических моделей, нужно учиться переходить от одного из них к другому.

Н а п р и м е р:

Словесная

модель № 1

Аналитическая
модель

Геометрическая
модель

Словесная

модель № 2

b больше а

b > a

[pic]

Точка с координатой b
лежит правее точки
с координатой а

2. В в е д е н и е н о в о г о п о н я т и я.

Работаем с представленными выше моделями, причём идём в обратном порядке: от словесной модели № 2 к словесной модели № 1.

Возьмём произвольную точку х на координатной прямой, причём эта точка лежит между точками a и b. Это означает, что ей соответствует число х, которое больше a и меньше b, то есть a < x < b. Верно и обратное: для любой точки, лежащей между точками a и b, будет выполняться это неравенство.

О п р е д е л е н и е: Множество чисел, удовлетворяющих условию
a < x < b, называют интервалом и обозначают так: (a; b).

На рисунке (геометрическая модель) это множество изображают в виде:

[pic]

Светлые кружочки означают, что числа a и b не принадлежат этому множеству.

Аналогично вводим определения отрезка, полуинтервала, числового луча, открытого числового луча и числовой прямой.

О п р е д е л е н и е: Числовые отрезки, интервалы, полуинтервалы, числовые лучи, открытые числовые лучи и числовая прямая называются числовыми промежутками.

3. О п е р а ц и и с р а з л и ч н ы м и м о д е л я м и.

Рассматриваем на с. 173 учебника таблицу, в которой представлены такие модели числовых промежутков, как:

– аналитическая (неравенство, задающее числовой промежуток), например: a ≤ x ≤ b;

– словесная (обозначение и название числового промежутка), например: [a; b] – числовой промежуток от a до b;

– геометрическая (изображение числового промежутка на координатной прямой), например:

[pic]

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, решаемые на этом уроке, можно разбить на т р и
г р у п п ы:

1) Изобразить на координатной прямой числовой промежуток по его обозначению (создание геометрической модели).

2) Назвать числовой промежуток, изображённый на координатной прямой, и обозначить его (создание словесной модели).

3) Изобразить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и записать неравенство, соответствующее изображенному или обозначенному числовому промежутку (переход от аналитической к геометрической модели и наоборот).

О с о б о е в н и м а н и е уделяем:

– правильным формулировкам;

– верному использованию круглых и квадратных скобок при обозначении числового промежутка;

– верному использованию светлых кружков («выколотых» точек) и тёмных при изображении числовых промежутков на координатной прямой.

1. № 812 (а, б, д, е), № 813, № 814.

2. № 815 (а, г), № 816 (в, г).

Р е ш е н и е

№ 815.

а) х ≥ –2; [pic] ; [–2; +∞).

г) х < –5; [pic] ; (–∞; –5).

№ 816.

в) –5 ≤ х ≤ –3 [pic] ; [pic] ; [pic] .

г) 2 < х ≤ 6,1; [pic] ; (–2; 6,1].

3. № 817 (а) – устно, № 819 (а, в).

Р е ш е н и е

№ 819.

а) [pic] ≈ 1,4, [pic] [pic] (1,5; 2,4).

в) [pic] ≈ 2,2, [pic] [pic] (1,5; 2,4).

4. Задайте неравенством числовой промежуток:

а) [pic] ж) х [pic] [2;7,3];

б) [pic] з) y [pic] (–∞; 100);

в) [pic] и) х [pic] (–8,3; 0];

г) [pic] к) y [pic] (0; +∞);

д) [pic] л) х [pic] (–15; –4);

е) [pic] м) y [pic] [–60; 100).

Р е ш е н и е

а) 0 < x ≤ 14; ж) 2 ≤ х ≤ 7,3;

б) y < 17,5; з) у < 100;

в) x ≥ [pic] ; и) –8,3 < x ≤ 0;

г) π < x < 3π; к) у > 0;

д) –11 ≤ у ≤ –4; л) –15 < x < –4;

е) –15 ≤ у < 0; м) –60 ≤ у < 100.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется числовым промежутком?

– Какие виды числовых промежутков существуют?

– Как выглядит геометрическая модель числового промежутка?

– Как записать аналитическую модель числового промежутка с помощью неравенства?

Домашнее задание: № 812 (в, г, ж, з), № 815 (б, в), № 816 (а, б), № 817 (б), № 819 (б, г).

У р о к 2 (74)
Пересечения и объединение
числовых промежутков

Цели: продолжить формирование навыков оперирования аналитической и геометрической моделями числовых промежутков; формировать умения нахождения пересечения и объединения числовых промежутков.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите числовой промежуток:

а) [pic] е) [pic]

б) [pic] ж) (–3; +∞);

в) [pic] з) [–15; 15];

г) [pic] и) [5; 17);

д) [pic] к) (–∞; 0].

2. № 818 (в).

III. Актуализация знаний.

1. № 821, № 823 (б, в), № 824 (устно).

2. Дать определения пересечения двух множеств и объединения двух множеств.

IV. Объяснение нового материала.

Числовой отрезок – множество чисел, удовлетворяющих некоторому числовому неравенству, значит, к нему можно применить определение пересечения и объединения множеств.

Рассматриваем эти определения на конкретных примерах, причём следует охватить различные случаи взаимного расположения.

1. Найти пересечение и объединение числовых промежутков [1; 5] и [3; 7].

[pic]

[1; 5] [pic] [3; 7] = [3; 5];

[1; 5] [pic] [3; 7] = [1; 7].

2. Найти пересечение и объединение числовых промежутков [–4; +∞) и [3; +∞).

[pic]

[–4; +∞) [pic] [3; +∞) = [3; +∞);

[–4; +∞) [pic] [3; +∞) = [–4; +∞).

3. Найти пересечение и объединение числовых промежутков [1; 4) и (7; +∞).

[pic]

[1; 4) [pic] (7; +∞) = [pic] ;

[1; 4) [pic] (7; +∞) – не является числовым промежутком.

4. Найти пересечение и объединение промежутков (–∞; –4] и (–4; +∞).

[pic]

(–∞; –4] [pic] (–4; +∞) = [pic] ;

(–∞; –4] [pic] (–4; +∞) = (–∞; +∞).

5. Найти пересечение и объединение промежутков (–∞; 0] и [0; +∞).

[pic]

(–∞; 0] [pic] [0; +∞) = {0};

(–∞; 0] [pic] [0; +∞) = (–∞; +∞).

V. Формирование умений и навыков.

1. № 825.

Р е ш е н и е

а) [pic] (1; 8) [pic] (5; 10) = (5; 8);

б) [pic] [–4; 4] [pic] [–6; 6] = [–4; 4];

в) [pic] (5; +∞) [pic] (7; +∞) = (7; +∞);

г) [pic] (–∞; 6) [pic] (–∞; 10) = (–∞; 6).

2. № 826.

Р е ш е н и е

[pic]

(–4,3; 1) [pic] (–3,9; 2) = (–3,9; 1).

В полученный интервал входят целые числа:

–3; –2; –1; 0.

О т в е т: четыре числа.

3. № 827.

Р е ш е н и е

а) [pic] [–7; 0] [pic] [–3; 5] = [–7; 5];

б) [pic] (–4; 1) [pic] (10; 12);

в) [pic] (–∞;4) [pic] (10; +∞);

г) [pic] [3; +∞) [pic] (8; +∞) = [3; +∞).

VI. Самостоятельная работа.

1. Заполнить таблицу по образцу.

Неравенство,
задающее числовой

промежуток

Обозначение числового

промежутка

Название

числового

промежутка

Геометрическая
модель числового

промежутка

3 ≤ х ≤ 8

[3; 8]

отрезок от 3 до 8

[pic]

х > 8

(–10; 13)

[pic]

Окончание табл.

2. Сильным в учебе учащимся можно предложить задание повышенной трудности.

№ 820.

Р е ш е н и е

[pic] , то есть [pic] . Домножим неравенство на 54, получим 6 ≤ а ≤ 9. Так как а [pic] N, то а принадлежит множеству {6; 7; 8; 9}. Значит, промежутку [pic] принадлежат дроби [pic] .

О т в е т: [pic] .

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как изобразить на координатной прямой пересечение числовых промежутков? Объединение числовых промежутков?

– Всегда ли пересечение (объединение) числовых промежутков есть числовой промежуток? Приведите примеры.

Домашнее задание: № 822, № 823 (а, г), № 828, № 936.

У р о к 1 (75)
Понятие решения неравенств
с одной переменной

Цели: ввести понятия неравенства с одной переменной и его решения, равносильных неравенств; формировать умение решать неравенства с одной переменной путём перехода к равносильному неравенству.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

а) (–2; 10) и (0; 15); б) [–3; 6] и [–1; 1]; в) (–∞; 2) и (–2; +∞).

2. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:

а) [–4; 0] и [–1; 5]; б) (–3; 3) и (–6; 6); в) (–∞; 5) и (–∞; 10).

В а р и а н т 2

1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

а) [–4; 5] и [0; 10]; б) (–3; –1) и (–2; 4); в) (–∞; 5] и [–5; +∞).

2. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:

а) (–3; 8) и (1; 9); б) [–4; 4] и [–1; 1]; в) (–∞; 1) и (–∞; 4).

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1. а) [pic] (–2; 10) [pic] (0; 15) = (0; 10);

б) [pic] [–3; 6] [pic] [–1; 1] = [–1; 1];

в) [pic] (–∞; 2) [pic] (–2; +∞) = (–2; 2).

2. а) [pic] [–4; 0] [pic] [–1; 5] = [–4; 5];

б) [pic] (–3; 3) [pic] (–6; 6) =(–6; 6);

в) [pic] (–∞; 5) [pic] (–∞; 10) =(–∞; 10).

В а р и а н т 2

1. а) [pic] [–4; 5] [pic] [0; 10] = [0; 5];

б) [pic] (–3; –1) [pic] (–2; 4) = (–2; –1);

в) [pic] (–∞; 5] [pic] [–5; +∞) = [–5; 5].

2. а) [pic] (–3; 8) [pic] (1; 9) = (–3; 9);

б) [pic] [–4; 4] [pic] [–1; 1] = [–4; 4];

в) [pic] (–∞; 1) [pic] (–∞; 4) = (–∞; 4).

III. Объяснение нового материала.

1. Неравенство 5х – 11 > 3 содержит переменную х. При подстановке некоторых числовых значений вместо х мы можем получить как верное, так и неверное числовое неравенство. Н а п р и м е р:

при х = 4 неравенство 5 · 4 – 11 > 3 – верное (9 > 3), а

при х = 2 неравенство 5 · 2 – 11 > 3 – неверное (–1 > 3). Говорят, что число 4 является решением неравенства или удовлетворяет неравенству.

О п р е д е л е н и е 1: Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

О п р е д е л е н и е 2: Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

2. Чтобы решать неравенства, необходимо уметь их преобразовывать к неравенству вида ах > b или ax < b (где a и b – некоторые числа). Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной. Данное неравенство должно быть равносильно исходному.

О п р е д е л е н и е 3: Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

3. По учебнику на с. 177 разобрать основные свойства, используемые при преобразовании неравенства с одной переменной к равносильному неравенству.

4. Разобрать примеры 1, 2 по учебнику со с. 177–178.

IV. Формирование умений и навыков.

При решении упражнений на этом уроке следует особое внимание уделить правильному использованию свойств при равносильном преобразовании неравенства, а также изображению геометрической модели полученного решения неравенства в виде числового промежутка. На первых порах в ответ можно записывать все три модели, н а п р и м е р:

х ≥ 3; [3; +∞); [pic]

1. № 833, № 834 – устно.

2. № 835.

Р е ш е н и е

а) х + 8 > 0; х > –8; [pic]

б) х – 7 < 0; х < 7; [pic]

в) х + 1,5 ≤ 0; х ≤ –1,5; [pic]

г) х – 0,4 ≥ 0; х ≥ 0,4; [pic]

О т в е т: а) (–8; +∞); б) (–∞; 7); в) (–∞; 1,5]; г) [0,4; +∞).

3. № 837.

Р е ш е н и е

а) 2х < 17; х < 17 : 2; х < 8,5; [pic]

б) 5х ≥ –3; х ≥ –3 : 5; х ≥ –0,6; [pic]

в) –12х < –48; х > (–48) : (–12); х > 4; [pic]

г) –х < –7,5; х > (–7,5) : (–1); х > 7,5; [pic]

д) 30х > 40; х > 40 : 30; х > 1 [pic] ; [pic]

е) –15х < –27; х > (–27) : (–15); х > [pic] ; х > 1,8;

[pic]

ж) –4х ≥ –1; х ≤ (–1): (–4); х ≤ 0,25; [pic]

з) 10х ≤ –24; х ≤ (–24) : 10; х ≤ –2,4; [pic]

и) [pic] х < 2; х < 2 : [pic] ; х < 2 · 6; х < 12; [pic]

к) [pic] х < 0; х > 0 : [pic] ; х > 0; [pic]

л) 0,02х ≥ –0,6; х ≥ (–0,6) : 0,02; х ≥ –30; [pic]

м) –1,8х ≤ 36; х ≥ 36 : (–1,8); х ≥ –20; [pic]

О т в е т: а) (–∞; –8,5); б) [–0,6; +∞); в) (4; +∞); г) (7,5; +∞);

д) [pic] ; е) (1,8; +∞); ж) (–∞; 0,25]; з) (–∞; –2,4];

и) (–∞; 12); к) (0; +∞); л) [–30; +∞); м) [–20; +∞).

4. № 838.

5. № 841.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением неравенства с одной переменной?

– Что означает «решить неравенство»?

– Какие неравенства называются равносильными?

– Какие свойства используются для преобразования неравенства в равносильное?

Домашнее задание: № 836, № 839, № 840.

У р о к 2 (76)
Решение неравенств с одной переменной

Цели: продолжить формировать умения решать неравенства с одной переменной путём перехода к равносильному неравенству.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите неравенство:

а) 3х < 42; б) 5х > 115; в) –4х < 24; г) –6х > –102.

2. Назовите неравенство, множеством решений которого служит промежуток:

а) (–∞; 3]; б) (15; +∞); в) [0; +∞); г) (–∞; 2).

3. Какие из чисел –18; 10; 8; –3; 11 являются решениями неравенства 3х ≤ 24?

III. Актуализация знаний.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Дайте определение решения неравенства с одной переменной.

– Что значит «решить неравенство»?

– Какие неравенства называются равносильными?

– Сформулируйте свойства равносильности неравенств, используемые при решении неравенства с одной переменной.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно разбить на 2 г р у п п ы:

1) Решение неравенств приведением к равносильному.

2) Составление неравенства по условию и последующее решение.

1. № 842 (а, в), № 843 (а).

Р е ш е н и е

№ 842.

а) Составим неравенство:

2х – 1 > 0; 2х > 1; х > 1 : 2; х > 0,5.

в) Составим неравенство:

5 – 3с > 80; –3с > 75; с < 75 : (–3); с < –25.

О т в е т: а) х > 0,5; в) с < –25.

№ 843.

а) Составим неравенство:

2а – 1 < 7 – 1,2а;

2а + 1,2а < 7 + 1;

3,2а < 8;

а < 8 : 3,2;

а < 2,5.

О т в е т: при а < 2,5.

2. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

а) 5х ≤ 25; б) –х > 15.

Р е ш е н и е

а) 5х ≤ 25; х ≤ 25 : 5; х ≤ 5. [pic]

Наибольшее целое число х = 5.

б) –х > 15; х < 15 : (–1); х < –15. [pic]

Наибольшее целое число х = –16 (так как –15 не входит в данный открытый числовой луч).

О т в е т: а) 5; б) –16.

3. № 844.

Р е ш е н и е

а) 5(х – 1) + 7 ≤ 1 – 3(х + 2);

5х – 5 + 7 ≤ 1 – 3х – 6;

5х + 3х ≤ 5 – 7 + 1 – 6;

8х ≤ –7;

х ≤ –7 : 8;

х ≤ [pic] .

[pic]

[pic] .

б) 4(а + 8) – 7(а – 1) < 12;

4а + 32 – 7а + 7 < 12;

4а – 7а < –32 – 7 + 12;

–3а < –27;

а > (–27) : (–3);

а > 9.

[pic]

(9; +∞).

в) 4(b – 1,5) – 1,2 ≥ 6b – 1;

4b – 6 – 1,2 ≥ 6b – 1;

4b – 6b ≥ 6 + 1,2 – 1;

–2b ≥ 6,2;

b ≤ 6,2 : (–2);

b ≤ –3,1.

[pic]

(–∞; –3,1].

г) 1,7 – 3(1 – т) ≤ –(т – 1,9);

1,7 – 3 + 3т ≤ –т + 1,9;

3т + т ≤ –1,7 + 3 +1,9;

4т ≤ 3,2;

т ≤ 3,2 : 4;

т ≤ 0,8.

[pic]

(–∞; 0,8].

д) 4х > 12(3х – 1) – 16(х + 1);

4х > 36х – 12 – 16х – 16;

4х – 36х + 16х > –12 – 16;

–16х > –28;

х < (–28) : (–16);

х < [pic] ;

х < 1 [pic] .

[pic]

[pic] .

е) а + 2 < 5(2а + 8) + 13(4 – а);

а + 2 < 10а + 40 + 52 – 13а;

а – 10а + 13а < –2 + 40 + 52;

4а < 90;

а < 90 : 4;

а < 22,5.

[pic]

(–∞; 22,5).

ж) 6у – (у + 8) – 3(2 – у) ≤ 2;

6у – у – 8 – 6 + 3у ≤ 2;

6у – у + 3у ≤ 8 + 6 + 2;

8у ≤ 16;

у ≤ 16 : 8;

у ≤ 2.

[pic]

(–∞; 2].

О т в е т: а) [pic] ; б) (9; +∞); в) (–∞; –3,1]; г) (–∞; 0,8];

д) [pic] ; е) (–∞; 22,5); ж) (–∞; 2].

4. № 846, № 847 (а, б), № 848 (а, б).

Р е ш е н и е

а) а(а – 4) – а² > 12 – 6а;

а² – 4а – а² > 12 – 6а;

а² – 4а – а² + 6а > 12;

2а > 12;

а > 12 : 2;

а > 6.

[pic]

(6; +∞).

б) (2х – 1) 2х – 5х < 4х² – х;

4х² – 2х – 5х < 4х² – х;

4х² – 2х – 5х –4х² + х < 0;

–6х < 0;

х > 0 : (–6);

х > 0.

[pic]

(0; +∞).

в) 5у² – 5у(у + 4) ≥ 100;

5у² – 5у² – 20у ≥ 100;

–20у ≥ 100;

у ≤ 100 : (–20);

у ≤ –5.

[pic]

(–∞; –5].

г) 6а(а – 1) – 2а(3а – 2) < 6;

6а² – 6а – 6а² + 4а < 6;

–2а < 6;

а > 6 : (–2);

а > –3.

[pic]

(–3; +∞).

О т в е т: а) (6; +∞); б) (0; +∞); в) (–∞; –5]; г) (–3; +∞).

№ 847.

а) 0,2х² – 0,2(х – 6)(х + 6) > 3,6х;

0,2х² – 0,2(х² – 36) > 3,6х;

0,2х² – 0,2х² + 7,2 – 3,6х > 0;

–3,6х > –7,2;

х < (–7,2) : (–3,6);

х < 2.

[pic]

(–∞; 2).

б) (2х – 5)² – 0,5х < (2х – 1)(2х + 1) – 15;

4х² – 20х + 25 – 0,5х < 4х² – 1 – 15;

4х² – 20х –0,5х – 4х² < –25 – 1 – 15;

–20,5х < –41;

х > (–41) : (–20,5);

х > 2.

[pic]

(2; +∞).

О т в е т: а) (–∞; 2); б) (2; +∞).

848.

а) 4b(1 – 3b) – (b – 12b²) < 43;

4b – 12b² – b + 12b² < 43;

3b < 43;

b < 43 : 3;

b < 14 [pic] .

[pic]

[pic] .

б) 3у² – 2у – 3у(у – 6) ≥ –2;

3у² – 2у – 3у² + 18у ≥ –2;

16у ≥ –2;

у ≥ –2 : 16;

у ≥ [pic] .

[pic]

[pic] .

О т в е т: а) [pic] ; б) [pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что значит «решить неравенство с одной переменной»?

– Какие преобразования приводят неравенство к равносильному?

– Какие виды записи решения неравенства существуют?

Домашнее задание: № 842 (б), № 843 (б), № 845, № 847 (в, г), № 848 (в, г), № 871 (а).

У р о к 3 (77)
Решение неравенств, содержащих дроби

Цели: разобрать способ решения неравенств с одной переменной, содержащих дроби; продолжить формирование навыков решения неравенств путём перехода к равносильным неравенствам.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]

1. Запишите числовой промежуток, служащий множеством решений неравенства х ≤ 3 [y > –8].

2. Запишите неравенство, множеством решений которого служит промежуток (–3; +∞) [(–∞; 7)].

3. Решите неравенство:

2х – 1 ≤ 2(2х – 3) [3(2х + 1) ≥ 3х + 1].

4. Решите неравенство:

5(а² – 1) – 5а(а + 2) > 3 [6х² – 3х(2х + 4) > 48].

О т в е т ы:

III. Объяснение нового материала.

Проверить из домашнего задания № 871 (а).

Рассмотреть по учебнику пример 3 на с. 178.

IV. Формирование умений и навыков.

В предлагаемых заданиях необходимо уметь находить общий знаменатель дробей, входящих в запись уравнения, затем домножить обе части неравенства на общий знаменатель и решить полученное неравенство. Также следует уделять внимание изображению множества решений на координатной прямой.

1. № 849 (а, д, ж, з, и).

Р е ш е н и е

а) [pic] > 1; [pic] ∙ 5 > 1 ∙ 5; 2x > 5; x > 5 : 2; x > 2,5.

д) 2 > [pic] ; 2 ∙ 5 > [pic] ∙ 5; 10 > 6 – x; x > 6 – 10; x > –4.

ж) [pic] ≥ 0; [pic] ∙ 42 ≥ 0 ∙ 42; 12 – 7x ≥ 0; –7x ≥ –12;

х ≤ (–12) : (–7); х ≤ 1 [pic] .

з) [pic] (х + 15) > 4; [pic] (х + 15) ∙ 3 > 4 ∙ 3; х + 15 > 12; x > 12 – 15;

х > – 3.

и) 6 ≤ [pic] (х + 4); 6 ∙ 7 ≤ [pic] (х + 4) ∙ 7; 42 ≤ 2х + 8; –2x ≤ 8 – 42;

–2x ≤ –34; х ≥ 17.

О т в е т: а) х > 2,5; д) х > –4; ж) х ≤ 1 [pic] ; з) х > –3; и) х ≥ 17.

№ 851 (а, в).

Р е ш е н и е

а) [pic] ;

2(7 – 2у) > 3у – 7;

14 – 4у > 3у – 7;

–4у – 3у > –14 – 7;

–7у > –21;

у < (–21) : (–7);

у < 3.

б) 5y – 1 > [pic] ;

4(5y – 1) > 3y – 1;

20y – 4 > 3y – 1;

20y – 3y > 4 – 1;

17y > 3;

y > [pic] .

О т в е т: а) при у < 3; в) при y > [pic] .

2. № 852 (б, г, е).

Р е ш е н и е

а) [pic] ;

3 ∙ 3y – 2y ≥ 2 ∙ 6;

9y – 2y ≥ 12;

7y ≥ 12;

y ≥ 12 : 7;

y ≥ 1 [pic] ; [pic] .

б) y + [pic] ;

2y + y > 6;

3y > 6;

y > 2. (2; +∞).

е) [pic] ;

3х – 8х < 0;

–5х < 0;

х > 0 : (–5);

х > 0. (0; +∞).

О т в е т: б) [pic] ; г) (2; +∞); е) (0; +∞).

№ 853 (б, г).

Р е ш е н и е

б) [pic] ;

5 – 2а ≥ 8а;

–2а – 8а ≥ –5;

10а ≥ –5;

а ≤ (–5) : (–10);

а ≤ [pic] . [pic] .

[pic]

г) [pic] ;

2 · 2у – 5у ≥ 10;

–у ≥ 10;

у ≤ –10. (–∞; –10].

[pic]

О т в е т: б) [pic] ; г) (–∞; –10].

3. № 854.

Р е ш е н и е

а) [pic] ;

3(3 + х) +4(2 – х) < 12 · 0;

9 + 3х + 8 – 4х < 0;

3х – 4х < –9 – 8;

–х < –17;

х > 17. (17; +∞).

[pic]

б) [pic] ;

4 – у – 25у ≥ 0;

26у ≥ –4;

у ≤ (–4) : (–26);

у ≤ [pic] ; [pic] .

[pic]

в) [pic] ;

4у – 2у + 1 ≥ 4;

2у ≥ 3;

у ≥ 3 : 2;

у ≥ 1,5. [1,5; +∞).

[pic]

г) [pic] ;

10х – 2(х – 3) + 2х – 1 ≤ 40;

10х – 2х + 6 + 2х – 1 ≤ 40;

10х ≤ –6 + 1 + 40;

10х ≤ 35;

х ≤ 35 : 10;

х ≤ 3,5. (–∞; 3,5].

[pic]

д) [pic] ;

3(у – 1) – 6 + 2у – 1 > 6у;

3у – 3 – 6 + 2у – 1 > 6у;

5у – 6у > 10;

–у > 10;

у < 10. (–∞; –10).

[pic]

е) [pic] ;

4р – 2(р – 1) – р – 3 > 8;

4р – 2р + 2 – р – 3 > 8;

р > 8 + 1;

р > 9. (9; +∞).

[pic]

О т в е т: а) (17; +∞); б) [pic] ; в) [1,5; +∞); г) (–∞; 3,5]; д) (–∞; –10); е) (9; +∞).

№ 856 (б).

Р е ш е н и е

[pic]

2(3b – 1) – 1 – 5b < 0;

6b – 2 – 1 – 5b < 0;

b < 3.

О т в е т: при b < 3.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что значит «решить неравенство с одной переменной»?

– Каков алгоритм решения неравенства с одной переменной, содержащего дробь?

Домашнее задание: № 850, № 851 (б, г), № 852 (а, в, д), № 855,
№ 856 (а).

У р о к 4 (78)
Решение неравенств вида 0 · х > b или 0 · х < b,
где b – некоторое число

Цели: рассмотреть решение неравенств, которые либо не имеют решений, либо их решением является любое число; продолжить формировать умения решать неравенства с одной переменной, а также задачи, сводящиеся к решению таких неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) [pic] – x > 3; б) [pic] – 2x > [pic] .

2. При каких значениях b двучлен 2b + 11 принимает положительные значения?

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) [pic] – x > 2; б) [pic] – 3x > [pic] .

2. При каких значениях а двучлен 12 – а принимает положительные значения?

О т в е т:

III. Устная работа.

1. Решить неравенство:

а) 2х + 1 > 5; б) –3х + 9 ≤ 0; в) [pic] < 0;

г) [pic] ≥ 0; д) [pic] ≤ 0; е) [pic] < 0.

2. Какие из чисел 0; 7; –4; 6; [pic] являются решением неравенства
3х – 12 ≥ 6?

IV. Объяснение нового материала.

1. С о з д а н и е п р о б л е м н о й с и т у а ц и и.

На предыдущих уроках мы решали неравенства вида ах > b (ax < b), где а ≠ 0. Алгоритм решения был прост: мы преобразовывали неравенства к такому виду, а затем делили обе части неравенства на коэффициент а (с учетом знака) и получали числовой промежуток в качестве решения. Пробуем применить этот алгоритм к следующему упражнению:

2(х + 8) – 5х < 4 – 3х;

2х + 16 – 5х < 4 – 3х;

2х – 5х + 3х < –16 + 4;

0 · х < –12.

Наш алгоритм «не работает» – на нуль делить нельзя. Замечаем, что неравенство будет иметь решение, если при подстановке какого-то числа вместо х мы получим верное неравенство. Но в данном случае при любом значении х неравенство обращается в числовое 0 < –12, которое является неверным, значит, исходное неравенство не имеет решений.

2. Решить самостоятельно упражнение:

5(х + 11) – 9х < 65 – 4х;

5х + 55 – 9х < 65 – 4х;

5х – 9х + 4х < 65 – 55;

0 · х < 10.

Замечаем, что при любом значении х неравенство обращается в верное числовое неравенство 0 < 10, значит, решением является любое число.

3. Делаем общий в ы в о д: неравенства вида 0 · х > b (0 · x < b), а значит, и неравенства, равносильные данным, либо не имеют решений, либо их решением является любое число (множество решений либо [pic] , либо (–∞; +∞)).

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно разбить на 3 г р у п п ы:

1) Решение неравенств, сводящихся к неравенствам вида 0 · х > b
(0 · x < b).

2) Решение задач, сводящихся к решению неравенств с одной переменной.

3) Решение заданий повышенной трудности.

1. № 857 (а, б).

Р е ш е н и е

а) 31(2х + 1) – 12х > 50х;

62х + 31 – 12х > 50х;

62х – 12х – 50х > –31;

0 · х > –31;

при любом значении х имеем верное неравенство 0 > –31, значит, х – любое число.

б) х + 4 – [pic] ;

3х + 12 – х < 2х;

3х – х – 2х < –12;

0 · х < –12;

при любом значении х имеем неверное неравенство 0 < –12, значит, неравенство не имеет решений.

О т в е т: а) х – любое число; б) нет решений.

№ 858.

Р е ш е н и е

у > 0, если 2х + 13 > 0; 2х > –13; х > –6,5;

у < 0, если 2х + 13 < 0; 2х < –13; х < –6,5.

О т в е т: (–6,5; +∞); (–∞; –6,5).

№ 859 (а, в, д).

Р е ш е н и е

а) При 2х – 4 ≥ 0; 2х ≥ 4; х ≥ 2.

в) При [pic] ≥ 0; 1 + 3a ≥ 0; 3a ≥ –1; a ≥ [pic] .

д) При –3(1 – 5х) ≥ 0; 1 – 5х ≤ 0; –5х ≤ –1; х ≥ (–1) : (–5); х ≥ 0,2.

О т в е т: а) при х ≥ 2; в) при a ≥ [pic] ; д) при х ≥ 0,2.

2. № 861 (а).

Р е ш е н и е

1,6 – (3 – 2у) < 5;

1,6 – 3 + 2у < 5;

2у < 5 – 1,6 + 3;

2у < 6,4;

у < 3,2. (–∞; 3,2).

[pic]

Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, равно 3.

О т в е т: 3.

№ 862 (а).

Р е ш е н и е

(2 – 2п) – (5п – 27) > 0;

2 – 2п – 5п + 27 > 0;

7п > –29;

п < (–29) : (–7);

п < 4 [pic] .

[pic]

Данному неравенству удовлетворяют натуральные числа 1, 2, 3, 4.

О т в е т: 1; 2; 3; 4.

3. № 865.

Р е ш е н и е

Пусть х см – длина другой стороны прямоугольника, тогда его периметр равен 2 · (х + 6) см; периметр квадрата равен 4 · 4 см, то есть 16 см. Зная, что периметр прямоугольника меньше периметра квадрата, составим неравенство:

2(х + 6) < 16;

2х + 12 < 16;

2х < 4;

х < 2.

О т в е т: меньше 2 см.

4. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задания повышенной трудности.

№ 860 (а), № 863, № 869.

Р е ш е н и е

№ 860 (а).

В область определения функции y = [pic] входят значения х, для которых 7 – 14х ≥ 0 и х + 8 ≠ 0.

7 – 14х ≥ 0; х + 8 ≠ 0;

14х ≥ –7,; х ≠ –8.

х ≤ (–7) : (–14);

х ≤ 0,5.

[pic]

О т в е т: (–∞; –8) [pic] (–8; 0,5].

П р и м е ч а н и е. На этом примере учащиеся видят, что если в решении в полученном числовом промежутке есть «выколотая» точка, то ответ мы записываем в виде объединения числовых промежутков.

№ 863.

(а + 5)х² + 4х – 20 = 0 – квадратное уравнение

D1 = 4 – (а + 5) · (–20) = 4 + 20а + 100 = 20а + 104.

Уравнение не имеет корней, если D1 < 0, то есть:

20а + 104 < 0;

20а < –104;

а < (–104) : 20;

а < –5,2.

О т в е т: при а < –5,2.

П р и м е ч а н и е. Необходимо сообщить учащимся, что данное уравнение представляет собой уравнение с параметром а и переменной х.

№ 869.

Р е ш е н и е

А н а л и з

Vсоб = 18 км/ч

Vтеч = 2 км/ч

V1 = Vсоб + Vтеч

[pic]

х км

[pic]

V2 = Vсоб – Vтеч

Пусть х км – расстояние, на которое могут отъехать туристы, тогда по течению они плыли со скоростью 18 + 2, то есть 20 км/ч, и против течения – со скоростью 18 – 2, то есть 16 км/ч, и на путь по течению они затратили [pic] ч, а против течения [pic] ч. Зная, что туристы должны вернуться к стоянке не позднее, чем через 3 часа, составим неравенство:

[pic] + [pic] ≤ 3 [pic] ;

4х + 5х ≤ 240;

9х ≤ 240;

х ≤ 26 [pic] .

О т в е т: не более 26 [pic] км.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сколько решений может иметь неравенство с одной переменной?

– В каком случае неравенство не имеет решений? Приведите примеры.

– В каком случае решением неравенства является любое число? Приведите примеры.

Домашнее задание: № 857 (в, г), № 859 (б, г, е), № 861 (б), № 862 (б), № 866, № 867*.

У р о к 1 (79)
Понятие решения системы неравенств
с одной переменной

Цели: ввести понятия системы неравенств с одной переменной, решения системы неравенств; формировать умение решать системы неравенств с помощью геометрической модели числовых промежутков.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Решить неравенство:

а) 2х – 1 ≤ 2(х – 1); б) 3х < 7 [pic] .

2. При каких значениях х функция у = 0,5х – 11 принимает отрицательные значения?

В а р и а н т 2

1. Решить неравенство:

а) 3(х + 1) ≥ 3х + 1; б) 8 [pic] > 4у.

2. При каких значениях х функция у = 1,5х – 9 принимает положительные значения?

О т в е т ы:

а) нет решений;

б) х – любое

а) х – любое;

б) нет решений

(–∞; 22)

(6; +∞)

III. Актуализация знаний.

1. Изобразите на координатной прямой и запишите, используя введенные обозначения, промежуток, задаваемый условием:

а) х > 1,5; б) х ≤ 3,2; в) 0 < х ≤ 1; г) –5 ≤ х ≤ –3.

2. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

а) (–∞; 6] и (3; +∞); в) (–3; 0] и (0; +∞);

б) (–∞; 2) и [4; +∞); г) (–∞; 0] и (–∞; 4).

IV. Объяснение нового материала.

Объяснение материала проводится в т р и э т а п а.

На первом этапе рассматривается задача, решение которой приводит к понятию «система неравенств с одной переменной» и «решение системы неравенств с одной переменной». На втором этапе рассматривается способ решения системы неравенств. На третьем этапе приводятся различные примеры решения систем неравенств.

1-й э т а п.

Рассматриваем задачу со с. 184 учебника.

Анализ текстовой задачи показывает две основных зависимости, которые могут быть записаны в форме неравенств. Требуется найти значения переменной, удовлетворяющие одновременно обоим неравенствам.

Теперь появляется возможность ввести новое понятие. Сообщаем учащимся, что в тех случаях, когда нужно найти общее решение двух и более неравенств, говорят, что требуется решить систему неравенств. Затем вводим определение:

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

2-й э т а п.

Теперь перед учащимися возникает новая проблема: как решить полученную систему неравенств. Мы умеем решать отдельно неравенство, тогда получим:

[pic]

Получили, что множество решений первого неравенства есть открытый числовой луч (4; +∞), а второго – (–∞; 5). Пересечение этих двух числовых промежутков и будет являться решением системы неравенств:

[pic] (–∞; 5) [pic] (4; +∞) = (4; 5).

Решение можно записать как в виде числового промежутка, так и соответствующего ему неравенства: 4 < x < 5.

3-й э т а п.

Рассмотрим примеры 1–4 на с. 185–187 учебника. Это поможет увидеть различные варианты получаемых решений: интервалы, числовые лучи, пустое множество.

Таким образом, учащиеся наметили несложный алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

1-й ш а г. Решаем каждое неравенство системы отдельно.

2-й ш а г. Находим пересечение числовых промежутков, являющихся решением неравенств системы, с помощью координатной прямой.

3-й ш а г. Записываем полученное решение в виде числового промежутка или неравенства.

V. Формирование умений и навыков.

На уроке учащиеся должны выполнить задания двух групп.

В п е р в у ю г р у п п у входят задания на отработку новых терминов и символики, а также на геометрическую интерпретацию решения систем неравенств. Во в т о р о й г р у п п е будут задания на решение несложных систем неравенств.

1. № 874, № 875 – устно.

2. № 876.

Р е ш е н и е

а) [pic] [pic] ; (17; +∞); x > 17.

б) [pic] [pic] ; (–∞; 1); х < 1.

в) [pic] [pic] ; (0; 6); 0 < x < 6.

г) [pic] [pic] ; [pic] ; нет решений.

д) [pic] [pic] ; [–1; 3]; –1 ≤ х ≤ 3.

е) [pic] [pic] ; (8; 20]; 8 < x ≤ 20.

О т в е т: а) (17; +∞); б) (–∞; 1); в) (0; 6); г) нет решений; д) [–1; 3]; е) (8; 20].

№ 877 (б, г).

Р е ш е н и е

б) [pic]

[pic] (–∞; –1); у < –1.

г) [pic]

[pic] [pic] ; нет решений.

О т в е т: б) (–∞; –1); г) нет решений.

№ 879 (б, г).

Р е ш е н и е

б) [pic]

[pic] (1,5; 3).

г) [pic]

[pic] [pic] .

О т в е т: б) (1,5; 3); г) [pic] .

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы неравенств?

– Является ли решением системы неравенств [pic] число 3? число 5?

– Что значит «решить систему неравенств»?

Домашнее задание: № 877 (а, в), № 878, № 879 (а, в), № 880.

У р о к 2 (80)
Решение систем неравенств
с одной переменной

Цели: продолжить формировать умения решать системы неравенств с одной переменной путем равносильных преобразований неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли число 6 решением системы неравенств:

а) [pic] б) [pic]

2. Решите систему неравенств:

а) [pic] б) [pic] в) [pic] г) [pic]

д) [pic] е) [pic] ж) [pic] з) [pic]

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащимся предлагаются для решения более сложные системы неравенств. Кроме того, задания сформулированы таким образом, что требуется не только найти решение системы, но проверить выполнение каких-либо дополнительных условий.

1. № 822 (б, г).

Р е ш е н и е

б) [pic]

[pic] ; [pic] .

г) [pic]

[pic] ; [1,5; +∞).

О т в е т: б) нет решений; г) [1,5; +∞).

2. № 883 (б, г), № 884 (б).

Р е ш е н и е

№ 883.

б) Допустимы те значения переменной, при которых подкоренные выражения неотрицательны:

[pic]

[pic] ; [pic] .

г) [pic]

[pic] ; [–1; 1,5].

О т в е т: б) [pic] ; г) [–1; 1,5].

№ 884.

б) В область определения функции y = [pic] входят те значения х, для которых подкоренные выражения неотрицательны и знаменатель дроби не обращается в нуль.

[pic] [pic]

Знаменатель равен нулю, если:

[pic] = [pic] ;

2х – 1 = х + 1;

2х – х = 1 + 1;

х = 2.

Значит, из области определения функции необходимо исключить х = 2.

[pic] ; [0,5; 2) [pic] (2; +∞).

О т в е т: [0,5; 2) [pic] (2; +∞).

3. № 886 (б, г).

Р е ш е н и е

б) [pic]

[pic]

[pic] ; (0,1; +∞).

г) [pic]

[pic]

[pic] ; (–∞; –1,8).

О т в е т: б) (0,1; +∞); г) (–∞; –1,8).

4. № 887 (б, г).

Р е ш е н и е

б) [pic]

[pic] ; [2; 6].

Целыми решениями являются: 2; 3; 4; 5; 6.

г) [pic]

[pic]

Целыми решениями являются: –2; –1; 0.

О т в е т: б) 2; 3; 4; 5; 6; г) –2; –1; 0.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решить систему неравенств:

1. [pic] 2. [pic]

В а р и а н т 2

Решить систему неравенств:

1. [pic] 2. [pic]

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы неравенств?

– Что значит «решить систему неравенств»?

– Каков алгоритм решения системы неравенств?

– Сколько решений может иметь система неравенств?

Домашнее задание: № 881, № 883 (а, в), № 885, № 886 (а, в), № 888.

У р о к 3 (81)
Решение двойных неравенств

Цели: рассмотреть решение двойного неравенства через систему неравенств; продолжить формировать умения решать системы двух и более неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите систему неравенств:

а) [pic] б) [pic] в) [pic] г) [pic]

2. Известно, что 2 < x < 5. Оцените значение выражения:

а) 2х; б) –х; в) х – 3; г) 3х – 1.

III. Объяснение нового материала.

1. На с. 187 рассмотреть пример № 5.

Необходимо, чтобы учащиеся уяснили, что двойное неравенство представляют собой иную запись системы неравенств:

–1 < 3 + 2x < 3 [pic]

Решая систему, получим [pic] Полученное решение можно записать как в виде числового промежутка (–2; 0), так и в виде двойного неравенства –2 < x < 0.

2. Двойное неравенство можно решать и другим способом, используя теоремы-свойства числовых неравенств:

–1 < 3 + 2x < 3. Прибавляем к каждой части неравенства –3, получим:

–1 – 3 < 3 + 2x – 3 < 3 – 3,

–4 < 2x < 0. Разделим каждую часть неравенства на 2, получим:

–4 : 2 < 2x : 2 < 0 : 2,

–2 < x < 0.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, решаемые на этом уроке, можно разбить на 4 группы:

1. Решение систем неравенств, содержащих дроби.

2. Решение двойных неравенств.

3. Решение систем трёх (и более) неравенств.

4. Решение заданий повышенной трудности.

I г р у п п а. № 890 (а, в), № 891 (б, г).

Р е ш е н и е

№ 890.

а) [pic]

[pic] ; (–∞; 6).

в) [pic]

[pic] ; [0,6; 5].

О т в е т: а) (–∞; 6); в) [0,6; 5].

№ 891.

б) [pic]

[pic] ; (–2; –1).

г) [pic]

[pic] ; [pic] .

О т в е т: б) (–2; –1); г) [pic] .

II г р у п п а. № 893(б; г), № 894 (а; в), № 895 (а).

Р е ш е н и е

№ 893.

б) –1 < [pic] ≤ 5 [pic] ;

–3 < 4– а ≤ 15;

–3 – 4 < –а ≤ 15 – 4;

–7 < –а ≤ 11; [pic]

–11 ≤ а < 7; [–11; 7).

г) –2,5 ≤ [pic] ≤ 1,5 [pic] ;

–5 ≤ 1 – 3у ≤ 3;

–5 – 1 ≤ –3у ≤ 3 – 1;

–6 ≤ –3у ≤ 2; [pic]

[pic] ≤ у ≤ 2; [pic] .

О т в е т: б) [–11; 7); г) [pic] .

№ 894.

а) –1 ≤ 15a + 14 < 44 [pic]

[pic] ; [–1; 2).

в) –1,2 < 1 – 2y < 2,4 [pic]

[pic] ; (–0,7; 1,1).

О т в е т: а) [–1; 2); б) (–0,7; 1,1).

№ 895.

а) –1 < 3y – 5 < 1;

4 < 3y < 6;

1 [pic] < y < 2.

О т в е т: при 1 [pic] < y < 2.

III г р у п п а. № 898 (а, в), № 899 (б).

Обращаем внимание, что в системе три неравенства, значит, решением является пересечение трёх числовых промежутков.

№ 898.

а) [pic] [pic] ; (8; +∞).

в) [pic] [pic] ; (10; 12).

О т в е т: а) (8; +∞); в) (10; 12).

№ 899.

б) [pic]

[pic] ; (1; 4).

О т в е т: (1; 4).

IV г р у п п а (для сильных в учебе учащихся).

1. При каких значениях а система неравенств [pic] не имеет решений?

Р е ш е н и е

[pic] Чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы (4; +∞) [pic] (–∞; а) = [pic] .

[pic] Это верно, если а ≤ 4.

О т в е т: при а ≤ 4.

2. № 896.

Р е ш е н и е

x² + 2xa + a² – 4 = 0 – квадратное уравнение.

D1 = a² – (a² – 4) = 4, D1 > 0, значит, уравнение имеет два различных корня. Найдём их:

x1 = –a + [pic] = –a + 2 = 2 – a;

x2 = –a – [pic] = –a – 2.

Так как оба корня должны принадлежать интервалу (–6; 6), то одновременно выполняются условия:

[pic]

[pic] ; –4 < a < 4.

О т в е т: при –4 < a < 4.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы неравенств?

– Каков алгоритм решения системы неравенств?

– Какими способами можно решить двойное неравенство?

– В чём сущность решения системы, содержащей три и более неравенств?

Домашнее задание: повторить п. 32–35 (подготовка к контрольной работе); № 891 (а), № 895 (б), № 900 (а), № 889.

У р о к 82
Контрольная работа № 8

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) [pic] x < 5; б) 1 – 3х ≤ 0; в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1.

2. При каких а значение дроби [pic] меньше соответствующего значения дроби [pic] ?

3. Решите систему неравенств:

а) [pic] б) [pic]

4. Найдите целые решения системы неравенств [pic]

5. При каких значениях х имеет смысл выражение [pic] ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 3x – 7 < [pic] является числовой промежуток (–∞; 4)?

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) [pic] х ≥ 2; б) 2 – 7х > 0; в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4.

2. При каких b значение дроби [pic] больше соответствующего значения дроби [pic] ?

3. Решите систему неравенств:

а) [pic] б) [pic]

4. Найдите целые решения системы неравенств [pic]

5. При каких значениях а имеет смысл выражение [pic] ?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 4х + 6 > [pic] является числовой промежуток (3; +∞)?

В а р и а н т 3

1. Решите неравенство:

а) [pic] х > 1; б) 1 – 6х ≥ 0; в) 5(у – 1,4) – 6 < 4у – 1,5.

2. При каких т значение дроби [pic] меньше соответствующего значения выражения т – 6?

3. Решите систему неравенств:

а) [pic] б) [pic]

4. Найдите целые решения системы неравенств [pic]

5. При каких значениях а имеет смысл выражение [pic] ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 5х – 1 < [pic] является числовой промежуток (–∞; 2)?

В а р и а н т 4

1. Решите неравенство:

а) [pic] х ≤ 2; б) 2 – 5х < 0; в) 3(х – 1,5) – 4 < 4х + 1,5.

2. При каких а значение выражения а + 6 меньше соответствующего значения дроби [pic] ?

3. Решите систему неравенств:

а) [pic] б) [pic]

4. Найдите целые решения системы неравенств [pic]

5. При каких значениях т имеет смысл выражение [pic] +
+ [pic] ?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 6х + 11 >
> [pic] является числовой промежуток (1; +∞)?

Р е к о м е н д а ц и и п о о ц е н и в а н и ю.

Задания 1 и 3 соответствуют уровню обязательной подготовки. Для получения отметки «3» достаточно решить любые 2 задания. Для получения оценки «5» необходимо решить любые 5 заданий.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) [pic] x < 5 [pic] ;

х < 30; (–∞; 30).

б) 1 – 3х ≤ 0;

– 3х ≤ 1 [pic] ;

х ≥ [pic] ; [pic] .

в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1;

5y – 6 – 4,6 > 3y + 1;

5y – 3y > 1 + 6 + 4,6;

2y > 11,6 [pic] ;

y > 5,8; (5,8; +∞).

О т в е т: а) (–∞; 30); б) [pic] ; в) (5,8; +∞).

2. [pic] < [pic] [pic] ;

2(7 + a) < 3(12 – a);

14 + 2a < 36 – 3a;

2a + 3a < 36 – 14;

5a < 22 [pic] ;

a < 4,4.

О т в е т: при a < 4,4.

3. а) [pic]

[pic] (1,5; +∞).

б) [pic]

[pic] (1; 1,3).

О т в е т: а) (1,5; +∞); б) (1; 1,3).

4. [pic]

[pic]

О т в е т: 2; 3; 4.

5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:

[pic]

[pic] ≤ x ≤ 6.

О т в е т: при [pic] ≤ x ≤ 6.

6. 3x – 7 < [pic] ;

9х – 21 < a;

9x < a + 21;

x < [pic] ; [pic] .

Множеством решений является числовой промежуток (–∞; 4), если:

[pic] = 4 [pic] ;

а + 21 = 36;

а = 15.

О т в е т: при а = 15.

В а р и а н т 2

1. а) [pic] х ≥ 2 [pic] ;

х ≥ 6; [6; +∞).

б) 2 – 7х > 0;

–7x > –2 [pic] ;

x < [pic] ; [pic] .

в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4;

6y – 9 – 3,4 > 4y – 2,4;

6y – 4y > 9 + 3,4 – 2,4;

2y > 10 [pic] ;

y > 5; (5; +∞).

О т в е т: а) [6; +∞); б) [pic] ; в) (5; +∞).

2. [pic] > [pic] [pic] ;

3(b + 4) >2(5 – 2b);

3b + 12 > 10 – 4b;

3b + 4b > 10 – 12;

7b > –2 [pic] ;

b > [pic] .

О т в е т: при b > [pic] .

3. а) [pic]

[pic] (5; +∞).

б) [pic]

[pic] (1,1; 1,5).

О т в е т: а) (5; +∞); б) (1,1; 1,5).

4. [pic]

[pic]

О т в е т: 3; 4; 5; 6; 7.

5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:

[pic]

–8 ≤ а ≤ 5.

О т в е т: при –8 ≤ а ≤ 5.

6. 4х + 6 > [pic] ;

20x + 30 > b;

20x > b – 30;

x > [pic] ; [pic] .

Множеством решений является числовой промежуток (3; +∞), если:

[pic] = 3;

b – 30 = 60;

b = 90.

О т в е т: при b = 90.

В а р и а н т 3

1. а) [pic] х > 1 [pic] ;

х > 4; (4; +∞).

б) 1 – 6х ≥ 0;

– 6х ≥ –1 [pic] ;

х ≤ [pic] ; [pic] .

в) 5(у – 1,4) – 6 < 4у – 1,5;

5y – 7 – 6 < 4y – 1,5;

5y – 4y < 7 + 6 – 1,5;

y < 11,5; (–∞; 11,5).

О т в е т: а) (4; +∞); б) [pic] ; в) (–∞; 11,5).

2. [pic] < т – 6 [pic] ;

m + 1 < 3(m – 6);

m + 1 < 3m – 18;

m – 3m < –1 – 18;

–2т < –19 [pic] ;

т > 9,5.

О т в е т: при т > 9,5.

3. а) [pic]

[pic] (–0,4; 3).

б) [pic]

[pic] (1; +∞).

О т в е т: а) (–0,4; 3); б) (1; +∞).

4. [pic]

[pic]

О т в е т: 1; 2; 3; 4; 5.

5. Выражение имеет смысл при a, удовлетворяющих системе:

[pic]

–2 ≤ а ≤ 4.

О т в е т: при –2 ≤ а ≤ 4.

6. 5х – 1 < [pic] ;

20x – 4 < a;

20x < a + 4;

x < [pic] ; [pic] .

Множеством решений является числовой промежуток (–∞; 2), если:

[pic] = 2;

а + 4 = 40;

а = 36.

О т в е т: при а = 36.

В а р и а н т 4

1. а) [pic] х ≤ 2 [pic] ;

х  16; (–∞; 16].

б) 2 – 5х < 0;

–5х < –2 [pic] ;

х > 0,4; (0,4; +∞).

в) 3(х – 1,5) – 4 < 4х + 1,5;

3x – 4,5 – 4 < 4x + 1,5;

3x – 4x < 4,5 + 4 + 1,5;

–x < 10;

х > –10; (–10; +∞).

О т в е т: а) (–∞; 16]; б) (0,4; +∞); в) (–10; +∞).

2. а + 6 < [pic] [pic] ;

4(а + 6) < а + 2;

4а + 24 < а + 2;

4а – а < 2 – 24;

3а < –22;

а < –7 [pic] .

О т в е т: при а < –7 [pic] .

3. а) [pic]

[pic] (2; +∞).

б) [pic]

[pic] (1; 3).

О т в е т: а) (2; +∞); б) (1; 3).

4. [pic]

[pic]

О т в е т: –2; –1; 0; 1; 2.

5. Выражение имеет смысл при m, удовлетворяющих системе:

[pic]

–4 ≤ т ≤ 3.

О т в е т: при –4 ≤ т ≤ 3.

6. 6х + 11 > [pic] ;

24х + 44 > b;

24x > b – 44;

x > [pic] ; [pic] .

Множеством решений является числовой промежуток (1; +∞), если:

[pic] = 1;

b – 44 = 24;

b = 68.

О т в е т: при b = 68.

ГЛАВА 5 СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 12 ЧАСОВ

У р о к 1 (83)
Понятие степени с целым отрицательным
показателем

Цели: ввести понятие степени с целым отрицательным показателем и формировать умение его применять.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

Проанализировать ошибки, допущенные учащимися в работе. Вынести на доску решение заданий, вызвавших затруднения у большинства учащихся.

III. Устная работа.

– Вычислите:

а) 2³; б) (–7)²; в) (–3)³; г) [pic] ;

д) 5³; е) [pic] ; ж) (–2)⁴; з) [pic] ;

и) 6³; к) [pic] ; л) (–3)⁰; м) 2¹.

IV. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить по следующей схеме:

1. П о к а з необходимости представления больших и малых чисел в обозримом и удобном для практики виде (рассмотрение примеров со с. 203–204 учебника). Можно провести аналогию с введением десятичных дробей, когда для уменьшения единиц в десять раз мы ввели запятую для отделения разрядов десятых, сотых и т. д. В случае со степенями с основанием 10 мы поступили аналогично, введя отрицательный показатель степени для выражений: [pic] и т. д.

2. В в е д е н и е п о н я т и я степени с целым отрицательным показателем.

Необходимо дать определение степени с целым отрицательным показателем и вынести на доску запись:

Затем привести несколько примеров, показывающих, как вычисляются степени с целым отрицательным числом. При этом обратить внимание на типичную ошибку: у учащихся степень с целым отрицательным показателем может ассоциироваться с отрицательным числом (например, 2^–3 = –2³).

3. Можно вывести следствие, что числа а^п и а^–п являются взаимно-обратными. Для этого привести несколько примеров типа:

3³ = 27; 3^–3 = [pic] .

[pic] = 16.

Затем сделать общий вывод: [pic] = 1.

4. Напоминаем, что а⁰ = 1, для а ≠ 0, выражение 0⁰ – не имеет смысла; 0ⁿ = 0 для натуральных п.

Правило: Выражение 0^п для целых отрицательных п не имеет смысла.

П р и м е р ы: 12⁰ = 1; (–3,5)⁰ = 1;

0⁴ = 0; 0¹ = 0;

0⁰ – не имеет смысла;

0^–3 – не имеет смысла.

V. Формирование умений и навыков.

На этом уроке необходимо начать формировать у учащихся следующие умения:

– преобразовывать выражения в дробь или произведение, используя определение степени с целым отрицательным показателем;

– вычислять степени с целым отрицательным показателем;

– представлять числа в виде степени с целым показателем.

1. № 964, № 965 – устно.

2. № 966.

Р е ш е н и е

а) 8 = 2³; 4 = 2²; 2 = 2¹; 1 = 2⁰; [pic] = 2^–1; [pic] = 2^–1; [pic] = 2^–3.

б) [pic] = 5^–3; [pic] = 5^–2; [pic] = 5^–1; 1 = 5⁰; 5 = 5¹; 25 = 5²;
125 = 5³.

3. № 968 (а; б; в; е; з; к).

Р е ш е н и е

а) 4^–2 = [pic] ;

б) (–3)^–3 = [pic] ;

в) (–1)^–9 = [pic] = –1;

е) [pic] ;

з) [pic] ;

к) 1,125^–1 = [pic] .

4. Многие учащиеся допускают ошибки при вычислении значений степеней с дробным основанием. И сами вычисления очень громоздкие, записываются в виде «многоэтажных» дробей. Необходимо научить учащихся рациональному приёму:

[pic] .

Можно предложить в сильном классе самостоятельно провести доказательство:

[pic] .

Полученное равенство выносится на доску:

[pic]

№ 970 (в, г, е).

Р е ш е н и е

в) [pic] ;

г) [pic] ;

е) [pic] .

5. № 969 (а, в, д), № 971, № 972 (устно).

Эти три упражнения являются очень важными. Выводы, которые получат учащиеся, помогут им избежать ошибок в вычислении степеней, особенно «путаницы» в знаках результата.

Р е ш е н и е

№ 969.

а) –10^–4 = [pic] = –0,0001;

в) (–0,8)^–2 = [pic] ;

д) –(–2)^–3 = [pic] .

№ 971.

а) 9^–5 = [pic] > 0;

б) 2,6^–4 = [pic] > 0;

в) (–7,1)^–6 = [pic] > 0;

г) (–3,9)^–3 = [pic] < 0.

После выполнения упражнения № 972 полезно дать учащимся задание по составлению блок-схемы полученного в ы в о д а:

[pic]

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как определяется степень с целым отрицательным показателем?

– Чему равно любое число (не равное нулю) в нулевой степени?

– Какое значение имеет выражение 0^п при целом n < 0?

– Чему равно а^п · а^–п?

– Можно ли получить отрицательный результат при возведении положительного числа в отрицательную степень?

Домашнее задание: № 967, № 968 (г, д, ж, и), № 969 (б, г, е), № 970 (а, б, д), № 983.

У р о к 2 (84)
Нахождение значений выражений,
содержащих степени с целым показателем

Цели: закрепить знание определения степени с целым отрицательным показателем; продолжить формировать умение вычислять значение выражений, содержащих степени с целым показателем.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) (–2)⁴; б) [pic] ; в) (–1)⁵; г) (–7)²;

д) 8^–1; е) 10⁰; ж) 1^–17; з) 2^–2;

и) [pic] ; к) –2²; л) [pic] ; м) [pic] .

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке важно, чтобы учащиеся достигли определённого автоматизма в вычислениях степеней с целыми показателями, научились преобразовывать различные выражения, содержащие степени.

1. № 973 (а, б), № 974 (а, б).

В сильном классе эти упражнения можно выполнить устно.

2. № 975.

При выполнении этого задания вспоминаем, что х^п · х^–п = 1. Но не следует сразу пользоваться этим равенством, в этом упражнении отрабатывается также умение верно подставлять числовые значения буквенных выражений.

3. № 976.

Р е ш е н и е

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic] ;

д) [pic] ;

е) [pic] ;

ж) [pic] ;

з) 0,3⁰ + 0,1^–4 = 1 + 10⁴ = 10001.

4. № 978 (а, в, д, ж, з), № 979 (а, в, д, ж, з).

При выполнении этих заданий учащиеся должны уметь переходить от дроби к произведению и наоборот, пользуясь определением степени с целым отрицательным показателем.

Р е ш е н и е

№ 978.

а) [pic] ;

в) [pic] ;

д) [pic] ;

ж) [pic] ;

з) [pic] .

№ 979.

а) [pic] ; в) [pic] ;

д) [pic] ;

ж) [pic] ;

з) [pic]

= 2^–1 ∙ (с + b)⁵ ∙ (a – b)^–4.

5. № 980 (б, г), № 981 (б).

Р е ш е н и е

№ 980.

б) [pic] ;

г) [pic]

[pic] .

№ 981.

[pic]

[pic] .

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] .

2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) 7^–3; б) у^–10; в) b^–1; г) (3а)^–4;

3. Преобразуйте в дробь выражение: (x^–2 – y^–2) : (x^–1 – y^–1).

В а р и а н т 2

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] .

2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) 5^–7; б) а^–11; х^–1; г) (2у)^–5.

3. Преобразуйте в дробь выражение: (x^–3 – 1)(1 – x)^–2 ∙ x³.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как вычислить значение степени с целым отрицательным показателем?

– Как рациональнее возвести дробь в степень с целым отрицательным показателем?

– В каком случае значение степени с целым отрицательным показателем будет отрицательным?

– Чему равно значение выражения [pic] ?

Домашнее задание: № 973 (в, г), № 974 (в, г), № 977, № 980 (а, в),
№ 981 (а), № 982.

У р о к 1 (85)
Использование свойств степени
с целым показателем для нахождения
значений выражений

Цели: изучить свойства степени с целым показателем; формировать умение применять данные свойства для нахождения значения выражения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) 5^–3; б) [pic] ; в) (–11)^–2; г) [pic] ;

д) (–3)^–2; е) [pic] ; ж) 2^–5; з) [pic] ;

и) (–3)⁴; к) [pic] .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить по следующей схеме:

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

Вспомнить свойства степени с натуральным показателем и продемонстрировать их применение для преобразования и нахождения значений выражений.

2³ · 2² = 2^{3 + 2} = 2⁵ = 32;

3⁴ : 3² = 3^{4 – 2} = 3² = 9;

(2²)³ = 2^{2 · 3} = 2⁶ = 64;

(3 · 4)³ = 3³ · 4³ = 27 · 64 = 1728;

[pic] .

2. С о о б щ и т ь учащимся, что все рассмотренные свойства распространяются и на степени с любым целым показателем. Предполагаем, что основание степени не равно нулю.

На доску выносится запись:

Для каждого a ≠ 0, b ≠ 0 и любых целых m и n:

a^m ∙ aⁿ = a^m⁺ⁿ (1)

a^m : aⁿ = a^m^–ⁿ (2)

(a^m)ⁿ = (aⁿ)^m = a^m^∙ⁿ (3)

(a ∙ b)ⁿ = aⁿ ∙ bⁿ (4)

[pic] (5)

Доказательство утверждений можно рассмотреть по учебнику на с. 207.

3. П р и в е с т и п р и м е р ы, показывающие применение свойств степени с целым показателем для нахождения значения выражения (с. 207–208 учебника, примеры 1–3).

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке необходимо начать формирование у учащихся следующих умений:

– непосредственно применять свойства степени с целым показателем для нахождения значения выражений;

– преобразование выражения в степень с «нужным» основанием для рационального применения свойств степени с целым показателем;

– упрощать выражения, используя свойства степени с целым показателем.

1. № 985.

Р е ш е н и е

а) 3^–4 · 3⁶ = 3^{–4 + 6} = 3² = 9;

б) 2⁴ · 2^–3 = 2^{4 – 3} = 2;

в) [pic] ;

г) [pic] ;

д) 5^–3 : 5^–3 = 5^{–3 – (–3)} = 5⁰ = 1;

е) 3^–4 : 3 = 3^{–4 – 1} = 3^–5 = [pic] ;

ж) (2^–4)^–1 = 2^{–4 · (–1)} = 2⁴ = 16;

з) (5²)^–2 · 5³ = 5^–4 · 5³ = 5^{–4 + 3} = 5^–1 = [pic] ;

и) 3^–4 · (3^–2)^–4 = 3^–4 · 3⁸ = 3^{–4 + 8}= 3⁴ = 81.

2. № 987, № 988 – самостоятельное решение, два ученика работают у доски.

№ 989.

Р е ш е н и е

а) [pic] = 3³ = 27;

б) [pic] ;

в) 0,01^–2 = 100² = 10000;

г) [pic] ;

д) 0,002^–1 = [pic] = 500;

е) [pic] .

3. № 990, № 992.

Р е ш е н и е

№ 990.

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic] .

№ 992.

а) 5^т · 5^т^{+ 1} · 5^{1 –}^т = 5^т⁺^т^{+ 1 + 1 –}^т = 5^т^{+ 2};

б) (5^т)² · (5^–3)^т = 5²^т · 5^–3^т = 5²^т^{– 3}^т = 5^–^т;

в) 625 : 5⁴^т^{– 2} = 5⁴ : 5⁴^т^{– 2} = 5^{4 – 4}^т^{+ 2} = 5^{6 – 4}^т.

4. № 993.

При выполнении этого упражнения учащиеся должны сами определить в виде степени, с каким основанием им удобно и необходимо представить выражение.

Р е ш е н и е

а) 8^–2 · 4³ = (2³)^–2 · (2²)³ = 2^–6 · 2⁶ = 2⁰ = 1;

б) 9^–6 · 27⁵ = (3²)^–6 · (3³)⁵ = 3^–12 · 3¹⁵ = 3^{–12 + 15} = 3³ = 27;

в) 10⁰ : 10^–3 = 10^{0 + 3} = 10³ = 1000;

г) [pic] ;

д) [pic] = 2^{–21 + 22} = 2;

е) [pic] = 1;

ж) [pic] ;

з) [pic] .

5. Сильным в учебе ученикам можно предложить для решения задание повышенной трудности.

№ 995.

Р е ш е н и е

а) [pic] = 5²^m^{– 2}^m^{+ 1} = 5;

б) [pic] .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием.

– Сформулируйте правило возведения в целую степень произведения и дроби.

– Сформулируйте правило возведения степени в степень.

Домашнее задание: № 986, № 991, № 994, № 1072.

У р о к 2 (86)
Использование свойств степени с целым
показателем для преобразования выражений

Цели: продолжить формировать умения применять свойства степени с целым показателем.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) 10^–2; б) 3^–3; в) [pic] ; г) [pic] ;

д) 0,3^–1; е) 4^–2; ж) 5^–3; з) [pic] ;

и) [pic] ; к) [pic] ; л) [pic] .

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Вычислите:

а) 7 · 14^–1; б) –5 · 2^–3; в) 3^–2 + 6^–1;

г) 5^–1 – 10^–1; д) 9 + [pic] ; е) 137 – 0,1^–2.

2. Представьте в виде дроби:

а) х^–1 + у^–1; б) ab^–2 – a²b; в) (m – n)^–3.

В а р и а н т 2

1. Вычислите:

а) 3^–2 · 72; б) –2 · 5^–3; в) 8^–1 + 2^–2;

г) 4^–1 – 12^–1; д) –3 + [pic] ; е) 0,01^–1 – 165.

2. Представьте в виде дроби:

а) х^–2 + у^–2; б) х^–1у + ху^–1; в) (х – у)^–2.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке формируется умение выполнять преобразования и упрощать выражения, содержащие степень с целым показателем.

1. № 996 – устно, № 997, № 998 (б, г).

Р е ш е н и е

№ 997.

а) а¹² = а^{4 · 3} = (а⁴)³; б) а¹² = а^{–6 · (–2)} = (а^–6)^–2.

№ 998.

б) х⁰ : х ^–5 = х^{0 – (–5)} = х⁵; б) х⁶ : х ^п^{+ 2} = х^{6 – (}^п^{+ 2)} = х^{4 –}^п.

2. № 999, № 1000.

Р е ш е н и е

№ 999.

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic] ;

д) [pic] ;

е) [pic] .

№ 1000.

а) [pic] ;

при а = –0,125, b = 8 ab = (–0,125) · 8 = –1.

б) [pic] ;

при [pic] .

3. № 1002, № 1004 (б, г).

Р е ш е н и е

№ 1002.

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic] ;

д) [pic] ;

е) [pic] .

4. № 1005 (б, г), № 1007 (б, г), № 1008 (б, г).

Перед выполнением этих упражнений следует повторить правило умножения дробей.

Р е ш е н и е

№ 1005.

б) [pic] ;

г) [pic] .

№ 1007.

б) [pic]

= [pic] ;

г) [pic]

[pic] .

№ 1008.

б) [pic] .

г) [pic] .

5. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задание повышенной трудности.

№ 1009.

Р е ш е н и е

По теореме Виета, [pic] и [pic] .

[pic] .

Подставляем в уравнение соответствующие значения и получаем:

[pic] .

О т в е т: 1.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием.

– Сформулируйте правила возведения в целую степень произведения и дроби.

– Сформулируйте правило возведения степени в целую степень.

Домашнее задание: № 1001, № 1003, № 1004 (а, в), № 1006, № 1007 (а, в).

У р о к 1 (87)
Стандартный вид числа

Цели: ввести понятие стандартного вида числа; формировать умение его применять при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Заполните пустые клеточки:

а) 25 = [pic] ²; б) 81 = 3 [pic] ; в) 625 = (5²) [pic] ;

г) [pic] = 3 [pic] ; д) (а³)⁸ = а [pic] ; е) х^–8 = (х²) [pic] ;

ж) (у [pic] )¹⁴ = у^–28; з) (ab²)^–6 = a [pic] b [pic] ; и) [pic] .

III. Самостоятельная проверочная работа.

В а р и а н т 1

Упростить выражение:

1) 6х^–5у⁷ · 2,5х⁷у^–6; 3) [pic] ;

2) 3,2a⁶b : (0,8a³b^–3); 4) [pic] .

В а р и а н т 2

Упростить выражение:

1) [pic] ; 3) [pic] ;

2) [pic] ; 4) [pic] .

IV. Объяснение нового материала.

Согласно пункту учебника ввести понятие стандартного вида числа. Вынести на доску запись:

Стандартный вид числа:

а · 10^п, где 1 ≤ а < 10, п – целое число,

п – порядок числа.

После этого дать учащимся задание, которое направлено на усвоение данного понятия.

З а д а н и е. Определить, какие из чисел записаны в стандартном виде, а какие – нет. Ответ объяснить:

а) 2,3 · 10⁹; г) 8 · 10^–5; ж) –3 · 10^–15;

б) 1,23 · 10^–11; д) 4,2 · 100⁵; з) 0,24 · 10^–17;

в) 15 · 10¹⁴; е) 5,8 · 10²³; и) 10 · 10⁴.

После усвоения понятия показать, как оно может быть применено на практике (разобрать примеры на с. 211–212 учебника).

V. Формирование умений и навыков.

1. № 1013 – устно.

2. Представьте в виде степени числа 10 выражение:

а) 1000 · 10^–6; д) 0,1 · 100 · 10^–5;

б) 10^–10 · 10^–5; е) 10000;

в) 10^–8 : 10⁴; ж) 0,001;

г) (10^–2)³; з) 0,01 · 100.

3. № 1014, № 1015 (б, г), № 1016 (б, г, е, з).

Р е ш е н и е

№ 1014.

а) 52000000 = 5,2 · 10⁷.

П р и м е ч а н и е. На этом примере разбираем, что в стандартном виде числа
а · 10^п, а [pic] [1; 10). В исходном числе мы перенесли запятую на 7 цифр влево, то есть уменьшили число в 10⁷ раз. Поэтому 52000000 больше 5,2 в 10⁷ раз.

б) 2180000 = 2,18 · 10⁶.

в) 675000000 = 6,75 · 10⁸.

г) 40,44 = 4,044 · 10¹.

д) 0,00281 = 2,81 · 10^-3.

П р и м е ч а н и е. На этом примере разбираем, что в исходном числе мы перенесли запятую на 3 цифры вправо, то есть увеличили число в 10³ раз. Поэтому 0,00281 меньше 2,81 в 10³ раз.

е) 0,0000035 = 3.5 · 10^–6.

№ 1015.

б) 117 · 10⁵ = 1,17 · 10² · 10⁵ = 1,07 · 10⁷;

г) 0,06 · 10⁵ = 6 · 10^–2 · 10⁵ = 6 · 10³.

№ 1016.

б) 6000000 = 6 · 10⁶;

г) 0,85 = 8,5 · 10^–1;

е) 0,000282=2,82 · 10^–4;

з) 0,042 · 10² = 4,2 · 10^–2 · 10² = 4,2 · 10⁰.

4. № 1017.

Р е ш е н и е

Масса Земли равна 6 · 10²¹ т.

Масса атома водорода равна 1,7 · 10^–21 г.

5. № 1018.

Р е ш е н и е

а) 3,8 · 10³ (т) = 3,8 · 10³ · 10³ (кг) = 3,8 · 10³ · 10⁶ (г) = 3,8 · 10⁹ (г);

б) 1,7 · 10^–4 (км) = 1,7 · 10^–4 · 10³ (м) = 1,7 · 10^–1 · 10² (см) = 1,7 · 10 (см);

в) 8,62 · 10^–1 (кг) = 8,62 · 10^–1 · 10^–3 (т) = 8,62 · 10^–4(т);

г) 5,24 · 10⁵ (см) = 5,24 · 10⁵ · 10^–2 (м) = 5,24 · 10³ (м).

6. Выполните действия. Результат запишите числом в стандартном виде:

а) (2,8 · 10⁵) · (2,5 · 10^–7);

б) (5,7 · 10⁴) : (3,8 · 10^–3);

в) 6,2 · 10^–2 + 4,8 · 10^–2.

Р е ш е н и е

а) (2,8 · 10⁵) · (2,5 · 10^–7) = (2,8 · 2,5) · (10⁵ · 10^–7) = 7 · 10^–2.

б) (5,7 · 10⁴) : (3,8 · 10^–3) = (5,7 : 3,8) · (10⁴ : 10^–3) = 1,5 · 10⁷.

в) 6,2 · 10^–2 + 4,8 · 10^–2 = 10^–2 · (6,2 + 4,8) = 11 · 10^–2 = 1,1 · 10^–3.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как записывается число в стандартном виде?

– Записаны ли числа 11 · 10⁸ и 0,93 · 10^–5 в стандартном виде? Почему?

– Если число записано в стандартном виде, что называется его порядком?

– Для чего на практике применяется запись чисел в стандартном виде?

Домашнее задание: № 1015 (а, в), № 1016 (а, в, д, ж), № 1019, № 1020, № 10226.

У р о к 2 (88)
Решение задач, связанных
с физическими величинами

Цели: продолжить формировать умение представлять числа в стандартном виде; формировать умение сравнивать числа, представленные в стандартном виде; формировать умение решать задачи, связанные с физическими величинами.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите число в стандартном виде:

а) 608,5; б) 0,083; в) 400; г) 0,0009; д) 1,367; е) 2.

2. При каком значении п верно равенство:

а) 32,4 · 10^п = 0,00324;

б) 0,072 · 10^п = 7,2;

в) 4 · 10^п = 4.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Запишите в стандартном виде число:

а) 70000; д) 28 · 10⁵;

б) 60,3; е) 563 · 10^–4;

в) 14200,5; ж) 0,031 · 10⁶;

г) 0,56; з) 0,0077 · 10^–2.

2. Выполните действия:

а) (1,5 · 10^–3) · (9,2 · 10^–4);

б) (1,56 · 10^–2) : (2,6 · 10^–6);

в) 5,1 · 10⁵ + 2,9 · 10⁶.

В а р и а н т 2

1. Запишите в стандартном виде число:

а) 900000; д) 47 · 10⁴;

б) 800,5; е) 672 · 10^–5;

в) 2400,8; ж) 0,0055 · 10⁷;

г) 0,73; з) 0,046 · 10^–3.

2. Выполните действия:

а) (7,8 · 10^–4) · (3,5 · 10^–6);

б) (3,36 · 10^–3) : (4,8 · 10^–7);

в) 5,2 · 10⁴ + 2,8 · 10⁵.

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1. а) 70000 = 7 · 10⁴; д) 28 · 10⁵ = 2,8 · 10⁶;

б) 60,3 = 6,03 · 10; е) 563 · 10^–4 =5,63 · 10^–2;

в) 14200,5= 1,42005 · 10⁴; ж) 0,031 · 10⁶ = 3,1 · 10⁴;

г) 0,56 = 5,6 · 10^–1; з) 0,0077 · 10^–2 = 7,7 · 10^–5.

2. а) (1,5 · 10^–3) · (9,2 · 10^–4) = (1,5 · 9,2) · (10^–3 · 10^–4) = 13,8 · 10^–7 =

= 1,38 · 10 · 10^–7 = 1,38 · 10^–6;

б) (1,56 · 10^–2) : (2,6 · 10^–6) = (1,56 : 2,6) · (10^–2 : 10^–6) = 0,6 · 10⁴ =

= 6 · 10^–1 · 10⁴ = 6 · 10³;

в) 5,1 · 10⁵ + 2,9 · 10⁶ = 0,51 · 10⁶ + 2,9 · 10⁶ = 10⁶ (0,51 + 2,9) =

= 3,41 · 10⁶.

В а р и а н т 2

1. а) 900000 = 9 · 10⁵; д) 47 · 10⁴ = 4,7 · 10⁵;

б) 800,5 = 8,005 · 10²; е) 672 · 10^–5 = 6,72 · 10^–3;

в) 2400,8 = 2,4008 · 10³; ж) 0,0055 · 10⁷ = 5,5 · 10⁴;

г) 0,73 = 7,3 · 10^-1; з) 0,046 · 10^–3 = 4,6 · 10^–5.

2. а) (7,8 · 10^–4) · (3,5 · 10^–6) = (7,8 · 3,5) · (10^–4 · 10^–6) = 27,3 · 10^–10 =

= 2,73 · 10 · 10^–10 = 2,73 · 10^–9;

б) (3,36 · 10^–3) : (4,8 · 10^–7) = (3,36 : 4,8) · (10^–3 : 10^–7) = 0,7 · 10⁴ =

= 7 · 10^–1 · 10⁴ = 7 · 10³;

в) 5,2 · 10⁴ + 2,8 · 10⁵ = 0,52 · 10⁵ + 2,8 · 10⁵ = 10⁵ (0,52 + 2,8) =

= 3,32 · 10⁵.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся должны сравнивать и упорядочивать числа, записанные в стандартном виде, переходить от одних единиц измерения к другим, округлять числа.

1. Сравните числа:

а) 1,78 · 10⁶ и 2,1 · 10⁶;

б) 3,9 · 10^–8 и 6,5 · 10^–8;

в) 8,3 · 10⁴ и 1,4 · 10⁵;

г) 4,7 · 10^–7 и 5,8 · 10^–8.

При решении этих упражнений выводим свойство, что удобно сравнивать числа одного порядка. Если числа разного порядка, то больше то число, порядок которого больше.

Р е ш е н и е

а) 1,78 < 2,1, значит, 1,78 · 10⁶ < 2,1 · 10⁶.

б) 3,9 < 6,5, значит, 3,9 · 10^–8 < 6,5 · 10^–8.

в) Порядок числа 1,4 · 10⁵ больше порядка числа 8,3 · 10⁴, значит,
1,4 · 10⁵ > 8,3 · 10⁴.

г) Порядок числа 4,7 · 10^–7 больше порядка числа 5,8 · 10^–8, значит,
4,7 · 10^–7 > 5,8 · 10^–8.

2. Порядок числа а равен –12. Каков порядок числа:

а) 100а; б) 0,001а; в) а · 10¹⁵; г) [pic] ?

Р е ш е н и е

Так как порядок числа а равен –12, то его стандартный вид b · 10^–12, где 1 ≤ b < 10, тогда:

а) 100а = 100 · b · 10^–12 = b · 10² · 10^–12 = b · 10^–10, порядок числа равен –10.

б) 0,001а = 0,001 · b · 10^–12 = b · 10^–3 · 10^–12 = b · 10^–15, порядок числа равен –15.

в) а · 10¹⁵ = b · 10^–12 · 10¹⁵ = b · 10³, порядок числа равен 3.

г) [pic] = b · 10^{–12 + 20} = b · 10⁸, порядок числа равен 8.

О т в е т: а) –10; б) –15; в) 3; г) 8.

3. № 1021.

Р е ш е н и е

Формула пути S = V · t;

t = 2,8 · 10⁶ (с); V = 3 · 10⁵ (км/с);

S = (2,8 · 10⁶) · (3 · 10⁵) = 8,4 · 10¹¹ (км).

О т в е т: 8,4 · 10¹¹ (км).

4. № 1022.

Р е ш е н и е

тЗ = 6,0 · 10²⁴ кг; тМ = 6,4 · 10²³ кг.

Порядок тЗ больше порядка тМ, значит, масса Земли больше массы Марса. Чтобы узнать во сколько раз больше, найдём частное:

[pic] [pic] .

О т в е т: масса Земли больше массы Марса в ≈ 9,4 раза.

5. № 1024.

Р е ш е н и е

ρ = 7,8 · 10³ кг/м³; ρ = [pic] ; m = ρ · V.

Найдём объём железной пластины:

V = 1,2 · 6 · 10^–1 · 2,5 · 10^–1 = 18 · 10^–2 = 1,8 · 10^–1 (м³);

т = 7,8 · 10³ · 1,8 · 10^–1 = 14,04 · 10² = 1,404 · 10³ (кг).

О т в е т: 1,404 · 10³ кг.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какую запись числа называют его стандартным видом?

– Покажите на примере, как представить число в стандартном виде.

– Как сравнивают числа одного порядка?

– Как сравнивают числа разного порядка?

– Какие физические величины выражают числами стандартного вида? Приведите примеры.

У р о к 1 (89)
Нахождение средних статистических
характеристик

Цели: ввести понятия частоты появления числа в ряду, таблицы частот и таблицы относительных частот; формировать умения составлять таблицы частот, а также находить средние статистические характеристики.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Даны ряды:

1) 4; 1; 8; 5; 7.

2) [pic] ; 9; 3; 0,5; [pic] .

3) 6; 0,2; [pic] ; 4; 7,3.

Найдите:

а) наибольшее и наименьшее значения каждого ряда;

б) размах каждого ряда.

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту учебника.

Учащихся знакомим с элементами статистики как научного направления. Прежде всего речь идёт об элементах так называемой «описательной» статистики, которая занимается вопросами сбора и представления первичной статистической информации в табличной и графической формах, вычисления числовых характеристик для совокупности статистических данных.

На примере таблицы частот со с. 215 учебника показываем, как анализируются данные статистического исследования, какие обобщающие показатели используются.

Необходимо затем подытожить, какие статистические характеристики теперь могут находить учащиеся. Для этого на доску можно вынести пример:

Упорядоченный ряд чисел: 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 5.

1) Размах: 5 – 1 = 4;

2) Среднее арифметическое: [pic] ;

3) Мода: 5;

4) Медиана: 4.

2. Вводится понятие таблицы относительных частот – таблица, в которой для каждого данного указывается не частота, а отношение частоты к общему числу данных в ряду, выраженное в процентах.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся отрабатывают умения составления таблиц частот и таблиц относительных частот, а также статистических характеристик. Необходимо следить, чтобы учащиеся чётко мотивировали свои ответы, избегали формализации.

1. № 1028.

Р е ш е н и е

Количество

голосов

Проверяем, что 13 + 23 + 14 = 50.

Данных недостаточно, чтобы сделать вывод о предстоящих результатах голосования.

2. Подсчитывая число семян сорных растений в 15 одинаковых пакетах, получили такие данные:

3, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 0, 2.

Представьте эти данные в виде таблицы частот.

Р е ш е н и е

Количество

сорных семян

Число пакетов

Проверяем, что 4 + 4 + 4 + 3 = 15.

3. № 1030.

Р е ш е н и е

Находим общее число учащихся (сумма чисел в правом столбце);
п = 625.

Относительные частоты вычисляем делением каждого числа в правом столбце на 625 и умножаем на 100 % (с округлением до 1 %):

Число

выполненных заданий

Относительная частота, (%)

Проверяем: 0 + 4 + 8 + 14 + 36 + 23 + 14 = 99 %. А должно быть 100 %. Это результат округления. В таких случаях увеличивают на 1 число, которое имеет самую большую отброшенную дробную часть; в данном случае это [pic] = 8,48; в таблице процент выполнивших 2 задания следует записать 9 вместо 8.

4. № 1031.

Р е ш е н и е

Наибольшее различие в числе допущенных ошибок: 6 – 0 = 6.

Типичное число ошибок: 3 (встречается 26 раз из 70).

Использованы: размах и мода.

5. № 1032.

Р е ш е н и е

1) Данные представлены в виде таблицы частот, поэтому среднее арифметическое находим по формуле.

[pic] .

Эта величина характеризует среднее количество акций на руках одного сотрудника.

2) Размах А = хmax – xmin = 100 – 2 = 98.

Размах показывает, что разброс наблюдаемых значений очень велик.

3) Мода М = 2 показывает, что наибольшее число сотрудников приобрело по 2 акции.

О т в е т: ≈10,44; ≈98; 2.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется таблицей частот?

– Какие данные заносятся в таблицу относительных частот?

– Какие существуют средние статистические характеристики?

– Объясните на примере, как по таблице частот находят среднее арифметическое, размах и моду.

Домашнее задание: № 1029, № 1033, № 1034, № 1093.

У р о к 2 (90)
Интервальные ряды

Цели: ввести понятия интервального ряда, характеристик выборочного исследования; формировать умения использовать данные понятия при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Для упорядоченных рядов найдите размах, среднее арифметическое, моду и медиану:

а) 0; 0; 1; 2; 3;

б) 1; 2; 2; 2; 3; 3;

в) 1; 2; 3; 4; 5; 5.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. В таблице приведён возраст сотрудников одного из отделов:

Синицин

Воробьёв

Соловьёв

Чижов

Лебедев

Найдите размах, моду, медиану и среднее арифметическое этого ряда.

2*. Постройте ряд из четырёх чисел, у которого размах равен 2, а среднее арифметическое равно моде.

В а р и а н т 2

1. В таблице приведены количество очков, набранных в чемпионате некоторыми стрелками:

Кузнецов

Иванов

Сидоров

Петров

Николаев

Найдите размах, моду, медиану и среднее арифметическое этого ряда.

2*. Постройте ряд из четырёх чисел, у которого размах равен 2, а среднее арифметическое равно медиане.

IV. Проверка домашнего задания.

№ 1034.

Р е ш е н и е

Среднее арифметическое находим по формуле:

[pic]

[pic] = 3,11.

Среднее арифметическое характеризует уровень наблюдаемых значений, а при известном п = 100 позволяет сразу определить общее число сорных семян во всех пакетах:

3,11 · 100 = 311.

Мода М = 2 показывает, что больше всего пакетов, в которых содержится по 2 семени сорняка.

О т в е т: 3,11; 2.

V. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту учебника.

1. Запись статистической информации в форме простого ряда имеет два наиболее существенных недостатка: громоздкость и труднообозримость (закономерности ряда не бросаются в глаза). В этих случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 5–10) и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. За начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое число, его не превосходящее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого числа к общей численности данных. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу.

Рассмотреть пример со с. 217 учебника.

2. Вводится понятие выборочного исследования и выборочной совокупности (выборки), которая подвергается исследованию.

Репрезентативность выборки рассматривается на примере со с. 218 учебника.

VI. Формирование умений и навыков.

1. № 1035.

Р е ш е н и е

Для построения интервального ряда находим наименьшее и наибольшее значение результатов наблюдения:

хmin = 15, хmax = 39.

Определяем количество частичных интервалов:

[pic] .

Мы увеличим хmax = 39 до х'max = 40, чтобы получить целое k. Так можно сделать, поскольку при этом мы не теряем ни одного наблюдавшееся значение и не допускаем никаких посторонних значений в результаты.

[pic] .

Строим таблицу распределения интервального ряда.

Время выполнения

домашнего задания (мин)

15–20

20–25

25–30

30–35

35–40

Количество учащихся

Поскольку хmin = 15 мин попало на границу первого интервала, и мы включили это значение в интервал, то и во всех случаях попадания значений на границу интервалов будем включать эти значения в правый интервал.

2. В таблице показано распределение призывников района по росту:

155–160

160–165

165–170

170–175

175–180

180–185

185–190

190–195

По данным таблицы составьте новую таблицу с интервалом в 10 см.

Р е ш е н и е

В таблице весь размах значений наблюдаемой величины (от 155 до 195 см) разбит на k = 8 частичных интервалов шириной h = 5 см. Объединим каждые два соседних интервала, начиная с первого, и просуммируем частоты соседних интервалов; получаем новую таблицу распределения с интервалом h1 = 10 см и числом интервалов k = 4:

155–165

165–175

175–185

185–195

3. Имеются следующие данные о распределении участников похода по возрасту:

Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний возраст участников похода.

Р е ш е н и е

Середины интервалов имеют значения 20, 24, 28, 32 (лет).

Объём выборки п = 25 + 18 + 5 + 2 = 50.

Средний возраст участников похода:

Тср = [pic] года.

Полученное значение является приблизительным, так как вместо реальных наблюдавшихся значений мы осредняли середины интервалов ряда распределения.

О т в е т: ≈23 года.

4. № 1037.

Р е ш е н и е

а) Не является, так как примерно половина восьмиклассников – мальчики, у них есть свои особенности, а их не опрашивали.

б) Не является, так как время на выполнение уроков зависит от расписания, которое меняется по дням недели. В четверг готовят уроки на пятницу, а в пятницу могут быть уроки, не требующие большой подготовки.

в) Не является, так как гимназии и лицеи – это меньшая часть общеобразовательных учреждений со специальным отбором учащихся и специфическими особенностями учебных программ и перечня изучаемых предметов. Время на выполнение уроков в гимназиях и лицеях может отличаться от времени, затрачиваемого учениками обычных школ.

О т в е т: а) нет; б) нет; в) нет.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В каком случае таблица частот не является удобной для анализа статистических данных?

– Что из себя представляет интервальный ряд?

– Чем выборочное исследование отличается от сплошного?

– В каком случае выборка является репрезентативной? Приведите примеры.

Домашнее задание: № 1036, № 1038, № 1097.

У р о к 1 (91)
Столбчатые и круговые диаграммы

Цели: рассмотреть возможности наглядного представления статистической информации в виде диаграмм; формировать умения строить столбчатые и круговые диаграммы, характеризующие результаты статистических исследований.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислите:

а) 25 % от 200; г) 0,1 % от 4000;

б) 12 % от 1000; д) 75 % от 800;

в) 50 % от 185; е) 3 % от 160.

2. Заполните пустые квадратики в пропорциях:

а) 360° – 100 %, б) 360° – 100 %, в) 360° – 100 %,

90° – [pic] %; 72° – [pic] %; 54° – [pic] %.

III. Объяснение нового материала.

1. Сообщаем учащимся следующую информацию:

Статистическая информация может быть представлена в различных формах. Учащиеся уже знакомы с такими из них, как:

– простой статистический ряд;

– вариационный (упорядоченный) ряд;

– таблица частот;

– таблица относительных частот;

– интервальный ряд.

Наряду с этими формами представления статистических данных, широко используется графическая форма.

Одним из хорошо известных способов наглядного представления ряда данных является построение столбчатой диаграммы. Столбчатые диаграммы используются тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных в результате статистического исследования.

Рассматриваем пример построения столбчатой диаграммы на с. 222 учебника.

2. Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности данных удобно использовать круговые диаграммы. Исходные данные для построения круговой диаграммы можно брать из таблицы относительных частот. В этом случае круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенным для каждой группы данных.

Рассматриваем пример построения круговой диаграммы со с. 223 учебника. Обращаем внимание на алгоритм вычисления величин центральных углов для секторов.

Замечаем, что круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности. В противном случае иллюстрация получается «засоренной» и её применение малоэффективно.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся приобретают навыки как построения диаграмм, так и интерпретации данных, показанных на диаграмме.

1. Жалобы на опоздание электричек, поступившие в диспетчерскую станцию Жуково в течение недели, позволили составить следующую диаграмму частот по опозданиям за неделю.

[pic]

Определите среднее число опозданий за неделю.

Р е ш е н и е

Найдём по диаграмме частот количество опозданий в каждый из семи дней недели и вычислим их среднее арифметическое х:

х = [pic] = 3 – среднее число опозданий за неделю.

О т в е т: 3.

2. № 1042.

Р е ш е н и е

«5» – 4 ученика;

«4» – 10 учеников;

«3» – 18 учеников;

«2» – 2 ученика.

3. № 1043.

Р е ш е н и е

[pic]

4. № 1045.

Р е ш е н и е

Определяем величину соответствующих углов:

[pic]

5. Совокупный доход семьи из четырёх человек составляет 40 тыс. р. Распределение бюджета происходит следующим образом:

15 % – оплата коммунальных услуг;

45 % – питание;

25 % – одежда;

8 % – развлечение;

7 % – прочие нужды.

Представить данные в виде таблиц частот и относительных частот, а также построить столбчатую и круговую диаграммы распределения бюджета.

Р е ш е н и е

Проверяем: 6 + 18 + 10 + 3,2 + 2,8 = 40 (тыс. р.). Проверяем: 15 + 45 + 25 + 8 + 7 = 100 %.

[pic]

4) Определяем величину соответствующих углов:

[pic]

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы наглядного представления статистической информации существуют?

– Как строится столбчатая диаграмма?

– Что показывает круговая диаграмма? Как вычисляется центральный угол каждого сектора?

– Как соответствуют таблица частот и таблица относительных частот диаграммам?

Домашнее задание.

1. № 1044.

2. Постройте столбчатую диаграмму, показывающую распределение рабочих цеха по тарифным разрядам, которое представлено в следующей таблице:

3. В таблице показано распределение сотрудников отдела по стажу работы: Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение сотрудников отдела по стажу работы.

У р о к 2 (92)
Представление статистических данных
в виде полигона

Цели: рассмотреть возможности наглядного представления статистической информации в виде полигона; формировать умения строить полигон для иллюстрации динамики изменения статистических данных во времени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

В фермерском хозяйстве площади, отведенные под зерновые, распределены следующим образом: под пшеницу – 60 %, под овёс – 12 %, а остальное – под просо и гречиху, причём под просо втрое больше, чем под гречиху. Постройте круговую диаграмму, характеризующую распределение площадей, отведённых под посевы зерновых в этом хозяйстве.

В а р и а н т 2

В фермерском хозяйстве площади, отведённые под зерновые, распределены следующим образом: под пшеницу – 50 %, под овёс – 17 %, а остальное – под просо и гречиху, причём под просо вдвое больше, чем под гречиху. Постройте круговую диаграмму, характеризующую распределение площадей, отведённых под посевы зерновых в этом хозяйстве.

III. Объяснение нового материала.

Сообщаем учащимся следующую информацию:

Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединяя последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном.

Рассматриваем пример на с. 223–224 учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке формируются умения строить полигоны для иллюстрации динамики изменения статистических данных, а также анализировать данные по готовым полигонам.

1. № 1046, № 1047.

В этих упражнениях отрабатывается умение строить полигоны по таблице частот и таблице относительных частот.

Р е ш е н и е

№ 1046.

[pic]

№ 1047.

5 и более

Полигон относительных частот можно строить, выражая значение по оси у (ординаты), как в процентах, так и в частях целого.

[pic]

2. № 1049 (устно).

Р е ш е н и е

а) Во втором и третьем кварталах 1992 г. производство растительного масла снижалось, достигнув в III квартале минимального уровня 120 тыс. т. За IV квартал 1992 г. производство выросло, почти достигнув уровня на начало 1992 г.

В первом квартале 1993 г. рост производства продолжался, достигнув максимального уровня 320 тыс. т. Во втором и третьем кварталах 1993 г. производство снижалось, а в IV квартале росло, превысив к концу 1993 г. уровень на конец 1992 г.

б) Наибольшее падение – во II и III кварталах 1992 г. (на 180 тыс. т).

в) Наибольший прирост – в IV квартале 1992 г. и I квартале 1993 г. (на 200 тыс. т).

О т в е т: а) II–III кв. 1992 г.; в) IV кв. 1992 – I кв. 1993 г.

3. № 1050.

Р е ш е н и е

[pic]

а) За II квартал 2004 г. производство упало до минимального уровня 625 шт., затем в III–IV кварталах 2004 г. и I квартале 2005 г. – росло. Во II и III кварталах 2005 г. производство вновь снижалось, а в IV квартале 2005 г. быстро росло, достигнув максимального уровня 910 шт.

б) Наибольшее увеличение выработки (сразу за два последних квартала) произошло в III и IV кварталах 2004 г. (на 185 шт.).

О т в е т: б) III–IV кв. 2004 г.

V. Повторение изученного материала.

Для подготовки к контрольной работе предложить учащимся для решения следующие упражнения:

Упростить выражение:

а) 0,8 · a^–6 · b⁴ · 5a¹²b^–4;

б) [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic] .

Р е ш е н и е

а) [pic] .

б) [pic]

[pic] .

в) [pic] .

г) [pic] .

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы наглядного представления статистической информации существуют?

– Что иллюстрирует полигон распределения данных? Как он строится?

Домашнее задание.

1. № 1048, № 1051.

2. № 1059, № 1061.

У р о к 3 (93)
Изображение интервальных рядов данных
с помощью гистограммы

Цели: рассмотреть возможности наглядного представления статистической информации в виде гистограммы; формировать умения строить гистограмму, а также анализировать динамику статистических данных по исходной гистограмме.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

На некотором маршруте метрополитена провели исследование пассажиропотока. Для этого каждый час в случайно выбранном вагоне электропоезда на протяжении всего пути считали число пассажиров разных возрастов.

Результаты исследования представлены в следующей таблице:

6 ч

30 мин

7 ч

30 мин

8 ч

30 мин

9 ч

30 мин

10 ч

30 мин

11 ч

30 мин

До 7

7–18

18–30

30–45

45–65

Старше 65

а) Определите час пик – время, когда в вагоне едет максимальное число людей.

б) Найдите время, когда относительная частота возрастной категории от 30 до 45 лет максимальна.

в) Какой процент пассажиров вагона, отправившегося в 11 ч 30 мин, составляют люди в возрасте от 18 до 65 лет?

Р е ш е н и е

а) Чтобы определить час пик, найдём общее количество людей, едущих в вагоне, за каждый час.

6 ч

30 мин

7 ч

30 мин

8 ч

30 мин

9 ч

30 мин

10 ч

30 мин

11 ч

30 мин

Количество людей

126

200

189

148

Из выборки видно, что час пик наступает в 8 ч 30 мин.

б) Сначала найдём относительную частоту указанной возрастной категории за каждый час. Для этого, воспользовавшись исходной таблицей и таблицей из пункта а), вычислим отношение людей данного возраста к общему числу людей в вагоне.

6 ч

30 мин

7 ч

30 мин

8 ч

30 мин

9 ч

30 мин

10 ч

30 мин

11 ч

30 мин

Относительная частота числа людей 30–45 лет, (%)

45 %

53 %

47 %

41 %

45 %

33 %

Таким образом, искомое время 7 ч 30 мин.

в) В вагоне, отправляющемся в 11 ч 30 мин, находятся 15 + 30 + 20 = 65 пассажиров в возрасте от 18 до 65 лет.

Они составляют [pic] пассажиров вагона.

III. Объяснение нового материала.

Сообщаем учащимся, что интервальные ряды изображают с помощью гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

Рассматриваем пример построения гистограммы на с. 224–225 учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 1052.

Р е ш е н и е

0–1

1–2

2–3

3–4

[pic]

2. № 1054 (устно).

Р е ш е н и е

а) Рабочих в возрасте от 18 до 23 лет – 12 человек (высота первого столбика гистограммы).

б) Наибольшее число рабочих относится к возрастной группе от 33 до 38 лет (самый высокий столбик).

в) Общее число рабочих цеха находим как сумму высот всех столбиков диаграммы:

12 + 14 + 20 + 22 + 18 + 16 + 12 + 4 = 118 чел.

О т в е т: а) 17 чел.; б) 33–38 лет; в) 118 чел.

3. № 1055.

Р е ш е н и е

20–22

22–24

24–26

26–28

28–30

30–32

20–23

23–26

26–29

29–32

[pic]

Гистограммы имеют одинаковый диапазон значений по оси абсцисс (от 20 до 32 кг) и одинаковую сумму высот всех столбцов (30 для обеих гистограмм).

Гистограммы различаются количеством столбцов, их шириной и высотой.

V. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Имеются следующие данные о времени, которое токари цеха затрачивали на обработку одной детали:

Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.

В а р и а н т 2

Имеются следующие данные о распределении участников похода по возрасту:

Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы наглядного представления статистической информации вам известны?

– Объясните, в чём состоит каждый из этих способов.

– Что называется гистограммой?

– Как изображается на гистограмме общий объём исследуемой совокупности?

Домашнее задание: № 1053, № 1056, № 1087 (а, в), № 1091.

У р о к 94
Контрольная работа № 9

В а р и а н т 1

1. Найдите значение выражения:

а) 4¹¹ · 4^–9; б) 6^–5 : 6^–3; в) (2^–2)³.

2. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

3. Преобразуйте выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Вычислите: [pic] .

5. Представьте произведение (4,6 · 10⁴) · (2,5 · 10^–6) в стандартном виде числа.

6. Представьте выражение (a^–1 + b^–1)(a + b)^–1 в виде рациональной дроби.

В а р и а н т 2

1. Найдите значение выражения:

а) 5^–4 · 5²; б) 12^–3 : 12^–4; в) (3^–1)^–3.

2. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

3. Преобразуйте выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Вычислите: [pic] .

5. Представьте произведение (3,5 · 10^–5) · (6,4 · 10²) в стандартном виде числа.

6. Представьте выражение [pic] в виде рациональной дроби.

В а р и а н т 3

1. Найдите значение выражения:

а) 6¹⁵ · 6^–13; б) 4^–6 : 4^–3; в) (5^–1)³.

2. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

3. Преобразуйте выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Вычислите: [pic] .

5. Представьте произведение (6,8 · 10⁶) · (4,5 · 10^–8) в стандартном виде числа.

6. Представьте выражение [pic] в виде рациональной дроби.

В а р и а н т 4

1. Найдите значение выражения:

а) 5²¹ · 5^–23; б) 3^–8 : 3^–9; в) (2²)^–3.

2. Упростите выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

3. Преобразуйте выражение:

а) [pic] ; б) [pic] .

4. Вычислите: [pic] .

5. Представьте произведение (2,5 · 10⁷) · (6,2 · 10^–10) в стандартном виде числа.

6. Представьте выражение [pic] в виде рациональной дроби.

Р е к о м е н д а ц и и п о о ц е н и в а н и ю:

Задания 1 и 2 соответствуют уровню обязательной подготовки учащихся.

Для получения отметки «3» достаточно выполнить любые 2 задания. Для получения отметки «5» необходимо решить любые 5 заданий.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) 4¹¹ · 4^–9 = 4^{11 – 9} = 4² = 16;

б) [pic] ;

в) [pic] .

О т в е т: а) 16; б) [pic] ; в) [pic] .

2. а) [pic] ;

б) [pic] .

О т в е т: а) х²; б) [pic] .

3. а) [pic] ;

б) [pic] .

О т в е т: а) [pic] ; б) [pic] .

4. [pic] .

О т в е т: 3.

5. (4,6 · 10⁴) · (2,5 · 10^–6) =4,6 · 2,5 · 10^{4 – 6} = 11,5 · 10^–2 =

= 1,15 · 10 · 10^–2 = 1,15 · 10^–1.

О т в е т: 1,15 · 10^–1.

6. [pic] .

О т в е т: [pic] .

В а р и а н т 2

1. а) 5^–4 · 5² = [pic] ;

б) 12^–3 : 12^–4 = 12^{–3 + 4} = 12;

в) (3^–1)^–3 = 3^{(–1) · (–3)} = 3³ = 27.

О т в е т: а) 0,04; б) 12; в) 27.

2. а) [pic] ;

б) [pic] .

О т в е т: а) а²; б) 20ху.

3. а) [pic] ;

б) [pic]

[pic] .

О т в е т: а) [pic] ; б) [pic] .

4. [pic] .

О т в е т: 512.

5. (3,5 · 10^–5) · (6,4 · 10²) =3,5 · 6,4 · 10^{–5 + 2} = 22,4 · 10^–3 =

= 2,24 · 10 · 10^–3 = 2,24 · 10^–2.

О т в е т: 2,24 · 10^–2.

6. [pic] [pic] .

О т в е т: [pic] .

В а р и а н т 3

1. а) 6¹⁵ · 6^–13 = 6^{15 – 13} = 6² = 36;

б) [pic] ;

в) [pic] .

О т в е т: а) 36; б) [pic] ; в) [pic] .

2. а) [pic] ;

б) [pic] .

О т в е т: а) х; б) 6ab².

3. а) [pic] [pic] ;

б) [pic]

[pic] .

О т в е т: а) [pic] ; б) [pic] .

4. [pic] [pic] .

О т в е т: 0,2.

5. (6,8 · 10⁶) · (4,5 · 10^–8) = (6,8 · 4,5) · 10^{6 – 8} = 30,6 · 10^–2 =

= 3,06 · 10 · 10^–2 = 3,06 · 10^–1.

О т в е т: 3,06 · 10^–1.

6. [pic]

[pic] .

О т в е т: [pic] .

В а р и а н т 4

1. а) 5²¹ · 5^–23 = [pic] ;

б) 3^–8 : 3^–9 = 3^{–8 + 9} = 3;

в) (2²)^–3 = [pic] .

О т в е т: а) 0,04; б) 3; в) [pic] .

2. а) [pic] ;

б) [pic] [pic] .

О т в е т: а) а³; б) [pic] .

3. а) [pic] [pic] ;

б) [pic]

[pic] .

О т в е т: а) 16х⁴у⁶; б) [pic] .

4. [pic] [pic] .

О т в е т: 64.

5 (2,5 · 10⁷) · (6,2 · 10^–10) = (2,5 · 6,2) · 10^{7 – 10} = 15,5 · 10^–3 =

= 1,55 · 10 · 10^–3 = 1,55 · 10^–2.

О т в е т: 1,55 · 10^–2.

6. [pic]

[pic] .

О т в е т: [pic] .

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ 11 ЧАСОВ

У р о к 102
Итоговая контрольная работа

В а р и а н т 1

1. Решите систему неравенств:

[pic]

2. Упростите выражение: [pic] .

3. Упростите выражение: [pic] .

4. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

5. При каких значениях х функция y = [pic] + 1 принимает положительные значения?

В а р и а н т 2

1. Решите систему неравенств:

[pic]

2. Упростите выражение: [pic] .

3. Упростите выражение: [pic] .

4. Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Какова была скорость поезда по расписанию?

5. При каких значениях х функция y = [pic] – 2 принимает отрицательные значения?

В а р и а н т 3

1. Решите неравенство: 4(2х – 1) – 3(3х + 2) > 1.

2. Упростите выражение: [pic] .

3. Упростите выражение: [pic] .

4. «Ракета» на подводных крыльях имеет скорость на 50 км/ч большую, чем скорость теплохода, и поэтому путь в 210 км она прошла на 7 ч 30 мин скорее, чем теплоход. Найдите скорость «Ракеты».

5. При каких значениях х функция y = [pic] + 4 принимает отрицательные значения?

В а р и а н т 4

1. Решите неравенство: 9(х – 2) – 3(2х + 1) > 5х.

2. Упростите выражение: [pic] .

3. Упростите выражение: [pic] .

4. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за ним вышла из пункта А моторная лодка, которая догнала плот на расстоянии 20 км от А. С какой скоростью двигался плот, если известно, что моторная лодка шла быстрее его на 12 км/ч?

5. При каких значениях х функция y = [pic] + 1 принимает положительные значения?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. [pic]

[pic]

О т в е т: [pic] .

2. [pic]

[pic] .

3. 1) [pic]

[pic] ;

2) [pic] .

О т в е т: [pic] .

4. Пусть скорость первого автомобиля х км/ч, тогда скорость второго автомобиля (х – 10) км/ч.

Время, затраченное первым автомобилем на прохождение пути в 560 км, равно [pic] ч, а время, затраченное вторым автомобилем на похождение этого же пути, равно [pic] ч.

Первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Получим уравнение:

[pic] – [pic] = 1.

Решим это уравнение:

560х – 560 (х – 10) = х (х – 10);

560х – 560х + 5600 = х² – 10х;

х² – 10х – 5600 = 0;

х1 = –70 (не подходит по смыслу задачи);

х2 = 80.

Получим, что скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, а скорость второго 70 км/ч.

О т в е т: 80 км/ч и 70 км/ч.

5. Чтобы узнать все значения х, при которых функция y = [pic] + 1 принимает положительные значения, нужно решить неравенство:

[pic] + 1 > 0;

[pic] > –1;

8 – х > –4;

–х > –12;

х < 12.

О т в е т: при х < 12.

В а р и а н т 2

1. [pic]

[pic]

О т в е т: (8,5; 25).

2. [pic]

[pic] .

3. 1) [pic] [pic]

[pic] .

2) [pic] .

О т в е т: [pic] .

4. Пусть х км/ч – скорость поезда по расписанию, тогда (х + 10) км/ч – его скорость на перегоне в 80 км. Если бы на перегоне в 80 км поезд шёл по расписанию, то он затратил бы на это [pic] ч. В реальности этот перегон он преодолел за [pic] ч. Отрезок пути, равный 80 км, поезд в реальности прошёл на 16 мин (или [pic] ч) быстрее, чем предполагал по расписанию.

Получим уравнение:

[pic] – [pic] = [pic] .

Решим это уравнение:

15 · 80(х + 10) – 15 · 80х = 4х(х + 10);

15 · 80х + 15 · 80 · 10 – 15 · 80х = 4х² + 40х;

4х² + 40х – 15 · 80 · 10 = 0;

х² + 10х – 3000 = 0;

х1 = –60 (не подходит по смыслу задачи);

х2 = 50.

О т в е т: 50 км/ч.

5. [pic] – 2 < 0;

6 – х – 10 < 0;

– х < 4;

х > –4.

О т в е т: х > –4.

В а р и а н т 3

1. 4(2х – 1) – 3(3х + 2) > 1;

8х – 4 – 9х – 6 > 1;

–х > 11;

х < –11.

О т в е т: (–∞; –11).

2. [pic]

[pic] .

3. 1) [pic]

[pic] ;

2) [pic] .

О т в е т: [pic] .

4. Пусть скорость «Ракеты» х км/ч, тогда скорость теплохода (х – 50) км/ч. Путь в 210 км «Ракета» проходит за [pic] ч, а теплоход – за [pic] ч. По условию этот путь «Ракета» проходит быстрее теплохода на 7,5 ч.

Получим уравнение:

[pic] – [pic] = 7,5.

Решим это уравнение:

210х – 210 (х – 50) = 7,5х(х – 50);

210х – 210х + 210 · 50 = 7,5х² – 7,5 · 50х;

7,5х² – 7,5 · 50х – 210 · 50 = 0;

15х² – 15 · 50х – 210 · 100 = 0;

х² – 50х – 1400 = 0;

х1 = –20 (не подходит по смыслу задачи);

х2 = 70.

О т в е т: 70 км/ч.

5. [pic] + 4 < 0;

х – 3 + 12 < 0;

х < –9.

О т в е т: х < –9.

В а р и а н т 4

1. 9(х – 2) – 3(2х + 1) > 5х;

9х – 18 – 6х – 3 > 5х;

3х – 5х > 21;

–2х > 21;

х < – 10,5.

О т в е т: (–∞; –10,5).

2. [pic]

[pic] .

3. 1) [pic]

[pic] ;

2) [pic] .

О т в е т: [pic] .

4. Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда моторная лодка шла со скоростью (12 + х) км/ч. Расстояние в 20 км плот прошёл за [pic] ч, а моторная лодка – за [pic] ч. Лодка была в пути на 5 [pic] ч меньше, чем плот.

Получим уравнение:

[pic] – [pic] = 5 [pic] .

Решим это уравнение:

[pic] ;

60 · 12 = 16х (12 + х);

15 · 3 = х (12 + х);

х² + 12х – 45 = 0;

х1 = –15 (не подходит по смыслу задачи);

х2 = 3.

О т в е т: 3 км/ч.

5. [pic] + 1 > 0;

12 – х + 6 > 0;

–х > –18;

х < 18.

О т в е т: х < 18.

Литература

1. Алгебра : учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова ; под ред. С. А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2009.

2. Макарычев. Ю. Н. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, Л. М. Короткова. – М. : Просвещение, 2008.

3. Математические диктанты для 5–9 классов : кн. для учителя / Е. Б. Арутюнян, М. Б. Волович, Ю. А. Глазков, Г. Г. Левитас. – М. : Просвещение, 1991. – 80 с.

4. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7–9 классы / авт.-сост. В. Н. Студенецкая. – 2 изд., испр. – Волго-град : Учитель, 2006. – 428 с.

5. Ткачева, М. В. Элементы стохастики в курсе математики 7–9 классов основной школы / М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова // Математика в школе. – 2003. – № 3. – С. 36–50.