Урок на тему:
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
Цель: доказать признак скрещивающихся прямых, теорему о проведении через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.
Ход урока
I. Работа над ошибками.
II. Объяснение нового материала. Вспомнить различные случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
Рассмотреть различные пары скрещивающихся прямых на моделях многоугольников, наблюдая факт, зафиксированный в признаке скрещивающихся прямых.
Например, ABCDA1B1C1D1 – куб. АА1 и DC – скрещивающиеся ребра. В каких плоскостях лежит прямая CD? Как располагается прямая АА1 по отношению к этим плоскостям? [pic]
ABCA1B1C1 – призма. ВВ1 и А1С1 – скрещивающиеся ребра. В каких плоскостях лежит прямая ВВ1? Как располагается прямая А1С1 по отношению к этим плоскостям?
[pic]
АBCD – пирамида. Рассуждаем аналогично. Наблюдаем: прямые являются скрещивающимися, если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой.
Если учащиеся упустили выделенный в формулировке факт, то привести контрпример – пересекающиеся прямые.
Доказать признак скрещивающихся прямых.
Для «открытия» учащимися факта второй теоремы опять обратиться к рассмотрению моделей, каждый раз отвечая на вопросы: назовите плоскость, проходящую через одну из скрещивающихся прямых параллельно другой прямой? Сколько таких плоскостей?
При рассмотрении третьей модели должна возникнуть проблема – можно ли через одну из скрещивающихся прямых построить плоскость, параллельную другой прямой? Учащимся предлагается построить такую плоскость.
Дано: AB [pic] CD. Построить α : АВ [pic] α, СD || α.
Анализ
Предположим, что плоскость α построена. Тогда в ней найдется какая-либо прямая MN, параллельная прямой CD. Прямые АВ и MN пересекаются и однозначно определяют плоскость α.
Построение
1. Построить MN [pic] AB, MN || CD. [pic]
2. (MN, AB) ≡ α.
3. α – единственная.
Таким образом, мы доказали теорему, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
III. Решение задач.
№ 34 (решать устно, требовать, чтобы учащиеся проговаривали формулировки признаков).
№ 36.
Дано: a || b, c [pic] a, c [pic] b. Доказать, что b [pic] c.
Чтобы утверждать, что b и c – скрещивающиеся прямые, что надо доказать? (Что одна из них лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость.)
Через какие прямые мы можем провести плоскость? (Через пересекающиеся, через параллельные.)
Если мы проведем плоскость α через пересекающиеся прямые а и с, то прямая b, будет параллельна плоскости α. То есть нужно провести плоскость α через параллельные прямые а и b.
1. (a, b) ≡ α.
2. [pic]
3. [pic] (по признаку).
Домашнее задание: теория (п. 7), № 35 (воспользуйтесь методом от противного), № 37.
