Содержание
Введение
Сельская школа XIX века. Идет урок арифметики. У фигуры учителя есть реальный прототип — Сергей Александрович Рачинский, ботаник и математик, профессор Московского университета. Сельские школьники решают очень интересный пример. Видно, что он дается им непросто. На картине над задачей думают 11 учеников, но похоже, что только один мальчик догадался, как решать этот пример в уме, и тихо говорит свой ответ на ухо педагогу. Полное название знаменитой картины: «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского». Это картина русского художника Николая Петровича Богданова-Бельского была написана в 1895 году, а сейчас висит в Третьяковской галерее. Николай Петрович посвятил эту картину своему школьному учителю Сергею Александровичу Рачинскому, который и изображен на ней в компании своих учеников. Богданов-Бельский очень хорошо знал героев своей картины, так как когда-то сам был в их ситуации. Ему посчастливилось попасть в школу известного русского педагога профессора С.А. Рачинского, который заметил талант мальчика и помог ему получить художественное образование. (Приложение 1)
Умение считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, не смотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него. Возможность обходиться без гаджетов и в нужный момент решить поставленную арифметическую задачу – это не единственное применение данного навыка. Кроме того, приемы устного счета позволят вам научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях.
В школе каждый человек учит таблицу умножения, затем постигает азы умножения столбиком на бумаге. Самые сообразительные и способные могут считать в уме, перемножая многозначные числа. Но признайтесь честно, кто сейчас сможет умножить двести сорок один на сто двадцать пять?
Доступность техники расслабляет наш мозг, и заставить его шевелиться является большой проблемой у большинства обычных людей.
Мы хотим поделиться с вами интересными методами быстрого умножения и деления многозначных чисел на бумаге без использования калькулятора.
Предмет исследования: Алгоритмы счета.
Объект исследования: Процесс вычисления.
Цель работы: Изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.
Задачи:
1)Систематизировать известные приемы устного счета;
2)Изучить историю возникновения счета;
4)Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.
Гипотеза: Если использовать нестандартные приемы вычислений, то скорость вычислений увеличивается, а количество ошибок уменьшается
Методы исследования:
1)Поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
2)Практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
3)Анкетирование;
4)Анализ полученных в ходе исследования данных.
Глава 1.Теоретические аспекты исследования
1.1. Зачем и когда возникла необходимость считать
Трудно сказать, кто и когда изобрел счет. Даже не зная чисел, люди уже пытались считать. Начало счета и измерений ученые находят уже у первобытных народов. Очевидно то, что счет возник из практических потребностей, ведь на очень ранней ступени развития у человека возникла необходимость подсчитывать количество добычи, урожая, поголовья и стоимость стада, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счёт времени. Древнейшие меры измерений связаны с человеческим телом: шаг, локоть, фут (ступня). Сначала люди научились использовать для счета пальцы рук, так зародилась, используемая и ныне, десятичная система счисления, в основу которой лег десяток (количество пальцев рук), и измерять длину. А так как измерение предполагает умение считать, то возникла необходимость возникновения приемов вычислений.
Если нашим предкам, обитавшим в пещерах и носившим шкуры, нужно было поменяться чем-либо с соседним племенем, они поступали просто: расчищали площадку и выкладывали, например, наконечник стрелы. Рядом ложилась рыба или горсть орехов. И так до тех пор, пока не заканчивался один из обменных товаров, или глава "торговой миссии" не решал, что уже хватит. Примитивно, но по-своему очень удобно: и не запутаешься, и не обманут.
С освоением скотоводства задачи усложнились. Большое стадо нужно было как-то считать, чтобы знать, все ли козы или коровы на месте. "Счетной машиной" неграмотных, но умных пастухов стала долбленая тыква с камешками. Как только животное покидало загон, пастух клал в тыкву камешек. Вечером стадо возвращалось, и пастух вынимал по камешку с каждым входившим в загон животным. Если тыква пустела, он знал, что со стадом все в порядке. Если оставались камешки - шел искать потерю.
Когда появились цифры, дело пошло веселее. Хотя еще долго у наших предков в ходу было лишь три числительных: "один", "пара" и "много".
Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или другое решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учёбы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее, калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой, и бывает достаточно определить лишь примерный результат.
Таким образом, счёт в уме (устные вычисления) является самым древним и простым способом вычислений.
1.2."Компьютер" каменного века
Абак - это греческое слово, переводится оно, как счетная доска. Простейшая форма абака действительно представляла собой доску. На ней острой палочкой проводились линии, и какие-нибудь предметы, например камешки или палочки, размещались в получившихся колонках по позиционному принципу, а чтобы они не скатывались, доска посыпалась слоем песка или пыли. В V в. до н. э. абак получил широкое распространение в Греции и Египте. В древнем Риме употреблялся такой же абак, как в Греции, а иногда применялись и более усовершенствованные его виды. Римский абак представляет собой металлическую доску с девятью желобками. Вдоль них могут передвигаться жетоны, которые играют роль камешков, употреблявшихся в греческом абаке. С давних времен в Китае использовался счетный прибор Суан-пан (китайская разновидность абака), по конструкции напоминающий современные русские торговые счеты. Он состоит из укрепленных на доске параллельных веревок, на каждой из которых надето пять косточек, причем последняя имеет другой цвет и означает 5 единиц. Японский соробон происходит от китайского Суан-пана, который был завезен в Японию в XV-XVI в. в. Русские счеты появились на рубеже XVI- XVII в. в. В средневековой Европе получили распространение два типа абака. Один из них описал в своей книге французский ученый монах Герберт. Другой тип абака начал использоваться с конца XVв. под названием счет на линиях.
Вывод: Современные вычислительные устройства имеют малые размеры и широкий набор операций в отличие от абака.
1.3.Приемы быстрого счета: магия, доступная всем
1.3.1.Умножение на пальцах
Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10.(Приложение 2) Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно). Например, Для начала положим свои руки на стол и мысленно пронумеруем пальчики слева направо от 1 до 10. Чтобы выполнить действие умножения, допустим 9 х 3 = ?, загибаем третий слева пальчик. Всё! Ответ готов: оставшиеся не загнутыми пальчики слева образуют количество десятков в ответе, а не загнутые справа — количество единиц. Считаем, и говорим ответ: 27! (Приложение 3)
Каждый вспомнит, как трудно заучивать наизусть таблицу умножения. Между тем эту работу можно существенно облегчить, если воспользоваться одним старым способом вычисления на пальцах. Вот как описывает его Магницкий на примере вычисления умножения семь на семь: Загнем на левой руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5. В рассмотренном примере на каждой из рук будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества не загнутых, то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения (в дано примере 4 десятка и 9 единиц). Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больших, чем 5.
Вывод: Способы умножения на пальцах просты и удобны для вычислений, так как пальцы всегда при нас.
1.3.2. Умножение с помощью формул сокращенного умножения
Часто в вычислительных примерах используются формулы сокращённого умножения и деления. Поэтому очень важно знать эти формулы, уметь читать их как слева направо, так и справа налево, видеть их в математических выражениях.
(квадрат суммы);
(квадрат разности);
(куб суммы);
(куб разности);
(разность квадратов);
(сумма кубов);
(разность кубов).
Пример 1. Вычислить, применяя формулу
а)
б)
в)
Пример 2. Вычислить, применяя формулу
а)
б)
в)
[link]
Приложения
Приложение 1
«Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского» картина русского художника Николая Петровича Богданова-Бельского
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4.
Тренажёр.
Решите самостоятельно
32∙11= 78∙11=
115∙11=
641∙11=
25∙111=
1294∙111=
32∙101=
48∙101=
56∙101=
324∙1001=
648∙1001=
999∙1001=
68∙5=
17∙50=
138∙5=
24∙25=
37∙25=
348∙25=
42∙125=
348∙125=
98∙97=
95∙89=
93∙87=
987∙983=
Приложение 5
Интересные результаты:
1 х 1 = 1
11 х 11 = 121
111 х 111 = 12321
1111 х 1111 = 1234321
1 х 9 + 2 = 11
12 х 9 + 3 = 111
123 х 9 + 4 = 1111
1234 х 9 + 5 = 11111
12345 х 9 + 6 = 111111
123456 х 9 + 7 = 1111111
1234567 х 9 + 8 = 11111111
12345678 х 9 + 9 = 111111111
123456789 х 9 + 10 = 1111111111
9 х 9 + 7 = 88
98 х 9 + 6 = 888
987 х 9 + 5 = 8888
9876 х 9 + 4 = 88888
98765 х 9 + 3 = 888888
987654 х 9 + 2 = 8888888
9876543 х 9 + 1 = 88888888
98765432 х 9 + 0 = 888888888
1 х 8 + 1 = 9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 98765432
