Теория по применению производной для исследования функции
Всегда применяем формулу k = tga = f’().
1 тип задач. Дан график функции и касательная, проведенная к нему в точке .
[pic]
Алгоритм решения
На графике находим прямоугольный треугольник, в котором касательная является гипотенузой.
Определяем вид угла (острый или тупой) между касательной и положительным направлением оси Ох (если угол острый, то тангенс – положительный, если угол тупой, то тангенс – отрицательный).
Вычисляем тангенс этого угла (тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету).
Это и есть значение производной в данной точке.
[pic]
2 тип задач. Дан график функции.
Всегда применяем формулу k = tga = f’().
[pic]
Алгоритм решения
Касательная параллельна прямой у = 0х – 5, значит их угловые коэффициенты равны к = 0, tgα = 0, α = 0, касательная параллельна оси Ох в точках максимума и минимума функции.
Находим количество этих точек. Их 7.
[pic]
[pic]
Алгоритм решения
Прямая параллельна касательной у=6х+9, значит их угловые коэффициенты равны к = 6.
Находим производную у’.
Решаем уравнение у’= 6.
Решение этого уравнения и будет ответом.
3 тип задач. Дан график производной.
Всегда применяем формулу k = tga = ƭ’().
[pic]
Алгоритм решения
Касательная параллельна прямой у = -х – 3, значит их угловые коэффициенты равны к = -1.
Строим прямую у = -1, пересекающую график производной.
Находим количество точек их пересечения. Их 3.
[pic]
Алгоритм решения
Если f’ > 0 на [а;в], то f(x) возрастает, если f’< 0 на[а;в], то f(x) убывает на этом отрезке.
f(x) возрастает на (-4;-3], [-1;3], [5;9]. Находим их длины (количество клеток).
Ответ: 4.
[pic]
Алгоритм решения
На графике производной точки минимума и максимума расположены на оси Ох.
Если производная меняет знак с (-) на (+), то это точка минимума, если производная меняет знак с (+) на (-), то это точка максимума.
Это -3, 2. Их количество 2.
[pic]
Алгоритм решения
На [-2;3] f’(х) > 0, значит f(х) возрастает и поэтому свое наименьшее значение она принимает в левом конце отрезка при х = -2.
Ответ: - 2.
[pic]
Алгоритм решения
На [-6;-2] f’(х)0, значит f(х) убывает и поэтому свое наибольшее значение она принимает в левом конце отрезка при х = -6.
Ответ: - 6.
