Рабочая программа по элективному учебному предмету Решение уравнений и неравенств с параметром

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 4 им. Ю.А. Гагарина»

МО «Котлас»

Рабочая программа

по элективному учебному предмету

«Решение уравнений и неравенств с параметрами»

10 класс

2016 - 2017 учебный год

Хомутникова Елена Владимировна

Принято

на заседании ШМО

учителей точных наук

протокол от «____» ________2016 г. № ____

руководитель ШМО _______Зорин А.В.

п. Вычегодский

Пояснительная записка

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения математики и подготовки учащихся к продолжению образования.

Данный элективный учебный предмет представляется особенно актуальным и совре­менным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений.

Структура рабочей программы

1) Титульный лист.

2) Пояснительная записка.

3) Общая характеристика элективного учебного предмета.

4) Описание места элективного учебного предмета в учебном плане.

5) Содержание учебного предмета.

6) Тематическое планирование.

7) Планируемые результаты изучения учебного предмета.

8) Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательного процесса.

Общая характеристика элективного учебного предмета

Решение уравнений, содержа­щих параметры,  один из труднейших разделов школьного кур­са. Трудности обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга. В процессе решения задач с параметрами приобретаются определенные умения исследовательской работы. Запланированный данной программой для усвоения учащи­мися объем знаний необходим для овладения ими методами ре­шения некоторых классов заданий с параметрами, для обобще­ния теоретических знаний. Так же необходимо хорошо знать свойства функций и выделять те, которые нужно применять в конкретном случае.

Целью данного предмета является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов их решения, а также формирование логического мышления и мате­матической культуры у школьников.

Задачи:

• овладение системой знаний об уравнениях с параметром как о семействе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;

• овладение аналитическим и графическими способами решения задач с параметром;

• приобретение исследовательских навыков в решении задач с параметрами;

• формированию логического мышления учащихся;

• вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу;

• подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ и поступлению в ВУЗы.

Курс имеет общеобразова­тельное значение, способствует развитию логического мышле­ния учащихся. Изу­чение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

Формы работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная.

Методы работы: исследовательский и частично-поисковый.

Виды деятельности на занятиях: лекция, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:

• принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;

• принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;

• принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;

• принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.

• принцип последовательного нарастания сложности.

В результате учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с па­раметрами, знать некоторые методы решения заданий с парамет­рами (по определению, по свойствам функций, графически и т. д.)

Содержание данного элективного учебного предмета предполагает работу с различными ис­точниками математической литературы. Содержание каждой темы включает в себя самостоятельную рабо­ту учащихся.

Структура элективного учебного предмета

Данный элективный учебный предмет ориентирован на обучающихся 10 класса и рассчитан на 34 часа в течении одного года (1 час в неделю), содержит следую­щие основные разделы:

Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое зна­комство с уравнениями, содержащими параметр.

1. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

2. Квадратные уравнения и неравенства.

3. Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

4. Решение различных видов уравнений и неравенств с па­раметрами.

Описание места элективного учебного предмета в учебном плане

На изучение данного элективного учебного предмета выделены часы из компонента образовательного учреждения. Данная программа рассчитана на 34 часа (1 час в неделю).

Содержание элективного учебного предмета

Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром.

Элективный предмет целесообразно начать с вводного (органи­зационного) занятия, где учитель знакомит учащихся с содержа­нием и структурой курса, объемом и видом самостоятельных работ, а также формой итоговой работы, которую они выполнят в конце изучения курса. На первом занятии рекомендуется предложить учащимся темы и обсудить их для выступлений на практических занятиях.

Во второй части вводного занятия рекомендуется перейти к раскрытию понятий уравнения с параметром как семейства урав­нений, равносильности уравнений, понятия уравнения с парамет­ром, рассмотреть примеры задач, приводящих к уравнению с па­раметром и решения некоторых уравнений с параметром.

Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром.

Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения ли­нейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов а и b. Решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Решение уравнений с параметрами, приводимых к линейным. Линейные неравенства с параметрами. Решение линейных неравенств с параметрами. Классификация систем линейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовме­стные). Понятие системы с параметрами. Алгоритм решения систем линейных уравнений с параметрами. Параметр и количе­ство решений системы линейных уравнений.

При изучении темы на уроке дается понятие линейных урав­нений с параметром, рассматриваются три случая зависимости количества корней от значения коэффициентов а и b. Здесь же необходимо начать решение уравнений с параметрами при на­личии дополнительных условий к корням уравнения.

На последующих уроках необходимо рассмотреть понятие линейных неравенств с параметрами, на практическом занятии необходимо повторить свойства линейных неравенств и исполь­зовать их при решении линейных неравенств с параметрами.

Ввести классификацию систем линейных уравнений по ко­личеству решений (неопределенные, однозначные), дать поня­тие системы с параметрами и алгоритм решения систем линей­ных уравнений с параметрами.

Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства.

Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритми­ческое предписание решения Квадратных уравнений с парамет­ром. Решение квадратных уравнений с параметрами. Зависи­мость, количества корней уравнения от коэффициента а и дис­криминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Реше­ние квадратных уравнений с параметрами при наличии допол­нительных условий к корням уравнения. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все ре­шения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квад­ратных неравенств с параметром второго типа.

Данная тема – самая главная и основная тема курса, именно здесь отводится больше часов для изучения, на уроках необхо­димо ввести понятие квадратного уравнения с параметром, об­ратив внимание на неравенство нулю коэффициента а, рассмот­реть зависимость корней уравнения от коэффициента а и дис­криминанта, записать алгоритм решения квадратных уравнений с параметром. На практическом занятии целесообразно рас­смотреть решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения.

В содержании данной темы раскрываются теоретические сведения о нахождении корней квадратного трехчлена в зависи­мости от значений параметров. Учащиеся должны представлять, как может проходить график параболы в том или ином случае.

Тема 3. Аналитические и геометрические приемы реше­ния задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с пара­метрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений. Метод решения относи­тельно параметра. Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром.

На этих уроках нужно рассмотреть различные приемы и методы решения уравнений с параметрами. Учащиеся должны понимать, что красота и краткость решения зачастую зависят от выбора пути решения задания. Необходимо подчеркнуть, какие именно задачи удобнее всего решать графическим методом.

Тема 4. Решение различных видов уравнений и нера­венств с параметрами.

Решение тригонометрических уравнений, неравенств с па­раметром. Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений, неравенств с параметром.

Обобщение и систематизация знаний учащихся в ходе решения задач различного типа. Эти уроки предполагается проводить в виде практикумов.

Тематическое планирование

Тема занятия

Элементы

содержания

Количество

часов

Дата проведения

1

Понятие

уравнения с параметрами

Понятие уравнений с параметрами Первое знакомство с уравнениями с параметром

1

2

Решение линейных

уравнений с параметрами

Линейные уравнения с параметром

Алгоритм решения ли­нейных уравнений с параметром

1

3

Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных

условий к корням уравнений

Зависимость количества корней от значения коэффициен­тов а и b

Решение линейных уравнений с параметрами

Решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения

1

4

Решение уравнений, приводимых к линейным

Решение уравнений, приводимых к линейным

1

5

Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами

Классификация систем линейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовместные)

1

6

Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами

Понятие системы линейных уравнений с параметрами Алгоритм решения системы линейных уравнений с параметрами

Параметр и количество решений системы линейных уравнений

1

7

Решение линейных неравенств с параметра­ми

Линейные неравенства с параметрами

1

8

Решение линейных неравенств с параметра­ми с помощью графической интерпретации

Решение линейных неравенств с параметра­ми

1

9

Решение линейных неравенств, содержащих параметры

Линейные неравенства, алгоритм решения неравенств

1

10

Решение квадратных уравнений с параметра­ми

Понятие квадратного уравнения с параметром. Решение квадратных уравнений с параметрами.

Решение квадратных уравнений с параметрами первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения»)

1

11

Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами

Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки

1

12

Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным

Решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения

1

13

Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра

Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»)

1

14

Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений

Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции

1

15

Решение квадратных неравенств с параметрами

Решение квадратных неравенств с параметром первого типа.

Решение квадратных неравенств с параметром второго типа1

1

16

Решение неравенств методом интервалов

1

17

Нахождение заданного количества решений уравнения или неравенства

Зависимость количества корней уравнения от коэффициента а и дискриминанта

1

18

Графический метод решения задач с параметрами

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами

1

19

Графический метод решения задач с параметрами

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами

1

20

Применение понятия «пучок прямых на плоскости»

Пучок прямых на плоскости

1

21

Использование симметрии аналитических выражений

Использование симметрии аналитических выражений

1

22

Решение относительно параметра

Метод решения относительно параметра

1

23

Область определения помогает решать задачи с параметром

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств

1

24

Использование метода оценок и экстремальных свойств функции

Метод оценок

1

25

Равносильность при решении задач с параметрами

Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром

1

26

Решение рациональных уравнений с параметрами

Алгоритмы решения

1

27

Решение рациональных неравенств с параметрами

Алгоритмы решения

1

28

Решение тригонометрических уравнений с параметрами

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

1

29

Решение тригонометрических неравенств с параметрами

Алгоритмы решения

1

30

Решение логарифмических уравнений с параметрами

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами

1

31

Решение логарифмических неравенств с параметрами

Алгоритмы решения

1

32

Решение показательных уравнений с параметрами

Показательные уравнения и неравенства с параметрами

1

33

Решение показательных неравенств с параметрами

Алгоритмы решения

1

34

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами

1

Итого: 34 часа

Планируемые результаты изучения элективного учебного предмета

Учащийся должен знать:

• понятие параметра;

• что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и неравенств с параметром;

• основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром (линейных и квадратных);

• алгоритмы решений задач с параметрами;

• зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем;

• свойства функций в задачах с параметрами.

Учащийся должен уметь:

• определять вид уравнения (неравенства) с параметром;

• выполнять равносильные преобразования;

• применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;

• осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

• использовать в решении задач с параметром свойства основных функций;

• выбирать и записывать ответ;

• решать линейные, квадратные уравнения и неравенства; несложные иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним параметром при всех значениях параметра.

Учащийся должен владеть:

• анализом и самоконтролем;

• исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы.

Изучение данного электива дает учащимся возможность:

• повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;

• освоить основные приемы решения задач;

• овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

• познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;

• повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

• познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов;

• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;

• применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;

• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;

• овладеть исследовательской деятельностью.

Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательного процесса

Оснащение процесса обучения математике обеспечивается библиотечным фондом, печатными пособиями, а также информационно-коммуникативными средствами, экранно-звуковыми пособиями, техническими средствами обучения, учебно-практическим оборудованием. В кабинете имеются следующие ТСО:

1. Компьютер.

В кабинете также имеются комплект инструментов классных (линейка, транспортир, угольник(30⁰,60⁰), угольник(45⁰,45⁰), циркуль) и комплект портретов для кабинета математики.

Литература для учителя:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовыйуровень / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: «Просвещение», 2010г.

2.«Алгебра и начала анализа» 11 класс: поурочные планы по учебнику Ш.А.Алимова в 2-х частях./Сост. Г.И.Григорьева.

3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 11 класса. М.:«Илекса»,2009.

4. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 11 класса. М.:«Илекса»,2009.

5. Терешин Н.А., Терешина Т.Н. 2000 задач по алгебре и началам анализа 10 кл./М.:Аквариум,1998 г.

6. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005.

7. Дорофеев В.Ю. Пособие по математике для поступающих в СПбГУЭФ. – СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 2003.

8. Дорофеев Г.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2 [Текст] / Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай. – М.: Перспекти­ва, 1990.-с. 2-38.

9. Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметра­ми [Текст]: 9 класс / С. Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31.

10. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика. – 2003. №1 -с. 18-20.

11. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика. – 2003. №2. -с. 10-14.

12. Креславская О. Задачи с параметром в итоговом повто­рении [Текст] / О. Креславская // Математика. – 2004. №19. -с,23-27

13. Кривчикова Э. Тема «Уравнения и системы уравнений» в курсе алгебры 11 класса [Текст] / Э. Кривчикова // Математика. – 2004. №37.-с. 18-37.

14. Легошина С. Решение неравенств первой и второй сте­пени с параметрами [Текст] / С. Легошина // Математика. – 2000. №6.-с. 15-17.

25. Малинин В. Уравнение с параметрами [Текст]: графиче­ский метод решения // Математика. – 2003. №29. -с. 12-15.

Литература для учеников:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.-М.:«Просвещение»,2010г.

2. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 10 класса. М.:«Илекса»,2009.

3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 11 класса. М.:«Илекса»,2009.

4. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

5. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2007.

6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т. Н. 8. Мишустина, Е. Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2006.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2006.

Список электронных ресурсов:

http://www.prosv.ru - сайт издательства «Просвещение» (рубрика «Математика»)

[link] - открытый банк заданий по математике.