Методическая разработка урока по математике Показательные неравенства СПО

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

[pic]

.

Методическая разработка урока

по общеобразовательной дисциплине

«Алгебра и начала математического анализа; геометрия»

на тему

Показательные неравенства

Разработала: преподаватель математики

Клещина Наталья Вячеславовна

Липецк 2016

Пояснительная записка

Показательная функция, как сказал Пьер Кури не перестает нас удивлять! Ее применение велико, только за последние годы из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области математики, биологии, физики с использованием показательной функции 6 ученых.

В структуре изучаемой дисциплины «Алгебра и начала математического анализа; геометрия» выделяется следующий раздел: «Корни, степени и логарифмы». Содержание раздела «Корни, степени и логарифмы» включает тему урока «Показательные неравенства» .

В результате изучения данной темы студент должен

Знать:

-определение показательной функции и ее свойств;

-виды графиков показательной функции с разным показателем;

-определение показательного неравенства;

Уметь:

-решать показательные неравенства;

-применять методы решения показательных неравенств при решении задач;

-определять основные свойства показательной функции, иллюстрировать их на графиках;

-строить графическое решение показательного неравенства;

-решать прикладные задачи с применением показательных неравенств;

Тема урока : Показательные неравенства

Образовательная цель: способствовать формированию у студентов предметных компетенций:

- формирование познавательных УУД ;

-научить решать показательные неравенства различными методами;

-использовать свойства показательной функции при графическом решения

неравенств;

Развивающая цель: способствовать развитию у студентов метапредметных компетенций:

-коммуникативных – формирование мыслительной, речевой деятельности, пространственного воображения, навыка сотрудничества;

-регулятивных – умение управлять собственной деятельностью.

Воспитательная цель: способствовать формированию у студентов личностных компетенций:

-смыслообразование –  умение субъектного целеполагания;

-самоопределение – самооценка.

Тип урока: комбинированный урок

Вид урока: лекция + практическая работа

Методические приемы:

-самостоятельная работа (тест);

-практический- решение математических и прикладных задач.

Оборудование и наглядные средства обучения: компьютерный класс с ОС Windows 8 и пакетом программ Microsoft Office 2010 (10 ПК), мультимедийный проектор, интерактивная доска SmartBoard, программа Notebook, колонки, демонстрационный и раздаточный материал, презентация в Notebook, в Power Point.

Методическая цель: способы активизации мыслительной деятельности студентов

Ход урока:

I.Организационный момент: Подготовка учащихся к уроку

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)

II. Сообщение темы и целей урока.

На уроке будут рассмотрены новые для обучающихся неравенства - показательные, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по [link] – сайт издательства «Интеллект-Центр», -тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.

Приложение 1.

Методы решения произвольных показательных неравенств .

Решение большинства показательных неравенств сводится к решению простейших показательных неравенств.

А. Метод уравнивания оснований.

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: [pic]

Решение.

О.О.: х [pic]

Так как 0,0625= [pic] , тогда данное неравенство можно записать в виде: [pic] .

Показательная функция y= [pic] ( 0 [pic] является убывающей на R, значит меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента, то есть

[pic] , но 4= [pic] , тогда [pic] , но показательная функция y= [pic] (2 [pic] 1) является возрастающей на R, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. В результате этих рассуждений получим и решим следующее неравенство: [pic] .

[pic] . [pic] .

Ответ: [pic] .

Пример 2. Решите неравенство: [pic] .

Решение.

О.О.: х [pic]

[pic]

[pic]

Ответ: [pic] .

В. Метод решения, основанный на разложении на множители.

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: х [pic]

Решение.

О.О.: х [pic] R

х [pic] х [pic] .

Ответ: [pic] .

Пример 2. Решите неравенство: 3 [pic] .

Решение.

3 [pic] [pic] 3 [pic] +( [pic] + [pic]

Ответ: [pic] .

С. Метод введения вспомогательной переменной.

С помощью подстановки [pic] , где t [pic] , неравенство приводится либо к квадратному неравенству относительно переменной t, либо к какому-нибудь другому неравенству относительно переменной t, решается относительно t , а затем ищется значение переменной х.

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: [pic] .

Решение.

[pic] О.О.: [pic]

Пусть [pic] , [pic] [pic] .

Вернемся к переменной х и получим два неравенства:

1) [pic] .

[pic] решений нет, так как [pic] для [pic] .

Ответ: [pic] .

Пример 2. Решите неравенство: 4 [pic] .

Решение.

4 [pic] + 3 [pic]

[pic] . Пусть [pic] , тогда 4 [pic]

Выделим из многочлена [pic] квадрат двучлена:

[pic] = [pic] , то есть [pic] при любом значении t [pic] Таким образом, дробь

[pic] [pic] если t [pic] , но t= [pic] , тогда [pic] .

Ответ: [pic] .

D. Неравенства, левая часть которых имеет вид А [pic] B [pic] ,

[pic]

Неравенства такого типа решаются с помощью деления обеих частей на

[pic] .

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: 3 [pic] .

Решение.

3 [pic] .

Разделим обе части последнего неравенства на [pic] :

3 [pic] Введем новую переменную t = [pic] , t [pic]

3 [pic] . Вернемся к переменной х:

[pic] .

Ответ: [pic] .

Пример 2. Решите неравенство: 9 [pic] .

Решение.

9 [pic] .

Ответ: [pic] .

Е. Графический способ решения.

При решении неравенств графическим способом необходимо рассмотреть две функции, построить их графики в одной системе координат и выяснить при каких значениях аргумента значения одной функции больше (меньше) значений другой функции. Найденные значения аргумента и есть решения неравенства.

Примеры.

Пример 1. Решите неравенство: [pic]

Решение.

Чтобы решить данное неравенство графическим способом, рассмотрим две функции: f(x)= [pic] и g(x)= 11-х, D(f)=R, D(g)=R.

1.Функция f(x)= [pic] - показательная функция по основанию «3». Для построения графика зададим таблицу ее значений:

2. Функция g(x)= 11-х - линейная функция, ее графиком является прямая.

3. Построим графики этих функций в одной системе координат и выясним , при каких значениях переменной х выполнено неравенство: f(x) [pic] g(x).

[pic]

Рассмотрим два интервала: [pic] :

если х [pic] , то f(x) [pic] , f(x) [pic] Значит, решением неравенства [pic] являются значения х, принадлежащие промежутку [pic] .

Ответ: [pic] .

Пример 2. Решите неравенство: [pic] .

Решение.

Чтобы решить данное неравенство графическим способом, рассмотрим две функции: f(x) = [pic] и g(x) = [pic] , D(f)=R, D(g)= [pic]

1.Функция f(x) = [pic] - показательная функция с основанием [pic] . Для построения графика зададим таблицу ее значений:

2. Функция g(x)= [pic] [pic] – функция обратная пропорциональность, ее графиком является гипербола , расположенная во 2-й и 4-й координатных четвертях.

3. Построим графики этих функций в одной системе координат и выясним , при каких значениях переменной х выполнено неравенство: f(x) [pic] g(x).

[pic]

Рассмотрим три интервала: [pic] и [pic] :

если х [pic] , то f(x) [pic] , то f(x) [pic] Значит, решением неравенства [pic] являются значения х, принадлежащие промежутку [pic]

Ответ: [pic]

Приложения 2.

Тест 1. Показательные неравенства.

Вариант 1.

Вариант 2.

1.Найти наибольшее целое решение неравенства

1. Найти наименьшее целое решение неравенства