Проект Джеббарова Ферата, Пифагоровы триады и их свойства конкурса Шаг в науку МАН Искатель Республики Крым

32

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………… 2

РАЗДЕЛ 1

Из истории уравнений и пифагоровых троек……………….……… 5

1.1. Диофантовы уравнения……………………….…………………… 5

1.2 Пифагорово уравнение и пифагоровы триады…………………... 6

РАЗДЕЛ 2

Наши самостоятельные исследования пифагоровых триад… 11

2.1. Много ли пифагоровых триад можно составить из чисел,

которые не превышают тысячу?......................................... 11

2.2. Примитивные триады. ………………………………………… 12

2.3. Дерево примитивных пифагоровых троек ………………………….. 15

2.4. Примитивные триады на единичной окружности…………. 16

2.5. Вычисление приближённых значений [pic] ……………………………. 19

2.6. Вычисление приближённых значений [pic] ………………………………. 22

2.7. История начинается в Шумере. ……………………………………. 24

2.8. Вавилонская триада. ……………………………………………….. 25

2.9 . Доказательства некоторых свойств пифагоровых триад …………. 27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………. 30

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………….. 31

ПРИЛОЖЕНИЕ А…………………………………………………………. 32

ПРИЛОЖЕНИЕ Б ………………………………………………………… 39

ПРИЛОЖЕНИЕ В………………………………………………………….. 42

ПРИЛОЖЕНИЕ С ………………………………………………………….. 47

ВВЕДЕНИЕ

Я увлекаюсь математикой и историей. И всё, что связано с историей математики овеяно какой -то особой таинственностью. Ученые находят доказательства поразительных фактов знаний и умений древних математиков и пока не находят ответа: какими методами они это сделали. Инженерные сооружения древних вавилонян и древних египтян задают современным историкам и инженерам много загадок, которые пока они не могут разрешить.

Когда же мне попалось картинка с сообщением, что древневавилонские математики свободно подбирали верные равенства второй степени

12709² + 13500²= 18541² ( рис 1), мне захотелось узнать, как это они сделали, ведь у них не было даже простейших калькуляторов. Также мне встретилась информация, что в архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVI век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. 

Поэтому я стал искать в литературе, что известно о методах древних математиках вычисления Пифагоровых триад. Выделенной полной информации в математических источниках об этих триадах не находил, а так, как параллельно с этими поисками велись исследования этих триад, опирающиеся на ссылки историков, мы получили интересные выводы, которые легли в основу этого проекта.

Проект разбит на две главы. Первая глава содержит информацию из источников. Вторая глава наши самостоятельные исследования Пифагоровых триад с использованием программ, написанных на языке Pascal АВC Net

[pic]

Рис. 1

Проблема:

нахождение целочисленных решение пифагорова уравнения (поиск пифагоровых триад) и изучение их свойств.

Цели:

• ознакомиться с диофантовыми уравнениями и историей их возникновения;

• рассмотреть способы и формулы нахождения целочисленных решений для уравнения Пифагора ;

• найти закономерности в образовании пифагоровых триад, изучить их свойства;

• исследовать закономерности расположения рациональных пар, соответствующих пифагоровой триаде на единичной окружности;

• найти возможность вычисления приближённых значений [pic] и [pic] геометрическим способом.

Задачи:

• дать определение диофантовому уравнению;

• ознакомиться с языком программирования Pascal и написать программы для нахождения пифагоровых триад и изучения их свойств;

• исследовать закономерности образования пифагоровых триад и возможности их практического применения;

• Исследовать примитивные и не примитивные триады;

• создать электронную презентацию, применимую в качестве учебного пособия на уроках геометрии.

Актуальность:

Пифагоровы тройки применяют на уроках геометрии и тригонометрических вычислениях, но они имеют богатую историю. С помощью простейших программ программирования можно увидеть забытые свойства триад, которые были почитаемы древним математикам.

РАЗДЕЛ 1

Из истории уравнений и пифагоровых троек

1.1. Диофантовы уравнения

Современная запись уравнения кажется нам привычной и логичной, [pic]

Рис. 1

В труде Диофанта «Арифметика» есть уравнения первой степени с одним неизвестным, но главное в этой книге вовсе не в них. Самое интересное у Диофанта — решение, так называемых, неопределенных уравнений.

Такие уравнения имеют вид ax + by = с, где a, b, с – являются целыми числами, и ответ должен быть дан только в целых числах. Такие уравнения называются диофантовыми. Соответствующие уравнения могут иметь неизвестные не только в первой степени, но и в любой другой.

Неопределенным или диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах.

Нам особо интересна еще одна задача на неопределен­ные уравнения — теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте (известно, что Диофант хорошо ее знал и часто исполь­зовал): x² + y² = z² .

Это уравнение уже с тремя неизвестными, с решениями на множестве целых чисел, которое приписывают Пифагору, видимо потому, что современники обнаружили его первый раз в трудах Пифагора, а уж затем историки нашли более ранние свидетельства решения этого уравнения. Но по традиции ( по школьной теореме Пифагора) эти решения называют пифагоровыми тройками ( триадами). Однако по рис 1. можно утверждать, что американские ученые доказали ещё более раннее происхождение триад - вавилонское. Далее изучение источника [1]

1.2. Пифагорово уравнение и Пифагоровы триады

Е [pic] СЛИ СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ЧИСЛАМ 3, 4 и 5, ТО ЭТОТ ТРЕУГОЛЬНИК — ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ.

Этот факт использовали для построения на местности прямых углов — для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид - это надо было уметь. По­ступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы (рисунок 3). В точке С, где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку на­тягивали в направлении, нужном строителям, забивали вто­рой колышек в точке В (СВ = 4) и натягивали веревку так, чтобы АС = 3 и АВ = 5. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сто­рон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. И действительно, 3² + 4² = 5². Говоря иначе, числа 3, 4, 5 — корни уравнения х² + у² = z².

Возникает вопрос: нет ли у этого уравнения дру­гих целочисленных решений?

Можно догадаться, что числа 5, 12, 13 тоже можно считать корнями этого уравнения. А есть ли еще такие тройки чисел? И нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два? Например, необходимо, чтобы меньший катет треугольника равнялся 4 см. Может ли в этом случае длина другого катета и гипотенузы выражаться целым числом сантиметров? Такие вопросы инте­ресовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли от­веты на них. Знал это и Пифагор.

Один из путей решения уравнения х² + у² = z² в целых числах оказался довольно простым. Если записать подряд квадраты натуральных чисел («квадратные числа», как говорили древние), отделив их друг от друга запятой, и под каждой запятой записать разность между последовательными квад­ратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196…

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27…,

то в нижней строке тоже найдутся квадраты чисел. Первое из них 9 = 3², над ним 16 = 4 и 25 = 5², как раз получится тройка 3, 4, 5.

Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую тройку 5, 12, 13. Если продолжить строку квадратных чисел и подсчитать соответствующие разности, то во второй строке найдем 49 = 7², этому числу отвечают в строке квадратов 576 = 24² и 625 = 25². И действительно, 7² + 24² = 25². Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Значит, можно сформулировать такую теорему:

КАЖДОЕ НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО ЕСТЬ РАЗНОСТЬ ДВУХ ПОСЛЕДО­ВАТЕЛЬНЫХ КВАДРАТОВ. (1)

С помощью этой теоремы находить такие тройки чисел проще и быстрее. Эти формулы-правила были известны уже две с половиной тысячи лет назад: если х – нечетное число, то

у = [pic] и z = [pic] ( 2)

В этом случае равенство х² + у²= z² выполняется, т.е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение данного неопределенного уравнения. Это уравнение будем на­зывать «уравнением Пифагора», а его решения — «пифаго­ровыми тройками» или «триадами». По этому правилу можно получить уже известные тройки:

если х = 3, то у = 4, z = 5, получилась первая пифагорова триада;

если х = 5, то у =12, z =13, получилась вторая пифагорова триада;

если х = 7, то у = 24, z =25, получилась третья пифагорова триада.

Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда у = 40 и z = 41. Проверим вычисления: 9² + 40² = 41².

Следующим шагом установим правила вычисле­ния всех, а не только некоторых пифагоровых триад.

Если любые два числа из тройки x, y, z, которые удовлетворяют уравнению х² + у² = z², имеют общий множитель, отличный от единицы, то он будет также делителем и третьего числа. Т.е., любая пара чисел из этих троек является взаимно простыми числами.

Пусть х – нечетное число, а у – четное, тогда z – также нечетное. Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:

х² + у² = z^2;

х² = z² - у²

х ² = (z – у) (у + z)

Числа (z – у) и (у + z) – четные, поэтому (z – у)/2 и (у + z)/2 – целые.

Число х² кратно 4, поэтому (х/2)² – целое. Тогда получим:

(х/2)² = (z –у)/2 * (у + z)/2

Числа (z – у)/2 и (у + z)/2 – взаимно-простые. Произведение взаимно простых чисел является точным квадратом только в том случае, когда каждое из них является квадратом.

Пусть (у + z) =2a² и (z – у) = 2b².

[pic]

Почему здесь написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа а и b? Это сделано с целью получения аккуратных ответов. Решив эту систему, получим:

z = а² +b²; у = а² — b²; х = 2аb (3)

(при этом надо иметь в виду, что а>b).

Из этого следует, что наименьшим значением числа может быть только единица, тогда наименьшим значением а будет 2. Вычислим х, у, z. Получается z = 5, y = 3, x = 4,это уже известный нам «египетский треугольник». Подставляя в формулы (3) различные значения а и b, можно получить пифагоровы триады.

Я с благодарностью познал математические исторические факты автора [1], вывод формул, приведённых выше, заполнил таблицу пифагоровых триад и … обнаружил противоречия между выводом (1) и результатами заполнения таблицы 1 по формуле ( 3) .

Таблица1

Длины сторон прямоугольного треугольника ( целочисленные).

b

2

3

4

5

6

7

8

9

1

3,4,5

6,8,10

8,15,17

10,24,26

12,35,37

14,48,50

16,63,65

18,80,82

2

5,12,13

12,16,20

20,21,29

24,32,40

28,45,53

32,60,68

36,77,85

3

7,24,25

16,30,34

27,36,45

40,42,58

48,55,73

54,72,90

4

9,40,41

20,48,52

33,56,65

48,64,80

65,72,97

5

11,60,61

24,70,74

39,80,89

56,90,106

6

13,84,85

28,96,100

45,108,117

7

15,112,113

32,126,130

8

17,144,145

Анализ результатов заполнения таблицы 1 показал, что результаты вычисления по формуле (2) являются частным решением формулы (3) и располагаются по диагонали этой таблицы ( когда a - b = 1), но, выделенные красным, результаты вычислений в этой таблице не соответствуют выводу (1). Например, в триаде (6;8;10) нет нечётного числа, а именно это утверждение легло в основу логических выводов для вывода формул (2) и (3). А таких «красных» триад в таблице много.

Своими сомнениями я поделился с руководителем кружка программирования и своими товарищами, в результате мы с помощью языка программирования Pascal ABC Net и поиска информации в сети Интернета сумели сделать много интересных выводов.

РАЗДЕЛ 2

Наши самостоятельные исследования Пифагоровых триад

2.1. Много ли Пифагоровых триад можно составить из чисел до тысячи?

В Приложении А нами была написана программа вычисления всех пифагоровых триад ( без применения формул (2) и (3)) и вывода их на обозрение в порядке возрастания её большего члена z. Когда же мы задали значение циклов таким, чтобы z<= 5000 , то результат нас ошеломил: оказалось, что для натуральных чисел от 1 до 5000 существует 11362 пифагоровы триады. Помня о том, что автор [2] предлагал нам вычислить целочисленные значения сторон прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c, мы решили, что логичней было бы считать триады (a;b;c) и (b;a;c) одним и тем же целочисленным решением прямоугольного треугольника, в программу ввели изменения, x меньший катет ( меньшее число триады) y - второй катет ( среднее число триады), z - гипотенуза ( большее число триады), то для чисел от 3 до 5000 программа сгенерировала 5681 пифагоровых триад. Триад оказалось больше, чем самих натуральных чисел!

Тогда мы решили ограничиться знакомством со свойствами всех пифагоровых триад, больший член которых не превышает 1000.

В Приложении А общее количество триад, больший член которых не превышает 1000 равно 881. Они были сгенерированы программой:

const n = 1001;

var i,j,m: integer;

begin

for m:=5 to n do

begin

for i:=4 to n do

begin

for j:=3 to n do

if m*m=i*i+j*j then

begin

if i>j then

writeln ('( ',j,' ; ',i,' ; ',m,' )')

end;

end;

end;

end.

( 136 ; 255 ; 289 )

( 200 ; 210 ; 290 )

( 174 ; 232 ; 290 )

( 48 ; 286 ; 290 )

( 34 ; 288 ; 290 )

( 195 ; 216 ; 291 )

Фрагмент последовательных триад, сгенерированных программой показывает, что каждая из пифагоровых триад обладает следующими свойствами:

- один член триады обязательно кратное трём число;

- член триады число кратное четырём;

- член триады кратен пяти.

Случайно или нет, но все триады обязательно кратны числам -сторонам египетского треугольника (3; 4; 5). Ну как тут не заинтересоваться свойствами триад?

2.2. Примитивные триады

При внимательном рассмотрении триад Приложения А выясняется особенность - большое количество кратных триад. Для каждой триады (x;y;z) существует множество триад (kx;ky;kz), где k натуральное число. Причем результаты Таблицы 1 подсказывали, что если a и b числа взаимно простые и разной чётности, то образованная триада (x;y;z) по формуле (3) не может быть представлена в виде (kx;ky;kz), то есть является первичной триадой. Так мы сами пришли к необходимости введения понятия примитивной триады, определение которой подглядели в интернете.

Определение. Триаду (x;y;z) называют примитивной ( основной ) если a и b числа взаимно простые ( т.е. НОД(a ; b) = 1) и разной чётности.

В книге [3] Р. Куранта мы подглядели дальнейшую идею исследования. Во-первых, мы изначально неправильно настроили программу на взаимное расположение членов триады, по возрастанию членов и не учитывали чётности её членов. Из определения следует, что если a и b взаимно простые числа, не являющиеся одновременно нечётными числами, то формула (3) всегда даёт примитивную триаду, которую следует записывать в следующем порядке ( а² — b² ; 2аb; а² + b² ).

Кроме того, книга [3] подсказала ещё одну возможность исследования триад - угловую. Дело в том, что формула x² + y² = z² легко преобразуется к виду [pic] , где [pic] - точка, с рациональными координатами, лежащая в первой четверти единичной окружности. А каждой точке единичной окружности соответствуют угол поворота ,

где [pic] = cos и [pic] = sin.

Так как исследования триад проводилось на кружке программирования, возникла идея проверить верность этого утверждения обратным действием - дополнить программу Приложения А блоком, который при вычислении методом перебора триад сразу бы вычислял соответствующие значения a и b , которые связывали полученную триаду с формулой (3). И вот тут мы встретились с трудностью, дело в том, что для примитивной триады (x;y;z) у которой y = 2ab a и b вычисляются по формулам [pic] . Но среди примитивных триад есть такие, члены которой всё чётные и трудно определить, какое из них формировалось как

а² — b² , а какое как 2аb . Например для триады (3; 4; 5) а= 2 , b=1 средний член 4 представляется как 2аb, а уже для триады (6; 8; 10) а= 3 , b=1 через 2аb представляется уже первый член 6. А это при программном вычислении значений а и b приводило к некорректным результатам, поэтому для примитивных триад таблицу мы формировали в прежнем стиле - по возрастанию старшего члена триады и приходилось в ручном режиме корректировать результаты вычисления. Но этот труд был не напрасен, мы лучше познавали свойства пифагоровых триад

Итак, в Приложения Б мы решили расположить рядом с пифагоровой триадой значения а и b, которые принимали участие в их генерации, и в той же строке отношения [pic] и [pic]

a и b

x/z

y/z

(45; 28; 53) a=7 b =2 (0.849056603773585; 0.528301886792453 )

(11; 60; 61) a=6 b =5 (0.180327868852459; 0.983606557377049 )

(33; 56; 65) a=7 b =4 (0.507692307692308; 0.861538461538462 )

(63; 16; 65) a=8 b =1 (0.969230769230769; 0.246153846153846 )

(55; 48; 73) a=8 b =3 (0.753424657534247; 0.657534246575342 )

(77; 36; 85) a=9 b =2 (0.905882352941176; 0.423529411764706 )

(13 ; 84; 85) a=7 b =6 (0.152941176470588; 0.988235294117647 )

(39 ; 80; 89) a=8 b =5 (0.438202247191011; 0.898876404494382 )

(65 ; 72; 97) a=9 b =4 (0.670103092783505; 0.742268041237113 )

(99; 20; 101) a=10 b =1 (0.98019801980198 ; 0.198019801980198 )

(91; 60; 109) a=10 b =3 (0.834862385321101; 0.55045871559633 )

(15; 112; 113) a=8 b =7 (0.132743362831858; 0.991150442477876 )

Что дало исследование примитивных пифагоровых троек?

Количество примитивных троек, наибольший член которых не превышает 1000 равно 158 из общего количества 881 пифагоровых триад.

Фрагмент таблицы приложения показывает:

- сами пифагоровы тройки, расположенные по возрастанию старшего члена, формируются хаотично, после большего первого члена в следующей тройке может появиться меньший член;

- закономерностей по генерирующим коэффициентам а и b нет;

- закономерностей расположения соответствующих триаде точек с рациональными координатами [pic] на единичной окружности тоже нет.

2.3. Дерево примитивных пифагоровых троек 

Интересный способ генерирования примитивных пифагоровых троек мы увидели в Интернете. Это, так называемое, «Дерево примитивных пифагоровых троек  ». Впервые открыто в 1934 году  шведским математиком Берггреном .

В 1963 году установлено, что при умножении справа любой из трёх матриц

[pic]

на  вектор-столбец, компоненты которого составляют пифагорову тройку, результатом будет вектор-столбец, компоненты которого составляют другую пифагорову тройку. Если исходная тройка была примитивной, то таковой будет и результирующая. Таким образом, каждая примитивная тройка имеет три «потомка». Все примитивные пифагоровы тройки являются потомками тройки (3, 4, 5), и ни одна тройка при таком построении не появляется дважды. Результат графически можно представить в виде бесконечного троичного дерева с тройкой (3, 4, 5) в качестве корня. Рис .3.

Так как у нас для каждой примитивной триады уже известны их генерирующие коэффициенты, и соответствующие угловые, мы и для Дерева примитивных триад сделали выводы:

- закономерностей по генерирующим коэффициентам а и b нет;

- закономерностей расположения соответствующих триаде точек [pic] на единичной окружности тоже нет.

[pic]

Рис. 3.

Но, работая с программами вычисления триад, мы нашли закономерности образования триад по коэффициентам a и b и по названным угловым коэффициентам.

2.4. Примитивные триады на единичной окружности

Написанная нами программа генерирования примитивных триад позволила найти эту закономерность.

var a,b,x,y,z:integer;// Генерирование примитивных триад, b - const

begin

write('введите b =');

readln(b);

a :=b+1;

repeat

x:=sqr(a)-sqr(b);

y:=2*a*b;

z:=sqr(a)+ sqr(b);

writeln('(',x,'; ',y,' ; ',z,'); (a=',a,'; b =',b, '); (', x/z:2:6, '; ',y/z:2:6,')');

a := a + 2;

until a>=500;

end.

В Приложении В размещены триады, сгенерированные этой программой при постоянном b, условно мы его назвали «пробег по убывающей, от угла близкого к 90 градусов до угла, близкого к 0». Дело в том, что первые точки, сгенерированные программой, имеют значение отношения [pic] близкое к 0. А отношение [pic] близкое к 1, поэтому точка с рациональной координатой [pic] будет ближе к 90 градусов - точка (0;1) (но никогда не будет равна 90^о), и начинает осуществлять «пробег» до 0, до точки с координатой (1;0), но никогда этой точки не достигнет.

Причём, интересное замечание, плотность точек с ростом коэффициента а начинает неограниченно возрастать.

Для разных значений b получается совершенно другое положение первой точки, но для всех триад характерно уплотнение точек с уменьшением соответствующего острого угла. Визуально это видно на рис 4.

Эти результаты натолкнули нас на идею написать программу, вычисляющую вместо координат рациональной точки её соответствующую градусную меру. Мы её написали, проанализировали распечатки градусных мер в зависимости от вводимых значений b и а, убедились в правильности выводов.

[pic] Рис 4

введите b =1

(3; 4; 5); a =2; b = 1; угол = 53.1301

(15; 8; 17); a =4; b = 1; угол = 28.07248

(35; 12; 37); a =6; b = 1; угол = 18.92464

(63; 16; 65); a =8; b = 1; угол = 14.25003

(99; 20; 101); a =10; b = 1; угол = 11.42118

(143; 24; 145); a =12; b = 1; угол = 9.52728

(195; 28; 197); a =14; b = 1; угол = 8.17123

(255; 32; 257); a =16; b = 1; угол = 7.15266

(323; 36; 325); a =18; b = 1; угол = 6.35966

(399; 40; 401); a =20; b = 1; угол = 5.72481

(483; 44; 485); a =22; b = 1; угол = 5.20512

(575; 48; 577); a =24; b = 1; угол = 4.77188

(675; 52; 677); a =26; b = 1; угол = 4.40519

(783; 56; 785); a =28; b = 1; угол = 4.09081

(899; 60; 901); a =30; b = 1; угол = 3.8183

(1023; 64; 1025); a =32; b = 1; угол = 3.57982

(1155; 68; 1157); a =34; b = 1; угол = 3.36936

(1295; 72; 1297); a =36; b = 1; угол = 3.18228

(1443; 76; 1445); a =38; b = 1; угол = 3.01487

(1599; 80; 1601); a =40; b = 1; угол = 2.86419

(1763; 84; 1765); a =42; b = 1; угол = 2.72785

(1935; 88; 1937); a =44; b = 1; угол = 2.6039

(2115; 92; 2117); a =46; b = 1; угол = 2.49072

(2303; 96; 2305); a =48; b = 1; угол = 2.38697

(2499; 100; 2501); a =50; b = 1; угол = 2.29152

(2703; 104; 2705); a =52; b = 1; угол = 2.20341

(2915; 108; 2917); a =54; b = 1; угол = 2.12182

(3135; 112; 3137); a =56; b = 1; угол = 2.04606

(3363; 116; 3365); a =58; b = 1; угол = 1.97552

(3599; 120; 3601); a =60; b = 1; угол = 1.90968

(3843; 124; 3845); a =62; b = 1; угол = 1.84809

введите b =2

(5; 12; 13); a =3; b = 2; угол = 67.38013

(21; 20; 29); a =5; b = 2; угол = 43.60281

(45; 28; 53); a =7; b = 2; угол = 31.89079

(77; 36; 85); a =9; b = 2; угол = 25.05761

(117; 44; 125); a =11; b = 2; угол = 20.60969

(165; 52; 173); a =13; b = 2; угол = 17.49232

(221; 60; 229); a =15; b = 2; угол = 15.18928

(285; 68; 293); a =17; b = 2; угол = 13.41967

(357; 76; 365); a =19; b = 2; угол = 12.01801

(437; 84; 445); a =21; b = 2; угол = 10.88066

(525; 92; 533); a =23; b = 2; угол = 9.93948

(621; 100; 629); a =25; b = 2; угол = 9.14784

(725; 108; 733); a =27; b = 2; угол = 8.47278

(837; 116; 845); a =29; b = 2; угол = 7.89037

(957; 124; 965); a =31; b = 2; угол = 7.38277

(1085; 132; 1093); a =33; b = 2; угол = 6.93645

(1221; 140; 1229); a =35; b = 2; угол = 6.54097

(1365; 148; 1373); a =37; b = 2; угол = 6.18811

(1517; 156; 1525); a =39; b = 2; угол = 5.87134

(1677; 164; 1685); a =41; b = 2; угол = 5.5854

(1845; 172; 1853); a =43; b = 2; угол = 5.326

(2021; 180; 2029); a =45; b = 2; угол = 5.0896

(2205; 188; 2213); a =47; b = 2; угол = 4.87329

(2397; 196; 2405); a =49; b = 2; угол = 4.67461

(2597; 204; 2605); a =51; b = 2; угол = 4.49148

(2805; 212; 2813); a =53; b = 2; угол = 4.32215

Оставалось только просмотреть вариации результатов с большими значениями a и b

По этим результатам работы возникла идея использовать эту программу для вычисления приближённых значений [pic] и [pic] .

2.5. Вычисление приближённых значений [pic]

Для вычисления [pic] мы использовали свойство, что гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника в [pic] раз больше его одного из катетов. При малых значениях а и b сгенерированные триады не дают надежды построить из них равнобедренный треугольник, но с ростом а и b у нас получалось сгенерировать такие тройки. На основании этого мы выработали методику нахождения приближённого значения [pic] . Для этого в программе меняют значения постоянных, выделенных красным, чтобы программа «выдавала» значения близкие к углу 45 градусов. Как только программа начала считать значение около 44 градусов, исполнение можно остановить и скопировать строки…

var a,b,x,y,z:int64; // нахождение триады, соответствующую искомым

var x1,c1,c2: real;// углам 45, 60 и 30 градусов

begin

write('введите b =');

readln(b);

a:=b+1; // можно большее число прибавлять, начинать с большего угла.

repeat

x:=sqr(a)-sqr(b);

y:=2*a*b;

z:=sqr(a)+ sqr(b);

x1:=y/x;

c1:=arctan(x1); // арктангенс

c2:=(c1*180/Pi); // перевод из радианной меры в угловую

writeln(' (',x,'; ',y,'; ',z, '); a =',a,'; b = ',b, '; угол = ',c2:2:6 );

a := a + 2;

until a>=19000;

end.

Из всех значений, сгенерированных триад, выбираем те, которые позволяют оценить разницу в углах, угол предыдущий последнему значению 45 градусов, сам последний угол и последующий, первый с цифрами 44 градуса.

(2355969; 2361800; 3335969); a =1687; b = 700; угол = 45.07081

(2362721; 2364600; 3342721); a =1689; b = 700; угол = 45.0227

(2369481; 2367400; 3349481); a =1691; b = 700; угол = 44.97482

(1413399315; 1413573932; 1998971957); a=41306; b=17111; угол =45.00353

(1413564543; 1413642376; 1999137185); a=41308; b=17111; угол =45.00157

(1413729779; 1413710820; 1999302421); a=41310; b=17111; угол =44.99961

Обращаем внимание, что катеты предполагаемого треугольника достаточно близкие между собой по значениям. Теперь остаётся обратиться к программе , которая вычислит приближённое значение [pic] и оценить погрешность вычисления. Для этого нужно ввести зафиксированные значения a и b, соответствующие углу 45 градусов из результатов предыдущей программы.

var a,b,x,y,z:integer;// корень из двух через угол 45 градусов

var x2,delta1,delta2,delta3,koren1,koren2,koren3:real;

begin

write ('ввести число а=');

readln (a);

write ('ввести число b=');

readln (b);

x:=sqr(a)-sqr(b);

y:=2*a*b;

z:=sqr(a)+ sqr(b);

koren1:=z/x; // корень через первый катет

koren2:=z/y; // корень через второй катет

koren3:=2*z/(x+y); // корень через среднее арифметическое двух катетов

x2:= sqrt(2); // корень из двух машинный

delta1:=koren1-x2; // Погрешности вычислений

delta2:=koren2-x2;

delta3:=koren3-x2;

writeln (' Пифагорова тройка 45 градусов (',y,' ; ',x,' ; ',z,'); a=',a, ' ; b=',b);

writeln (' истин корень',x2, ' Первый корень ',koren1,'; delta1=',delta1);

writeln (' истин корень',x2, ' Второй корень ',koren2,'; delta2=',delta2);

writeln (' истин корень',x2, ' Корень через ср.арифм ',koren3,'; delta3=',delta3);

end.

При работе с данной программой выяснилось, что по двум катетам значение корня [pic] близки и вычисляются с одинаковой погрешностью, тогда и возникла идея по данным значениям гипотенузы и среднему арифметическому двух катетов. Именно это значение корня, вычисленное через среднеарифметическое значение катета, дало более точный результат .

Данная программа выдала результаты:

Пифагорова тройка 45 градусов (1413710820; 1413729779; 1999302421);

a=41310 ; b=17111

истин корень 1.4142135623731 Первый корень 1.41420407966097;

delta1=-9.48271212619645E-06

истин корень1.4142135623731 Второй корень 1.41422304527598; delta2=9.48290288294018E-06

истин корень 1.4142135623731 Корень через средн. арифм 1.41421356240489; delta3=3.17927906223758E-11.

То есть для тройки (значит и для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой) (1413710820; 1413729779; 1999302421); приближённое значение через один из катетов [pic] 1.41420407966097 с точностью 9,5 *10^-6 , а через среднее арифметическое этих катетов

[pic]  1.41421356240489 с точностью 3,2 *10^-11.

Следует отметить, что применяемая нами методика вычисления [pic] состоит из двух действий по примитивным программам, невозможно прогнозировать результат, так как значения a и b, вводятся методом пробы и подбора. Мы во время работ с программами встречали триады, сформированные с меньшими значениями a и b, и дающими такую же точность приближения, как в примерах, приведённых выше.

2.6. Вычисление приближённых значений [pic]

Для вычисления приближённого значения [pic] использовали свойство прямоугольного треугольника с углом 60 градусов, что катет, противолежащий углу 30 градусов равен половине гипотенузы. Если обозначить меньший катет за m, то гипотенуза будет равна 2m. А катет, противолежащий углу 60 градусов, будет равен m [pic] . Отношение большего катета к меньшему и будет приближённым значением [pic] .

Для этого так же находим три значения, предыдущее к последнему углу, сам искомый угол и последующий угол, как и в предыдущем разделе с углом 45 градусов. Но кроме триады соответствующей углу 60 градусов найдём и триаду, соответствующую углу 30 градусов. И результат соответствующий углу 30 градусов будет точнее, так как так как в этой области значения триад плотнее .

(4069607103; 7049225304; 8139611745); a=78132; b =45111; угол =60.00161

(4069919635; 7049405748; 8139924277); a=78134; b=45111; угол =60.00034

(4070232175; 7049586192; 8140236817); a =78136; b=45111; угол =59.99907

(26308066995; 15189234588; 30378071637); a=168354; b=45111; угол =30.00043

(26308740415; 15189415032; 30378745057); a=168356; b=45111; угол =30.00009

(26309413843; 15189595476; 30379418485); a=168358; b=45111; угол =29.99975

Теперь программа для вычисления приближённого значения [pic] позволит нам сравнить точность вычисления для двух методов корня, через угол 30 градусов и через угол 60 градусов.

var a,b,x,y,z:int64;// вычисление корня из трёх через триаду и через 30 градусов

var x1,y1,s0,delta:real;

begin

write ('ввести число а=');

readln (a);

write ('ввести число b=');

readln (b);

y:=2*a*b;

x:=sqr(a)-sqr(b);

z:=sqr(a)+sqr(b);

y1:=x/y;

x1:=sqrt(3);

delta:=y1-x1;

writeln (' Пифагорова тройка (',x,' ; ',y,' ; ',z,')') ;

writeln ('sqrt(3)= ',x1,'; sqrt(3) через катет = ',y1, ' ; delta=',delta);

end.

Программы вычисления корня через 60 градусов и 30 градусов отличаются только отношением катетов. В программе должно рассматриваться отношение большего катета к меньшему катету. Вот выборочные результаты:

ввести число а=78134

ввести число b=45111

Пифагорова тройка 60 градусов

(4069919635 ; 7049405748 ; 8139924277)

истин sqrt(3)= 1.73205080756888; sqrt(3) через катет = 1.7320749253566 ; delta=2.41177877262633E-05

ввести число а=168356

ввести число b=45111

Пифагорова тройка 30 градусов

(26308740415; 15189415032; 30378745057)

sqrt(3)= 1.73205080756888; sqrt(3) через катет = 1.73204434532696 ; delta=-6.46224191225286E-06

Таким образом, через триаду (4069919635; 7049405748; 8139924277),

соответствующую 60 градусам , [pic]  1.7320749253566

с точностью 2,4 *10^-5.

А через триаду (26308740415; 15189415032; 30378745057),

соответствующую 30 градусам, [pic]  1.73204434532696

с точностью 6,4 *10^-6, на порядок выше, чем через 60 градусов.

2.7. История начинается в Шумере

Один из крупнейших экспертов по Шумеру, профессор Сэмюел Ноа Крамер, в своей книге "История начинается в Шумере" описал, что шумеры были прекрасными математиками, и их математика имела "геометрические" корни и была очень необычна.
Шумеры пользовались шестидесятеричной системой счисления. Для изображения чисел использовались всего два знака: "клин" обозначал 1; 60; 3600 и дальнейшие степени от 60; "крючок" - 10; 60 х 10; 3600 х 10 и т. д. За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И ,таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд: 1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.
Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время ,как 100 — всего 7. Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что она продолжает применяться и в наше время ,отсюда, например, деление круга на 360 градусов. Деление часа на 60 секунд было совсем не произвольным — оно основывается на шестидесятеричной системе. Отголоски шумерской системы счисления сохранились и в делении суток на 24 часа, года на 12 месяцев, фута на 12 дюймов, и в существовании дюжины, как меры количества.
Шумеры были прекрасными астрономами, и существует предположение, что рациональные пары, образуемые триадами, которые мы сейчас называем Пифагоровыми, позволяли им производить астрономические измерения.

Вот поэтому мы и решили понять, как лучше использовать пифагоровы триады для градусных измерений. То есть выдвинуть гипотезу, как шумеры строили свою градусную систему измерений. Думаем, что аналогичным способом шумеры, используя a и b вычисляли триады(x; y; z) , причём значения b выбирают кратным числам 2; 3; 6 ; 9 , например 54, а a начиная со значения 81-91. Так как первые рациональные пары с меньшим значением a не будут удовлетворять нас своей точностью. Хотелось бы , чтобы первые точки соответствовали градусам 50-55 ( это делается подбором первого значения a ) и убывали до градусной меры близкой к 0 градусам, максимальное значение a около 400… Это будет множество углов . Теперь без дополнительных вычислений выбираем триады вида (y; x; z), поменяв местами «катеты», получится множество углов (90^о - ). Два множества пересекаются, накладываются в зоне от 35 до 55 градусов и образуют множество рациональных точек с высокой точностью определения градусной меры угла. Знаки минус перед рациональными координатами позволяют перенести эту систему измерений в другие четверти окружности.

2.8. Вавилонская триада и не примитивные триады

Думаем теперь и настала очередь Вавилонской триады, почтенный возраст которой более 4000 тысяч лет, это триада ( 12709 ; 13500 ;18541 )

Программа для её исследования была написана среди первых.

var i,j,m: integer; // вычисление а и b Вавилонской триады (x;y;z)

var a,b:real;

begin

write ('ввести первое число "Примитивной триады" x =');

readln (i);

write ('ввести второе число "Примитивной триады" y =');

readln (j);

write ('ввести третье число "Примитивной триады" z =');

readln (m);

begin

if sqr(m)=sqr(i)+sqr(j) then

begin

a:=sqrt((m+i)/2);

b:=sqrt((m-i)/2);

writeln (' (',i,' ; ',j,' ; ',m,')',' a=',a,' b =',b);

end

else writeln ('Ошибка ввода данных Примитивной тройки')

end;

end.

(12709 ; 13500 ; 18541) образуется при участи a=125 b =54, мы так же вычислили какой угол соответствовал рациональной точке это триады. Это «угол = 46.72868 градусов»

Тогда следующей триадой, логичное предположить, была бы

(12851; 13860; 18901); a=126; b=55; угол = 47.1633

или (12489; 14000; 18761); a =125; b = 56; угол = 48.26475

Но точки расположены слишком редко, градусная мера между ними больше одного градуса, поэтому, думаем, что между этими точками были другие точки, с другими значениями a и b.

Очень жаль, что среди пятнадцати клинописных триад шумеров опубликована только одна, и та примитивная. А что если рядом стоящая триада не примитивная? Поэтому мы решили проверить, как себя ведут примитивные триады по возрастанию числа a при постоянном числе b, и оценивать их будем не по отношениям рациональных координат, а по соответствующему рациональной точке триаде углу. Маленькие изменения в программе раздела 1.4 позволили нам генерировать и примитивные и не примитивные триады в одной растущей последовательности с соответствующими углами. В Приложении С выложены эти результаты с сокращениями ( полные в электроном варианте). Первоначально мы считали , чтобы познать свойства триад, нужно не примитивную триаду заменять соответствующей примитивной триадой, сокращая каждый член на коэффициент пропорциональности. Но потом, благодаря рациональным парам, поняли, что не примитивные триады равнозначны примитивным.

Выводы по этому приложению:

- не примитивные триады тоже могли использоваться шумерами для формирования своих приборов для градусных измерений;

- так как последовательность растёт не равномерно и ближе к малому углу шаг роста угла очень уменьшается и не прогнозируем, мы так же выдвигаем предположение, что шумеры могли вычислять триады для задания нужной точности измерений.

2.9. Доказательства некоторых свойств пифагоровых триад

Одной из первых программ, написанных для исследования свойств триад была программа по формуле (2), но с функцией вычисления чисел , которые их образуют. Выяснилось , что программа сгенерировала элементы диагонали Таблицы 1 и все триады примитивные, так a всегда больше b на 1.

var i,x: integer;// пифагоровы триады с а и в

var y,z,a,b: real; // диагональ таблицы. Формула 2

begin

x := 1;

for i := 1 to 50 do

begin

x := x + 2;

y:=(x*x-1)/2;

z:=(x*x+1)/2;

a:=sqrt((z+x)/2);

b:=sqrt((z-x)/2);

writeln(i,' ( ',x,'; ',y,'; ',z,' )',' a=',a,' b =',b );

end;

writeln;

end.

1 ( 3; 4; 5 ) a=2 b =1

2 ( 5; 12; 13 ) a=3 b =2

3 ( 7; 24; 25 ) a=4 b =3

4 ( 9; 40; 41 ) a=5 b =4

5 ( 11; 60; 61 ) a=6 b =5

6 ( 13; 84; 85 ) a=7 b =6

7 ( 15; 112; 113 ) a=8 b =7

…………………………………………………………………………………….

49 ( 61; 1860; 1861 ) a=31 b =30

50 ( 63; 1984; 1985 ) a=32 b =31

В результатах, выданных программой, бросается в глаза, что квадрат первого члена триады равен сумме второго и третьего члена триады, без квадратов. Мы пытались в интернете найти информацию о других свойствах триад и почему эти свойства появились, потому как на других триадах, это свойство не работает. Пояснений не нашли, но увидели маленькую картинку в презентации ученика с другим свойством триад. Без всяких пояснений. Но мы сами заметили, что все эти свойства связаны с единицей. Поэтому мы проверили все триады и сформулировали две теоремы по свойствам триад.

Теорема 1

Для триад (x;y;z), которые сформированы при участии аN и b = а - 1, выполнимо соотношение x² = 2(y + z).

Доказательство.

Так x = а² — b² ; y= 2аb ; z = а² + b² ;

x² = 2(y + z);

(а² — b² )² = (2аb + а² + b² );

((а — b ) (а + b) )² = ( а + b )² ;

(а — b )² (а + b)² = ( а + b )²;

так а — b = 1 , то

(а + b)² = ( а + b )² . Равенство доказано.

Теперь это свойство можно сформулировать понятным потребителю, не знающему это теоремы.

Если разница между большим и средним членами Пифагоровой тройки равна 1, то квадрат меньшего члена равен сумме среднего и большего члена тройки .

Например: (17; 144; 145) тогда: 17² = 144 + 145;

( 55; 1512; 1513 ) Имеем: 55² = 1512 + 1513.

Примечание. Данные тройки только примитивные, так как а и b последовательные числа, значить взаимно простые и разной чётности. Так как две стороны треугольника отличаются на единицу, то наряду с тем, что этот треугольник прямоугольные, он ещё и «почти равнобедренный». Такой треугольник Диофант называл «хромым».

Теорема 2

Для триад (x;y;z) , которые сформированы при участии аN и b=1, выполнимо соотношение y² =2 (x + z).

Доказательство.

Так x = а² — b² ; y= 2аb z = а² + b² ;

y² = (x + z) ;

(2аb)² = 2 ( а² — b² + а² + b² );

(2а b )² = 2 (2 а² );

4а² b ² = 4а² , но по условию b = 1

Получили верное равенство : 4а² = 4а².

Теперь это свойство можно сформулировать более понятным языком:

Если разница между большим и средним членами пифагоровой тройки равна 2, то квадрат меньшего члена равен удвоенной сумме среднего и большего члена тройки .

Например , (63; 16; 65); 16² = 2(63 +65);

(899; 60; 901); 60² = 2(899 + 901).

Это свойство работает и для не примитивных троек:

(10; 24; 26 ) ; 10² = 2 (24 + 26).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своих самостоятельных исследованиях пифагоровых троек мы проверили несколько своих предположений и увидели возможности простейших программ, написанных на языке Pascal ABC.

Мы досконально проверили формулы позволяющие генерировать целочисленные пифагоровы тройки. Первоначально мы сформировали множество всех пифагоровых троек методами программирования с циклами, затем второе множество с использованием формулы ( а² — b² ; 2аb; а² + b² ) (3) . Оба множества совпали. Число членов этого множества 881, для пифагоровых троек, больший член который не превышает 1000.

Интересные выводы дали нам применение формул (x ; [pic] : [pic] ) (2) и (3). Во первых множество результатов формулы ( 2) является подмножеством множества троек сгенерированных формулой (3), но результаты от формулы (2) натолкнули нас на мысль о существовании особых троек, которые в дальнейшем называются примитивными. Мы их изучали и пришли к мнению, что очень важен порядок записи членов триады, который ввели математики в своих исследованиях - ( а² — b² ; 2аb; а² + b² ).

Было так же определено число примитивных троек, их 158, для троек, больший член который, не превышает 1000.

В сгенерированных множествах мы пытались найти закономерность расположения, роста, изменений примитивных пифагоровых троек различными способами. Сравнивали с деревом пифагоровых триад. И пришли к выводу, что удобнее закономерность искать в расположении точек на единичной окружности по паре рациональных координат, которая соответствует каждой тройке.

Собранные в таблицы приложений результаты вычислений градусных мер рациональных точек соответствующих триад позволили нам выдвинуть предположение, как их использовали древние Вавилоняне для измерений градусных мер углов.

Кроме того градусные меры углов подсказали возможность вычисления приближённых значений корней - [pic] и [pic] . Мы разработали алгоритм и программы для вычисления их с достаточно высокой точностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебра: Книга для учащихся 7-9кл. Средней Школы.- М.:Просвещение,1990. - 224 с.:ил

2. Barning, F. J. M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (in Dutch), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk

3. Крамер Сэмюэл. История начинается в Шумере : Наука, 1965. Электронный вариант. Электронная библиотека RoyalLib.com

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Генерация пифагоровых триад программой с тремя циклами без участия формулы (3) для подсчёта количества триад, больший член которой не превышает 1000

Всего сгенерировано 881 пифагоровых триад.

const n = 1000;

var i,j,m: integer; // Пифагоровы триады до 1000

begin

for m:=1 to n do

begin

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

if sqr(m)=sqr(i)+sqr(j) then

begin

if i>j then

writeln('(',j,'; ',i,' ; ',m,' )')

end;

end;

end;

end.

( 3 ; 4 ; 5 )

( 6 ; 8 ; 10 )

( 5 ; 12 ; 13 )

( 9 ; 12 ; 15 )

( 8 ; 15 ; 17 )

( 12 ; 16 ; 20 )

( 15 ; 20 ; 25 )

( 7 ; 24 ; 25 )

( 10 ; 24 ; 26 )

( 20 ; 21 ; 29 )

( 18 ; 24 ; 30 )

( 16 ; 30 ; 34 )

( 21 ; 28 ; 35 )

( 12 ; 35 ; 37 )

( 15 ; 36 ; 39 )

( 24 ; 32 ; 40 )

( 9 ; 40 ; 41 )

( 27 ; 36 ; 45 )

( 30 ; 40 ; 50 )

( 14 ; 48 ; 50 )

( 24 ; 45 ; 51 )

( 20 ; 48 ; 52 )

( 28 ; 45 ; 53 )

( 33 ; 44 ; 55 )

( 40 ; 42 ; 58 )

( 36 ; 48 ; 60 )

( 11 ; 60 ; 61 )

( 39 ; 52 ; 65 )

( 33 ; 56 ; 65 )

( 25 ; 60 ; 65 )

( 16 ; 63 ; 65 )

( 32 ; 60 ; 68 )

( 42 ; 56 ; 70 )

( 48 ; 55 ; 73 )

( 24 ; 70 ; 74 )

( 45 ; 60 ; 75 )

( 21 ; 72 ; 75 )

( 30 ; 72 ; 78 )

( 48 ; 64 ; 80 )

( 18 ; 80 ; 82 )

( 51 ; 68 ; 85 )

( 40 ; 75 ; 85 )

( 36 ; 77 ; 85 )

( 13 ; 84 ; 85 )

( 60 ; 63 ; 87 )

( 39 ; 80 ; 89 )

( 54 ; 72 ; 90 )

( 35 ; 84 ; 91 )

( 57 ; 76 ; 95 )

( 65 ; 72 ; 97 )

( 60 ; 80 ; 100 )

( 28 ; 96 ; 100 )

( 20 ; 99 ; 101 )

( 48 ; 90 ; 102 )

( 40 ; 96 ; 104 )

( 63 ; 84 ; 105 )

( 56 ; 90 ; 106 )

( 60 ; 91 ; 109 )

( 66 ; 88 ; 110 )

( 36 ; 105; 111 )

( 15 ; 112; 113 )

( 69 ; 92 ; 115 )

( 80 ; 84 ; 116 )

( 45 ; 108 ; 117 )

( 56 ; 105 ; 119 )

( 72 ; 96 ; 120 )

( 22 ; 120 ; 122 )

( 27 ; 120 ; 123 )

( 75 ; 100 ; 125 )

( 44 ; 117 ; 125 )

( 35 ; 120 ; 125 )

( 78 ; 104 ; 130 )

( 66 ; 112 ; 130 )

( 50 ; 120 ; 130 )

( 32 ; 126 ; 130 )

( 81 ; 108 ; 135 )

( 64 ; 120 ; 136 )

( 88 ; 105 ; 137 )

( 84 ; 112 ; 140 )

( 55 ; 132 ; 143 )

( 100 ; 105 ; 145 )

( 87 ; 116 ; 145 )

( 24 ; 143 ; 145 )

( 17 ; 144 ; 145 )

( 96 ; 110 ; 146 )

( 48 ; 140 ; 148 )

( 51 ; 140 ; 149 )

( 90 ; 120 ; 150 )

( 42 ; 144 ; 150 )

( 72 ; 135 ; 153 )

( 93 ; 124 ; 155 )

( 60 ; 144 ; 156 )

( 85 ; 132 ; 157 )

( 84 ; 135 ; 159 )

( 96 ; 128 ; 160 )

( 36 ; 160 ; 164 )

( 99 ; 132 ; 165 )

( 119 ; 120 ; 169 )

( 65 ; 156 ; 169 )

( 102 ; 136 ; 170 )

( 80 ; 150 ; 170 )

( 72 ; 154 ; 170 )

( 26 ; 168 ; 170 )

( 52 ; 165 ; 173 )

( 120 ; 126 ; 174 )

( 105 ; 140 ; 175 )

( 49 ; 168 ; 175 )

( 78 ; 160 ; 178 )

( 108 ; 144 ; 180 )

( 19 ; 180 ; 181 )

( 70 ; 168 ; 182 )

( 33 ; 180 ; 183 )

( 111 ; 148 ; 185 )

( 104 ; 153 ; 185 )

( 60 ; 175 ; 185 )

( 57 ; 176 ; 185 )

( 88 ; 165 ; 187 )

( 114 ; 152 ; 190 )

( 95 ; 168 ; 193 )

( 130 ; 144 ; 194 )

( 117 ; 156 ; 195 )

( 99 ; 168 ; 195 )

( 75 ; 180 ; 195 )

( 48 ; 189 ; 195 )

( 28 ; 195 ; 197 )

( 120 ; 160 ; 200 )

( 56 ; 192 ; 200 )

( 40 ; 198 ; 202 )

( 140 ; 147 ; 203 )

( 96 ; 180 ; 204 )

( 133 ; 156 ; 205 )

( 123 ; 164 ; 205 )

( 84 ; 187 ; 205 )

( 45 ; 200 ; 205 )

( 80 ; 192 ; 208 )

( 126 ; 168 ; 210 )

( 112 ; 180 ; 212 )

( 129 ; 172 ; 215 )

( 120 ; 182 ; 218 )

( 144 ; 165 ; 219 )

( 132 ; 176 ; 220 )

( 140 ; 171 ; 221 )

( 104 ; 195 ; 221 )

( 85 ; 204 ; 221 )

( 21 ; 220 ; 221 )

( 72 ; 210 ; 222 )

( 135 ; 180 ; 225 )

( 63 ; 216 ; 225 )

( 30 ; 224 ; 226 )

( 60 ; 221 ; 229 )

( 138 ; 184 ; 230 )

( 160 ; 168 ; 232 )

( 105 ; 208 ; 233 )

( 90 ; 216 ; 234 )

( 141 ; 188 ; 235 )

( 112 ; 210 ; 238 )

( 144 ; 192 ; 240 )

( 120 ; 209 ; 241 )

( 44 ; 240 ; 244 )

( 147 ; 196 ; 245 )

( 54 ; 240 ; 246 )

( 95 ; 228 ; 247 )

( 150 ; 200 ; 250 )

( 88 ; 234 ; 250 )

( 70 ; 240 ; 250 )

( 153 ; 204 ; 255 )

( 120 ; 225 ; 255 )

( 108 ; 231 ; 255 )

( 39 ; 252 ; 255 )

( 32 ; 255 ; 257 )

( 84 ; 245 ; 259 )

( 156 ; 208 ; 260 )

( 132 ; 224 ; 260 )

( 100 ; 240 ; 260 )

( 64 ; 252 ; 260 )

( 180 ; 189 ; 261 )

( 159 ; 212 ; 265 )

( 140 ; 225 ; 265 )

( 96 ; 247 ; 265 )

( 23 ; 264 ; 265 )

( 117 ; 240 ; 267 )

( 69 ; 260 ; 269 )

( 162 ; 216 ; 270 )

( 128 ; 240 ; 272 )

( 105 ; 252 ; 273 )

( 176 ; 210 ; 274 )

( 165 ; 220 ; 275 )

( 77 ; 264 ; 275 )

( 115 ; 252 ; 277 )

( 168 ; 224 ; 280 )

( 160 ; 231 ; 281 )

( 171 ; 228 ; 285 )

( 110 ; 264 ; 286 )

( 63 ; 280 ; 287 )

( 161 ; 240 ; 289 )

( 136 ; 255 ; 289 )

( 200 ; 210 ; 290 )

( 174 ; 232 ; 290 )

( 48 ; 286 ; 290 )

( 34 ; 288 ; 290 )

( 195 ; 216 ; 291 )

( 192 ; 220 ; 292 )

( 68 ; 285 ; 293 )

( 177 ; 236 ; 295 )

( 96 ; 280 ; 296 )

( 102 ; 280 ; 298 )

( 115 ; 276 ; 299 )

( 180 ; 240 ; 300 )

( 84 ; 288 ; 300 )

( 60 ; 297 ; 303 )

( 207 ; 224 ; 305 )

( 183 ; 244 ; 305 )

( 136 ; 273 ; 305 )

( 55 ; 300 ; 305 )

( 144 ; 270 ; 306 )

( 186 ; 248 ; 310 )

( 120 ; 288 ; 312 )

( 25 ; 312 ; 313 )

( 170 ; 264 ; 314 )

( 189 ; 252 ; 315 )

( 75 ; 308 ; 317 )

( 168 ; 270 ; 318 )

( 220 ; 231 ; 319 )

( 192 ; 256 ; 320 )

( 152 ; 285 ; 323 )

( 204 ; 253 ; 325 )

( 195 ; 260 ; 325 )

( 165 ; 280 ; 325 )

( 125 ; 300 ; 325 )

( 91 ; 312 ; 325 )

( 80 ; 315 ; 325 )

( 36 ; 323 ; 325 )

( 180 ; 273 ; 327 )

( 72 ; 320 ; 328 )

( 198 ; 264 ; 330 )

( 108 ; 315 ; 333 )

( 201 ; 268 ; 335 )

( 175 ; 288 ; 337 )

( 238 ; 240 ; 338 )

( 130 ; 312 ; 338 )

( 45 ; 336 ; 339 )

( 204 ; 272 ; 340 )

( 160 ; 300 ; 340 )

( 144 ; 308 ; 340 )

( 52 ; 336 ; 340 )

( 207 ; 276 ; 345 )

( 104 ; 330 ; 346 )

( 240 ; 252 ; 348 )

( 180 ; 299 ; 349 )

( 210 ; 280 ; 350 )

( 98 ; 336 ; 350 )

( 135 ; 324 ; 351 )

( 225 ; 272 ; 353 )

( 213 ; 284 ; 355 )

( 156 ; 320 ; 356 )

( 168 ; 315 ; 357 )

( 216 ; 288 ; 360 )

( 38 ; 360 ; 362 )

( 140 ; 336 ; 364 )

( 240 ; 275 ; 365 )

( 219 ; 292 ; 365 )

( 76 ; 357 ; 365 )

( 27 ; 364 ; 365 )

( 66 ; 360 ; 366 )

( 81 ; 360 ; 369 )

( 222 ; 296 ; 370 )

( 208 ; 306 ; 370 )

( 120 ; 350 ; 370 )

( 114 ; 352 ; 370 )

( 196 ; 315 ; 371 )

( 252 ; 275 ; 373 )

( 176 ; 330 ; 374 )

( 225 ; 300 ; 375 )

( 132 ; 351 ; 375 )

( 105 ; 360 ; 375 )

( 260 ; 273 ; 377 )

( 152 ; 345 ; 377 )

( 145 ; 348 ; 377 )

( 135 ; 352 ; 377 )

( 228 ; 304 ; 380 )

( 231 ; 308 ; 385 )

( 190 ; 336 ; 386 )

( 260 ; 288 ; 388 )

( 189 ; 340 ; 389 )

( 234 ; 312 ; 390 )

( 198 ; 336 ; 390 )

( 150 ; 360 ; 390 )

( 96 ; 378 ; 390 )

( 184 ; 345 ; 391 )

( 56 ; 390 ; 394 )

( 237 ; 316 ; 395 )

( 228 ; 325 ; 397 )

( 240 ; 320 ; 400 )